陕西省2021届高三教学质量检测试题(一)(理科数学)
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21．设函数，f（x）=lnx+ ，k∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；
（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）-f（x2）＜x1-x2恒成立，求k的取值范围．
22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
②将频率视为概率，从 市所有参与调Leabharlann Baidu的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为 ，求 的数学期望和方差.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点 构成一个高为 ，面积为 的等腰梯形．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点F1的直线 和椭圆交于A,B两点，求 面积的最大值．
陕西省2018届高三教学质量检测试题（一）（理科数学）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则 中元素的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
（Ⅰ）当 时，求曲线 上的点到直线 的距离的最大值；
（Ⅱ）若曲线 上的所有点都在直线 的下方，求实数 的取值范围.
23．已知函数 ．
(1)解不等式 ；
(2)记函数 的值域为M，若 ，证明： ．
参考答案
1．D
【解析】
集合 ， ，则
故公共元素共3个。
故答案为：D。
2．B
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
所以， 是假命题， 是假命题， 是假命题， 是真命题；故选D.
考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.
4．D
【解析】
根据等差数列的性质得到
故得到
故答案为：D。
5．C
【解析】
函数f（x）=|x|sgnx= =x，
故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，
故答案为C．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知命题 对任意 ，总有 ；
是 的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（）
A． B． C． D．
4．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .若 ，则 （ ）
A．420B．340C．-420D．-340
5．设x∈R，定义符号函数 ，则函数 = 的图象大致是（ ）
三、解答题
16．已知 的内角 的对边分别是 ，且 ，若 ，则 的取值范围为__________．
17．已知在递增等差数列 中， ， 是 和 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， 为数列 的前 项和，求 的值.
18．如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.
19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率.
A． B． C． D．
9．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 ，从集合 中任取一个元素 ，则函数 ， 是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 为 所在平面内一点， ， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
11．过双曲线 的右焦点 作圆 的切线 （切点为 ），交 轴于点 .若 为线段 的中点，则双曲线的离心率是（ ）
【详解】
由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
3．D
【解析】
试题分析：由题设可知： 是真命题， 是假命题；所以， 是假命题， 是真命题；
A． B． C． D．
12．若函数 存在极值，且这些极值的和不小于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线 是抛物线 的一条切线，则 __________．
14．若函数 ， 的图像关于原点对称，则函数 ， 的值域为__________．
15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中， 平面 ， ，则该鳖臑的外接球的表面积为__________．
6．A
【解析】
试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法，故不同的安排方案共有 种，故选A．
考点：排列组合的应用．
7．B
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
作出约束条件 ，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得 ，平移直线 可知，当直线经过点 时，直线的截距最小，代值计算可得 取最大值
A． B．
C． D．
6．将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
7．若变量 满足约束条件 则 的最大值为( )
A．4B．3C．2D．1
8．已知 与 均为正三角形，且 .若平面 与平面 垂直，且异面直线 和 所成角为 ，则 （ ）
（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；
（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）-f（x2）＜x1-x2恒成立，求k的取值范围．
22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
②将频率视为概率，从 市所有参与调Leabharlann Baidu的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为 ，求 的数学期望和方差.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点 构成一个高为 ，面积为 的等腰梯形．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点F1的直线 和椭圆交于A,B两点，求 面积的最大值．
陕西省2018届高三教学质量检测试题（一）（理科数学）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则 中元素的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
（Ⅰ）当 时，求曲线 上的点到直线 的距离的最大值；
（Ⅱ）若曲线 上的所有点都在直线 的下方，求实数 的取值范围.
23．已知函数 ．
(1)解不等式 ；
(2)记函数 的值域为M，若 ，证明： ．
参考答案
1．D
【解析】
集合 ， ，则
故公共元素共3个。
故答案为：D。
2．B
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
所以， 是假命题， 是假命题， 是假命题， 是真命题；故选D.
考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.
4．D
【解析】
根据等差数列的性质得到
故得到
故答案为：D。
5．C
【解析】
函数f（x）=|x|sgnx= =x，
故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，
故答案为C．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知命题 对任意 ，总有 ；
是 的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（）
A． B． C． D．
4．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .若 ，则 （ ）
A．420B．340C．-420D．-340
5．设x∈R，定义符号函数 ，则函数 = 的图象大致是（ ）
三、解答题
16．已知 的内角 的对边分别是 ，且 ，若 ，则 的取值范围为__________．
17．已知在递增等差数列 中， ， 是 和 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， 为数列 的前 项和，求 的值.
18．如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.
19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率.
A． B． C． D．
9．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 ，从集合 中任取一个元素 ，则函数 ， 是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 为 所在平面内一点， ， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
11．过双曲线 的右焦点 作圆 的切线 （切点为 ），交 轴于点 .若 为线段 的中点，则双曲线的离心率是（ ）
【详解】
由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
3．D
【解析】
试题分析：由题设可知： 是真命题， 是假命题；所以， 是假命题， 是真命题；
A． B． C． D．
12．若函数 存在极值，且这些极值的和不小于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线 是抛物线 的一条切线，则 __________．
14．若函数 ， 的图像关于原点对称，则函数 ， 的值域为__________．
15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中， 平面 ， ，则该鳖臑的外接球的表面积为__________．
6．A
【解析】
试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法，故不同的安排方案共有 种，故选A．
考点：排列组合的应用．
7．B
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
作出约束条件 ，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得 ，平移直线 可知，当直线经过点 时，直线的截距最小，代值计算可得 取最大值
A． B．
C． D．
6．将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
7．若变量 满足约束条件 则 的最大值为( )
A．4B．3C．2D．1
8．已知 与 均为正三角形，且 .若平面 与平面 垂直，且异面直线 和 所成角为 ，则 （ ）