复习 三角形内角和、外角及多边形的讲义

第一讲三角形内角和与外角和

规律方法指导

1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；

在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.

2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.

3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．

外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.

4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.

经典例题透析

类型一：三角形内角和定理的应用

1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）

A．60° B．75° C．90° D．120°

举一反三：

【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°

【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。

类型二：利用三角形外角性质证明角不等

2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。

举一反三：

【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。

类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用

3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

举一反三：

【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

类型四：与角平分线相关的综合问题

4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；

（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；

（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；

（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；

（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．

举一反三：

【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.

【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，

如果∠A＝50°，求∠D.

【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.

【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。56

类型五：与高线相关的综合问题

5．如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD ⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.

举一反三：

【变式1】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

【变式2】如图15, △ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度数．

【变式3】如图16，在△ABC，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC和∠BOA的度数.

类型六：与平行线相关的综合问题

6．已知：如图17, AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF 的平分线与∠DFE平分线相交于点P，求证：∠P=90°.

举一反三：

【变式1】如图18，AB∥CD，∠A＝96°，∠B＝∠BCA，则∠BCD＝________.

【变式2】如图19，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 37°，求∠F的度数.

【变式3】如图20，△ABC中，AD是角平分线，∠B= 45°，∠C= 63°，DE ∥AC，求∠ADE.

类型七：用三角形角的关系解决实际问题

7．一种工件如图21所示，它要求∠BDC等于140°，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝22°，∠C＝26°后就下结论说此工件不合格，这是为什么呢？

举一反三：

【变式】某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如下图的同一高度定出了两个开挖点Ｐ和Ｑ，然后在左边定出开挖的方向线ＡＰ，为了准确定出右边开挖的方向线ＢＱ，测量人员取一个在点Ａ、Ｐ、Ｑ可以同时看到的点Ｏ，测得∠Ａ＝25°，∠AOC＝100°，那么∠QBO应等于多少度才能确保ＢＱ与ＡＰ在同一条直线上？

第2讲认识多边形

经典·考题·赏析

【例１】如图所示是一个六边形.

(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？

(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？

A

【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n

边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一

共有

(3)

2

n n

条对角线，

【变式题组】

01．下列图形中，凸多边形有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝______，n＝______，k＝________.

03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.

【例２】(1)八边形的内角和是多少度？

(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

【变式题组】

01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.

02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）

A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形