线性规划中目标函数的几何意义

线性规划中目标函数的几何意义
课例名称：《线性规划中目标函数的几何意义》
授课教师：梁耀冬（罗定实验中学）
课型：高三复习
【教学设计】
一、教材分析
1 ．教学背景分析
简单的线性规划是高中数学知识的重要内容,也是高考的主要考点之一，而且对线性规划的要求也越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等).多以选择题、填空题出现, 它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．具有应用的多样性.其中也对学生的数形结合思想进行全方位考查. 所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面笔者对平时教学中出现的线性规划问题进行分类与剖析,旨在拓展学生思维同时,教给学生掌握一些解题的方法与技巧.
2 ．教学目标
知识与技能目标：
（ 1 ）能正确理解目标函数所表示的几何意义
（ 2 ）能运用数形结合的数学思想解决线性规划中目标函数的几种基本的类型
过程与方法目标：
（ 1 ）培养学生的数学意识，增强学生数形结合的思想；
（ 2 ）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：
（ 1 ）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与
精神；
（ 2 ）体会数形结合的美。

3 ．教学重、难点 重点：数形结合；
难点：能运用数形结合的思想方法解决目标函数中的几何意义问题。

二、教法、学法设计 1 ． 教法设计
本节课的教学通过具体实例采用了启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透。

2 ．学法设计
在学习中，让其以主体的态度，而不是被动的接受。

经历知识的形成和发展过程，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力 。

三、教学过程设计
1 ．提出问题 ①直线型：z ax by =+
例1、(2008年广东卷)若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤--≥+-0,001050
2y x y x y x ,则z=2x+y
的最大值是________.
（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。

在大部分学生完成后，提问学生：）
（1） 题目中给出的是关于,x y 的代数表达式，做题时依据什么能转化为图形 （2）要正确解答问题，首先要弄清楚首先
图1
要弄清楚首先要弄清楚首先要弄清楚z 的意义，你能给大家分享一下你的想法吗其他同学还有没有不同想法
（3）在得出在得出在得出在得出z 的最值时，要说清x 与y 的取值，那么x 与
y 与应该在什么范围内取值呢 解析： 步骤如下：
作出可行域(如图1) -------作直线20x y += -------找最优解 -------求最值;
目标函数y 前的系数b>0则上移时z 的值增大，由⎩⎨⎧=--=+-010502y x y x 得A(3,5)，
所以，.11532max =+⨯=z
归纳：直线型目标函数z ax by =+取最大值时的最优解与b 的正负有关,当b>0时，最优解将0ax by +=在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线的交点)的位置得到的.当b<0时,则向下方平移,与b>0时的情况相反.笔者把这样的结论写成了这样一句话:“z ax by =+, b>0上移时z 的值增大，下移z 的值减小; b<0上移时z 的值减小, 下移z 的值增大”.
2 ．探究知识：其它类型的目标函数的几何意义
②斜率型
例2.已知实数满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--0
20520
2y y x y x ，则x y b =的取值范围为________.
解析：可行域(如图8)，由
x
y
的几何意义求b 的最值，写出b 的取值范围，x
y
表示可行域中的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知：21l l k b k ≤≤，
311=
l k ，,2122==l k 所以.231≤≤x
y
变式：已知x 、y 满足条件：⎩⎨⎧
7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0
4x ＋y ＋10≥0
，求：
y ＋7
x ＋4
的取值范围； 学生分组探究，寻找解决问题的方法。

找学生分享自己的想法
解：如图所示，画出不等式组
⎩⎨⎧
7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0
表示的平面区域：其中A (4,1)，
B (－1，－6)，
C (－3,2)．
y ＋7
x ＋4
可以理解为区域内的点与点(－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角．k BD ＝13，k CD ＝9，所以y ＋7x ＋4的取值范围为[1
3，9]．
归纳：目标函数形如y b
z x a
-=
-的几何意义是：平面区域内的动点(,)x y 与定点(,)a b 连线的斜率。

这里要注意当有斜率不存在的情况改如何表示.
③距离型
例3.变量x 、y 满足⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0
3x ＋5y －25≤0
x ≥1
设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．
由约束条件⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0
3x ＋5y －25≤0
x ≥1
，
作出(x ，y )的可行域如图所示．
Z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.
∴2≤Z ≤29.
变式：已知实数x ，y 满足,
则的最大值是
学生分组探究，寻找解决问题的方法。

找学生分享自己的想法 分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点（1，1）的距离的平方，
画出可行域可求得
解：如图，作出可行域，则可知行域内点（4，1）到可点（1，1）的距离最大，从图形中可只是3，故
．
归纳：目标函数形如目标函数形如：22)()(b y a x z -+-=，
z 的几何意义是：平面区域内的动点(,)x y 与定点(,)a b 的距离的平方。

3.知识迁移：
例：已知p(x,y)在由不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤--≤-+01010
3x y x y x 确定的平
面区域内，O 为坐标原点，点A(-1，2)，则AOP OP ∠cos 的最大值为________.
解析：可行域(如图7)，要求
AOP OP ∠cos 的最大值，则自然考虑数量积
及几何意义，,cos AOP OP OA OP OA ∠=•
因为),2,1(-=OA ),,(y x OP =
5
=OA ，
所
以
x
y
0 x-y-1=0
x+y-3=0
x=1
-1
3
3
1 B(1,2) A P(x,y)
2
. 图7
5
2cos y
x OA
OP OA AOP OP +-=
=
∠，要求AOP OP ∠cos 最大，需要)
2(y x +-的值最大，令y x z 2+-=，于是转化为求目标函数最值问题，由⎩⎨
⎧=-=-+010
3x y x 得B(1,2),所以.32211max =⨯+⨯-=z .55
3
5
3)cos (max =
=
∠AOP OP 思考：与向量有关的线性规划问题，一般情况要与向量的数量积综合出题，这属于一种新题型，有一定的综合性，解决这类问题需要对向量的知识十分熟悉.
4.小结：
（1）各类型的方法 (2)数形结合的美
5.课后练习：
已知⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝
2y ＋1
x ＋1
的范围． 6.备课反思：
（1简单线性规划问题在近几年课改区的高考试题中随着新课标理念的深入，不仅仅是考查简单的求目标函数最值的问题，它将更加灵活、新颖、实用性更强.无论如何我们主要把握住以下三点：(一)解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确，图上操作应该尽可能规范；(二)要对数学模块知识理解深刻且了解模块与模块之间的深层联系；(三)要在平时学习
中不断总结、归纳和积累.
（2上课还算满意，准备基本知识、方法、思想都体现了。

不足之处是怕讲不完，所以学生集体回答多，单个回答少，教师讲得也多了点而学生思考时间短了些。

（3）由于容量大课堂练习只能在变式题中老师一边引导学生一边做，知识迁移也只能留到下一节课。

（4）对斜率型和距离型的变形还有部分比较难的和易错的不知是否该补充补充了难度是否超纲还有待与同行交流。