第八章组合变形习题集

8-2 人字架及承受的荷载如图所示。试求m-m 截面上的最大正应力和A 点的正应力。

m

解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿y 轴，中性轴z 过形心与对称轴y 轴垂直。

截面关于y 轴对称，形心及惯性矩

1122123

122

32

8444

A A 20010050200100(100100)

125A +A 200100+200100

200100200100(12550)12100200100200(300125100)12

3.0810 3.0810C z z

z

y y y I I I -+⨯⨯+⨯⨯+=

==⨯⨯⨯=+=+⨯⨯-⨯++⨯⨯--=⨯=⨯mm

mm m

(2)内力分析，判危险面：沿距B 端300毫米的m-m 横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数：

,m-m 250(1.80.3sin )(1.80.3202.5(k 22250cos =100(k )

22y N P M P F ϕϕ=

⨯-=⨯-=⋅=⨯=N m)

N

(3)应力分析，判危险点，如右所示图

①m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。

m m

max

33410010202.510(0.30.125)(Pa) 2.5115.06MPa 117.56MPa 2(0.20.1) 3.0810

N z

F M y A I σ

---=

+⋅-⨯⨯=-⨯-=--=-⨯⨯⨯上② A 点是压缩区的点，故

m m

334

10010202.510(0.30.1250.1)(Pa) 2.549.31MPa 51.83MPa 2(0.20.1) 3.0810N a a z

F M y A I σ--=

+⋅-⨯⨯=-⨯--=--=-⨯⨯⨯注意：最大拉应力出现在下边缘

m m

max

3

3

4

10010202.510

0.125(Pa) 2.582.18MPa 79.68MPa

2(0.20.1) 3.0810N z

F M y A I σ

---=+⋅-⨯⨯=

+⨯=-+=⨯⨯⨯下

8-3 图示起重机的最大起吊重量为W=35kN ，横梁AC 由两根NO.18槽钢组成。 材料为Q235，许用应力[σ]=120MPa 。试校核横梁的强度。

(a )

Ay

(b)

解：〈1〉外力分析：外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 发生压弯组合变形。对C 取矩BA 杆所受拉力为：

70(3.5)

()0sin 30 3.535(3.5)070203.5

C AB AB x m

F F x F x ⨯-=→⨯-⨯-=→=

-∑=kN

2〉内力分析： 轴力、弯矩均是x 的函数

2

max

cos30(7020)cos30=60.6217.32(sin 30(7020)sin 303510(kN),kN m)

AB B N A F M

F x x F x x x x x =--=-⋅===-

（3）应力分析判危险点：

①由于发生的是发生压弯组合变形，轴力、弯矩两者均在横截面上引起正应力，x 截面的上边缘具有最大压应力。查表可知NO.18槽钢的A=29.299 cm 2,Wz=152 cm 3

32322x ,max

46Pa 22229.2991021521010.345 2.9(60.6217.32)10(3510)10115.13232.895(3256MPa)=10.345112.17.895(6MPa)

N x z F M A W x x x x x x x x σ

---=-=+⨯⨯-⨯-⨯+--⨯⨯=-+

② 对应力关于x 的函数求导，求应力极值

,max

112.165.790 1.705m 76x d d x x

x σ-

-=→==

故：当 1.705m x =，起吊重物处的横截面上边缘应力到达极值:

2max 2

10.345112.176MPa)

10.34532.895(1.70532.8915 1.705112.176MPa 098)

5.(x x σ--=-⨯==++⨯

（4）校核横梁的强度

[]max MPa)1120M 05a .98(P σσ-≤==

故，两根18号槽钢能满足强度要求。

8-5 单臂液压机机架及立柱的横截面尺寸如图所示。F=1800kN ，材料的许用应力

[σ]=120MPa 。试校核机架立柱的强度。

解：〈1〉外力分析：将P 力平移到立柱的轴线上，需附加一力偶f M F e =⋅，F 使立柱产

生轴向拉伸，f M 使立柱产生平面弯曲，故立柱产生拉弯组合变形。立柱横截面是前后对称的，形心在图示y 轴上，形心及惯性矩：

222121122123

122

32

A A +A 14008601334828994489.94510A A 14008607001334828(50667)

511A +A 14008601334828

86014008601400(700511)12

82813348281334(50667511)12

2.9C z z

z

y y y I I I -==⨯-⨯==⨯+⨯⨯-⨯⨯+=

==⨯-⨯⨯=+=+⨯⨯-⨯--⨯⨯+-=⨯mm m mm

10424

10 2.910-=⨯mm m 。

〈2〉内力分析：将立柱假想截开，取上端为脱离体，由平衡条件不难求得立柱的轴力F N 和弯矩M 。

1800kN,1800(0.5110.9)2539.8kN m N F F M P e ===⋅=⨯+=⋅

（3）应力分析：载荷作用面为关于前后对称的面，故中性层应为过形心的铅垂面。中性层的左侧为拉缩区，右侧为压伸区。立柱离轴线最远的左侧各点的具有最大拉应力，右侧各点的具有最大压应力，均有可能成为危险点。

max max ,N N z z

F F M M y y A I A I σσσσ+-

==

+⋅==-⋅左右左边缘右边缘 〈3〉校核强度

[]33max 22

max 33

22

1800102539.8100.511(Pa) 9.94510 2.910

18.099544.753MPa 62.85MPa 160MPa

1800102539.810(1.40.511)(Pa)9.94510 2.91018.099577.858N z N z

F M y A I F M

y A I σ

σσσσ+

-----⨯⨯==+⋅=+⨯⨯⨯=+=≤===

-⋅⨯⨯=-⨯-⨯⨯=-左左边缘

右右边缘（）（[]MPa 59.76MPa 160MPa

σ=≤=）

故立柱强度足够。

8-7：矩形截面悬臂梁受力如图所示。确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及A 、B 、C 、D 四点的应力值。

解：（1）外力分析，判变形。5kN 作用下构件在xy 平面内左右弯曲； 25kN 作