船的加速度和速度佯谬_再论用绳拉船靠岸的问题
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Xi a Yingqi
( D epart ment of Ph ysics , Y unnan Educat ion C ol lege, K unm ing 650223, C hina)
Abstract T he paradox es in det ermining the velocity and t he accelerat io n of bo at are present ed and discussed. T he met hod of com posit io n and resolut ion of velocit ies is analysed in det ail. T he essence o f the paradox is int erpr et ed, so it is helpf ul in deepening t he com prehension about t he pr oblem . Key Words paradox ; velocit y ; accelerat io n
A 1( 或 A 2 ) 的转动. 因此, 有
V=
v1 co s
及
V
=
v2 cos( -
)
由上二式, 即可求得 V 与 .
但是, 用这种方法是在经历了上述失败
( 错误) 和经过了其它方法的成功比较后才得
出的; 否则, 可能会象上面那样, 求得了 V =
2. 5m/ s, 还认为是正确的呢! 其次, 要找出绳方向的真实分速度, 用来
a′船 = a/ cos
( 8)
可见, 船的加速度, 按式( 7) , 不等于 a/
co s ; 按 式( 8) , 则 等 于a/ cos , 这 是一 个 佯
谬. 是微分求导数法有错吗?还是如有的人说
的那样, 速度、加速度合成与分解法不适用?
在式( 7) 中, 第一项是容易理解的, 它就
是式( 8) ; 第二项如何理解呢? 有没有什么物
[ 4] M eng Z. Diffculties in teaching and lear ning mechanics: A Considerat ion o f three pr oblems. P hy sics Education, 1993, 28( 6) : 371.
本刊将办刊登关于教学仪器与高新技术产品广告. 欢迎有关公司、厂家及各界 人士与我们联系商洽广告业务, 我刊一定信守合同. 由于我刊刚开办广告业 务, 将以优惠价格收取费用.
14
工科物理 1999 Vo l. 9 No. 2
船的加速度和速度佯谬
—— 再论用绳拉船靠岸的问题
钱树高
夏英齐
( 云南工业大学物理教研室, 昆明 650051) ( 云南教育学院物理系, 昆明 650223)
( 收稿日期: 1998-05-20)
摘 要 讨论了求解船的速度和加速度的一些似是而非的问题, 对使用速度合成和 分解的方法进行了较详细的分析, 阐释了佯谬的根源, 深化了对问题的认识和理解. 关键词 佯谬; 速度; 加速度
=
v2 x
t
a
n2
cos
( 9)
于是, 在绳方向上的真正的加速度应为
a绳 =
a+
a ′=
a+
v2 x
t
an2
cos
( 10)
所以船的加速度就应为
a船 =
a绳 / cos
=
a cos
+
v2 x
t
an2
( 11)
可见, 式( 7) 是同运动的合成与分解的观 点相一致的. 通过以上相 互比较、补充 的讨 论, 可以深化我们对微分求导数结果的认识, 同时也进一步确认了运动合成与分解的观点 的适用性.
+
2v 1v 2co s
( 14)
及
t an
=
v2 sin v 1 + v 2co s
( 15)
代入数值, 得到 V = 2. 5m / s, = 33°. 但是, 这
个结果却是错误的!
( 下转第23页)
工科物理 1999 V ol. 9 No. 2
理 技 术 规 范 解 说. 北 京: 中 国 计 量 出 版 社, 199 3. [ 2] BIPM - IEC - IF CC - ISO - I U PA C - I U PA P -OI M L . 测量不确定度表示 指南. 刘智敏 , 刘增 明译. 标准化文摘杂志社, 1995. [ 3] 肖 明耀. 误差理 论与应 用. 北 京: 计 量出版 社, 198 5.
23
[ 4] K . M . Evenson et al. , Phy s . Rev. L ett. 1972, 29: 1346～1349.
[ 5] 刘智 敏, 刘风. 现 代不 确定 度方 法与 应用. 北 京: 中国计量出版社, 1997.
[ 6] 邬 铭新, 李朝荣 等. 基础物理 实验. 北京: 北京 航空航天大学出版社, 1998.
= - al + v2
( 6)
故
d 2x dt 2
=
1 x
v2 - al -
dx 2 dt
=
1 x
v2 -
al -
v 2l 2 x2
=-
1 x
al +
h2v 2 x2
=-
a co s
+
v2 x
t
an
2
( 7)
如果用类似于速度合成与分解那样的考
虑, 船的加速度应是合加速度, 而绳的加速度
则是分加速度, 那么船的加速度应为
2 船速佯谬
如图2, 设二人拉绳的速度分别为 v 1( = 1. 73m/ s) 和 v2( = 1. 42m / s) , 二绳在同一水 平面上, 夹角为 , 求船运动速度的大小( V ) 和方向( 以 V 与 v1的夹角 来表示) .
图2
如何求解这个问题呢? 我们自然首先想 到用速度合成和分解的方法.
vl x
( 4)
所以船向岸运动的速度为
( 2)
工科物理 1999 V ol. 9 No. 2
15
V=
dx dt
=
v / cos
( 5)
与文献[ 4] 使用速度分解法求得的结果相符.
又, 由式( 3) 再求导数得
dx dt
2
+
x
d2x dt 2
=-
a
l0 -
v0t +
1 2
a
t2
-
( v0 + at ) [ - ( v 0 + at ) ]
参 考 文 献
[ 1] 钱树高, 夏英齐. 用绳拉船靠岸的船速 问题. 工 科物理, 1999, 9( 1) : 16.
[ 2] 张三慧, 王虎珠. 大学物理学. 第一册, 力学. 北 京: 清华大学出版社, 1990. 31.
[ 3] 复旦大学《物理学》编写组. 物理学. 上 册, 第二 版. 北京: 高等教育出版社, 1985. 64.
合成船的速度, 仍然是比较繁难的, 或者容易 出错、使人迷惑.
通过上面的讨论可见, 对于某一具体问 题, 不宜硬用某一种求解方法( 尽管是较基本 的方法) 去套, 而应尽可能从不同的方面, 用 多种方法进行考察和研究, 这对问题的认识 和求解, 都是很有益的.
例如, 读者可以试着只用速度、加速度合 成与分解的方法去求解文[ 1] 第二个例子中 雪橇的加速度( 假定人拉绳奔跑的加速度 a0 不是常数) , 这将会获得深切的认识和感受.
( 上接第15页)
如果我们用作功和能量的观点, [ 1] 可以 很快得到正确答案为
V=
v1 cos
( 16)
及
co s( co s
)=
v2 v1
( 17)
代入数值, 得到 V = 2m/ s, = 30°.
上面用“速度合成与分解”的方法, 得到
错误结果的原因, 在于二人拉绳的速度 v1和
v2并不是给予船的分速度; 只有当二绳正交
当 = / 2时, 由“速度的合成与分解”, 我们得到正确结果
V=
v
2 1
+
v
2 2
( 12)
及
t an
=
v2 v1
( 13)
代入数值, 得到 V = 2. 24m/ s, = 39°.
普遍 地, 当 为其它 任意值, 例如 =
75°时, 同样由“速度的合成与分解”, 我们得
到
V=
v
2 1
+
v
2 2
1 加速度佯谬
在前一篇文章[ 1] 中, 我们已经使用四种
方法求解了船速的问题, 对船速的两种答案
V1 = vcos 和 V2= v/ cos 进行了 分析和 比
较, 识别了正误.
现在, 我们来考虑船的加速度. [ 2, 3] 如图
图1
1, 设人拉伸绳子 以不变的加速度 a 向 前奔 跑, 绳跨过定滑轮系着湖中的船.
若初速为 v 0, 经时间 t 后, 有
求导数
2x
dx dt
=
2
l0 -
v 0t +
1 2
at2
l = l0 -
v 0t +
1 2
a
t2
( 1)
( - 1) ( v 0 + at)
( 3)
x 2 = l2 - h2 =
l0 -
v0t +
1 2
at
2
2
- h2
dx dt
=
-
(v0 + x
at) l
=
-
理意义呢?式( 7) 的结果似乎同运动( 速度和
加速度) 的合成与分解相矛盾, 这是值得认真
思考和讨论的.
事实上, 船的运动是沿绳方向的径向运
动和绕定滑轮的变速转动的合成, 其转动速
率 u= vt an . 此转动速率伴随着沿绳的方向
指向定滑轮的加速度, 其大小为
a′=
wenku.baidu.comu2 l
=
v 2t an2 x/ cos
( = / 2) 时, 二方向互无 影响, 拉绳的 速度
v1 和 v2 才 等于 船 的真 实的 分速 度, 这时 式
( 16) 和( 17) 便转化为式( 12) 和( 13) .
当然, 对这个问题, 也可以用速度合成与
分解的方法来求解. 从 A 1 ( 或 A 2 ) 来看, 船的 运动可视为沿绳方向的运动( v 1 或 v2 ) , 和绕
THE PARADOXES OF ACCELERATION AND VELOCITY OF BOAT——A FURTHER DISCUSSION ABOUT THE
MOTION OF BOAT DRAWN WITH A ROPE
Qian Shugao
( D ep art ment of Ph ysics , Y unnan Pol ytech nic U niversit y, K unm ing 650051, Ch ina)
( D epart ment of Ph ysics , Y unnan Educat ion C ol lege, K unm ing 650223, C hina)
Abstract T he paradox es in det ermining the velocity and t he accelerat io n of bo at are present ed and discussed. T he met hod of com posit io n and resolut ion of velocit ies is analysed in det ail. T he essence o f the paradox is int erpr et ed, so it is helpf ul in deepening t he com prehension about t he pr oblem . Key Words paradox ; velocit y ; accelerat io n
A 1( 或 A 2 ) 的转动. 因此, 有
V=
v1 co s
及
V
=
v2 cos( -
)
由上二式, 即可求得 V 与 .
但是, 用这种方法是在经历了上述失败
( 错误) 和经过了其它方法的成功比较后才得
出的; 否则, 可能会象上面那样, 求得了 V =
2. 5m/ s, 还认为是正确的呢! 其次, 要找出绳方向的真实分速度, 用来
a′船 = a/ cos
( 8)
可见, 船的加速度, 按式( 7) , 不等于 a/
co s ; 按 式( 8) , 则 等 于a/ cos , 这 是一 个 佯
谬. 是微分求导数法有错吗?还是如有的人说
的那样, 速度、加速度合成与分解法不适用?
在式( 7) 中, 第一项是容易理解的, 它就
是式( 8) ; 第二项如何理解呢? 有没有什么物
[ 4] M eng Z. Diffculties in teaching and lear ning mechanics: A Considerat ion o f three pr oblems. P hy sics Education, 1993, 28( 6) : 371.
本刊将办刊登关于教学仪器与高新技术产品广告. 欢迎有关公司、厂家及各界 人士与我们联系商洽广告业务, 我刊一定信守合同. 由于我刊刚开办广告业 务, 将以优惠价格收取费用.
14
工科物理 1999 Vo l. 9 No. 2
船的加速度和速度佯谬
—— 再论用绳拉船靠岸的问题
钱树高
夏英齐
( 云南工业大学物理教研室, 昆明 650051) ( 云南教育学院物理系, 昆明 650223)
( 收稿日期: 1998-05-20)
摘 要 讨论了求解船的速度和加速度的一些似是而非的问题, 对使用速度合成和 分解的方法进行了较详细的分析, 阐释了佯谬的根源, 深化了对问题的认识和理解. 关键词 佯谬; 速度; 加速度
=
v2 x
t
a
n2
cos
( 9)
于是, 在绳方向上的真正的加速度应为
a绳 =
a+
a ′=
a+
v2 x
t
an2
cos
( 10)
所以船的加速度就应为
a船 =
a绳 / cos
=
a cos
+
v2 x
t
an2
( 11)
可见, 式( 7) 是同运动的合成与分解的观 点相一致的. 通过以上相 互比较、补充 的讨 论, 可以深化我们对微分求导数结果的认识, 同时也进一步确认了运动合成与分解的观点 的适用性.
+
2v 1v 2co s
( 14)
及
t an
=
v2 sin v 1 + v 2co s
( 15)
代入数值, 得到 V = 2. 5m / s, = 33°. 但是, 这
个结果却是错误的!
( 下转第23页)
工科物理 1999 V ol. 9 No. 2
理 技 术 规 范 解 说. 北 京: 中 国 计 量 出 版 社, 199 3. [ 2] BIPM - IEC - IF CC - ISO - I U PA C - I U PA P -OI M L . 测量不确定度表示 指南. 刘智敏 , 刘增 明译. 标准化文摘杂志社, 1995. [ 3] 肖 明耀. 误差理 论与应 用. 北 京: 计 量出版 社, 198 5.
23
[ 4] K . M . Evenson et al. , Phy s . Rev. L ett. 1972, 29: 1346～1349.
[ 5] 刘智 敏, 刘风. 现 代不 确定 度方 法与 应用. 北 京: 中国计量出版社, 1997.
[ 6] 邬 铭新, 李朝荣 等. 基础物理 实验. 北京: 北京 航空航天大学出版社, 1998.
= - al + v2
( 6)
故
d 2x dt 2
=
1 x
v2 - al -
dx 2 dt
=
1 x
v2 -
al -
v 2l 2 x2
=-
1 x
al +
h2v 2 x2
=-
a co s
+
v2 x
t
an
2
( 7)
如果用类似于速度合成与分解那样的考
虑, 船的加速度应是合加速度, 而绳的加速度
则是分加速度, 那么船的加速度应为
2 船速佯谬
如图2, 设二人拉绳的速度分别为 v 1( = 1. 73m/ s) 和 v2( = 1. 42m / s) , 二绳在同一水 平面上, 夹角为 , 求船运动速度的大小( V ) 和方向( 以 V 与 v1的夹角 来表示) .
图2
如何求解这个问题呢? 我们自然首先想 到用速度合成和分解的方法.
vl x
( 4)
所以船向岸运动的速度为
( 2)
工科物理 1999 V ol. 9 No. 2
15
V=
dx dt
=
v / cos
( 5)
与文献[ 4] 使用速度分解法求得的结果相符.
又, 由式( 3) 再求导数得
dx dt
2
+
x
d2x dt 2
=-
a
l0 -
v0t +
1 2
a
t2
-
( v0 + at ) [ - ( v 0 + at ) ]
参 考 文 献
[ 1] 钱树高, 夏英齐. 用绳拉船靠岸的船速 问题. 工 科物理, 1999, 9( 1) : 16.
[ 2] 张三慧, 王虎珠. 大学物理学. 第一册, 力学. 北 京: 清华大学出版社, 1990. 31.
[ 3] 复旦大学《物理学》编写组. 物理学. 上 册, 第二 版. 北京: 高等教育出版社, 1985. 64.
合成船的速度, 仍然是比较繁难的, 或者容易 出错、使人迷惑.
通过上面的讨论可见, 对于某一具体问 题, 不宜硬用某一种求解方法( 尽管是较基本 的方法) 去套, 而应尽可能从不同的方面, 用 多种方法进行考察和研究, 这对问题的认识 和求解, 都是很有益的.
例如, 读者可以试着只用速度、加速度合 成与分解的方法去求解文[ 1] 第二个例子中 雪橇的加速度( 假定人拉绳奔跑的加速度 a0 不是常数) , 这将会获得深切的认识和感受.
( 上接第15页)
如果我们用作功和能量的观点, [ 1] 可以 很快得到正确答案为
V=
v1 cos
( 16)
及
co s( co s
)=
v2 v1
( 17)
代入数值, 得到 V = 2m/ s, = 30°.
上面用“速度合成与分解”的方法, 得到
错误结果的原因, 在于二人拉绳的速度 v1和
v2并不是给予船的分速度; 只有当二绳正交
当 = / 2时, 由“速度的合成与分解”, 我们得到正确结果
V=
v
2 1
+
v
2 2
( 12)
及
t an
=
v2 v1
( 13)
代入数值, 得到 V = 2. 24m/ s, = 39°.
普遍 地, 当 为其它 任意值, 例如 =
75°时, 同样由“速度的合成与分解”, 我们得
到
V=
v
2 1
+
v
2 2
1 加速度佯谬
在前一篇文章[ 1] 中, 我们已经使用四种
方法求解了船速的问题, 对船速的两种答案
V1 = vcos 和 V2= v/ cos 进行了 分析和 比
较, 识别了正误.
现在, 我们来考虑船的加速度. [ 2, 3] 如图
图1
1, 设人拉伸绳子 以不变的加速度 a 向 前奔 跑, 绳跨过定滑轮系着湖中的船.
若初速为 v 0, 经时间 t 后, 有
求导数
2x
dx dt
=
2
l0 -
v 0t +
1 2
at2
l = l0 -
v 0t +
1 2
a
t2
( 1)
( - 1) ( v 0 + at)
( 3)
x 2 = l2 - h2 =
l0 -
v0t +
1 2
at
2
2
- h2
dx dt
=
-
(v0 + x
at) l
=
-
理意义呢?式( 7) 的结果似乎同运动( 速度和
加速度) 的合成与分解相矛盾, 这是值得认真
思考和讨论的.
事实上, 船的运动是沿绳方向的径向运
动和绕定滑轮的变速转动的合成, 其转动速
率 u= vt an . 此转动速率伴随着沿绳的方向
指向定滑轮的加速度, 其大小为
a′=
wenku.baidu.comu2 l
=
v 2t an2 x/ cos
( = / 2) 时, 二方向互无 影响, 拉绳的 速度
v1 和 v2 才 等于 船 的真 实的 分速 度, 这时 式
( 16) 和( 17) 便转化为式( 12) 和( 13) .
当然, 对这个问题, 也可以用速度合成与
分解的方法来求解. 从 A 1 ( 或 A 2 ) 来看, 船的 运动可视为沿绳方向的运动( v 1 或 v2 ) , 和绕
THE PARADOXES OF ACCELERATION AND VELOCITY OF BOAT——A FURTHER DISCUSSION ABOUT THE
MOTION OF BOAT DRAWN WITH A ROPE
Qian Shugao
( D ep art ment of Ph ysics , Y unnan Pol ytech nic U niversit y, K unm ing 650051, Ch ina)