高三数学第一轮复习 第三章《函数极限和连续性、导数》3-2

• 题型一 变化率与导数定义
例 1 已知函数 y＝ x2＋1 ①求函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． ②求函数在 x＝1 处的导数．
【解析】 ①Δy＝ x0＋Δx2＋1－ x20＋1
＝
Δx2＋2x0·Δx x0＋Δx2＋1＋ x20＋1
∴ΔΔyx＝
2x0＋Δx x0＋Δx2＋1＋
x20＋1
• 2．计算：
• (1)(x4－3x3＋1)′＝______ • (2)(xe2x)′＝______ • (3)(sinx·cosx)′＝______ • 答案 4x3－9x2 e2x＋2xe2x cos2x
3．物体运动方程为 s＝14t4－3，则 t＝5 时的瞬时速度
为( )
A．5
B．25
C．125
• 答案 4 4 －2
解析 f′(x)＝3x2－8，f′(2)＝4
Δlixm→0 f2＋ΔΔxx－f2＝f′(2)＝4
lxi→m2
fxx－－2f2＝x－li2m→0
f[2＋x－2]－f2 x－2
＝f′(2)＝4
lki→m0
f2－k2k－f2＝－12－likm→0
f2－k－f2 －k
＝－12f′(2)＝－2.
fx x.
【解析】 lxi→m0 fxx＝lxi→m0 f0＋xx－f0＝f′(0)＝1
(2) 已 知 f′(a) ＝ (2) 已 知 f′(a) ＝ 3
，3 ，则则lhi→m0lhi→m0
faf＋a＋3h3－ hh－ hfaf－a－h h＝ ＝
____________.
____________.
• 5．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处 的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
• A．a＝1，b＝1 • B．a＝－1，b＝1 • C．a＝1，b＝－1 • D．a＝－1，b＝－1
• 答案 A
解析 求导得 y′＝2x＋a，因为曲线 y＝x2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线 l 的方程是 x－y＋1＝0，所以 切线 l 的斜率 k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线 l 上， 于是有00＋ －ab＝ ＋11＝0 ，解得ab＝ ＝11 .
【解析】 【解析】
原原式式＝＝lhi→m0lhi→m[0fa[f＋a＋3h3－h－faf]ah－]h－[fa[f－a－h－h－faf]a]
wenku.baidu.com
＝3f′(a)＋f′(a)＝4f′(a)＝12
＝3f′(a)＋f′(a)＝4f′(a)＝12
【答案】 12
• 题型二 导数四则运算及导数公式 • 例2 求下列函数的导数
－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2
• ＝24x3＋9x2－16x－4. • (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx. • (3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ • ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ • ＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 • ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
• (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； • (2)y＝x2sinx； • (3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝x2l＋nx1 (5)y＝e2xcos3x； (6)y＝ln x2＋1
• 【解析】 (1)方法一 y＝(3x3－4x)(2x＋1) • ＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. • 方法二 y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2
v′(t0)
表示物体
在t＝t0时刻的加速度．
• 4．常见基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：
• 5．复合函数的导数
• 设u＝θ(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u＝ θ(x)处可导，则复合函数f[θ(x)]在点x
处可导，f且′(x)＝f′u·u′x .
1．设 f(x)＝x3－8x 则 liΔmx→0 f2＋ΔΔxx－f2＝______ lixm→2 fxx－ －f22＝______ likm→0 f2－k2k－f2＝______
(2)导数定义中，x 在 x0 处增量是相对的，可以是 Δx，也可 以是 2Δx 等，做题要将分子分母中增量统一为一种．
(3)导数定义 liΔmx→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)，也即 lix→mx0 fxx－ －fx0x0＝f′(x0)．
思考题 1
(1)已知 f(x)＝ln(1＋x)，求lxi→m0
y′＝
11 x2＋1·2·
x22＋x 1＝x2＋x 1
或 y＝12ln(x2＋1)，y′＝12·x22＋x 1＝x2＋x 1.
(4)y′＝lnx′x2＋x12＋－1ln2x·x2＋1′
＝1x·x2＋x21＋－1l2nx·2x＝x2＋x1x－2＋21x22·lnx
(5)y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′ ＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x) ＝e2x(2cos3x－3sin3x)．
(6)设 u＝ x2＋1，v＝x2＋1，
• 3．导数的几何意义
• (1)切线的斜率：设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在
• 该点的导数
等于函数所表示的曲线在相应点M(x0，
• f((2)x0瞬))时处速的度切：线设斜s率＝．s(t)是位移函数，则s′(t0) 表示物体
•
在t＝t0时刻的瞬时速度． (3)加速度：设v＝v(t)是速度函数，则
②Δy＝ 1＋Δx2＋1－ 1＋1
＝
Δx2＋2Δx 1＋Δx2＋1＋
， 2
ΔΔyx＝
Δx＋2 1＋Δx2＋1＋
， 2
∴liΔmx→0
ΔΔxy＝
2 2.
探究 1 (1)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增 量 Δy，再算比值ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx，再求极限 y′＝liΔmx→0 ΔΔyx；
D．625
• 答案 C
• 解析 s′|t＝5＝t3|t＝5＝125
• 4．(2010·江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1) ＝2，则f′(－1)＝( )
• A．－1
B．－2
• C．2
D．0
• 答案 B
• 解析 由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又 f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝ －4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.故选B.