No张丽分数阶统一混沌系统

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基于分数阶统一混沌系统的图像加密算法

基于分数阶统一混沌系统的图像加密算法毛骁骁;孙克辉;刘文浩【摘要】为了解决数字图像信息传输所面临的安全性问题,基于分数阶统一混沌系统,提出了一种新的图像加密算法.采用经典的置乱-扩散机制,整个加密策略分为图像像素位置置乱和像素值替代两个过程.在像素置乱的过程中,采用排序的方式分别对图像的行和列进行置乱.在像素值替代的过程中,通过与密钥序列进行异或运算来实现加密.而混沌系统则作为伪随机序列发生器,并作用于加密的各个阶段.安全性和时间复杂度分析表明:该算法具有高的安全性和低的时间复杂度,且能够抵御几种常见的攻击方式.%In order to solve the security problem during transmitting digital image information,a novel image encryption algorithm based on fractional order unified chaotic system is proposed.This algorithm utilizes the classical confusion and diffusion mechanism,and the whole encryption strategy can be divided into two stages:image pixel position permutation and pixel value substitution.In the first stage,each row and column of the image are respectively scrambled by the way of ranking.In the second stage,the pixel values of image are substituted by the XOR operation with key sequence.Besides,the chaotic system is used as pseudo-random sequence generator,and acts on the two stages.Security and time complexity analysis shows that the algorithm has high security and low time complexity,and can resist several common cryptogram attacks.【期刊名称】《传感器与微系统》【年(卷),期】2017(036)006【总页数】4页(P138-141)【关键词】分数阶统一混沌系统;图像加密;安全性和时间复杂度分析【作者】毛骁骁;孙克辉;刘文浩【作者单位】中南大学物理与电子学院, 湖南长沙 410083;中南大学物理与电子学院, 湖南长沙 410083;中南大学物理与电子学院, 湖南长沙 410083【正文语种】中文【中图分类】TN918.4随着计算机技术和网络技术的发展，信息安全的问题日益凸显[1～3]。

分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件

第61卷第6期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .62023年11月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )N o v 2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022435分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件毛北行,王东晓(郑州航空工业管理学院数学学院,郑州450046)摘要:设计4种形式简单的滑模面及控制输入,研究分数阶大气混沌系统的滑模同步,得到分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件,并通过数值仿真对结论进行验证.结果表明,分数阶大气混沌系统一定条件下主从系统可取得滑模同步.关键词:大气混沌;分数阶;滑模;同步中图分类号:O 482.4 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)06-1448-09F o u r S u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r S l i d i n g M o d e S yn c h r o n i z a t i o no f F r a c t i o n a l -O r d e rA t m o s p h e r i cC h a o t i c S ys t e m s MA OB e i x i n g ,WA N G D o n gx i a o (C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s ,Z h e n gz h o u 450046,C h i n a )A b s t r a c t :W ed e s i g n e df o u rs i m p l ef o r m so fs l i d i n g m o d es u r f a c e sa n dc o n t r o l i n pu t s ,s t u d i e dt h e s l i d i n g m o d es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i cs y s t e m s ,o b t a i n e df o u r s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs l i d i n g m o d es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i c s y s t e m s ,a n d v e r i f i e dt h ec o n c l u s i o n st h r o u g h n u m e r i c a ls i m u l a t i o n .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e m a s t e r -s l a v es y s t e m o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i cs y s t e m sc a na c h i e v es l i d i n g m o d e s yn c h r o n i z a t i o nu n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s .K e y w o r d s :a t m o s p h e r i c c h a o s ;f r a c t i o n a l -o r d e r ;s l i d i n g m o d e ;s y n c h r o n i z a t i o n 收稿日期:2022-11-10.第一作者简介:毛北行(1976 ),男,汉族,硕士,教授,从事混沌同步的研究,E -m a i l :b x m a o 329@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11801528;41906003).1 引言与预备知识目前混沌研究已取得较多的结果[1-5],由于大多数实际系统均需用分数阶微分描述,且分数阶系统大量存在于工程实际中,因此随着分数阶微积分的引入,分数阶系统的滑模同步控制已引起人们广泛关注[6-8],其研究结果在生物㊁化学㊁医疗卫生㊁通讯和物理等领域应用广泛[9-12].滑模方法因其良好的鲁棒性能,被迅速引入到混沌系统同步控制中[13-14],并在气象学和天气预测中应用广泛.如文献[15]研究了大气混沌系统的系统仿真及动力学行为;文献[16]研究了分数阶大气混沌系统的比例积分滑模同步;文献[17]研究了分数阶不确定大气系统的自适应滑模同步,但设计的滑模面及控制量形式较复杂且不易实现.基于此,本文设计4种形式简单的滑模面及控制输入,得到分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件.定义1[18-19] C a pu t o 分数阶微分定义为D q t x (t )=1Γ(n -q )ʏtt 0(t -τ)n -q -1x (n )(τ)d τ, n -1<q <n ɪℤ+. 分数阶大气混沌系统[16-17]可描述为D q t x =α(y -x )+γw ,D q t y =c x -x z -y ,D q tz =x y -βz ,D qt w =-x -αw ìîíïïïïïï.(1) 当α=1,β=0.7,γ=1.5,c =26,q =0.947时,系统(1)的吸引子和混沌吸引子分别如图1和图2所示.图1 系统(1)的吸引子F i g .1 A t t r a c t o r s o f s ys t e m (1)图2 系统(1)的混沌吸引子F i g .2 C h a o t i c a t t r a c t o r o f s ys t e m (1) 定义从系统为D q t x 1=α(y 1-x 1)+γw 1+u 1(t ),D q t y 1=c x 1-x 1z 1-y 1,D qt z 1=x 1y1-βz 1+u 2(t ),D q t w 1=-x 1-αw 1ìîíïïïïïï,(2) 主从系统的同步误差为e 1=x 1-x ,e 2=y1-y ,e 3=z 1-z ,e 4=w 1-w ,则有D q t e 1=α(e 2-e 1)+γe 4+u 1(t ),D q t e 2=c e 1+x z -x 1z 1-e 2,D q t e 3=x 1y 1-x y -βe 3+u 2(t ),D qt e 4=-e 1-αe 4ìîíïïïï.(3) 引理1[18-19] 若x (t )连续可微,则有12D q t x 2(t )ɤx (t )T D q t x (t ),∀q ɪ(0,1).9441 第6期毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件引理2[19] 设V (t )=12(z 21(t )+z 22(t )),若存在常数k >0,使得D q t V (t )ɤ-k z 21(t ),则z 21(t )ɤ2V (0)E q ,1(-2k t q ),从而l i m t ңɕz 1(t ) =0.2 主要结果定理1 构造滑模面s (t )=e 3+e 1,控制量u 1=-βe 1-α(e 2-e 1)-γe 4,u 2=x y -x 1y 1,则系统(1)和系统(2)滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 3=-e 1.代入式(3)第3个方程可得e 3ң0,从而e 1ң0,代入式(3)第2个方程可得x z -x 1z 1=(x z -x 1z )+(x 1z -x 1z 1)=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,即e 2ң0.因此式(3)第4个方程可写为D q t e 4=-αe 4,即e 4ң0.当不在滑模面上运动时,构造V (t )=12s 2,根据引理1求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s =s (D q t e 3+D q t e 1)=s [x 1y 1-x y -βe 3+u 2(t )+α(e 2-e 1)+γe 4+u 1(t )]ɤ-βs (e 3+e 1)=-βs 2<0,从而得s (t )ң0.定理2 构造滑模面s (t )=e 4-e 1,控制量u 1=-(γ+1)e 1-αe 4-α(e 2-e 1),u 2=x y -x 1y1,则系统(1)和系统(2)滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 4=e 1.代入式(3)第4个方程可得D q t e 4=-(1+α)e 4,所以e 4ң0,从而e 1ң0,将控制器u 2(t )代入式(3)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3,即e 3ң0.代入式(3)第2个方程可得x z -x 1z 1=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D qt e 2=-e 2,即e 2ң0.当不在滑模面上运动时,构造V (t )=12s 2,根据引理1求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s =s (D q t e 4-D q t e 1)=s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-u 1(t )]ɤ-γs 2<0,从而得s (t )ң0.以式(1)为主系统,设计从系统为D q t x 1=α(y 1-x 1)+γw 1+Δf 1(y )+d 1(t )+u 1(t ),D q t y 1=c x 1-x 1z 1-y 1,D q t z 1=x 1y 1-βz 1+Δf 2(y )+d 2(t )+u 2(t ),D q t w 1=-x 1-αw 1ìîíïïïïïï,(4)其中Δf i (y )为不确定项,y (t )=(x 1,y1,z 1,w 1)T,d i (t )为系统外部扰动,u i (t )为控制输入,定义e 1=x 1-x ,e 2=y 1-y ,e 3=z 1-z ,e 4=w 1-w ,得到误差系统D q t e 1=α(e 2-e 1)+γe 4+Δf 1(y )+d 1(t )+u 1(t ),D q t e 2=c e 1+x z -x 1z 1-e 2,D q t e 3=x 1y 1-x y -βe 3+Δf 2(y )+d 2(t )+u 2(t ),D q t e 4=-e 1-αe 4ìîíïïïïïï.(5) 假设1 Δf i (y (t ))ɤm i ,d i (t )ɤn i (i =1,2),其中m i ,n i >0为未知参数.假设2 Δf 2(y )+d 2(t )ɤβe3.定理3 在假设1和假设2成立下,构造滑模面s (t )=e 3+e 1,控制量u 1=-βe 1-α(e 2-e 1)-γe 4-(^m 1+^n 1+η1)s , u 2=x y -x 1y 1-(^m 2+^n 2+η2)s .若s >1,构造自适应律0541 吉林大学学报(理学版) 第61卷D q t ^m i =s 2,^m i (0)=^m i 0,D q t ^n i =s 2,^n i (0)=^n i 0{;(6)若0ɤs ɤ1,构造自适应律D q t ^m i =1,^m i (0)=^m i 0,D q t ^n i =1,^n i (0)=^n i 0{,(7)其中^m i 和^n i 分别为m i 和n i 的估计值,ηi >0,则主从系统(1)和(4)取得自适应滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 3=-e 1,代入式(5)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t )-(^m 2+^n 2+η2)s ,由于s =0,因此方程变为D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t ).由假设2可得e 3ң0,即e 1ң0.代入式(5)第2个方程可得x z -x 1z 1=(x z -x 1z )+(x 1z -x 1z 1)=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,即e 2ң0.因此式(5)第4个方程可写为D q t e 4=-αe 4⇒e 4ң0.当不在滑模面上运动时,若s >1,其自适应律为式(6),构造V (t )=12s 2+12ð2i =1(^m i -m i )2+12ð2i =1(^n i -n i )2,求分数阶导数可得D qtV ɤs D qts +ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2=s (D qt e 3+D q t e 1)+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2=s -β(e 3+e 1)+ð2i =1{Δf i (y )+d i (t )+u i (t [])}+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2ɤð2i =1(m i+n i )s 2-ð2i =1(^m i +^n i +ηi )s 2+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i-n i)s 2-βs2=-(η1+η2+β)s 2<0,由引理2可得s (t )ң0.若0ɤs ɤ1,其自适应律为式(7),构造V (t )=12s 2+12ð2i =1(s ^m i -m i )2+12ð2i =1(s ^n i -n i )2,求分数阶导数可得D qtV ɤs D q ts +ð2i =1(s ^m i -m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s =s (D qt e 3+D q t e 1)+ð2i =1(s ^m i -m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s =s -β(e 3+e 1)+ð2i =1{Δf i (y )+d i (t )+u i (t [])}+ð2i =1(s ^m i-m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s ɤð2i =1(m i +n i )s -ð2i =1(^m i +^n i +ηi )s 2+ð2i =1(s ^m i -m i )s +1541 第6期毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件ð2i =1(s ^n i-n i )s -βs 2=-(η1+η2+β)s 2<0,由引理2可得s (t )ң0.定理4 在假设1和假设2成立下,构造滑模面s (t )=e 4-e 1,控制量u 1=-(γ+1)e 1-αe 4-α(e 2-e 1)+(^m 1+^n 1+η1)s , u 2=x y -x 1y 1.若s >1,构造自适应律D q t ^m 1=s 2,^m 1(0)=^m 10,D q t ^n 1=s 2,^n 1(0)=^n 10{;(8)若0ɤs ɤ1,构造自适应律D q t ^m 1=1,^m 1(0)=^m 10,D q t ^n 1=1,^n 1(0)=^n 10{,(9)其中^m 1和^n 1分别为m 1和n 1的估计值,η1>0,则主从系统(1)和(4)取得自适应滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 4=e 1,代入式(5)第4个方程可得D q t e 4=-(1+α)e 4,所以e 4ң0,从而e 1ң0.将控制器u 2(t )代入式(5)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t ).由假设2可得e 3ң0,代入式(5)第2个方程可得x z -x 1z 1=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,因此e 2ң0.当不在滑模面上运动时,若s >1,其自适应律为式(8),构造V (t )=12s 2+12(^m 1-m 1)2+12(^n 1-n 1)2,求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s +(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2=s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-Δf 1(y )-d 1(t )-u 1(t )]+(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2ɤ-γs (e 4-e 1)+(m 1+n 1)s 2+(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2-(^m 1+^n 1+η1)s 2=-(γ+η1)s 2<0.由引理2可得s (t )ң0.若0ɤs ɤ1,其自适应律为式(9),构造V (t )=12s 2+12(s ^m 1-m 1)2+12(s ^n 1-n 1)2,求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s +(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s =s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-Δf 1(y )-d 1(t )-u 1(t )]+(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s ɤ-γs (e 4-e 1)+(m 1+n 1)s +(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s -(^m 1+^n 1+η1)s 2=-(γ+η1)s 2<0.由引理2可得s (t )ң0.3 数值仿真用MA T L A B 仿真程序进行仿真,选取系统参数为α=1,β=0.7,γ=1.5,c =26,q =0.947,初始值设为(x ,y ,z ,w )=(2.2,6.5,2.5,2.5),(x 1,y1,z 1,w 1)=(3,4,3,4.5),由定理1和定理2分别构造滑模面s (t )=e 3+e 1和s (t )=e 4-e 1,控制量分别按定理1和定理2选取,由定理3和定理4分别构造滑模面s (t )=e 3+e 1和s (t )=e 4-e 1,控制量和自适应律分别按定理3和定理4选取,定理3和定理4中η=1.5,不确定项分别为Δf 1=0.1s i n (y 1-y )和Δf2=0.1t a n (w 1-w ),外部扰动项分别为d 1(t )=t a n [1/(10(1+t ))]和d 2(t )=s i n [1/(10(1+t ))],混沌系统^m 1(0)=1,^m 2(0)=1,^n 1(0)=0.5,^n 2(0)=0.5,m 1=0.3,n 1=0.3,m 2=0.2,n 2=0.2.2541 吉林大学学报(理学版) 第61卷定理1~定理4的系统误差曲线分别如图3~图6所示.由图3~图6可见,初始时的曲线误差较大,但系统误差最终趋近原点.定理1~定理4的控制量曲线分别如图7~图10所示,4个定理中均只需设计2个控制器,而一般的滑模方法均需设计4个控制器.由图7~图10可见,控制量随系统误差趋近于零而逐渐稳定在坐标原点附近,表明大气混沌系统的驱动响应系统取得了滑模同步.在定理3和定理4中,针对滑模函数不同取值设计了不同的滑模自适应律,若不分区间设计滑模自适应律,则在仿真部分无法避免符号函数导致的抖振现象,分区间设计可较好避免这种现象,该问题的解决对了解和掌握大气混沌运动规律及天气气象预报与海洋渔业捕捞均将发挥重要作用.图3 定理1的系统误差曲线F i g .3 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r em1图4 定理2的系统误差曲线F i g .4 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r e m23541 第6期毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件图5 定理3的系统误差曲线F i g .5 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r em3图6 定理4的系统误差曲线F i g .6 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r e m4综上,本文研究了分数阶大气混沌系统的滑模同步,通过引入分数阶微积分将受控系统建模为分数阶微分方程得到大气混沌系统取得滑模同步的4个充分条件,并通过MA T L A B 仿真程序对结论进行验证,结果表明,分数阶大气混沌系统在一定条件下主从系统可取得滑模同步.4541 吉林大学学报(理学版) 第61卷图7定理1的控制量曲线F i g.7C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em1图8定理2的控制量曲线F i g.8C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em2图9定理3的控制量曲线F i g.9C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em3图10定理4的控制量曲线F i g.10C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r e m4参考文献[1] C H E NC,L IL X,P E N G H P,e t a l.F i n i t e-T i m eS y n c h r o n i z a t i o no f M e m r i s t o r-B a s e d N e u r a lN e t w o r k sw i t hM i x e dD e l a y s[J].N e u r o c o m p u t i n g,2017,235(16):83-89.[2] S HA O K Y,X U Z H,WA N G T T.R o b u s tF i n i t e-T i m eS l i d i n g M o d eS y n c h r o n i z a t i o no fF r a c t i o n a l-O r d e rH y p e r-C h a o t i cS y s t e m sB a s e do nA d a p t i v eN e u r a lN e t w o r ka n dD i s t u r b a n c e sO b s e r v e r[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fD y n a m i c s a n dC o n t r o l,2021,27(9):541-549.[3] Z HA N G MJ,Z A N G H Y,B A IL Y.A N e w P r e d e f i n e d-T i m eS l i d i n g M o d eC o n t r o l S c h e m e f o rS y n c h r o n i z i n gC h a o t i cS y s t e m s[J].C h a o s,S o l i t o n s a n dF r a c t a l s,2022,164(11):2745-2754.[4] X U G W,Z HA OSD,C H E 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n a l-O r d e rC h a o t i cS y s t e m s[J].J o u r n a l o f J i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(5):1183-1188.)[11]毛北行,王东晓.不确定分数阶R u c k l i d g e系统自适应滑模同步[J].南开大学学报(自然科学版),2020,53(6):59-64.(MA O B X,WA N G D X.S e l f-a d a p t i v eS l i d i n g M o d eS y n c h r o n i z a t i o no f U n c e r t a i n F r a c t i o n a l-O r d e r R u c k l i d g eS y s t e m s[J].A c t aS c i e n t i a r u m N a t u r a l i u m U n i v e r s i t a t i sN a n k a i e n s i s,2020,53(6):59-64.) 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基于线性分离实现分数阶超混沌系统的投影同步

投影同步：一种控制方法，通过将一个系统的状态投影到另一个系统的状态空间中，实现两个系统的同步。
分数阶超混沌系统的特性
分数阶导数：与整数阶导数相比，分数阶导数具有更为复杂的动态行为
超混沌性：分数阶超混沌系统具有多个正的Lyapunov指数，表现出更为复杂的动力学行为
投影同步：通过线性分离方法实现分数阶超混沌系统的投影同步，能够有效地控制系统的动态行为
原理实现：通过线性分离方法，将分数阶超混沌系统的状态空间划分为两个子空间，然后通过投影同步技术实现两个系统状态的同步。
数值模拟与实验验证
数值模拟方法：采用合适的数值方法对分数阶超混沌系统进行模拟，以验证投影同步的有效性。
实验验证：通过搭建实际硬件平台，对分数阶超混沌系统进行实验验证，以检验投影同步在实际系统中的表现。
结果分析：对数值模拟和实验验证的结果进行分析，比较不同参数下的投影同步效果。
结论：总结基于线性分离的分数阶超混沌系统投影同步的优缺点，为后续研究提供参考。
基于线性分离的分数阶超混沌系统投影同步的优势与局限性
优势：能够实现更高效的同步，提高系统的稳定性和鲁
棒性
优势：具有更广泛的应用场景，可用于控制、信号处理
分数阶超混沌系统的应用前景
分数阶超混沌系统在控制领域的应用
分数阶超混沌系统在优化和机器学习领域的应用
添加标题
添加标题
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分数阶超混沌系统在信号处理和通信领域的应用
分数阶超混沌系统在电力系统领域的应用
04 投影同步原理
投影同步的基本概念
定义：投影同步是一种通过比较两个或多个系统的状态变量，实现系统间同步的
应用价值：分数阶超混沌系统在信号处理、图像处理、保密通信等领域具有广泛的应用前景

基于分数阶统一混沌系统的图像加密

因为Ｃａｕｏ义方式适用于时域分析，并且其定义的初ｐｔ定始条件与整数阶微分类似，所以在物理意义以及实际分析
中有着更广泛地应用。Ｃｐｔ微分定义如下：ａｕｏ
ｄｆ。
一一
Ｊ
基于分数阶统一混沌系统的图像加密
本文以Ｗｕ在文献中提出的一种分数阶统一混沌等
沌系统；当 ∈（．１，系统（）０８］，３表现为ｃｅ混沌系ｈｎ
统。
系统为基础，利用此混沌系统产生的混沌序列分别进行了
普通的整数阶微分和积分向非整数阶的推广。在分数阶微积分理论中有关分数阶微分有几种不同的定义，其中ＪＣｐｔ定义方式在实际应用中的使用的比较广泛，这是ａｕｏ
模型集合了三种典型的混沌系统，因此也称为Ｌｎ — ｏｅｚｒＣｈｎｅ —Ｌ／ＬＬ系统。／（Ｃ）
（氏
００
一技一．新二务一新＝术一一业＝
图１系统（）值＝．８，＝．的仿真４取０９５０３
ｄｆ
近来，Ｗｕ等根据系统（）出了相对应的分数阶统一３提
混沌系统，如下：
＝
一
混沌系统属于高维混沌系统，并且相比于一般的整数阶
（５２
ｏ（）

分数阶统一系统的混沌动力学特性

现象．近，发强等 ¨ 最王 ¨通过设计分数阶算子的等
１分数阶微分及其近似计算
至今人们对分数阶微分有不同的定义，但常用的
是ＲｅａｎＬｏｖｌ定义，学表达式为ｉｍｎ —ｉｉｅｕｌ其数
ｄｔ＝Ｆ（ｄ１ｔ３ｏａｎｌｒ（）－ｄ＋１ｎ— ）（一ｆ）～、一
新的发展，成为国际上的热点研究课题．并近年来，在对整数阶混沌系统研究的基础上，人们将分数阶微分算子引入非线性动力学系统，发现
了实验基础．
文献［２中在研究分数阶Ｃｅ１］ｈｎ混沌特性时，
通过改变系统方程中的参数研究其混沌特性，出找分数阶系统出现混沌的最低阶数０３但这样可能．，
数的方法，对分数阶统一混沌系统的动力学特性进行详细分析．
为；数阶文氏（ｅ）分Ｗｉｎ电桥振荡器在适当的放大增益值情况下，意分数阶都能出现极限环；ｉ任Ｌｕ系统出现混沌的最低阶数为２４６；外，数阶．＿此分Ｌｒｎ系统、数阶Ｃｅｏｅｚ分ｈｎ系统和分数阶细胞神经网络以及分数阶Ｒｉｌｒｔｓ系统等都具有混沌ｓｅ
维普资讯
华南理工大学学报（自然科学版）
第３６卷第８期２００８年８月
ＪｕａｆＳｏｔＣｈｎａＵｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｏｒｌｏｕｈｉｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙｎ

不同维不同阶的分数阶混沌系统同步及仿真

中图分类号：Ｐ７Ｔ２３文献标识码：Ａ
Ｓｖｈ０ｚｔ０ａｄＳｍｕｌｔｏｏａｔｏａ —ＯｒｒＣｈａｔｃｎｃｒｎｉａｉｎｎｉａｉｎｆＦｒｃｉｎｌｄｅｏｉ
ＳｓｅｗｉｈＤｉｅｅｔＤｉｎｉｎｎｆｅｅｔＯｄｒｙｔｍｔｆｒｎｍｅｓｏｓａｄＤｉｒｎｅｓｆ
摘要：分数阶混沌系统同步在安全保密通信等领域有着重要的应用价值和研究意义。对不同维不同阶的分数阶混沌系统之间的广义同步，根据主动控制和分数阶系统稳定性理论设计控制器实现同步。先将两个分数阶混沌系统分解为线性和非线性部分之和，用主动控制构造同步误差方程，然后利用分数阶线性时不变系统稳定性理论设计控制器，实现不同维不同阶分数阶混沌系统之间的广义同步，再用分数阶微分的Ｃｐｔａｕｏ定义和分数阶微分方程的预测校正数值解法进行数值仿真，实现三维Ｃｅｈｎ系统和四维超Ｌｒｎｏｅｚ系统间的广义同步。仿真结果表明了提出方法的有效性。关键词：分数阶混沌系统；广义同步；不同维不同阶
收稿日期：０１０ — ８修回日期：０１０～１２１—６１２１ — ７２
—
之间的广义投影同步尚未见报道。
１９６一
本文讨论分数阶混沌系统用不同阶不同维系统来广义
同步，利用分数阶混沌线性系统稳定性理论和主动控制原理，过在控制量中引入分数阶微分项，出不同阶数不同通给维数的分数阶系统广义同步的方法，值仿真实例实现了不数

不同阶次的分数阶复值混沌系统的广义投影同步和广义错位投影同步

不同阶次的分数阶复值混沌系统的广义投影同步和广义错位投影同步王志成;王震【摘要】研究了分数阶复值混沌系统的同步问题.应用不等阶次分数阶实值混沌系统的同步和复值混沌系统的同步方法,提出了广义投影同步和广义错位投影同步.针对驱动系统和响应系统阶次不相同的情况,基于分数阶非线性系统稳定性理论,以复值分数阶Chen系统为例,运用自适应控制方法设计反馈控制器,将不等阶分数阶复值系统同步问题转化为可以讨论的等阶复值系统同步问题,并通过理论分析和数值仿真验证了该理论的有效性.【期刊名称】《山东科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(038)003【总页数】10页(P72-81)【关键词】分数阶;复值;混沌;同步【作者】王志成;王震【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590;山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】N941.3;N941.7分数阶微积分具有和整数阶微分理论近乎同样长的历史，但由于人们的认知水平不足、缺乏对应的物理应用背景等原因，分数阶微分一直没得到相应的发展和重视[1]。

直到1982年,Mandelbrot等[2]第一次指出自然界和许多其他领域中存在很多相似于整数阶系统的分数维现象；在生物医学、力学物理、金融工程和神经网络工程等一些新兴领域，用整数微分方程建模存在很大的局限性，但利用分数阶微积分可以有效改善遗传记忆问题[3-5]。

此外，由于混沌信号具有初值敏感性、类随机性、连续宽带谱等特性，分数阶混沌系统在保密通信中具有巨大的潜在价值，可实现数字混沌加密通信，有利于提高信息的安全传输[6-7]，因此研究分数阶系统具有十分重要的意义。

早在1990年，Peora和Corrol[8]就提出了混沌同步的概念，并广泛应用于物理学、气象学等各种工程和物理领域中。

近年来，混沌同步在保密通信等跨学科领域的潜在应用价值吸引了许多学者的注意[9]，并取得了一些重大成果。

分数阶混沌系统的同步研究及电路实现

分数阶混沌系统的同步研究及电路实现摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【期刊名称】《《西北师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(055)006【总页数】7页(P47-52,73)【关键词】分数阶混沌系统; 电路实现; 线性反馈同步; 保密通信【作者】摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5; TN1.92分数阶微积分的发展已有300多年的历史，但由于缺乏实际应用，一直没有得到足够的重视.近年来，研究者将分数阶算子引入到整数阶混沌系统的研究中，发现当混沌系统的阶数不是整数时，系统也会发生混沌行为，而且分数阶混沌系统可以很准确的显示混沌系统的动力学特性[1-2].分数阶混沌系统研究成为了一个热点问题，相继出现一系列分数阶混沌系统，如分数阶Chua电路[3]、分数阶Lorenz系统[4]、分数阶Chen系统[5]、分数阶Lü系统[6]等.通过计算仿真发现，当这些混沌系统的阶数不是整数时，系统仍然可以表现为混沌状态，而且，可以更准确的呈现系统的动力学特性.在研究分数阶混沌系统的同时发现，混沌的同步控制问题是一个难点问题，得到了广泛研究并已出现了很多同步方法，如广义同步[7]、混合投影同步[8]、脉冲同步[9]、自适应同步[10-12]等.以上控制方法的控制器都是非线性的，而在实际工程应用中，文中尝试的线性控制器较易实现，经济代价小，因此具有较高的应用价值. 由于分数阶混沌系统同步控制在保密通信、信号处理等领域[13-17]比整数阶混沌系统更具有应用前景和发展前途.目前大部分是对分数阶混沌系统同步控制方法的研究，应用分数阶混沌电路实现混沌保密通信，相关研究还比较少，还处于发展的初期阶段，由于混沌信号自身的特性，混沌控制在保密通信这一领域将有很大的发展空间.文中在整数阶混沌系统的基础上，提出一个新的分数阶混沌系统，该混沌系统与已有的混沌系统相比，时序特性更加复杂、无序.利用波特图频域近似法设计了该2.7阶新分数阶混沌系统的电路.运用驱动-响应同步方法，设计了线性控制器，实现了两个分数阶混沌系统的同步.在同步电路的基础上，利用混沌掩盖保密通信的原理，设计了混沌保密通信电路.1 分数阶微积分的基本理论在分数阶微积分的定义中，最为常用的是Riemann-Liouville(RL)定义[4]，其数学表达式为(1)其中G为Γ函数，n-1≤α<n.当函数f(t)的初始值为零时，(1)式的Laplace变换可表示为(2)时域-复频域转换法是最常用的计算分数阶微积分的方法.通过求解复频域的1/sα,得到复频域的展开形式，再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解，文献[9]提出了一种波特图的频域近似方法.利用波特图频域近似法[9]，文献[7]推导出了α在0.1～0.9的1/sα展开式，这里仅采用近似误差为2 dB的1/sα的展开式[7]，用作文中的系统电路设计.2 分数阶新混沌系统及其电路实现2.1 分数阶新混沌系统(3)其中，0<α≤1,0<β≤1,0<γ≤1并且a=20,b=14,c=11,e=10/3.文中选取参数α=β=γ=0.9对分数阶新混沌系统进行研究.其数值仿真相图如图1所示.由此可知，2.7阶分数阶新混沌系统存在混沌吸引子.2.2 平衡点及其稳定性令该系统方程右边等于零，即(4)可得系统有3个平衡点S0(0，0，0)，S1(-6.5784，-3.3257，19.5610)，S2(9.9117， 5.0180，19.5610).在平衡点S0(0，0，0)将系统线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，解得特征根为λ01=-7.00,λ02=18.31,λ03=-27.31，由于特征值λ1和λ3为负实数，而λ2为正实数，显然S0是不稳定的且为二维空间中的一个鞍点.将系统在平衡点S1线性化，其Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0,得其特征根为(a)x-y-z吸引子(b)x-y相轨图(c)y-z相轨图(d)x-z相轨图图1 α=β=γ=0.9时2.7阶新混沌系统的数值仿真相轨图Fig 1 Numerical simulation phase diagram of a new chaotic system with 2.7 order,α=β=γ=0.9同理，S2处的特征值为由于S1,S2的λ2和λ3是实部为正的共扼复数，且λ1为负实数，所以平衡点S1,S2都是不稳定的鞍焦点.2.3 分数阶混沌电路设计这里，采用误差为2 dB的1/s0设计电路，由文献[7]可知，1/sa的近似表达式为(近似误差2 dB)(5)当α=0.9时，混合型电路单元如图2所示.图2 分数阶1/sa的混合电路Fig 2 Fractional order 1/sa hybrid circuit根据电路设计理论，设计新分数阶混沌系统的电路图，如图3所示.图3中运算放大器采用LM741，模拟乘法器采用AD633(输出系数0.1)，整个电路供电电压为15 V，其中R1=R2=500 Ω，R3=100 Ω，R9=800 Ω，R10=1 kΩ，R11=100 Ω,R17=R18=30 kΩ,R19=100 Ω,R7=R8=R15=R16=R23=R24=10kΩ,R4=R12=R20=61.5 MΩ,R5=R13=R21=1.65 MΩ,R6=R14=R22=15.7kΩ,C1=C4=C7=0.5 μF,C2=C5=C8=0.3 μF,C3=C6=C9=0.44 μF.在Multisim上仿真电路原理图，并用示波器显示各相仿真相图，结果如图4所示，将电路实现的结果与数值仿真结果相比较可知，电路实现的结果与数值仿真结果完全一致，证明了新分数阶混沌系统的正确性.3 分数阶混沌系统同步的电路实验整数阶混沌系统的同步控制研究已取得了很多的研究成果，这为研究分数阶系统的同步控制奠定了坚实的理论基础.这里采用线性反馈控制方法来图3 2.7阶新混沌系统电路原理图Fig 3 Schematic diagram of the 2.7-order new chaotic system实现2个新分数阶混沌系统的同步.所谓线性反馈法就是对2个演化规律相同的自治混沌系统，把一个系统的变量用适当的方式反馈到另一个系统中去，从而控制被反馈的系统，最终达到两个系统的同步.该方法是设计线性反馈控制器，实现起来比较容易，在工程应用中具有较大的实际意义.新分数阶驱动系统微分方程为(6)新分数阶响应系统微分方程为(7)运用电路理论对驱动和响应系统进行电路设计，2个分数阶混沌系统的同步电路如图5所示，其中R25=R26=R30=R31= R35=R36=1 kΩ，R27=(a)x-y平面相轨图(b)x-z平面相轨图(c)y-z平面相轨图图4 2.7阶新混沌系统仿真相轨图Fig 4 Phase diagram of thenew chaotic system of the 2.7 orderR28=R29=R32=R33=R34=R37=R38=R39=10 kΩ，选取合适的控制参数k1,k2,k3，利用Multisim对图5进行仿真，得到各相的同步仿真相图.图6为x1-x2平面的同步相图，是一条穿过原点的直线，图7为x1-x2的时序波形图.由图6和图7可以看出，2个系统实现了完全同步.4 分数阶混沌保密通信电路利用文中提出的新分数阶混沌系统，设计一个分数阶混沌掩盖保密通信电路，混沌掩盖保密通信电路如图8所示，图中R64=R67=R68=R70=R71=R72=R74=100 kΩ，R65=R69=R73=50 kΩ，R66=33 kΩ，混沌掩盖通信的基本原理为：将混沌信号与信源信号叠加在一起，在接收端通过同步差分解调电路，得到信源信号.在电路图8中，信号源信号从Vin输入，调制解调电路的另一输入端口输入混沌信号，2种信号通过运算放大器反向加法电路进行叠加，得到反向的混合信号，再经过一级反向电路，得到正的混合信号，在接收端，利用差分解调电路将混合信号与信源信号进行分离，输出端Vout得到的即是信号源信号.由于发送端与接收端实现了同步，所以该电路可以实现保密通信.文中选用正弦信号作为信号源，通过电路仿真得正弦波信号与叠加后的混沌信号以及叠加后的混沌信号与解调出的输出信号，如图9和图10所示，从电路仿真结果看，输入信号与混沌信号叠加后，信号波形十分复杂，在信号传输过程中，窃听者只能得到混合后的混沌信号，由于解调过程要求驱动电路与响应电路参数完全一致，否则无法解调出传输信号，所以，此电路具有很好的保密特性.图9和图10中输入信号与解调出的信号完全一致，即证明此保密通信电路的正确性. 图5 2.7阶新混沌系统同步电路图Fig 5 2.7-order new chaotic system synchronization circuit图6 系统(6)与系统(7)x1-x2平面的同步仿真图Fig 6 Simultaneous simulationof system(6) and system(7) x1-x2plane图7 系统(6)与(7)的同步仿真波形图Fig 7 Synchronous simulation waveforms of system (6) and system (7)图8 混沌掩盖保密通信电路调制解调电路Fig 8 Modulation and demodulation circuit of secure communication circuit with chaotic masking图9 正弦波信号与叠加后的混沌信号Fig 9 Sine wave signal and superimposed chaotic signal图10 叠加后的混沌信号与解调出的输出信号Fig 10 Chaotic signal after superposition and demodulated output signal5 结束语对新提出的分数阶混沌系统通过数值仿真、平衡点理论分析进行验证，并设计了电子电路，电路仿真结果与数值仿真完全一致，证明了系统模型的正确性，由于分数阶混沌系统更精确、动力学特性更加复杂无序，构建了新分数阶混沌系统驱动-响应同步电路图，以及新分数阶混沌保密通信电路，并在Multisim上进行仿真，采用混沌掩盖原理对输入信号进行加密，用混沌信号对信号源信号加以掩盖，在接收端，利用差分解调电路对混沌信号进行解调，由电路仿真结果可以看出，解调出的输出信号与输入信号完全一致，即说明此电路具有很好的保密性，可以实现保密通信.参考文献:【相关文献】[1] CARROLL T L,PECORA L M.Synchronizing chaotic circuits[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1991,38(4):453.[2] TOUR J M,HE T.Electronics:the fourth element[J].Nature,2008,453:42.[3] HARTLEY T T,LORENZO C F,KILLORY QAMMER H.Chaos in a fractional order Chua’s system[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1995,42(8):485.[4] GRIGORENKO I,GRIGORENKO E.Chaotic dynamics of the fractional Lorenzsystem[J].Physical Review Letters,2003,91(3):034.[5] LU J G.Nonlinear 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分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法

分数阶Newton-Leipnik混沌系统r滑模同步的两种方法毛北行【摘要】Based on sliding mode control and proportional integral sliding mode control ,the author designed sliding mode functions and controller ,and gave sufficient conditions for synchronization of fractional-order Newton-Leipnik chaotic systems .The results show that the master-slave systems of fractional-order New ton-Leipnik systems obtain sliding mode synchronization and proportional integral sliding mode synchronization if proper control law and sliding mode surfaces are selected .%基于滑模控制及比例积分滑模控制,设计滑模函数和控制器,并给出分数阶New ton-Leipnik混沌系统取得同步的充分性条件.结果表明,若选取适当的控制律和滑模面,则分数阶New ton-Leipnik混沌系统的主从系统可取得滑模同步及比例积分滑模同步.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)003【总页数】5页(P708-712)【关键词】混沌同步;分数阶;Newton-Leipnik系统【作者】毛北行【作者单位】郑州航空工业管理学院理学院 ,郑州450015【正文语种】中文【中图分类】O482.4近年来, 对滑模同步问题的研究已引起人们广泛关注[1-10]. 文献[11]研究了一类分数阶Duffling-Van der pol系统的同步控制问题; 文献[12]研究了分数阶多涡卷系统的同步控制; 文献[13]基于滑模方法研究了一类不确定系统的同步问题; 文献[14]研究了一类具有二次项的Mavpd混沌系统的动力学分析问题, 并讨论了该系统的平衡点及稳定性；文献[15]研究了比例积分追踪制导方法, 得到了精确的追踪制导方法；文献[16]研究了一个新混沌系统的滑模控制问题. 在此基础上, 本文研究分数阶Newton-Leipnik混沌系统滑模同步, 并给出系统取得同步的充分性条件.定义1[17] Caputo分数阶导数定义为+.分数阶Newton-Leipnik混沌系统[4]为(1)当μ1=0.4, μ2=0.175, α∈[0.989,1]时, 系统(1)出现奇异吸引子. 以系统(1)作为驱动系统, 设计响应系统为(2)定义误差e1=x2-x1, e2=y2-y1, e3=z2-z1,将式(1)与式(2)相减可得(3)1 滑模同步假设条件：(H1) |e2+10(y2z2-y1z1)|<ε1|e1|, ε1<μ1;(H2) |-e1+5(x2z2-x1z1)|<ε2|e2|, ε2<0.4;(H3) x1,y2为有界变量, 即存在正常数M>0, 满足|x1|<M, |y2|<M.引理1[17] 对于一般的分数阶自治非线性微分方程当系统的阶数0<α≤1时, 若存在实对称正定矩阵P, 使得则分数阶系统(1)渐近稳定.引理2(Barbalat引理)[18] 若函数f(t)在[0,+∞)上一致连续, 且广义积分f(t)dt存在, 则定理1 若假设条件(H1)和(H2)成立, 设计滑模面设计控制器则分数阶Newton-Leipnik主从系统(1)和(2)取得滑模同步.证明：在滑模面上运动时, 根据误差系统方程(3)可得构造函数由(H1)可得从而易知该微分方程的解渐近稳定, 于是e1→0. 同理, 根据误差方程构造函数由(H2)可得再由可得又由于e1→0, e2→0, 且在滑模面上s=0, 因此可得误差方程由(H1)易得-ε1|e1|<e2+10(y2z2-y1z1)<ε1|e1| ⟹ -ε1|e1|-e2<10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|-e2, 从而有-ε1|e1|+e2<-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2.同理由(H2) 易得-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)<ε2|e2|-e1,从而可得-ε1|e1|+e2-ε2|e2|-e1<-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)<ε1|e1|+e2+ε2|e2|-e1. 又由于e1→0, e2→0, 因此由两边加定理易得-5(x2z2-x1z1)-10(y2z2-y1z1)→0,从而变为显然e3→0.不在滑模面上运动时, 构造Lyapunov函数V(t)=s2/2, 求导可得由于积分可得因此s(t)是可积的且有界, 由引理2可知, s(t)→0.2 比例积分滑模同步定理2 在假设条件(H1)～(H3)成立下, 选取控制器u(t)=-(k+μ2)e3(t)-ηsgn(s(t)), k>0为常数, 则分数阶Newton-Leipnik系统的主从系统(1)和(2)可取得比例积分滑模同步.证明：将等效控制器代入式(3)可得理想滑模方程为(4)在滑模面上运动时, 根据误差系统方程(3)可得构造函数由(H1)可得从而e1→0.同理根据误差方程构造函数由(H2)可得再由滑模面上可得方程-5(x2y2-x1y1)=-5(x2-x1)y2-5x1(y2-y1)=-5e1y2-5x1e2.又由于e1→0, e2→0, 即e1,e2为无穷小量, 由(H3), x1,y2为有界变量, 故-5(x2y2-x1y1)为无穷小量, 即-5(x2y2-x1y1)→0, 因此显然e3→0.当不在滑模面上运动时, 选取Lyapunov函数V(t)=s2/2, 求导可得根据引理2可知, s(t)→0.3 数值仿真选取系统参数μ1=0.4, μ2=0.175, α=0.93, 设置系统初始值为(x1(0),y1(0),z1(0))=(2,1,3), (x2(0),y2(0),z2(0))=(1,2,2),分别采用定理1和定理2中的滑模面和控制器进行数值仿真, 定理1和定理2的系统误差曲线分别如图1和图2所示. 由图1和图2可见, 开始时误差相差较大, 随着时间的延长, 系统误差逐渐趋于一致. 定理1中当时间t>0.275 s后, 系统取得滑模同步, 定理2中当t>0.225 s后, 系统取得比例积分滑模同步. 显然, 定理2比定理1中的控制器简单且能在更短时间内达到同步.图1 定理1的系统误差曲线Fig.1 System error curves of theorem 1图2 定理2的系统误差曲线Fig.2 System error curves of theorem 2综上, 本文研究了分数阶Newton-Leipnik混沌系统的滑模同步问题, 设计了滑模面和控制器, 并给出了系统取得同步的充分性条件, 最后通过数值算例验证了该方法的可行性与有效性.参考文献【相关文献】[1] HE Jinman, CHEN Fangqi. 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Beijing: Tsinghua University Press, 2003.)。

基于分数阶混沌系统的文本加解密算法及数字电路实现

基于分数阶混沌系统的文本加解密算法及数字电路实现
谢秋霞;张庆平
【期刊名称】《安庆师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(30)1
【摘要】21世纪是信息时代,信息安全备受关注。

针对这一问题,本文提出了一种
基于三维分数阶混沌系统的文本加解密算法。

结合Grünwald-Letnikov导数定义,采用离散的数值解法构建了4个三维分数阶混沌模型。

搭建好电路,在使用时随机
选取1个分数阶混沌系统以产生混沌序列,并由此构造出密钥序列,再将发送端和接收端的文本信息与密钥序列进行异或处理来实现对文本的加解密,从而完成两个STM32之间的无线保密通信。

测试结果表明,该算法具有良好的加密效果和安全性。

【总页数】6页(P66-71)
【作者】谢秋霞;张庆平
【作者单位】安庆师范大学电子工程与智能制造学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5;TP309.7
【相关文献】
1.基于量子混沌粒子群优化算法的分数阶超混沌系统参数估计
2.基于分数阶控制器的分数阶混沌系统同步
3.基于分数阶Takagi-Sugeno模糊模型的分数阶Chen混沌系统的控制
4.基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究
5.加控
制器的预估-校正算法在分数阶Chen混沌系统中的实现
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漳州师范学院毕业论文分数阶统一混沌系统地同步The Synchroni zati on of Fracti on alorderUn ifiedSystem姓名：张丽学号：070401326系别：数学与信息科学系专业：数学与应用数学年级：07级指导教师：蔡建平教授2018年05月22日本文运用耦合同步控制法，研究分数阶统一混沌系统地同步问题•首先,分别在分数阶统一系统地每个方程上加耦合控制变量使得驱动系统和响应系统达到同步；然后，在每个方程同时加耦合控制变量使得驱动系统响应系统达到同步•并运用Laplace变换理论证明,最后用Matlab软件进行数值仿真进一步验证本文所用地方法地有效性.b5E2RGbCAP 关键词：分数阶；统一混沌系统；同步控制；耦合控制AbstractThis paper applies coupled synchronization control method to research the synchronization of fractional order unified chaotic system. First of all, the coupled control variables are added to each equation of fractional unified system makes the drive system and response system to achieve synchronization. Then, the control variablesare added to each equation at the same time makes the drive system and response system to achieve synchronization.Furthermore, detailed proofsare given by using the Laplace transformation theory. Finally, numericalsimulations based on Matlab verify the effectiveness of the present methods EanqFDPwKey words: fractional order。

unified system synchronization control couplingCOntro DXDiTa9E3d中英文摘要......................................................... VI )1引言 (1)2 分数阶微分定义 (1)3分数阶统一混沌系统地同步 (2)3.1.1统一分数阶第二个方程加耦合控制 (3)3.1.2数值仿真 (6)3.2.1统一分数阶第一个方程加耦合控制 (7)3.2.2数值仿真 (9)3.3.1统一分数阶第三个方程加耦合控制 (11)3.3.2数值仿真 (13)3.4.1统一分数阶三个方程都加耦合控制 (14)3.4.2数值仿真 (17)4结论 (19)参考文献<20)<21) 致谢1引言分数阶微积分是研究分数阶次地微积分算子特性及其应用地数学理论，其拓展了传统微积分地概念，它几乎和整数阶微积分理论具有同样长地发展历史.但直到1983年，文献⑴首次指出了自然界及许多科学技术领域中存在大量地分维数地事实，及在整数阶微积分与分数阶微积分理论描述地动力学系统之间存在着自相似现象•此后，作为分形几何和分维数地动力学基础，分数阶微积分才重新获得了新地发展并成为当前国际上地一个研究热点•但将其应用到物理学和工程学地研究热潮还是在最近几十年才兴起地，许多物理系统展现出分数阶动力学行为,特别是在Chua电路［2］、Lorenz系统⑶、Chen系统⑷、Lu系统5］中,当其阶数为分数时,系统还是混沌地.RTCrpUDGiT自从1990年Pecora和Caccoll⑹发现了两个混沌系统可以实现同步以来, 就掀起了混沌同步问题研究地热潮.在通信领域,Arman Kiani-B 等用简单地混沌系统掩盖方法证明了分数阶混沌信号能加强通信地安全性.将分数阶混沌应用于保密通信［7,8］、信号处理等领域,由于系统模型自身地复杂性，会比整数阶混沌系统具有更强地保密性和抗破译能力.因此研究分数阶混沌系统具有广泛地应用前景.5PCzVD7HxA 本文主要是研究分数阶统一系统［9］地同步问题，文中运用了耦合同步方案在分数阶不同地方程上加耦合控制器，并且利用拉普拉斯变换理论给出了具体地证明，同时也用Matlab软件数值仿真来进一步验证了本文方法地有效性和可行性.jLBHrnAlLg2、分数阶微分定义在研究分数阶微积分地过程中，对于微分和积分地概念有很多.在本文中，将采用地是Caputo微分地定义来研究分数阶混沌动力学行为［10-11］ .Caputo微分定义为：XHAQX74J0X 」， <1 )这里」为第一个不小于地整数，二为地阶导数，是阶Riemann-Liouville 积分算子，即:其中」是Gamm函数,通常称为耳阶Caputo微分算子.3分数阶统一混沌系统地同步统一混沌系统为：E其中」.当」时，统一混沌系统＜3）属于广义地Lorenz系统；当时,统一混沌系统＜3）属于广义地Chen系统；LDAYtRyKfE当亠时，统一混沌系统＜3）属于广义地Lu系统统一混沌系统是一个由单参数控制地连续混沌系统，具有统一性和全局性混沌特性.系统只用一个参数就可以控制整个系统.当由零逐渐增加到1时系统也由广义地Lore nz系统逐渐过渡到广义地Che n系统，具有统一性.Zzz6ZB2Ltk其相应地分数阶统一混沌系统为：a当 —I 时，对于不同地值地统一混沌吸引子如图1所示:3.1.1统一分数阶第一个方程加耦合控制以统一系统＜4）为驱动系统，根据耦合同步法将耦合系数加在第一个方程里:<5)其中―I ,为耦合强度.令误差变量为:将＜5）式减去＜4）式可以得到误差系统为:这里,当E 时，系统＜4）为整数阶地统一混沌系统图1分数阶统一混沌系统地吸引子依次为—untitle ——a=0.6untitle--a=0.8untitle--a=1对＜6）式做Laplace变换.令：—■,且■,则整理得:由Laplace变换地终值定理得:再根据混沌吸引域地有限性：存在某一个正数，使得所以得到：I由 =1,于是有界不失一般性设」,则当亠时可以得到表明驱动系统＜4）和响应系统＜5）在适当地选择和可以达到同步.EKI当K 有界且 1 I.,所以所以,在假设N 有界,且 ______________ ■ 地情况下可以得到:3.1.2数值仿真取步长, _______________________ 0通过运用Matlab软件,可以做出系统在不同和地情况下达到同步时地误差—时间图,如下图所示：dvzfvkwMIl0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000t图2 误差一时间0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000t图3 误差一时间 ____________ '0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000t图4 误差一时间图5 误差一时间所以在确定地情况下增益控制匸地选择很重要• EmxvxOtOco321统一分数阶第二个方程加耦合控制以统一系统＜4）为驱动系统，根据耦合同步法构造响应系统:其中 —I ,为耦合强度.令误差变量为：□将＜7）式减去＜4）式可以得到误差系统为:㈢<7 )从图像可以看出当I 时驱动系统＜4）和响应系统＜5）不能达到同步当 rqyn14ZNXI.I II 时,误差时间图如下图所示:再根据混沌吸引域地有限性：存在某一个正数，使得所以得到：由* ,于是E有界不失一般性设」,则当________ ；时可以得到所以,在假设叵有界, ----- J地情况下可以得到:表明驱动系统＜4）和响应系统＜7）在适当地选择和可以达到同步.322数值仿真取步长通过运用Matlab 软件,可以做出系统在不同和地情况下达到同步时地误差图8误差一时间 _________当亠 , 时，驱动系统＜4）和响应系统＜7）不能达到同步.如下图所示:—时间图,如下图所示：SixE2yXPq5 t图7误差一时间321-1-2-3t6ewMyirQFL如上图所示，增益控制值和地选择很重要.3.3.1统一分数阶第三个方程加耦合控制同样以统一系统＜4）为驱动系统，根据耦合同步法将耦合系数加在第三个方程里：其中 ―I ,为耦合强度.令误差变量为： □ 将＜9）式减去＜4）式可以得到误差系统为: 图9误差一时间3<9) 80u0 500 1000 1500 2000 2500 30003500 4000 t对＜10）式做Lap lace变换.令：] ,且 ____________ ] ,则整理得:LEJ由Laplace变换地终值定理得：EKI若一I有界，丄」,则再根据混沌吸引域地有限性：存在某一个正数，使得1 一■所以得到：由"I!,于是E有界不失一般性设」,则当时，可以得到所以,在假设鬥：有界且 _________ f 地情况下可以得到表明驱动系统＜4）和响应系统＜9）在适当地选择和可以达到同步.332数值仿真取步长二i , _____________________ L1 ,通过运用Matlab软件,可以做出系统在不同和地情况下达到同步时地误差—时间图,如下图所示：kavU42VRUs图12 误差一时间当______ f 时,其误差时间图如下：321-1-2-3t图10 误差一时间321-1-2-3t图11 误差一时间tty6v3ALoS89图13 误差时间图如上图所示，.一II 时驱动系统＜4）和响应系统＜9）不能达到同步，所以增益控制和地选择很重要.3.4.1统一分数阶三个方程都加耦合控制同样以统一系统＜4）为驱动系统，根据耦合同步法在每个方程都加上耦合系数：LEJ <11) 其中―I , -II为耦合强度.令误差变量为:将＜11）式减去＜4）式可以得到误差系统为：㈢<12) 对＜12）式做Lap lace变换.I —I 整理得：[HI由Laplace变换地终值定理得：a丨=ILKI 若一I有界,______ I,贝U再根据混沌吸引域地有限性：存在某一个正数，使得所以得到：IxI由I —II ,于是有界不失一般性设」,则当 _______ f 时可以得到表明驱动系统＜4）和响应系统＜11）在适当地选择和步•342数值仿真取步长二i , ____________________ 通过运用Matlab 软件，可以做出系统在不同和地情况下达到同步时地误差 —时间图,如下图所示：M2ub6vSTnP所以,在假设.F 有界且I 地情况下可以得到___ ）可以达到同el1020304050 t 607080901001p2—— -----2iiii i i ■ i i1020304050 t607080901002-2 liii I i ■ i 11020 30 40 5060708090 10015 误差一时间eUts8ZQVRdel2J~ --- —--2■■1020304050 60708090100t2 e2-2iii i i iii1020 304050 60708090100t1■••2e3-21 ii i i i IIi i1020304050 60708090100tOYujCfmUCw图14误差一时间20 -2e2e32 e3-2图16 误差一时间丨sQsAEJkW5T当上J 时，取 .I，-I ,驱动系统＜4）和响应系统＜11）不同步.即 _________ ； ,由于Laplace 变换没有对限制,取II -I',其误差图如下：GMslasNXkAe12 0r~■■1_ _ --- ————__—-2Lii i Ii i ii j102030405060708090100t■ ■e22 -_-2ii1 i i ■i i i i0 102030405060 708090100102030405060708090100tTlrRGchYzg由图所示,-------- f时误差不趋于零，即驱动系统＜4）和响应系统＜11）此时不能达到同步0 10 20304050 t60708090100图17误差一时间0 10 20 30 50 t60 70 80 90 100402e3从以上四种情况可以初步看出和增益控制地选择会影响驱动系统和响应系统地同步.本文中是应用Laplace变换进行理论证明,那么和必须同时满足Laplace变换地条件,要是不满足就不能达到同步•当然,可能还有其他情况下地可和使得响驱动系统和响应系统不能达到同步，这也是本文值得继续探究和改进地地方.7EqZcWLZNX4结论本文以分数阶统一混沌系统为研究对象，利用耦合同步控制法，实现了分数阶统一混沌系统地同步.并通过选取适当地参数以及初始值进行数值模拟，进一步验证了本文地方法是可行地、有效地.但是，对于耦合控制地选择应该谨慎. lzq7IGfO2E参考文献：[1]Mandelbort B B. 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