立体几何在实际生活中的应用

立体几何在实际生活中的应用

张利娟

（河南省尉氏县第三高级中学，河南尉氏４７５５００）

摘要：通过实际生活调动学生的学习兴趣，能使学生透过现象看到问题的本质，使学生养成钻研探索的学习习惯，在变中求进、在变中求新，对于培养创新型人才具有十分重要的意义。

关键词：旋转体；外接球；二面角

我们学习空间几何体时，有旋转体的概念，即：把

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所

形成的封闭几何体叫旋转体。那么同学们在遇到这样

的问题该如何思考呢？现举一个课后作业题，以加以说

明。

例：一只充满气的车内胎可由下面某个图形绕对

称轴旋转而成，这个图像是：

解：在处理各个问题时，有的老师会让同学们正向

思考ＡＢＣＤ四个选项中每个图形旋转后各是什么样的

旋转体，然后找到是车内胎的那个即可。但是我觉得这

样做学生不好理解，所以我运用逆向思维。当时上课

中，看到班上有几个女生用橡皮筋扎着辫子，于是我就

给大家说“同学们，咱们先做一个实验吧！有哪位女生

愿意贡献一下头上的皮筋”。同学说：“干吗用呢？”我故

作神秘地说：“变魔术。”（大家哈哈大笑，班上的气氛也

活跃起来了）这时，一位同学递过来一个黑色的橡皮

筋，我把它平放在讲桌上，用一只粉笔竖直穿过橡皮筋

的“圆心”，“请注意！见证奇迹的时刻到了。”同学们更

是哄堂大笑，我再次强调：

“注意！注意！我要用一把锋

利的刀去竖直切橡皮筋得到的截面是什么图形？”“圆”

学生异口同声回答，若切一圈呢？得到一圈平行的圆。

那么本题我们该选哪一个呢？“Ｃ”。至此，问题圆满得到

了解决。

我总结说，我们应该多关注生活、热爱生活，从中

我们会得到更大的乐趣，下去之后我们再思考一下，其

他情况。

变式训练一：

在三棱锥Ａ－ＢＣＤ中侧棱ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ两两垂直

△ＡＢＣ、△ＡＣＤ、△ＡＤＢ的面积分别为

３姨２、２

姨

２

、６

姨

２

，则该三棱锥外

接球的体积为多少？

解：先可以把三棱锥画在黑板上，如图，由此想到教室的墙角。由一个顶点出发三条线段两两垂直，所以求三棱锥外接球半径时，可利用长方体外接球的直径等于长方体对角线长即可，如右图。

设ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ｂ，ＡＡ

１

＝ｃ由已知得

１

２

ａｂ＝２

姨

２

，１

２

ｂｃ＝３

姨

２

，１

２

ａｃ＝６

姨

２

即ａｂ＝２

姨，ｂｃ＝３

姨，ａｃ＝６

姨

解得：ａ＝２

姨，ｂ＝１，ｃ＝３

姨

所以：ＡＣ

１

２＝ＡＢ２＋ＡＤ２＋ＡＡ

１

２＝１＋２＋３

所以ＡＣ

１

＝６

姨

则外接球半径Ｒ＝６

姨

２

所以外接球的体积Ｖ＝４

３

πＲ３＝４

３

π（６

姨

２

）３＝６

姨π

变式训练二：

若一个二面角所在的两个半平面，分别和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小关系（）。

Ａ．相等Ｂ．互补Ｃ．相等或互补Ｄ．既不相等也不互补

解：很多同学认为相等或互补，Ｃ正确。其实这是错误的。应该是Ｄ对：既不相等也不互补。为了讲通该题我让同桌相互配合，每人拿一本书，打开就得到了两个平面且摆成如图的模型。

由于＆⊥β而＆绕Ｌ＇可来回转动。但两个面始终保持垂直。所以这两个二面角不会相等也不会互补，并且学生也易于理解了。

布鲁纳说：“最好的学习动机是学生对所学材料有内在兴趣。”如果我们在平时教学或处理习题时都能通过实际生活调动学生的学习兴趣，能使学生透过现象看到问题的本质，使学生养成钻研探索的学习习惯，在变中求进、在变中求新，对于培养创新型人才具有十分重要的意义

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【学法指导】161

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