收敛数列的性质
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§2.2 收敛数列的性质
教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.
教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等
式性；
（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法，这是极限较基本
的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.
一、收敛数列的性质
性质1（极限唯一性） 若数列}
{n a 收敛，则它的极限唯一.
证法一 假设b a 与都是数列
}
{n a 的极限，则由极限定义，对0>∀ε，12,N N ∃∈¥
，当
1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有
ε
2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，
由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设
}
{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,
a
a n n =∞
→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取
02>-=
a
b ε， 由定义，
1N ∃∈¥
，当1N n >时有
ε<-a a n ⇒
2b a a a n +=
+<ε. 又
2N ∃∈¥
，当2N n >时有 ε<-b a n
⇒
2b a b a n +=
->ε，
因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a b
a a <+<
2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}
{n a 收敛，则
}
{n a 必为有界数列.即0>∃M ，使对n ∀有 M
a n ≤||
证明 设a
a n n =∞
→lim 取1=ε，0>∃N 使得当N n >时有 1
<-a a n
即
1
||||||<-≤-a a a a n n
⇒
1