蔡氏电路中混沌现象的观察研究

2.6.3 蔡氏电路中混沌现象的观察研究

混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观察手段。由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。

用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984年提出的一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。蔡氏电路的理论模型如图2-70所示。

R

R

L 17.4m

图2-70 蔡氏电路的理论模型

图中，C 1、C 2为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode ），具有图2-71所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。

图2-71 蔡氏电路非线性电阻的特性

实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72所示，由双运放与6只线性电阻构成。

图2-72 由双运放构成的蔡氏二极管

将图2-70所示电路中的R C 分成两电阻串联，即21R R R c +=，其中2R =Ωk 1，1R 是Ωk 1的可调电位器。

我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。

U R

1．编辑原理图

首先编辑非线性电阻R构成电路，如图2-73 (a)所示。在这个图中取用两个输入接线端，是为了把该电路设置成如图2-73 (b)所示的R子电路。

(a) (b)

图2-73 Multisim中编辑出的非线性电阻R及其子电路

子电路的创建方法是在选中图中所有的部分（按住鼠标，拖一个把该电路部分全部包围进去的方框，如电路窗口中仅有这部分电路，也可选择Edit/Select All命令），启动Place/Replace by Subcricuit命令，即可得。设置子电路的目的是使蔡氏电路的电路图形更加简洁。

接着编辑蔡氏电路原理图，如图2-74所示，其中就调用了前面已编辑好的子电路R。

图2-74 Multisim环境下的蔡氏电路原理图

由于蔡氏电路中混沌现象的出现对电阻R C的敏感性，故要打开R1的属性（Potentiometer）对话框，对其Value页中的Increment由5％的缺省值改为1％。

2．仿真操作

（1）混沌信号时域波形的观察

在仪表工具栏中选中示波器XSC1并连接到电路中，如图2-75所示。

图2-75 混沌信号时域波形的观察电路

根据理论计算，混沌双吸引子的大约出现在21R R R c +=等于1.7k Ω左右，所以通过或键可以调节R 1的大小，先把R 1设置在70％左右。再打开示波器的面板，将Timebase 区域中的Scale 设置为2ms/Div ，Channel A 区域中的Scale 设置为2V/Div ，启动Multisim 的仿真开关，将在示波器的面板上出现如图2-76所示的混沌信号的时域波形。

图2-76 混沌信号时域波形

调节R 1大小，观察混沌时域信号的变化情况。可以发现，随着R 1数值的减小，混沌时域信号的振幅在降低，但在30％时，混沌信号转变为正弦波信号，且振幅值激剧增大。而随着R 1数值的增大，混沌信号上下变动的周期逐渐增长；81％时混沌信号转变为叠加一直流信号的正弦波；90％以后，该电路振幅减小，振荡慢慢消失。所以在R C 值为1.4k Ω与1.8k Ω之间，能够观察到电路逐渐通向混沌。

做上述仿真时要注意启动仿真开关后，电路要有一个起振过程，对于某些硬件配置不高的电脑，可能要较长的时间。

（2）倍周期分岔、阵发混沌以及混沌吸引子的观察

下面来观察系统通向混沌的过程。

图2-77所示的电路可用来观察蔡氏电路所产生的吸引子相图。

图2-77 用来观察蔡氏电路所产生的吸引子相图的电路

当调节R 1为90%即21R R R c +=等于1.9k Ω时观察到的周期1吸引子如图2-78所示。注意示波器面板的设置。

图2-78 周期1吸引子

接着随着R 1的减小，系统会出现倍周期分岔，产生周期1、2、4、8、16等一系列吸引子。当R 1为88% 时，产生的周期2吸引子如图2-79。

图2-79 周期2吸引子

R1为85% 时，电路已经分岔出无穷多个周期，而处在混沌状态。其螺旋吸引子如图2-80。

图2-80 螺旋吸引子

请注意由于受可调电阻1% 的变化间隔的限制，难以很好的看清倍周期分岔的过程。有兴趣的读者不妨用虚拟器件来代替之，以便任意配置参数，从而更精确的观察到周期2、4、8等一系列吸引子。

随着R1的进一步减小，系统会在产生周期3、6等吸引子后，再次进入混沌。R1为81% 时的单涡卷吸引子如图2-81。

图2-81 单涡卷吸引子

随着R1继续减小，逐渐出现了双吸引子。R1为70% 即R C=1.7kΩ时典型的双涡卷吸引子，如图2-82所示。

图2-82 双涡卷吸引子