高中数学 平面方程式
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y0 cz0 d1 0，即 ax0 by0 cz0 d1，
所以点 P 到平面 E2的距离为
ax0 by0 cz0 d2 d1 d2 d1 d2 。
a2 b2 c2
a2 b2 c2 a2 b2 c2
7 p.83
设平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3，且平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0
平行，试求平面 E 的方程式。
平面 3x 2 y z 5 0 的一个法矢量为3 ,2 ,1
因为平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0 平行 所以它们的法矢量亦平行
平面方程式
平面方程式 两平面的夹角 点到平面的距离 两平行平面的距离
平面方程式 p.72~p.78
平面的法矢量： 坐标空间中，如果一个以非零矢量 n 为方向矢量的直线 L 与平面 E 垂直， 则称 n 是平面 E 的一个法矢量。此时 也称 n 与平面 E 垂直，记为 n E。如上图所示。 平面方程式：
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，
试求 cos 。
又两平面夹角 = 或 180 故 cos = cos 或 cos = cos 180 = cos
即 cos = 2 或 2
77
6 , 2 , 3 0 , 6 , 0
=2
(6)2 (2)2 (3)2 02 62 02 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
= =3
12 22 22
9
两平行平面的距离 p.82~p.85
两平行平面的距离：
设 E1，E2 为坐标空间中的两平行平面，
且其方程式为 E1：ax by cz d1 0，
E2：ax by cz d2 0。
设 P x0 , y0 , z0 是平面 E1 上一点，则
设平面 E 的方程式为 ax by cz d 如右图所示，因为平面 E 通过
A3 ,0 ,0，B0 ,2 ,0，C 0 ,0 ,4
三点，所以 3a d，2b d，4c d 代回原方程式得 d x d y d z d
324 因为 a，b，c 不全为零，故 d 0
若矢量 n = a , b , c 为平面 E 的一个法矢量，且点
A x0 , y0 , z0 为平面 E 上的一个点，则平面 E 的方 程序为 a x x0 +b y y0 +c z z0 = 0。亦可化为 ax by cz d 0，其中 d = ax0 by0 cz0 。
n1 n2
5 p. 79
试求两平面 E1：x y 2z = 6与 E2：x 2 y z = 2的夹角。
E1 与 E2的法矢量分别为 n1= 1 , 1 , 2 与 n2= 1 , 2 , 1
令 n1 与 n2 的夹角为 ，则由
cos = n1 n2 =
(2) 因为平面 E1与平面 E2：2x y 2z 3 0 平行
可设平面 E1的方程式为 2x y 2z d 0
由平面 E1与E2的距离为 2 ，可得
d3 2
22 12 22
因此 d 3或 9
故平面 E1的方程式为 2x y 2z 3 0或2x y 2z 9 0
因为已知 n = 1 , 4 , 3为平面的法矢量
所以可设平面方程式为 x 4 y 3z d 0
又因为平面通过点 A2 , 3 ,1，所以2 4 3 3 1 d 0
得 d = 7，故所求平面方程式为 x 4 y 3z 7 0
2 p.75
先求
AB
AC
=
3 2
2 2
,
2 2
1 2
,
1 2
3 2
=
2
,
2,
4
如右图所示
因为 AB AC 是 AB 和 AC 的 公垂矢量
所以是平面 E 的一个法矢量
3 p.76
设平面 E 通过 A1 , 1 ,1， B2 ,2 ,3，C 3 ,1 ,3 三点，
上式消去 d 后得平面 E 的方程式 x y z 1 3 24
两平面的夹角 p.78~p.79
两平面的夹角： 设平面 E1、 E2 的法矢量分别为 n1、n2。若 n1 与 n2 的
夹角为 ，则平面 E1 与 E2 的夹角为 与 180 ，
其中 cos = n1 n2 。
E：ax by cz d 0 的距离为 ax0+by0+cz0+d 。 a2 b2 c2
6 p.82
试求点 P 1 , 1 , 3 到平面 E：x 2 y 2z 6 0的距离。
利用点到平面的距离公式，得所求距离为
1+2 1 +2 3 6 9
1 p.74
试求通过点 A2 ,3 ,1，且以 n = 1 , 4 ,3为法矢量的平面
方程式。
〔解法一〕 由已知，如右图所示，得平面方程式
1 x 2 4 y 3 3 z 1 0
整理得 x 4 y 3z 7 0 〔解法二〕
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，
试求 cos 。
(2) PQ PR =6 , 2 , 3为平面 PQR 的一个法矢量 而 AD =0 , 6 , 0 为平面 CDHG 的一个法矢量
因为两平面的一个夹角即两法矢量的夹角
设这两个法矢量的夹角为 ，可得
cos =
设平面 E 通过 A1 , 1 ,1， B2 ,2 ,3，C 3 ,1 ,3 三点，
试求平面 E 的方程式。
AB 2 1 , 2 1 , 3 1 1 , 3 , 2
AC 3 1 , 1 1 , 3 1 2 , 2 , 2
11 1 2 2 1
=1
n1 n2 12 12 22 12 22 12 2
所以 120
故 E1，E2两平面的夹角为 120 与 180 120 = 60
点到平面的距离 p.80~p.82
点到平面的距离公式：
坐标空间中，点 P x0 , y0 , z0 到平面
(1) 试求两平行平面 E1：x 2 y 2z 9 = 0 与 E2：x 2 y 2z 6 = 0 的距离。
(1) 利用两平行平面的距离公式
得 E1 和 E2 的距离为
9 6
=5 12 22 22
7 p.83
(2) 已知平面 E1与平面E2：2x y 2z 3 0 平行，且平面E1 与 E2的距离为 2，试求平面 E1的方程式。
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则： (1) 试求点 A 到平面 PQR 的距离。
(1)因为 PQ PR =6 , 2 , 3 为平面 PQR 的一个法矢量
所以平面 PQR 的方程式为
6 x 2 2 y 3 3 z 4 0
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的 长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则： (1) 试求点 A 到平面 PQR 的距离。
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，试求 cos 。
如右图所示，将长方体置于坐标
因此3 ,2 ,1也是平面 E 的一个法矢量
如右图所示
因此可设平面 E 的方程式为 3x 2 y+ z d 0
又因为平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3
所以 3 1 2 2 1 3 d 0，得 d 10 因此平面 E 的方程式为 3x 2 y z 10 0
平面方程式 p.72~p.78
如果 A，B，C 三点不共线，则通过 此三点的平面恰有一个，如右图所示。
平面 E 的方程式： 因为 AB AC 是 AB 和 AC 的公垂向 量，所以 AB AC 与平面 E 垂直，就 是平面 E 的一个法矢量，如右图所示， 因此利用外积可以“制造”法矢量。
3 p.76
空间中，则 P、Q、R 三点坐标分
别为 P 2 , 3 , 4、Q 1 , 6 , 4、 R2 , 6 , 2 所以 PQ 1 , 3 , 0，PR 0 , 3 , 2 可求得 PQ PR =6 , 2 , 3
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
整理得 6x 2 y 3z 30 0
因此，点 A0 , 0 , 0到平面 PQR 的距离为
0 0 0 30 30 62 22 32 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
试求平面 E 的方程式。
又平面通过 A1 , 1 ,1
故可求得平面 E 的方程式为
2 x 1 2 y 1 4 z 1 0
整理得 x y 2z 2 0
4 p.77
若平面 E 分别交 x、y、 z 轴于 A3 ,0 ,0、 B0 ,2 ,0、 C 0 ,0 ,4 三点，试求平面 E 的方程式。
所以点 P 到平面 E2的距离为
ax0 by0 cz0 d2 d1 d2 d1 d2 。
a2 b2 c2
a2 b2 c2 a2 b2 c2
7 p.83
设平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3，且平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0
平行，试求平面 E 的方程式。
平面 3x 2 y z 5 0 的一个法矢量为3 ,2 ,1
因为平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0 平行 所以它们的法矢量亦平行
平面方程式
平面方程式 两平面的夹角 点到平面的距离 两平行平面的距离
平面方程式 p.72~p.78
平面的法矢量： 坐标空间中，如果一个以非零矢量 n 为方向矢量的直线 L 与平面 E 垂直， 则称 n 是平面 E 的一个法矢量。此时 也称 n 与平面 E 垂直，记为 n E。如上图所示。 平面方程式：
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，
试求 cos 。
又两平面夹角 = 或 180 故 cos = cos 或 cos = cos 180 = cos
即 cos = 2 或 2
77
6 , 2 , 3 0 , 6 , 0
=2
(6)2 (2)2 (3)2 02 62 02 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
= =3
12 22 22
9
两平行平面的距离 p.82~p.85
两平行平面的距离：
设 E1，E2 为坐标空间中的两平行平面，
且其方程式为 E1：ax by cz d1 0，
E2：ax by cz d2 0。
设 P x0 , y0 , z0 是平面 E1 上一点，则
设平面 E 的方程式为 ax by cz d 如右图所示，因为平面 E 通过
A3 ,0 ,0，B0 ,2 ,0，C 0 ,0 ,4
三点，所以 3a d，2b d，4c d 代回原方程式得 d x d y d z d
324 因为 a，b，c 不全为零，故 d 0
若矢量 n = a , b , c 为平面 E 的一个法矢量，且点
A x0 , y0 , z0 为平面 E 上的一个点，则平面 E 的方 程序为 a x x0 +b y y0 +c z z0 = 0。亦可化为 ax by cz d 0，其中 d = ax0 by0 cz0 。
n1 n2
5 p. 79
试求两平面 E1：x y 2z = 6与 E2：x 2 y z = 2的夹角。
E1 与 E2的法矢量分别为 n1= 1 , 1 , 2 与 n2= 1 , 2 , 1
令 n1 与 n2 的夹角为 ，则由
cos = n1 n2 =
(2) 因为平面 E1与平面 E2：2x y 2z 3 0 平行
可设平面 E1的方程式为 2x y 2z d 0
由平面 E1与E2的距离为 2 ，可得
d3 2
22 12 22
因此 d 3或 9
故平面 E1的方程式为 2x y 2z 3 0或2x y 2z 9 0
因为已知 n = 1 , 4 , 3为平面的法矢量
所以可设平面方程式为 x 4 y 3z d 0
又因为平面通过点 A2 , 3 ,1，所以2 4 3 3 1 d 0
得 d = 7，故所求平面方程式为 x 4 y 3z 7 0
2 p.75
先求
AB
AC
=
3 2
2 2
,
2 2
1 2
,
1 2
3 2
=
2
,
2,
4
如右图所示
因为 AB AC 是 AB 和 AC 的 公垂矢量
所以是平面 E 的一个法矢量
3 p.76
设平面 E 通过 A1 , 1 ,1， B2 ,2 ,3，C 3 ,1 ,3 三点，
上式消去 d 后得平面 E 的方程式 x y z 1 3 24
两平面的夹角 p.78~p.79
两平面的夹角： 设平面 E1、 E2 的法矢量分别为 n1、n2。若 n1 与 n2 的
夹角为 ，则平面 E1 与 E2 的夹角为 与 180 ，
其中 cos = n1 n2 。
E：ax by cz d 0 的距离为 ax0+by0+cz0+d 。 a2 b2 c2
6 p.82
试求点 P 1 , 1 , 3 到平面 E：x 2 y 2z 6 0的距离。
利用点到平面的距离公式，得所求距离为
1+2 1 +2 3 6 9
1 p.74
试求通过点 A2 ,3 ,1，且以 n = 1 , 4 ,3为法矢量的平面
方程式。
〔解法一〕 由已知，如右图所示，得平面方程式
1 x 2 4 y 3 3 z 1 0
整理得 x 4 y 3z 7 0 〔解法二〕
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，
试求 cos 。
(2) PQ PR =6 , 2 , 3为平面 PQR 的一个法矢量 而 AD =0 , 6 , 0 为平面 CDHG 的一个法矢量
因为两平面的一个夹角即两法矢量的夹角
设这两个法矢量的夹角为 ，可得
cos =
设平面 E 通过 A1 , 1 ,1， B2 ,2 ,3，C 3 ,1 ,3 三点，
试求平面 E 的方程式。
AB 2 1 , 2 1 , 3 1 1 , 3 , 2
AC 3 1 , 1 1 , 3 1 2 , 2 , 2
11 1 2 2 1
=1
n1 n2 12 12 22 12 22 12 2
所以 120
故 E1，E2两平面的夹角为 120 与 180 120 = 60
点到平面的距离 p.80~p.82
点到平面的距离公式：
坐标空间中，点 P x0 , y0 , z0 到平面
(1) 试求两平行平面 E1：x 2 y 2z 9 = 0 与 E2：x 2 y 2z 6 = 0 的距离。
(1) 利用两平行平面的距离公式
得 E1 和 E2 的距离为
9 6
=5 12 22 22
7 p.83
(2) 已知平面 E1与平面E2：2x y 2z 3 0 平行，且平面E1 与 E2的距离为 2，试求平面 E1的方程式。
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则： (1) 试求点 A 到平面 PQR 的距离。
(1)因为 PQ PR =6 , 2 , 3 为平面 PQR 的一个法矢量
所以平面 PQR 的方程式为
6 x 2 2 y 3 3 z 4 0
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的 长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则： (1) 试求点 A 到平面 PQR 的距离。
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，试求 cos 。
如右图所示，将长方体置于坐标
因此3 ,2 ,1也是平面 E 的一个法矢量
如右图所示
因此可设平面 E 的方程式为 3x 2 y+ z d 0
又因为平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3
所以 3 1 2 2 1 3 d 0，得 d 10 因此平面 E 的方程式为 3x 2 y z 10 0
平面方程式 p.72~p.78
如果 A，B，C 三点不共线，则通过 此三点的平面恰有一个，如右图所示。
平面 E 的方程式： 因为 AB AC 是 AB 和 AC 的公垂向 量，所以 AB AC 与平面 E 垂直，就 是平面 E 的一个法矢量，如右图所示， 因此利用外积可以“制造”法矢量。
3 p.76
空间中，则 P、Q、R 三点坐标分
别为 P 2 , 3 , 4、Q 1 , 6 , 4、 R2 , 6 , 2 所以 PQ 1 , 3 , 0，PR 0 , 3 , 2 可求得 PQ PR =6 , 2 , 3
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
整理得 6x 2 y 3z 30 0
因此，点 A0 , 0 , 0到平面 PQR 的距离为
0 0 0 30 30 62 22 32 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
试求平面 E 的方程式。
又平面通过 A1 , 1 ,1
故可求得平面 E 的方程式为
2 x 1 2 y 1 4 z 1 0
整理得 x y 2z 2 0
4 p.77
若平面 E 分别交 x、y、 z 轴于 A3 ,0 ,0、 B0 ,2 ,0、 C 0 ,0 ,4 三点，试求平面 E 的方程式。