应力波基础汇总
应力波基础
第一章绪论物体在爆炸/冲击载荷下的力学响应往往与静载荷下的有显著不同。
例如，飞石打击在窗玻璃上时往往首先在玻璃的背面造成碎裂崩落.碎甲弹对坦克装甲的破坏正类似于此.又如，对一金属杆端部施加轴向静载荷时，变形基本上是沿杆均匀分布的，但当施加轴向冲击载荷时（如打钎，打桩……),则变形分布极不均匀，残余变形集中于杆瑞。
子弹着靶时，变形呈蘑菇状也正类似于此。
固体力学的动力学理论的发展正是与解决这类力学问题的需要分不开的。
为什么在爆炸/冲击载荷下会发生诸如此类的特有现象呢？为什么这些现象不能用静力学理论来给以说明呢？固体力学的动力学理论与静力学理论的主要区别是什么呢？首先，固体力学的静力学理论研究处于静力平衡状态下的固体介质,以忽略介质微元体的惯性作用为前提。
这只是在载荷强度随时间不发生显著变化的时候，才是允许和正确。
而爆炸/冲击裁荷以载荷作用的短历时为其特征，在以毫秒（ms)、微秒（μs)甚至毫微秒纳秒（ns）计的短暂时间尺度上发生了运动参量的显著变化。
例如核爆炸中心压力可以在几μs内突然升高到107 ～108 大气压(103~104GPa）量级；炸药在固体表面接触爆炸时的压力也可在几微秒内突然升高到105大气压(10 GPa)量级;子弹以102～103 m/s的速度射击到靶板上时，载荷总历时约几十μs，接触面上压力可高达104～105大气压（1~10 GPa）量级。
在这样的动载荷条件，介质的微元体处于随时间迅速变化着的动态过程中，这是一个动力学问题.对此必须计及介质微元体的惯性，从而就导致了对应力波传播的研究。
事实上,当外载荷作用于可变形固体的某部份表面上时,一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点离开了初始平衡位置.由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（变形),当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力)，但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动起来。
应力波基础学习知识第三章
第三章 弹性波的相互作用3-3 已知两种材质的弹性杆A 和B 的弹性模量、密度和屈服极限分别为：E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =120MPa ，E 1A =E A /5； E B ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /5。
试对Ⅵ－10所示四种情况分别画出X －t 及σ—v 图，并确定撞击结束时间、两杆脱开时间以及分离之后各自的整体飞行速度。
解：两种材料的参数计算如下：s m E C AAA /500010104.210606390=⨯⨯⨯==-ρs m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA/10500010004.210120)(600-=⨯⨯⨯-=-=ρσs m E C BBB /500010102.7101806390=⨯⨯⨯==-ρs m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB/667.6500010002.710240)(600-=⨯⨯⨯-=-=ρσA C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ）BC )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ）（1）：A B v.由上图可知：当左杆波从自由端反射至接触面时，速度，为－4m/s ，应力为0，撞击结束。
撞击结束时间：0.02μs 。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.02μs。
短杆整体飞行速度：－4 m/s（3区）。
长杆整体飞行速度：2m/s（5区速度）。
（2）撞击结束应在A点。
撞击结束时间：0.04μs。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.04μs。
短杆整体飞行速度：2 m/s（7区）。
长杆整体飞行速度：9m/s（6，10区）。
（3）v撞击结束时间：A 点：0.02μs ； B 点：0.04μs 。
应力波理论基础课件
法等，并选取典型案例进行讲解。
应用实例
03
通过分析实际工程案例，让学生了解应力波理论在结构健康监
测、材料性能研究和地震工程等领域的应用情况
REPORTING
材料的弹性性质
弹性性质的定义 材料在外部力作用下会发生形变，当外力撤去后，材料能 够恢复到原来的形状和尺寸，这种性质称为材料的弹性。
球面波的反射与折射
球面波的反射
当球面波遇到界面时，一部分波会反射 回原来的介质，另一部分波会继续传播。 反射波的方向与入射波的方向相同或相 反，取决于界面的性质和入射角的大小。
VS
球面波的折射
当球面波从一种介质传播到另一种介质时， 波速和波长都会发生变化，这种现象称为 折射。折射角的大小取决于两种介质的折 射率和入射角的大小。
有限差分法
将连续的物理量离散化为有限个离散值，然后在时空中建立差分方程组，通过迭代求解。 这种方法适用于具有复杂边界条件和初始条件的问题。
有限元法
将物体划分为有限个小的单元，每个单元上假定存在一定的位移和应力分布，然后根据变 分原理建立总能量泛函，通过求解泛函的极值得到问题的解。这种方法适用于具有复杂形 状和材料性质的问题。
波的散射与衍射
波的散射
当波遇到比波长还小的障碍物时，会产生散射现象。散射波的方向是随机的，散 射强度与障碍物的形状和大小有关。
波的衍射
当波遇到比波长还大的障碍物时，会产生衍射现象。衍射波的形状和大小取决于 障碍物的形状和大小。
2023
PART 06
应力波的应用
REPORTING
地震波的传播与探测
弹性模量的测量方法
通过实验测量材料的弹性模量，常用的方法有拉伸试验、压缩试验、弯曲试验等。这些实验中，通过测量材料在 弹性范围内的应力-应变曲线，可以计算得到材料的弹性模量。
应力波理论简述课件
地球物理勘测
通过应力波理论，研究地层中的波速、反射、折射等特征，推断 地下岩层的性质和结构。
地质灾害预警
对地质构造和地层中的应力波传播特性进行研究，预测可能发生 的地质灾害。
结构健康检测中的应用
结构损伤识别
利用应力波理论，检测结构内部的损伤、裂缝等，评估结构的健康 状况。
材料动态性能研究
通过对材料进行应力波激励，研究材料的动态响应特性，为工程应 用提供依据。
冲击防护与控制中的应用
冲击减震
利用应力波理论，研究 冲击载荷下的减震技术 ，降低结构受到的冲击 影响。
冲击防护
通过对关键部位进行应 力波监测，采取防护措 施，避免冲击对结构造 成的损害。
冲击控制
利用应力波理论，研究 冲击载荷下的控制技术 ，优化结构的动态性能 。
波动方程
边界条件和初始条件
应力波的传播还需考虑边界条件和初 始条件，如介质边界的约束、冲击源 的位置和外力的大小等。
应力波的传播满足波动方程，描述了 应力波在时间和空间上的变化规律。
02 应力波的产生与传播
应力波的产生机制
冲击载荷
物体受到冲击载荷时，应 力波会以波的形式从冲击 点传播出去。
物体形变
实验和数值模拟技术是应力波理论研 究的重要手段，不断得到改进和创新 。
随着计算机技术和数值计算方法的发 展，数值模拟的精度和效率也不断提 高，为应力波理论的研究提供了更为 有力的工具。
新型实验设备和技术的发展，使得实 验观测的精度和范围得到了极大的提 升。
在数值模拟方面，有限元分析、有限 差分分析、边界元分析等计算方法不 断得到发展和完善，为解决复杂的应 力波问题提供了有效途径。
爆炸应力波研究入门
塑性波
当外载荷作用于可变形的固体的局部表面时， 一开始只有直接受到外载荷作用的表面部分的介质 质点因变形而离开了初始平衡位置，由于这部分介 质质点与相邻介质质点发生了相对运动，必然将受 到相邻质点的作用力，同时也给相邻介质质点予反 作用力，因而使相邻介质质点离开平衡位置而运动 起来。由于质点的惯性，相邻介质质点的运动将滞 后于表面介质质点的运动。依次类推，外载荷在表 面引起的扰动将在介质中逐渐由近及远传播开去。 这种扰动在介质中的由近由近及远的传播即是应力 波。其中的扰动与未扰动的分界面称为波阵面，而 扰动的传播速度称为应力波波速。
2 2 CP 2CS d 2 2 2(C P CS ) 2 Ed 2CS r (1 d )
Gd r Cs2 4 2 K d r (C CS ) 3 2 2 d r (CP 2CS )
2 P
式中，Cs为岩石中的横波速 度，μd，Ed，Gd，Kd，λd分 别为岩石的动态泊松比、岩 石的动态弹性模量、动态剪 切模量、动态体积弹性模量、 动态拉梅常数
３２１ 爆破应力源
应力波源(点载荷)
反射波
心裂 入射波
点载荷（应力波）引起直圆柱体的破裂（角裂、心裂）
应力波源
点载荷（应力波）对不同厚 度板引起的破裂（角裂）
内部爆炸加载引起方形筒的 破裂（角裂）
4 岩石中的爆破应力波
• • 炸药爆炸在岩石中激起的应力波（爆炸应 力波主要是弹性应力波） 爆炸应力波在岩石中的传播方式及过程
（右行波） （左行波）
v C0 C 0 0 C 0 0 C0
应力波基础理解
第一章绪论1、概念理解：应力波（波阵面、波速）；横波/纵波（柱面波、球面波、平面波）；高应变率下的材料行为（与应变率相关的材料本构、应力应变曲线为绝热曲线）；应变率效应与惯性效应2、固体动力学区别于静力学：载荷与介质的耦合、应力波与材料动态力学性能之间的密切关系。
第二章一维杆应力波初等理论1、坐标系建立：拉格朗日坐标：给定质点上的物理量随时间变化物质导数（随体导数）X 欧拉坐标：给定空间点上不同时刻到达该点的不同质点的各物理量随时间变化（空间微商）x物质波速C、空间波速c：c(1)v Cε=++物质导数空间导数(X,t)dc(1)Cx xx x x Xdt t X tvε=∂∂∂=+⨯∂∂∂=++取导：即：物质坐标系/ 空间坐标系下的随波微商2、物质坐标下的杆中纵波控制方程初始条件下的空间坐标即为物质坐标；前提：忽略横向收缩或膨胀；应变率无关理论三类波动表达式：22022222:: u : v v C t Xv v C C t X u u C t X εεσσρ∂∂=∂∂∂∂==∂∂∂∂=∂∂未知量、未知量、未知量位移上述波动方程解法：偏微分化常微分特征线和特征线上的相容关系：dX Cdt dv Cd d Cdv εσρ=±=±=±特征线特征线两类相容关系特征线物理意义：代表扰动（波阵面）的传播轨迹相容关系：质点速度、应力、应变之间的关系，与波速有关 波阻抗：ρ0C 3、单调加载无卸载、正向传播无反射波3.1 线弹性波：冲击载荷不大，弹性变形0= E C C σε=则特征线法：OX轴：类空曲线；AOX：初值问题，Cauchy问题OT轴：类时曲线；AOT：混合问题，Picard问题。
应力波理论简述
v1
v0
1 0 1C1
v2
v0
2 0 2C2
反射波：
v2
v1
2 1 1C1
(20)-(21)，并考虑(19):
(19) (20) (21)
跨越入射波阵面 动量守恒
跨越透射波阵面 动量守恒
跨越反射波阵面 动量守恒
1 0 1C1
v1 v0
2 0 2C2
2 1 1C1
(22)
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
(18) a (18) b
应力波基础
5 弹性波在两种介质界面上的透反射
k 2C2 1 1C1
应力波从低阻抗介质向高阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
k 2C2 1 1C1
应力波从高阻抗介质向低阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
入射波： 透射波：
0
由于：E > E1，显然：
Ce Cp De Dp
当将之由自然静止状态
突然加至 *( Y )
的应力撞击：
双波结构：弹性前 驱波。
应力波基础 3 弹塑性波
对于一维应变： 如：板与板的面撞击
应力波基础 3 弹塑性波
体应变： 偏应变：
一维应变
x y z
x
x'
x
3
2 3
x
一维应变
静水压力： K K x
3 弹塑性波
如果材料是双线性弹 塑性材料
弹性模量 塑性模量
E d d
E1
d d
应力波基础
应力波基础 3 弹塑性波
① 对撞击应力小于弹性屈服限Y的撞击，则D，C都为常数， 都等于：
应力波基础实验
工程测试技术（应力波）实验相关说明一、压杆尺寸及应变计位置1．入n ：入射杆粘贴的第n 个应变计，透m ：透射杆粘贴的第m 个应变计2．左端为子弹撞击端，子弹尺寸：300mm 14.5mm ⨯Φ。
二、实验参数1．采样频率：1MHz ；2．材料常数：3kg/m 2780GPa 5.71==ρ，E 。
三、相关记录文件说明1．b1：子弹撞击入射杆+透射杆，弹速μs 6.3838/mm 40=v ；2．b2：子弹撞击入射杆+透射杆，弹速μs 2.2354/mm 40=v ；3．b3：子弹撞击入射杆+透射杆，弹速μs 0.2667/mm 40=v ；4．b4：子弹撞击入射杆+透射杆，弹速μs 4.2078/mm 40=v ；5．b5：子弹撞击橡胶整形器+入射杆+透射杆；6．b6：子弹撞击橡胶整形器+入射杆+透射杆。
四、实验报告要求1．简述SHPB 装置的基本组成部分，及利用SHPB 装置产生及采集记录应力波的过程。
2．根据实验得到的子弹直接撞击入射杆+透射杆的记录数据进行分析1)每组从b1～b4中选择两个进行处理及分析，其中工力11-1-1(b1、b2)；工力11-1-2(b3、b4)；工力11-2-1(b1、b3)；工力11-2-2(b2、b4)；2)根据一维理论，由子弹弹速及尺寸做出两种情况下压杆中传播的理论应力波；3)分别得到两弹速下各应力波实际测量幅值(V)，计算4个应变计的实际灵敏度系数，实验获得电压脉冲与应力转换关系如下，式中，d U 为读取的脉冲平台幅值，V 4=jb UK U U EE jb d e 21000⨯⨯==μεσ 4)选择一种情况：计算入射杆3个应力波的总长度(mm)，上升沿升时，并作出随传播距离的变化关系，并对子弹直接撞击入射杆产生应力波的传播规律进行描述分析；5)b5和b6任选一个分析波形整形对应力波波形及其在压杆中传播的影响；计算压杆的实际波速（计算4～6个值平均），并与理论波速分析误差。
应力波理论简述综述
由(22)得到应力投射系数：
2 0 2 2 C2 2k T 1 0 1C1 2C2 1 k
(23)
由(22)则得到质速投射系数：
v2 v0 T 2 Tv v1 v0 k 1 k
(24)
2 C2 其中： k 1C1
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
E d d
E1
d d
应力波基础 3 弹塑性波
① 对撞击应力小于弹性屈服限Y的撞击，则D，C都为常数， 都等于： 弹性波速
De C e E
0
E1
② 对处于塑性状态的杆，再进行塑性加载，则D，C都为： 塑性波速：
Dp C p
0
由于：E > E1，显然：
Ce C p De D p
应力波基础 3 弹塑性波
当将之由自然静止状态 突然加至 * ( Y ) 的应力撞击：
双波结构：弹性前 驱波。
应力波基础 3 弹塑性波
对于一维应变： 体应变： 偏应变：
如：板与板的面撞击
一维应变
x y z x 2 x' x x
3 3
K x 4 ' 应力偏量： x 2G x G x 3
刚壁反射---当第二种介质为刚壁时
E2 ，C2 ，2C2 ，k
此时： T 2，Tv 0 即：
（从透射波性质看）
（刚壁应力加倍定律）
2 0 21 0
v2 v1 0
（刚壁边界条件） （从反射波性质看）
此时：F 1 ，F 1 v 即：
应力波基础
1 一维应力波连续条件
一维应力波： Lagrange波阵面：
固体中的应力波基础考试题答案
《固体中的应力波基础》试题答案1、名词解释（24分）（1）应力波横向效应应力波横向效应：杆中质点横向运动的惯性效应，即杆中质点的横向膨胀或收缩对动能的贡献。
（2）横波与纵波横波：质点运动方向垂直于波的传播方向，又称为S 波。
纵波：质点运动方向平行于波的传播方向，又称为P 波。
（3）平面波与杆波平面波：波前为平面的波称为平面波。
杆波：一维杆中纵波的传播问题，其基本假定为：杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有均匀分布的轴向应力。
这一假定忽略了杆中质点横向运动的惯性作用，即忽略了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献。
（4）冲击绝热线与Hugoniot 弹性极限冲击绝热线：在给定初状态下，冲击突跃条件和材料本构方程共4个方程给出了联系5个未知量D 和波速、、、-e ---υεσ之间任一量与其他量的关系，称为冲击绝热线或Hugoniot 线。
Hugoniot 弹性极限：在弹性变形的一维应变条件下，X Y σσ和间有关系式:X X Z Y σμλλσννσσ21+=-==,将这一关系代入式:Y Y X ±=-σσ,即可确定一维应变条件下对轴向应力X σ而言的初始屈服极限H Y 为：00023/422211Y GG K Y Y Y H +=+=--=μμλνν,称为侧限屈服极限或Hugoniot 弹性极限。
2、用方向导数法求偏微分方程组的特征方程和特征相容关系。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂0)(02x c x v v tv x v x v t ρρρρρ 解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, ①×λ+②其中λ为待定系数,整理可得:0)()(2=∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+tv X v v t X c v ρρλρρλρλ (a) 根据特征线求解方法,特征线特征方程为ρρλρλλv c v dt dx +=+=Γ2)( 解之,得c ±=λ, c v dtdx ±=Γ)(,即特征线的微分方程为:dt c v dx )(±= 将其积分即可得到特征线方程。
应力波基础第三章
第三章 弹性波的相互作用3-3 已知两种材质的弹性杆A 和B 的弹性模量、密度和屈服极限分别为：E A ＝60GPa ， ρA =2.4g/cm 3，Y A =120MPa ，E 1A =E A /5； E B ＝180GPa ，ρB =7.2g/cm 3，Y B =240MPa ，E 1B =E B /5。
试对Ⅵ－10所示四种情况分别画出X －t 及σ—v 图，并确定撞击结束时间、两杆脱开时间以及分离之后各自的整体飞行速度。
解：两种材料的参数计算如下：s m E C AAA /500010104.210606390=⨯⨯⨯==-ρs m C C A A /10005/01==，s m C v A yA yA/10500010004.210120)(600-=⨯⨯⨯-=-=ρσs m E C BBB /500010102.7101806390=⨯⨯⨯==-ρs m C C B B /10005/01==，s m C v B yB yB/667.6500010002.710240)(600-=⨯⨯⨯-=-=ρσA C )(00ρ＝2.4×10-3×106×5000＝12×106kg/（sm ）BC )(00ρ＝7.2×10-3×106×5000＝36×106kg/（sm ）（1）：v.撞击结束时间：0.02μs 。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.02μs 。
短杆整体飞行速度：－4 m/s （3区）。
长杆整体飞行速度：2m/s （5区速度）。
（2）撞击结束时间：0.04μs。
两杆脱开时间即接触到脱开时间：0.04μs。
短杆整体飞行速度：2 m/s（7区）。
长杆整体飞行速度：9m/s（6，10区）。
（3）v撞击结束时间：A点：0.02μs；B点：0.04μs。
左短杆整体飞行速度：3区速度，－4 m/s。
右短杆整体飞行速度：7区速度，6 m/s。
凿岩爆破工程精品课程讲义教程-3应力波理论基础
1
应力波的产生及其传播
2 应力波在不同介质中的传播
3 应力波在交界面处的反射和折射
4
应力波的叠加和能量
Hot Tip
❖应力波在交界面处的反射和折射
▪ 波在自由面上的反射 ▪ 波在两种介质界面上的发射和折射
应力波的产生及其传播
扰动
在外界作用下，介质局部状态参数（如压 力、密度、质点移动速度、温度）的变化 叫做扰动。
б=ρ.cp.v→vi= бi/ρ1.cp1 、 vr= бr/ρ1.cp1 vt= бt/ρ2.cp2 代入②式得：
бi/ρ1.cp1- бr/ρ1.cp1= бt/ρ2.cp2 -------③ ① ③联立解得：
» бr=Rr. бi » бt=Rt. бi 式中： » Rr=（ρ2.cp2 -ρ1.cp1）/（ρ1.cp1+ρ2.cp2） » Rt=（2ρ2.cp2）/ （ρ1.cp1+ρ2.cp2 )
应力波在不同介质中的传播
弹性波
• 体波 • 表面波
纵波（P波） 横波（S波）
• 压缩波 • 膨胀波
• SV波 • SH波
应力波在界面处的垂直入射
✓我们把介质的密度（ρ）与弹性纵波（cP）的乘积 （ρ.cP）叫做介质的波阻抗---表示对应力波传播的阻 尼作用。
❖应力波在界面处的垂直入射
当应力波垂直入射与界面时，应力波则发生反射和透射。 应力波的入射、反射、透射应满足下式：
质点运动 的动能
LOGO
应力波在界面处的垂直入射
• 讨论分析：
• ⑴、当ρ1.cp1=ρ2.cp2 即两侧介质波阻抗相等。
•,
Rr=0 Rt=1 бr=0 бr = бt 不反射。
基桩检测中的应力波基本理论
2.1 一维应力波
波阻抗－杆件横截面所受内力增量与质点运动速度增量
之比。（或质点运动速度变化一个单位速度（m/s）所
需的力。）
Z=dF/dv =A⋅dσ/dv = A⋅Edε/dv =EA/C
Z= ρcA
ρ：质量密度；c：波速；A：杆件横截面积。
波阻抗Z 的大小由材料性质所决定。
2.1 一维应力波
vT vI vR FT FI FR
2.2 应力波在一维杆中的传播
波阵面上的守恒条件
阻抗比
I R T 1C1 1C1 2 C 2
Z1 VI VR Z 2VT
1 A1C1 n 2 A2C2
I — 入射波 ，R — 反射波 ，T — 透射波
当采用手锤或力棒（小扰动）敲击桩顶时，由于桩
体变形很小，其应变量亦很小，俗称小应变方法，主要 是通过分析桩顶的速度响应来获得应力波的传播规律。
由速度响应时程曲线的变化特征可确定桩身波阻抗的差
异性分布，从而做出完整性评价。
V R VI Z 2 Z 1 /Z 1 Z 2 VT VI 2Z 1 /Z 1 Z 2
也不同，在真空中不能传播，而电磁波可以在真空中传播；
机械波可以是横波和纵波，电磁波只是横波； 机械波与电磁波的许多物理性质相似，（如：折射、反射
等），描述它们的物理量也是相同的。
1.1 振动和波动
机械波形成的条件：
（1）有做机械振动的波源 （2）有传播这种机械振动的介质
例如： 将石子投入平静的水中， 在水面上可见一圈圈向外 扩展的水波。
1.4 应力波传播的相关规律
（2）叠加： 两列波在传播中相遇，仍然保持各自的特性（频率、波长 、振幅、振动方向等）不变，并保持原来的方向不变。 在相遇区域内，将形成波的叠加。任一点的质点振动为两 列波单独在该点引起的振动的位移值的矢量叠加。
应力波理论复习资料
复习内容: 概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强 间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断 面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot 弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热 线；主要内容：一、Lagrange 方法推导一维应力纵波的波动方程。
解:在Lagrange 坐标中建立图示一维应力波长度为dX 的微元的受力图，截面X 上作用 有总力F(X,t),截面X+dX 上作用有总力F(X+dx,t),有F(X+ dX) = F(X, f) +"丁)dxdX根据牛顿第二定律，有= F(X + dX)- F(X J)=空工 dXCtOA解之，有而F(Xj) = aA 09故上式可以化为dv do对于一维应力纵波，b(g)连续可微，记则 d (r = P Q C 沁 代入(a)式，可得茁(XJ) dXdX = p 0A 0-dX(a)¥_c飯⑹因为八笋"埶代入⑹丸则得到了一维应力波在L 昨唤坐标系中的波动方 程：二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系dp dp dv 门 dt dx dx 0 dv. . dp 八p （W+忖）+ L 子=0 ot ox ox解：对一阶偏微分方程组进行线性组合，①X 久+②其中几为待定系数，整理可得:（Av + c 2） — + 2 — + （Zp + pv ）2- + p — = 0 dX dt K dx K dt根据特征线求解方法，特征线特征方程为dx Av + c 2 (示片=k pd Y解之，得2 = ±c,=v±c,即特征线的微分方程为:atdx = (v± c)dt将其积分即可得到特征线方程。
由（a ）式，整理有+ p (2 + V )——+ — = 0 dX dt将兄值代入上式，可得特征线上的相容关系为：dp = -—dv = +—dvZ c解：对一阶偏微分方程组进行线性组合,®x A+②，其中兄为待定系数，整理可得:(a) dv一ax+- 空去dv 一ax V V + + 氐¥av¥ r 卩—】[Av -(1 + ^)c 2] —+ 2 —+ [-2(1 + ^) + v] —+ — = 0 dx dt dx dt根据特征线求解方法，特征线特征方程为(d\ _ A,v -(1 + s)c 2 _ - 2(1 + £)+vd x解之，得A = ±c,（罕）「=咛（1+。