必修四第一章三角函数复习与小结(1)

年级高一学科数学版本苏教版
课程标题必修四第一章三角函数复习与小结
编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲
一、考点突破
1. 三角函数的概念
三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。

2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。

3. 三角函数的图象与性质
三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。

4. 三角函数的应用
主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。

在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。

三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。

本章主要利用数形结合的思想。

在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示
重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、
函数y ＝（ωx＋φ）的图象与正弦函数y ＝的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y ＝（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、知识脉络图：
二、知识点拨：
1. x y sin =与x y cos =的周期是π。

2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ω
π
2=T 。

3. 2
tan x y =的周期为2π。

4.
)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x （Z k ∈），对称中
心为（0,πk ）；
)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心
为（0,2
1ππ+k ）；
)tan(ϕω+=x y 的对称中心为（
0,2
π
k ）。

5. 当αtan ·1tan =β时，)(2
Z k k ∈+
=+π
πβα；
当1tan tan -=⋅βα时，()2
k k Z π
αβπ-=+∈ 6. 函数x y tan =在R 上为增函数。

（×）
[只能在某个单调区间上单调递增。

若在整个定义域上，则x y tan =为增函数的说法同样也是错误的。

]
7. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；
x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；
随堂练习：函数f （x ）•（）的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2
π C. π D. 2π
解：∵f （x ）•（）2
x =2
1（22x ）212
2（24π）－
2
1 ∴π 故选C ．
知识点一：三角函数的概念
例题1 设角α属于第二象限，2α＝－2α，试判断角2
α属于第几象限？
思路导航：首先应根据α所属象限确定出2
α所属的象限，然后再由－2
α≥0，
2
α
≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。

答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋2
π＜α＜2kπ＋π（k∈Z ），
∴kπ＋4π＜2α＜kπ＋2π（k ∈Z ）。

当k ＝2n （n∈Z ）时，
2nπ＋4π＜2
α＜2nπ＋2
π （n∈Z ）。

∴2
α是第一象限角； 当k ＝2n ＋1（n∈Z ）时，
2nπ＋π4
5＜2α＜2nπ＋π2
3 （n∈Z ）。

∴2
α
是第三象限角。

又由2α＝－2α≥0⇒2α≤0。

所以2α
应为第二、三象限角或终边落在x 轴的负半轴上。

综
上所述，2
α
是第三象限的角。

点评：由α所在象限，判断诸如2α，3
α，4α
等角所在的象
限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定2α，3α，4
α所属的象限；另一种办法就是将k 进行分类讨论。

一般来说，分母是几就应分几类去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式
例题2 （1）已知π＜α＜2π，（α－7π）＝5
3-，求（3π＋α）与（α－
2
7π）的值；
（2）已知2＋＝52
A ，求的值；
（3）已知α＋α＝5
1，且α∈（0，π），求3
α－3
α的值。

答案：（1）∵（α－7π）＝－α＝5
3-，
∴α＝5
3。

又π＜α＜2π， ∴
2
3π＜α＜2π，α＝－5
4，
（3π＋α）＝－α＝5
4，（α－
2
7π
）＝
.4
35
453sin cos )
27cos()
27
sin(==-=--ααπαπα
（2）将已知式化为22A ＋22A ＋·＝52
A ， ∵≠0，
∴22
A ＋－3＝0，＝1或＝－2
3。

（3）αα＝21)cos (sin 2-+αα＝25
12
-，
∵α∈（0，π）， ∴α＞0，α＜0， ∴α－α＞0，
∴α－α＝
5
7cos sin 21=
-αα， ∴3α－3α＝57×（12512-）＝125
81。

点评：形如α＋α和2α＋αα＋2
α的式子分别称为关于
α、α的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质
例题3 对于函数f （x ）＝2（2x ＋3
π），给出下列结论：
①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x ＝
12
π
成轴对称；③图象可由函数y ＝22x 的图象向左平移3
π个单位得到；④图象向左平移12
π个单位，即得到函数y ＝22x 的图象。

其中正确
结论的个数为（ ）个
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
思路导航：∵f（x ）是非奇非偶函数，∴①错误。

∵f（x ）是由y ＝22x 向左平移6
π个单位得到的， ∴③错误。

把x ＝
12
π
代入f （x ）中使函数取得最值， ∴②正确。

f （x ）＝2（2x ＋3
π）−−−
−→−个单位左移12
π
f （x ）＝2［2（x ＋12π）＋3
π
］＝22x ， ∴④正确。

答案：C
点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。

在用排除法时，要注意函数性质的应用。

例题4 设函数f （x ）＝3x ＋3，则f （x ）为（ ） A. 周期函数，最小正周期为3
π B. 周期
函数，最小正周期为
3
2π C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数
思路导航：本身可以直接把选项代入)()(x f T x f =+检验，也可化简=)(x f x x 3sin 3sin +。

答案：f （x ）＝3x ＋3
＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+<<++≤≤.
3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x
∴B 正确。

答案：B
点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。

本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。

后者更简捷。

知识点四：三角函数的应用
例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若直角三角形中较小的锐角是θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是25
1
，则2
θ－2
θ的值等于
（ ）
A. 1
B. 2524-
C. 25
7
D. －
25
7
思路导航：由题意，设大正方形边长＝1，小正方形的边长是5
1，则＝θ，＝θ，
∴θ－θ＝5
1。

平方得2θθ＝
25
24。

∴（θ＋θ）2
＝1＋2θθ＝25
49。

∴θ＋θ＝5
7。

∴2θ－2
θ＝（θ－θ）（θ＋θ） ＝25
75751-=⨯-。

答案：D
点评：三角函数的应用非常广泛。

将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。

例题6 函数y ＝
2
1
cos sin -
+x x 的定义域是。

思路导航：由题意知，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥.21cos 0
sin 021cos 0sin x x x x
作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{2kπ≤x≤2kπ＋3
π
，k∈Z }。

答案：{2kπ≤x≤2kπ＋3
π，k∈Z }
点评：解三角不等式基本上有两种方法：①利用三角函数线。

②利用三角函数图象。

例题7 求函数f （x ）＝
x
x x
x cos sin 1cos sin ++的最大、最小值。

思路导航：利用三角函数中1cos sin 22=+αα和ααcos sin +与
ααcos sin ⋅的关系，转化成同一个量的关系式。

答案：设＋＝t ，则＝2
1
2-t ，t∈［－2，2］，且t≠－
1，则y ＝2
1221121
22-=+-=+-t t t t t ，t∈［－2，2］。

∴当t ＝2，即x ＝2kπ＋4
π
（k∈Z ）时，f （x ）的最大值
为2
12-；
当t ＝－2，即x ＝2kπ－4
3π
（k∈Z ）时，f （x ）的最小值
为2
12+-。

点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。

例题（全国大纲理5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的
图像向右平移3π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω
的最小值等于（ ）
A. 1
3
B. 3
C. 6
D. 9
思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图
象变换的关系。

此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将
()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3
π是此函数周期的整数倍。

解答过程：由题意将()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3
π是此函数周期的整数
倍，得
2()3
k k Z π
π
ω
⨯=
∈，解得6k ω=，又0ω>，令1k =，得
min 6ω=。

答案：C
规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。

在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。

例题 （临沂统考） 作函数y ＝的图象。

思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。

函数y ＝的图象即是y ＝（x≠kπ，k∈Z ）的图
象，因此应作出y ＝的图象，但要把x ＝kπ，k∈Z 的这些点去掉。

答案：当≠0，即x≠kπ（k∈Z ）时，有y ＝＝，即y ＝（x≠kπ，k∈Z ）。

其图象如图，
学习本章应该先复习角的概念，了解角度制的内容。

在学习本章时应该注意任意角、弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。

学习过程中，对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。

对函数图象的作图过程要抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。

对三角函数式的化简求值要多加强练习，注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。

必修四 第二章 第1－2节向量的概念及表示；向量的线性运算 一、预习导学
1. 向量的概念： 。

表示法 。

2. 平行向量的概念： 、相等向量的概念： 。

3. 已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
A. OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r
B. AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、
DE u u u r
C. FE u u u r 、AB u u u r
、CB u u u r 、OF u u u r D.
AF
u u u r 、
AB
u u u r 、
OC u u u r 、OD u u u r
4. 向量的加法法
则：。

5. 数的运算：减法是加法的逆运
算，。

6. 向量的加法运算：、向量
共线定理：。

7. 平面向量基本定理：。

二、问题思考
1. 如何用数学符号和有向线段表示向量？
2. 向量加法的平行四边形法则和三角形法则如何？
3. 如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？
4. 理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 集合{απ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）
A. B.
C. D.
2. 已知角α的终边经过点P（－4m，3m）（m≠0），则2α＋α的值是（）
A. 1或－1
B. 或－
C. 1或－
D. －1或
3. 已知f（）＝3x，则f（）等于（）
A. －3x
B. －3x
C. 3x
D. 3x
4. （天津）已知α＞β，那么下列命题成立的是（）
A. 若α、β是第一象限角，则α＞β
B. 若α、β是第二象限角，则α＞β
C. 若α、β是第三象限角，则α＞β
D. 若α、β是第四象限角，则α＞β
5. 要得到函数的图象，只需将函数y＝2x的
图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
6. 已知α是某三角形的一个内角且（π－α）－（π＋α）＝，则此三角形是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
7. 若θ|＝，＜θ＜5π，则θ等于（）
A. B. －
C. D.
8. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称
的是（）
A. B.
C. D.
9. 函数y＝（）在一个周期内的图象是（）
A. B.
C. D.
10. （上海）函数y＝x＋，x∈[－π，π]的大致图象是（）
A. B.
C. D.
11. （福建）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x＋2），当x∈[3，5]时，f（x）＝2－－4|，则（）
A. f（）＜f（）
B. f（1）＞f（1）
C. f（）＜f（）
D. f（2）＞f（2）
12. 如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面的距离y（m）与时间x（t）满足函数关系式y＝（ωx＋φ）＋2，则（）
A. ω＝，A＝5
B. ω＝，A＝5
C. ω＝，A＝3
D. ω＝，A＝3
二、填空题
13. 若扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是。

14. 函数的值域是。

15. 已知θ＝2，则
＝。

16. 已知，则
＝。

17. 不等式的解集
是。

18. 函数的单调减区间
是。

19. 函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，
，则的值
是。

20. 设函数f（x）＝3（2x＋），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线x＝成轴对称；③它的图象关于点（，0）成中心对称；④它在区间[－
，]上是增函数。

其中正确命题的序号
是。

三、解答题
21. 如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线拟合
正弦型曲线：.
ω
+
=ϕ
y+
x
A
)
sin(k
（1）求这段时间的最大温度差；
（2）写出这段曲线的函数表达式。

22. 设函数).)(3
2sin(2)(R x x x f ∈++=πθ
（1）若πθ≤≤0，求θ的值，使函数)(x f 为偶数；
（2）在（1）成立的条件下，求满足,1)(=x f 且],[ππ-∈x 的x 的集合。

23. （1）已知,12
5tan -=α求αααα22cos cos sin 2sin 3-+的值；
（2）已知αααcos tan ),10(sin 、求＜＜m m =的值。

24. 已知函数)2
,0,0)(sin()(π
ϕωϕω＜
＞＞A x A x f +=的图象在y 轴上
的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最高点和最低点分别为)2,0x （和).2,2(0-+πx
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若]2,0(1π∈x ，且9
7cos 1=x ，求)(1x f 的值。

25. 已知函数
x h x b a x f sin cos )(++=的图象过
A （0，1）及
B )1,2
(π两点，对]2
,0[π∈∀x ，恒有
2)(≤x f 。

（1）求实数a 的取值范围；
（2）当实数a 取（1）中范围的最大整数时，若存在实数m 、n 、ϕ使得式子1)()(=-+ϕx nf x mf 成立，试求m 、n 、ϕ的值。

一、选择题
1. C 解析：当k 取偶数时，比如k ＝0时，＋≤α≤＋，故角的终边在第一象限。

当k 取奇数时，比如k ＝1时，＋
≤α≤＋
，故角的
终边在第三象限。

综上，角的终边在第一或第三象限，故选C 。

2. B 解析：m m m r 5)3()4(22=-+=，
当m ＞0时，
，
；
当m ＜0时，
，。

故选B 。

3. A 解析：（法一）令t ＝，由三倍角公式求出f （t ）＝4t 3
－3t ，换元可得 f （）的解析式。

（法二）把 用（－x ）来表示，利用已知的条件f （）＝3x 得出f （）的解析式。

解答过程：（法一）令t ＝，
∵3x＝43x －3，f （）＝3x ＝43
x －3，
∴f（t ）＝4t 3
－3t ，
∴f（）＝43
x －3＝－3x ，故选A 。

（法二）∵f（）＝3x ，
∴f（）＝f [（－x ）]＝3（－x ）
＝（
－3x ）＝－3x ，故选A 。

4. D 解析：若α、β同属于第一象限，则，
α＜β；故A 错。

若α、β同属于第二象限，则，α＜β；故B 错。

若α、β同属于第三象限，则，α＜β；故C
错。

若α、β同属于第四象限，则，α＞β。

（均假定0≤α，β≤2π。

）故D 正确。

5. D
6. C 解析：∵（π－α）－（π＋α）＝，∴ α＋α＝
∴（α＋α）2
＝，∴2αα＝－，
∵α是三角形的一个内角，∴α＞0，α＜0， ∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形。

7. C 解析：∵θ|＝，＜θ＜5π， ∴，
θ＝－＝－， ∴θ＝
＝
＝－。

8. D 解析：将代入
可得y ＝≠±1，排除A ；
将3
π
=x 代入)3
2
sin(π
+=x y 可得
≠π，排除B ；
将代入，可得y ＝
≠±1，排除C 。

故选
D 。

9. A 解析：令（）＝0，解得x ＝kπ＋
，可知函
数y ＝（
）与x 轴的一个交点不是，排除C ，D
∵y＝（
）的周期T ＝＝2π，故排除B 。

故选A 。

10. C 解析：由题意可知：
，
当0≤x≤π时，∵y＝x ＋，∴y′＝1＋≥0，又y ＝在[0，π]上为减函数，所以函数y ＝x ＋在[0，π]上为增函数且增速越来越小；
当－π≤x＜0时，∵y＝x －，∴y′＝1－≥0，又y ＝在[－π，0）上为增函数，所以函数y ＝x －在[0，π]上为增函数且增速越来越小；
又函数y＝x＋，x∈[－π，π]恒过（－π，－π）和（π，π）两点，所以C选项对应的图象符合。

11. D 解析：由f（x）＝f（x＋2）知T＝2，
又∵x∈[3，5]时，f（x）＝2－－4|，
可知当3≤x≤4时，f（x）＝－2＋x。

当4＜x≤5时，f（x）＝6－x。

其图如下，
故)(x
f在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数。

又由2|＜2|，
∴f（2）＞f（2）。

故选D。

12. D 解析：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω＝
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A＝3，故选D。

二、填空题
13. 162 解析：设扇形半径为r，面积为S，圆心角是α，则α＝2，弧长为αr，
则周长16＝2r＋α r＝2r＋2r＝4r，∴r＝4，
扇形的面积为：S＝α r2＝×2×16＝16 （2），故答案为16 2。

14. {}3,1-
解答：解：由题意知本题需要对角所在的象限进行讨论，以确定符号。

当角x在第一象限时，y＝1＋1＋1＝3，
当角x在第二象限时，y＝1－1－1＝－1，
当角x在第三象限时，y＝－1－1＋1＝－1，
当角x在第四象限时，y＝－1＋1－1＝－1。

4解析：∵θ＝2，
15.
5
∴
＝
＝
＝ ＝。

16. 16
5
解析：∵，
∴
＝
＝＋
＝ ＝
17. ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+<
≤+-
Z k k x k x ,26
ππ
ππ
解析：不等式 即 ≥－，又 kπ－＜x ＜kπ
＋，k∈Z ，
∴
18. )](8
,8(Z k k k ∈+
-
π
ππ
π
解析：函数
的定义域为
令t ＝，则
∵为减函数，
t ＝在
上为增函数；
故函数
的单调减区间是
19. 2 解析：∵函数f （x ）是周期为π的偶函数，
∴＝f （
）＝f （－）＝
，
∵当时，
，
∴
＝
＝2。

20. ①②③④ 解析：①根据周期公式＝π，故①正
确；
②∵函数在对称轴处取得函数的最值，
f （）＝
，故②正确； ③根据函数的对称性可得，⇒
，当k ＝1
时
，故③正确； ④令
可得，即函数在
上是增函数，故④正确。

三、解答题
21. 解：（1）最大温度差为30－10＝20℃
（2）ΘA ＝10，k ＝20，86142
=-=T
，∴T ＝16，
∴82ππω==T ，Θ4
32368πϕπϕπ=
⇒=+⨯ ∴这段曲线的函数表达式为20)4
38
sin(
10++
=π
π
x y 22. 解：（1）Θ)3
2sin(2)(π
θ++-=-x x f ，且函数)(x f 是偶函
数，
∴对)()(,x f x f R x -=∈∀，即)3
2sin()32sin(π
θπ
θ++=+
+-x x （对R x ∈∀恒成立），∴6
πθ=
（2）当6
πθ=时，x x f 2cos 2)(=，∴1)(=x f ，且],[ππ-∈x 的x
的集合是
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧--65,6,6,65ππππ
21 / 21 23. 解：（1）原式＝
+-⨯-+=-+⨯+2222)125(3[)125(11)1tan 2tan 3(tan 11ααα 169
189]1)125(2-=-- （2）（i ）若α在第一、四象限，21cos m -=α，22
11tan m m m --=α；（）若α在第二、三象限，21cos m --=α，
2
2
11tan m m m --=α 24. 解：（1）)6
2sin(2)(π+=x x f （2）Θ
]2,0(1π∈x ，且9
7cos 1=x ，∴312sin 1=x ， 3222cos 1=x ，∴3
223)312332221(2)(1+=⨯+⨯=x f 25. 解：（1）⇒⎩⎨⎧=+=+11h a b a Θ,11⎩⎨⎧-=-=a h a b ∴)4sin()1(2)(π+-+=x a a x f ，Θ当]2,0[π∈x 时，2)4sin(21≤+≤π
x ，且恒有2)(≤x f ，∴⎩⎨⎧≤--2)12(2,1a a ＜或 ⎩⎨⎧--≤-≥,
)12(22,1a a 解之得4232+≤≤-a （2）当a ＝8时，存在πϕ===,161n m ，使1)()(=-+ϕx nf x mf 成立。