必修四第一章三角函数复习与小结(1)

年级高一学科数学版本苏教版

课程标题必修四第一章三角函数复习与小结

编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲

一、考点突破

1. 三角函数的概念

三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。

2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。

3. 三角函数的图象与性质

三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。

4. 三角函数的应用

主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。

本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示

重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、

函数y ＝（ωx＋φ）的图象与正弦函数y ＝的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y ＝（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、知识脉络图：

二、知识点拨：

1. x y sin =与x y cos =的周期是π。

2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ω

π

2=T 。

3. 2

tan x y =的周期为2π。 4.

)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2

π

π+

=k x （Z k ∈），对称中

心为（0,πk ）；

)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心

为（0,2

1ππ+k ）；

)tan(ϕω+=x y 的对称中心为（

0,2

π

k ）。 5. 当αtan ·1tan =β时，)(2

Z k k ∈+

=+π

πβα；

当1tan tan -=⋅βα时，()2

k k Z π

αβπ-=+∈ 6. 函数x y tan =在R 上为增函数。（×）

[只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则x y tan =为增函数的说法同样也是错误的。]

7. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；

x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；

随堂练习：函数f （x ）•（）的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2

π C. π D. 2π

解：∵f （x ）•（）2

x =2

1（22x ）212

2（24π）－

2

1 ∴π 故选C ．

知识点一：三角函数的概念

例题1 设角α属于第二象限，2α＝－2α，试判断角2

α属于第几象限？

思路导航：首先应根据α所属象限确定出2

α所属的象限，然后再由－2

α≥0，

2

α

≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。 答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋2

π＜α＜2kπ＋π（k∈Z ），

∴kπ＋4π＜2α＜kπ＋2π（k ∈Z ）。 当k ＝2n （n∈Z ）时，

2nπ＋4π＜2

α＜2nπ＋2

π （n∈Z ）。 ∴2

α是第一象限角； 当k ＝2n ＋1（n∈Z ）时，

2nπ＋π4

5＜2α＜2nπ＋π2

3 （n∈Z ）。 ∴2

α

是第三象限角。

又由2α＝－2α≥0⇒2α≤0。

所以2α

应为第二、三象限角或终边落在x 轴的负半轴上。综

上所述，2

α

是第三象限的角。

点评：由α所在象限，判断诸如2α，3

α，4α

等角所在的象

限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定2α，3α，4

α所属的象限；另一种办法就是将k 进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式

例题2 （1）已知π＜α＜2π，（α－7π）＝5

3-，求（3π＋α）与（α－

2

7π）的值；

（2）已知2＋＝52

A ，求的值；

（3）已知α＋α＝5

1，且α∈（0，π），求3

α－3

α的值。

答案：（1）∵（α－7π）＝－α＝5

3-，

∴α＝5

3。

又π＜α＜2π， ∴

2

3π＜α＜2π，α＝－5

4，

（3π＋α）＝－α＝5

4，（α－

2

7π

）＝

.4

35

453sin cos )

27cos()

27

sin(==-=--ααπαπα

（2）将已知式化为22A ＋22A ＋·＝52

A ， ∵≠0，

∴22

A ＋－3＝0，＝1或＝－2

3

。

（3）αα＝21)cos (sin 2-+αα＝25

12

-，

∵α∈（0，π）， ∴α＞0，α＜0， ∴α－α＞0，

∴α－α＝

5

7cos sin 21=

-αα， ∴3α－3α＝57×（12512-）＝125

81。

点评：形如α＋α和2α＋αα＋2

α的式子分别称为关于

α、α的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质

例题3 对于函数f （x ）＝2（2x ＋3

π），给出下列结论：