离散数学课堂PPT(左孝凌版)
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左孝凌离散数学3.7-复合关系和逆关系PPT课件
算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
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• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
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例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }
左孝凌离散数学课件1.8推理理论
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法2 (1) P→R P (2) P∨Q →R∨Q T(1) I3 (3) Q→S P (4) Q∨R →S∨R T(3) I (5) P∨Q →S∨R T(2),(4) I13 (6) P∨Q P (7) S∨R T(5),(6) I11P,P→Q Q假言 推理
E1 E2 ┐┐P P P∧Q Q∧P E12 E13 R ∨(P∧┐P) R R∧ (P ∨ ┐P) R
E3
E4 E5 E6 E7 E8 E9
P∨QQ∨P
(P∧Q) ∧R P∧ (Q∧R) (P ∨ Q) ∨ R P ∨(Q ∨ R)
E14
E15 E16
R ∨(P ∨ ┐P) T
T T T T T F F
从真值表看到，P→R，Q→R，P∨Q的真值都为T的 情况为第1行、第3行和第5行，而在这三行中R的真值均为 T。故 (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) R
二、直接证法
• 直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则， 根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。 • 常用的推理规则 P规则:（前提引入规则）前提在推导过程中的任何时候 都可以引用。 T规则（结论引用规则）在推导过程中，如果有一个或多 个公式重言蕴含着公式S，则公式S可以引入推导之。 如 P→Q, Q→R P→R，这时 P→R可引入推导之中
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) ┐S (1) (┐Q∨R) ∧┐R P (2) ┐Q∨R T(1),I1 (3) ┐R T(1),I2 (4) ┐Q T(2)(3),I10析取三段论 (5) P→Q P (6) ┐P T(4)(5),I12 (7) ┐(┐P∧┐S) P (8) P∨┐S T(7),E (9) ┐S T(6)(8),I10析取三段论
左孝凌离散数学课件1.7对偶与范式
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶与
范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式
为了使任意一个命题公式化成唯一的等价命题的 标准形式，下面给出主范式的有关概念。
1.命题公式的主析取范式
定义1-7.4: n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项， 其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须 出现且仅出现一次。
20
例
1.命题公式的主析取范式-小项
1. 两个命题变元P和Q的小项为： P∧Q，P∧┐Q，┐P∧Q，┐P∧┐Q。 2. 三个命题变元P、Q、R的小项为： P∧Q∧R，P∧Q ∧┐R ， P∧┐Q ∧R ， P∧┐Q ∧┐R ┐P∧Q ∧R ，┐ P∧Q ∧┐R ， ┐P∧┐Q ∧R ，┐P∧┐Q ∧┐R 。
同一命题公式可以有各种相互等价的表达形式,为了把命题公 式规范化,下面讨论命题公式的范式问题。
第一章 命题逻辑1.7对偶与范式
定义 (1) 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的析取 式。 如：P ∧ ┐Q ， (P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P (2) 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∨ A2 ∨ … ∨ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的合取 式。 如：P∨┐Q ， (P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
3
对合律 幂等律 结合律 交换律
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
左孝凌离散数学课件3.1集合的概念和表示法3.2集合的运算.ppt
3. 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，
称为集合A的幂集，记为P (A)
• P (A)={x|xA}
判断：任何集合的 幂集一定不是空集。
• 注意: xP (A) xA
（空集呢？）
例如: A={a,b}的0元子集： ，1元子集： {a},{b}， 2元子集：为{a,b}
所以： P (A)={,{a},{b},{a,b}}，共22=4个子集。
c) A E = A （同一律）
d) A B = B A （交换律）
e) (A B) C = A (B C) （结合律）
f) A B A A B B
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二、并运算
3. 2集合的运算
定义2 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合称
为A与B的并集，记作 A 。B即
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第三章 集合与关系
1 集合的概念和表示 法 2 集合的运算 3 4序偶与笛卡尔集 5关系及其表示 6 关系的性质
7 复合关系和逆关系 8 关系的闭包运算 9 10等价关系与划分 11 相容关系与覆盖 12 偏序关系
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3.1 集合概念及其表示法
一、基本概念 二、集合的表示方式 三、集合间的关系 四、几类特殊的集合
2) A B,则A C B C
3)分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4)吸收律
A (A B) A A (A B) A
5)当且仅当A B = B A B = A AB
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3. 2集合的运算
三、相对补运算(差)
左孝凌离散数学PPT课件
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
左孝凌离散数学1.5重言式与蕴含式PPT课件
从而┐Q（P→Q）为假.
②若Q为假，则┐Q为真，P→Q为假，
从而┐Q（P→Q）为假.
根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）┐P
4）法4： （┐Q（P→Q）） → ┐P
┐ （┐Q（ ┐ P ∨ Q）） ∨ ┐P
（Q ∨（P ┐ Q）） ∨ ┐P
（（Q ∨P） （Q ∨ ┐ Q ）） ∨ ┐P
（Q ∨P） ∨ ┐P
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
• 小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴 含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。
• 重点掌握: （1）用等值演算法判别命题公式的类型。 （2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 （3）等价式与蕴涵式的关系。
• 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). • 预习:1.6 • 思考题:1) 为什么要引入联结词?
2) 什么是最小联结词组? ,,, c
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1. 真值表指派 2. 真值表及其构成方法 3. 等价公式及等价置换 4. 命题公式的分类 5. 蕴含式判定及其性质
小结
（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记 为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记 为F或0。
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
左孝凌离散数学课件3.6关系的性质
具有反对称性的关系矩阵如果在非对角元上rij1则在其对称位置上rjiij这两个数至多有一个是1但允许两个均为0关系图上任何两个Leabharlann 同的节点之间至多有一条弧但允许没有弧即
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
离散数学(Discrete Mathematics)
2015-6-28
1
3.6 关系的性质
一、自反性与反自反性 二、对称性与反对称性 三、传递性
即：R是对称的 MR是对称的
GR 的任何两个顶点之间若有边 , 则必有两条方 向相反的有向边
二、对称性与反对称性 2.反对称性：
设RAA,如果对于每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有 x=y，则称集合A上的关系R是反对称的。
R是反对称的
(x)(y)(xAyA xRy yRx x=y )
R4={<a,a>,<b,b>,<c,c>} R5={<a,b>,<b,c>} R6=Φ 反对称
0 1 0 0 0 0 0 1 0
反对称
R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} 对称的 是对称的也是反对称的 R2={<1，1>，<3，3>} R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>}
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
左孝凌离散数学课件7.5-平面图
deg(r1)=4 deg(r2)=3 deg(r3)=6
deg(r4)=7 r4:无限面
P A
A
e<=3V-6不成立，一定可以判定不是平面图，但是e<=3V-6 如果成立，不一定是平面图
通过改画，观察是否有交叉线，没有交叉线可以直接判定是平面图
通常用来证明不是平面图
ห้องสมุดไป่ตู้
•电路板的布线
•交通路线的设计
7.5 平面图
一、平面图的概念
• 定义： 设G＝<V，E>是一个无向图，如果能够把G 的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边 除了端点外没有其他的交点，就称G是一个平面图
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)可画成图(2)，则可看出它是一个平面图。(3) 图 不论怎样，改画后至少有一条边与其他边相交(4)图
左孝凌离散数学课件7
2
图7.1.5给出了K3和K4。 从图中可以看出K3有３条边， K4
图 7.1.5 K3与K4示意图
图 7 .1. 6
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个具有同 样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。 定义7.1.2 设G＝〈V ,E〉是一个具有n个结点的简单图。 以V为 结点集， 以从完全图Kn中删去G的所有边后得到的图（或由G 中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图）称为 G的补图， 记为 G 。 例如，零图和完全图互为补图。
图 7.1.7给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
图 7.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
2. 图的同构
从图的定义可以看出， 图的最本质的内容是结点 与结点的邻接关系。 例如例7.1.1也可以用图7.1.8中几 种不同形状的图形表示。 它们与图7.1.1一样， 都同样 表示例7.1.1中４个队之间的比赛情况。 从这个意义上 讲， 我们说它们是同一个图， 并称图7.1.1与图7.1.8的 (a)和(b)是同构的。
【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。 。
【例7.1.5】考察图7.1.9中的两个图G＝〈V ,E〉和
G′＝ 〈 V′, E′〉 。
显然， 定义ｇ： V→V′， ｇ（vi）＝v i ′， 可以验 证ｇ是满足定义7.1.6的双射， 所以G≌G′。
对于同构， 形象地说， 若图的结点可以任意挪动
图7.1.5给出了K3和K4。 从图中可以看出K3有３条边， K4
图 7.1.5 K3与K4示意图
图 7 .1. 6
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个具有同 样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。 定义7.1.2 设G＝〈V ,E〉是一个具有n个结点的简单图。 以V为 结点集， 以从完全图Kn中删去G的所有边后得到的图（或由G 中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图）称为 G的补图， 记为 G 。 例如，零图和完全图互为补图。
图 7.1.7给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
图 7.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
2. 图的同构
从图的定义可以看出， 图的最本质的内容是结点 与结点的邻接关系。 例如例7.1.1也可以用图7.1.8中几 种不同形状的图形表示。 它们与图7.1.1一样， 都同样 表示例7.1.1中４个队之间的比赛情况。 从这个意义上 讲， 我们说它们是同一个图， 并称图7.1.1与图7.1.8的 (a)和(b)是同构的。
【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。 。
【例7.1.5】考察图7.1.9中的两个图G＝〈V ,E〉和
G′＝ 〈 V′, E′〉 。
显然， 定义ｇ： V→V′， ｇ（vi）＝v i ′， 可以验 证ｇ是满足定义7.1.6的双射， 所以G≌G′。
对于同构， 形象地说， 若图的结点可以任意挪动
左孝凌离散数学课件第05章代数结构
与|S|≥2矛盾，故θ≠e得证。
【例5.1.9】 设S＝｛a，b，c｝,S上*运算由运算 表(如表5.1.5所示)确定，那么b是右零元，a是幺元。
我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和 零元，甚至可能有这样的元素，它关于同一运算既 是左（右）幺元，又是右（左）零元，例如表5.1.5 第一行（不计表头）改为三个a时，那么“*”运算有 左零元a和右幺元a。
先考察下面的例子：
【例5.1.1】（1）在Z集合上（或Q,或R）， x∈Z, 则f(x)=x是将x映为它的相反数。-x是由x唯一确定的，它是对 一个数施行求相反数运算的结果。 f ：Z→Z是函数。
（2）在A={0,1}集合上，p∈A, f(p)=﹁p,﹁表示否定。则 f(p)=﹁p是将p映为它的否定。 ﹁p是由p唯一确定的， 它是对A中的一个元素施行否定运算的结果。f : A→A 是函数。
第5章 代数结构
5.1 二元运算及其性质
（4）设“*”，“。”均可交换，若∀x，∀y∈A,有 x*(x。y)=x x。(x*y)=x
则称运算“*”和“。”运算满足吸收律(absorptive)。 （5）若 ∀x∈A，x*x=x,则称“*”运算满足幂等律 (idempotence) 。
第5章 代数结构
前两章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、 关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。
第5章 代数结构
5.1 二元运算及其性质
5.1.1 n元运算 5.1.2 运算的性质 5.1.3 集合中关于二元运算的特殊元素
第5章 代数结构
5.1 二元运算及其性质
5.1.1 n元运算（n-ary operations）
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元； 对于全集E的子集的并“∪”运算， ∅是幺元； 对于全集E的子集的交"∩"运算，E是幺元; 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元； 在AA={f | f : A→A}中，对于复合"。"运算，IA是幺元。 强调:幺元是针对于哪个运算的。
【例5.1.9】 设S＝｛a，b，c｝,S上*运算由运算 表(如表5.1.5所示)确定，那么b是右零元，a是幺元。
我们注意到，关于同一运算可能同时有幺元和 零元，甚至可能有这样的元素，它关于同一运算既 是左（右）幺元，又是右（左）零元，例如表5.1.5 第一行（不计表头）改为三个a时，那么“*”运算有 左零元a和右幺元a。
先考察下面的例子：
【例5.1.1】（1）在Z集合上（或Q,或R）， x∈Z, 则f(x)=x是将x映为它的相反数。-x是由x唯一确定的，它是对 一个数施行求相反数运算的结果。 f ：Z→Z是函数。
（2）在A={0,1}集合上，p∈A, f(p)=﹁p,﹁表示否定。则 f(p)=﹁p是将p映为它的否定。 ﹁p是由p唯一确定的， 它是对A中的一个元素施行否定运算的结果。f : A→A 是函数。
第5章 代数结构
5.1 二元运算及其性质
（4）设“*”，“。”均可交换，若∀x，∀y∈A,有 x*(x。y)=x x。(x*y)=x
则称运算“*”和“。”运算满足吸收律(absorptive)。 （5）若 ∀x∈A，x*x=x,则称“*”运算满足幂等律 (idempotence) 。
第5章 代数结构
前两章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、 关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。
第5章 代数结构
5.1 二元运算及其性质
5.1.1 n元运算 5.1.2 运算的性质 5.1.3 集合中关于二元运算的特殊元素
第5章 代数结构
5.1 二元运算及其性质
5.1.1 n元运算（n-ary operations）
在实数集 R 中，对乘法"×"运算，1是幺元； 对于全集E的子集的并“∪”运算， ∅是幺元； 对于全集E的子集的交"∩"运算，E是幺元; 在命题集合中，对于吸取"∨"运算，矛盾式是幺元； 在命题集合中，对于合取"∧"运算，重言式是幺元； 在AA={f | f : A→A}中，对于复合"。"运算，IA是幺元。 强调:幺元是针对于哪个运算的。
左孝凌离散数学课件
01
集合论
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所组成的 。
详细描述
集合是离散数学中一个最基本的概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所 组成的。这些元素可以是数字、字母、图形等，它们在集合中表示不同的个体或对象。
集合的运算和性质
总结词
详细描述
邻接矩阵是一种常用的图表示方法，通过二维矩阵表示节点之间的关系，矩阵中的元素表示边的权重 或连接状态；邻接表是一种更有效的图表示方法，通过链表或数组等数据结构表示节点和其相邻节点 之间的关系。
图的连通性
总结词
图的连通性是指图中任意两个节点之间是否 存在路径。
详细描述
图的连通性分为强连通和弱连通两种情况。 强连通是指图中任意两个节点之间都存在有 向路径；弱连通是指图中任意两个节点之间 都存在无向路径。判断图的连通性是图论中 的重要问题之一。
左孝凌离散数学课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 逻辑学 • 离散概率论 • 离散统计学
目录CONTENTS
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
总结词
离散数学的起源可以追溯到古代数学，它与连续数学相对应，研究的是非连续的、分离的对象。
置信区间
置信区间是指根据样本数据估计 总体参数的可能范围，用于衡量 估计的准确性。
单侧检验和双侧检
验
单侧检验是指只检验一个方向的 假设，而双侧检验则是同时检验 两个方向的假设。
感谢观看
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THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
离散数学左孝凌 ppt课件
计算机学院
2-2.1 命题函数
定义2-2.1：简单命题函数(simple propositional function)：
由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为 简单命题函数。
比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等 取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它 本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特 殊情况。
计算机学院
2-2.2 量词
例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x＞y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))
计算机学院
2-2.2 量词
例5: “火车比汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成:
2-1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体
和谓词两部分。 客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概 念。例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑 板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也 可称之为主语。
计算机学院
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
(1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华
(3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵
(5) R(a,b,c)
(6) S(a,b) a:阿杜。b:阿寺。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
2-2.1 命题函数
定义2-2.1：简单命题函数(simple propositional function)：
由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为 简单命题函数。
比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等 取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它 本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特 殊情况。
计算机学院
2-2.2 量词
例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x＞y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))
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2-2.2 量词
例5: “火车比汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成:
2-1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体
和谓词两部分。 客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概 念。例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑 板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也 可称之为主语。
计算机学院
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
(1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华
(3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵
(5) R(a,b,c)
(6) S(a,b) a:阿杜。b:阿寺。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
左孝凌离散数学课件2.6前束范式-2.7谓词演算的推理理论
2. 6前束范式
练习:求下列公式的前束析取范式和前束合取范式.
(1) ((x) F ( x, y) (y)G( y )) (x) H ( x, y) (2) (x){(y) A( x, y ) (x)(y)[B( x, y ) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2. 6前束范式(Prenex normal form)
•
(6) (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[ B ( x, y ) (y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
(x ){(y ) A( x, y ) ( x )(y )[ B ( x, y ) (y )(A( y , x ) B ( x, y ))]} (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[B ( x, y ) ( y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
11
2. 6前束范式
前束析取范式
• 定义 : 任何一个谓词公式 A ，如果具有如下形式则称为 前束析取范式： (□x1) (□x2)…(□xn)[(A11∧A12∧…∧A1k1)∨ (A21∧A22∧…∧A2k2 )∨…∨(Am1∧Am2∧…∧Amkm)] 其中n大于等于1,Aij(j=1, …,ki ,i=1,2,3,…,m)为原子谓词公 式或其否定,□为量词或量词， xi（i=1，… n）为客 体变元. 例如： (x)(u )(z )((P (x ) Q (x , y )) (P (u ) Q ( y , z ))
离散数学(Discrete Mathematics)
1
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P T T F F Q T F T F ᄀP F F T T ᄀP∨Q T F T T P→Q T F T T
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
P∧（P∨Q） T T F F
定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一 个合式 公式,则称X为公式 A的子公式。
定义1-2.5 设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅 当 Q”称作 P与Q的等价式，记作P⇄ Q， ⇄ 为 等价联结词。
P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。
P T T F F Q T F T F P⇄ Q T F F T
例5将下列命题符号化。 （1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。 （2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 （3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。 （4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。 （5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。 （6）两角相等当且仅当它们是对顶角。 解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。 （1）P⇄Q 真命题 （2）P⇄ᄀQ 假命题 （3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题 （5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。 P⇄Q 真命题 （6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。 P⇄Q 假命题
1－4真值表与等价公式
1.真值表 定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式， 共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取 值的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤： (1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出 所有可能的真值指派。 (2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最 后计算出命题公式的值。
2．命题的符号化表示 命题的符号化就是用符号表示命题。 简单命题（或原子命题）：简单陈述句表示 的命题。用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。 例 P:2是偶数。 Q:雪是黑色的。 命题常量（或命题常元）：简单命题。 命题变项（或命题变元）：真值可以变化的 简单陈述句。不是命题。 例：x+y>5
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。 表示自然语言 “只要P就Q” ， “P仅当Q”， “只有Q，才P” 注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q 往往有某 种内在的联系，但在数理逻辑中，P→Q 中的P与Q不一定有内在的联系。 2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的 逻辑关系，但在数理逻辑中，当P为假时P→Q为真。
1－2.联结词
定义1－2.1 设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称 为P的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。
P
ᄀP
T
F 例
F
T
p：3是偶数。 ᄀp：3不是偶数。
定义1－2.2 设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q” （或“P和Q”）称为 P与Q的合取式，记作P∧Q， ∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是” P T T F F Q T F T F P ∧Q T F F F
例5 证明P⇄Q⇔（P→Q）∧（ Q→P） 证明 列出真值表
P T T F F
Q T F T F
P→Q T F T T
Q→P T T F T
(P→Q）∧( Q→P） P⇄Q T T F F F F T T
24个重要的等价式
P⇔ᄀᄀP 双重否定律 P⇔P∨P 等幂律 P⇔P∧P P∨Q⇔Q∨P 交换律 P∧Q⇔Q∧P （P∨Q）∨R⇔P∨（Q∨R） 结合律 （P∧Q）∧R⇔P∧（Q∧R） P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R） 分配律 P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R） ᄀ（P∨Q）⇔ᄀP∧ᄀQ 德· 摩根律 ᄀ（P∧Q）⇔ᄀP∨ᄀQ
例4将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 (3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。 (3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。 (4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。 (5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。 解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上 班。 （1）ᄀP→Q （2）Q →ᄀP 在（3）－（6）中，设P： 2+2＝4；Q：太阳从东方升起； R: 太阳从西方升起。 （1）P→Q， 真值为T （2）ᄀP→Q， 真值为T （3）P→R ， 真值为F （4）ᄀP→R 真值为T
(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 ᄀR→(P→Q) 或 （ᄀR∧P）→Q （除非：如果不） (5)王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他 是三好学生。P∧（Q ∨R）∧S （6）我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建 设而奋斗。 A：我们要做到身体好 B：我们要做到学习好 C：我们要做到工作好 P：我们要为祖国四化建设面奋斗。 命题符号化形式为：（A∧B∧C）⇄P
F T
F F
F T
F T
T T
F T F
F F F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为 真（假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例2
2．等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各 种指派下，其对应的真值都完全相同，如ᄀP∨Q与 P→Q的对应真值相同。
命题变项也用P，Q，R,…, Pi,Qi,Ri,…表示。 复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。
例2 将下列命题符号化。 （1）3 不是偶数。 （2）2 是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B。 解：（1）设P：3是偶数。 ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2 是素数；Q：2是偶数。 P∧Q ( ∧:表示和) （3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。 P∨Q (∨:表示或) （4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A 等于角B。 P→Q （→个表示如果……则……）
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。 解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
注意：不是见到“和” 、“与”就用 ∧。 例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简 单命题。
1,证明Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P) ⇔Q∨ᄀ( (ᄀP∧P) ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ( F ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) ⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) ⇔(Q∨ᄀQ) ∨ᄀP ⇔T∨ᄀP ⇔T
4.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄
1-3命题公式与翻译
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A ∨B）、（A→B）、（A⇄B）也是合式公式。 （4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号 串才是合式公式。 例：P, ᄀP, (ᄀP)), (0∧P),P→(P→Q), ((P∨Q) →R) →(ᄀR)是公式； PQ→R,, ᄀ(P→), ᄀP→Q)不是公式。
定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。 证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同， 故以Y取代X后，公式B与公式 A在相应的指派下，其真值必相 同，故A⇔B。 满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）
例7 证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）
P∨（P∧Q）⇔P P∧（P∨Q）⇔P P∨T ⇔T P∧F ⇔F P∨F⇔P P∧T ⇔P P∨ᄀP ⇔T P∧ᄀP ⇔F P→Q ⇔ᄀP∨Q P ⇄ Q ⇔（P→Q）∧（Q→P） P→Q ⇔ᄀQ→ᄀP P ⇄ Q ⇔ᄀP ⇄ᄀQ （P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
P∧（P∨Q） T T F F
定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一 个合式 公式,则称X为公式 A的子公式。
定义1-2.5 设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅 当 Q”称作 P与Q的等价式，记作P⇄ Q， ⇄ 为 等价联结词。
P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。
P T T F F Q T F T F P⇄ Q T F F T
例5将下列命题符号化。 （1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。 （2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 （3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。 （4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。 （5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。 （6）两角相等当且仅当它们是对顶角。 解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。 （1）P⇄Q 真命题 （2）P⇄ᄀQ 假命题 （3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题 （5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。 P⇄Q 真命题 （6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。 P⇄Q 假命题
1－4真值表与等价公式
1.真值表 定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式， 共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取 值的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤： (1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出 所有可能的真值指派。 (2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最 后计算出命题公式的值。
2．命题的符号化表示 命题的符号化就是用符号表示命题。 简单命题（或原子命题）：简单陈述句表示 的命题。用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。 例 P:2是偶数。 Q:雪是黑色的。 命题常量（或命题常元）：简单命题。 命题变项（或命题变元）：真值可以变化的 简单陈述句。不是命题。 例：x+y>5
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。 表示自然语言 “只要P就Q” ， “P仅当Q”， “只有Q，才P” 注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q 往往有某 种内在的联系，但在数理逻辑中，P→Q 中的P与Q不一定有内在的联系。 2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的 逻辑关系，但在数理逻辑中，当P为假时P→Q为真。
1－2.联结词
定义1－2.1 设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称 为P的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。
P
ᄀP
T
F 例
F
T
p：3是偶数。 ᄀp：3不是偶数。
定义1－2.2 设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q” （或“P和Q”）称为 P与Q的合取式，记作P∧Q， ∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是” P T T F F Q T F T F P ∧Q T F F F
例5 证明P⇄Q⇔（P→Q）∧（ Q→P） 证明 列出真值表
P T T F F
Q T F T F
P→Q T F T T
Q→P T T F T
(P→Q）∧( Q→P） P⇄Q T T F F F F T T
24个重要的等价式
P⇔ᄀᄀP 双重否定律 P⇔P∨P 等幂律 P⇔P∧P P∨Q⇔Q∨P 交换律 P∧Q⇔Q∧P （P∨Q）∨R⇔P∨（Q∨R） 结合律 （P∧Q）∧R⇔P∧（Q∧R） P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R） 分配律 P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R） ᄀ（P∨Q）⇔ᄀP∧ᄀQ 德· 摩根律 ᄀ（P∧Q）⇔ᄀP∨ᄀQ
例4将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 (3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。 (3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。 (4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。 (5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。 解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上 班。 （1）ᄀP→Q （2）Q →ᄀP 在（3）－（6）中，设P： 2+2＝4；Q：太阳从东方升起； R: 太阳从西方升起。 （1）P→Q， 真值为T （2）ᄀP→Q， 真值为T （3）P→R ， 真值为F （4）ᄀP→R 真值为T
(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 ᄀR→(P→Q) 或 （ᄀR∧P）→Q （除非：如果不） (5)王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他 是三好学生。P∧（Q ∨R）∧S （6）我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建 设而奋斗。 A：我们要做到身体好 B：我们要做到学习好 C：我们要做到工作好 P：我们要为祖国四化建设面奋斗。 命题符号化形式为：（A∧B∧C）⇄P
F T
F F
F T
F T
T T
F T F
F F F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为 真（假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例2
2．等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各 种指派下，其对应的真值都完全相同，如ᄀP∨Q与 P→Q的对应真值相同。
命题变项也用P，Q，R,…, Pi,Qi,Ri,…表示。 复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。
例2 将下列命题符号化。 （1）3 不是偶数。 （2）2 是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B。 解：（1）设P：3是偶数。 ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2 是素数；Q：2是偶数。 P∧Q ( ∧:表示和) （3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。 P∨Q (∨:表示或) （4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A 等于角B。 P→Q （→个表示如果……则……）
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。 解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
注意：不是见到“和” 、“与”就用 ∧。 例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简 单命题。
1,证明Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P) ⇔Q∨ᄀ( (ᄀP∧P) ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ( F ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) ⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) ⇔(Q∨ᄀQ) ∨ᄀP ⇔T∨ᄀP ⇔T
4.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄
1-3命题公式与翻译
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A ∨B）、（A→B）、（A⇄B）也是合式公式。 （4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号 串才是合式公式。 例：P, ᄀP, (ᄀP)), (0∧P),P→(P→Q), ((P∨Q) →R) →(ᄀR)是公式； PQ→R,, ᄀ(P→), ᄀP→Q)不是公式。
定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。 证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同， 故以Y取代X后，公式B与公式 A在相应的指派下，其真值必相 同，故A⇔B。 满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）
例7 证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）
P∨（P∧Q）⇔P P∧（P∨Q）⇔P P∨T ⇔T P∧F ⇔F P∨F⇔P P∧T ⇔P P∨ᄀP ⇔T P∧ᄀP ⇔F P→Q ⇔ᄀP∨Q P ⇄ Q ⇔（P→Q）∧（Q→P） P→Q ⇔ᄀQ→ᄀP P ⇄ Q ⇔ᄀP ⇄ᄀQ （P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP