2019北京人大附中高二(上)期末数学

2019北京人大附中高二（上）期末

数 学

2019年1月16日

制卷人：侯立伟 李岩 审卷人：梁丽平

说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩，Ⅱ卷6道题，共50分；考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共17题，满分100分）

一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上。） 1．下列导数公式错误．．

的是（ ） A. ()x x cos ＇sin -= B. ()x

x 1

＇ln =

C. 21＇

1x x -=⎪⎭

⎫

⎝⎛ D. ()

x x e e =＇ 2．双曲线13

2

2

=-y x 的焦点坐标是（ ） A. ()2,0， ()2,0- B.

(

)0,2, (

)

0,2-

C. ()2,0, ()2,0-

D. ()0,2, ()0,2-

3．如图所示，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，a AB =→

，b AD =→

，c AA =→1，则→

B D 1等于（ ）

A. c b a ++

B. c b a ++ C ．c b a -- D. c b a ++- 4. 若向量()321,,a a a a =，()321,,b b b b =，则

3

3

2211b a b a b a ==是b a ∥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件

5．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线B A 1与1AD 所成角的余弦值为（ ）

A.

51 B. 52 C ．53 D. 5

4

6．设函数()x x

x f ln 2

+=

，则（ ） A ．2

1

=

x ，()x f 取得最大值 B ．2

1

=

x ，()x f 取得最小值 C ．2=x ，()x f 取得最大值 D ．2=x ，()x f 取得最小值

7．如果把二次函数()c bx ax x f ++=2

与其导函数()x f '的图象画在同一个坐标系中，则下面四组图中一定错误．．

的是（ ）

8函数()x kx x x f 72

3

-+=在区间][1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．][2,-∞- B. ][2,2- C ．][∞+-,2） D ．][∞+,2 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中。） 9．已知函数()2

x x f =，则

()()=∆-∆→∆x

f x f x 0lim

。

10．已知()x

e x

f x

=，则()=1f 。

11．已知空间向量，()1,1,0=a ，()1,0,x b =，若a ，b 的夹角为

3

π

，则实数x 的值为 。 12．直线a y =函数()x x x f 33

-=的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 。 13．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系()﹥0402

39312

3x x x x y --=，为使耗电量最小，则速度x 应定为 。

14．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为体对角线1BD 上动点。 则（1）M 到1CC 距离的最小值为 。

（2）M 位于1BD 三等分点处时，M 到各顶点的距离的不同取值有 种。 三、解答题（本大题共3小题；每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）

已知抛物线C 方程：()﹥022

p px y =，点()2,1在C 上，F 为焦点。

（I ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标

（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且2=AF ，5=BF ，求原点O 到直线AB 的距离。 16．（本小题满分10分）

已知函数()cx bx ax x f ++=2

3

，其导函数()x f '的部分值如下表所示：

x

-2 0 1 3 8 ()x f

-10

6

8

-90

（I ）实数c 的值为 ；当=x 时，()x f 取得极大值．．． （Ⅱ）求实数a ，b 的值 （Ⅲ）求()x f 的单调区间

17．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PCD 平面平面⊥，1=BC ，2=AB ，

2==PD PC ，O 为CD 中点。

（I ）求证：ABCD PO 平面⊥； （Ⅱ）求二面角D PC A --的余弦值

（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得AC B ⊥M ？若存在，求PC

PM

的值，若不存在，说明理由

Ⅱ卷（共6道题，满分50分）

一、选择题（本大题共4小题，毎小题6分，共24分．请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位上．）

18．过抛物线x y 22

=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若5=AB ，则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（ ）

A. 2

B. 2.5

C. 3

D. 4

19．如图，已知直线kx y =与曲线()x f y =相切于两点，设函数()()﹥0m m kx x g +=，则函数

()()()x f x g x F -=（ ）

A ．有极小值，没有极大值 B. 有极大值，没有极小值 C. 至少有两个极小值和一个极大值 D ．至少有一个极小值和两个极大值 20. 如图所示，直三棱柱111C

B A AB

C -的侧棱长为3，底面边长11111==C B C A ，且

︒=∠90111B C A ，D 点在棱1AA 上且12DA AD =，P 点在棱C C 1上，则→

→⋅1PB PD 的最小

值为（ ） A.

25 B. 41- C. 41 D. 2

5- 21．已知集合{

()}{}()2,2,1,1,0,,,,21≥⋯=∈⋯==n n i x x x x X X R i n n 。对于()n n R a a a A ∈⋯=,,,21，

()n n R b b b B ∈⋯=,,,21。定义A 与B 之间的距高为：()∑=-=-+⋯+-+-=n

i i i n n b a b a b a b a B A d 1

2211,。

若集合M 满足：3R M ⊆且任意两元素间的距离均为2，则集合M 中元素个数的最大 值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中。） 22．（本小题满分13分）

已知离心率为23的椭圆()﹥b ﹥c 1:2222a b

y a x C =+与直线2=x 相交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），且

2=PQ ，点A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且BPQ APQ ∠=∠。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围。 23．（本小题满分13分）

对于函数()x f ，若存在实数0x 满足()00x x f =，则0x 称为函数()x f 的一个不动点。 已知函数()32

3

+++=bx ax x x f ，其中R b a ∈,．

（Ⅰ）当﹤0,0b a =时，