高中数学必修三统计概率大题

必修三统计概率

一．解答题（共26小题）

1．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

年份代号t 1 2 3 4 5 6 7

人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均

纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式

分别为：=，=﹣．

2．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的

次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：

分组频数频率

[10，15）10 0.25

[15，20）24 n

[20，25）m p

[25，30） 2 0.05

合计M 1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；

（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

3．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

（1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩

在[50，90）之外的人数．

分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）

x：y 1：1 2：1 3：4 4：5

4．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：

学历35岁以下35～50岁50岁以上

本科80 30 20

研究生x 20 y

（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从

中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；

（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．

5．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了

500位老年人，结果如下：

性别是否需要志愿男女

需要40 30 不需要

160 270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，

需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：

6．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制

频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中

a 的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于

80的概率；

（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取

2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．

7．某网站针对2014年中国好声音歌手

A ，

B ，

C 三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A 支持B 支持 C 20岁以下

200

400 800 20岁以上（含20岁）100

100

400

（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n 人，其中有6人支持A ，求n 的值．

（2）在支持C 的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这

6人中任意选取

2人，求恰有1人在20岁以

下的概率．

8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于

13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，

14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩大于或等于

14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；

（2）设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知

m ，n ∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m ﹣n|＞1”的概率．

P （k 2

＞k ）0.0 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

9．某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110，118]内（单位：mm）．若生产一件产品A的直径位于区间[110，112]，[112，114]，[114，116]，[116，118]内该厂可获利分别为10，20，30，10（单位：元），现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求a的值，并估计该厂生产一件A产品的平均利润；

（Ⅱ）现用分层抽样法从直径位于区间[112，116）内的产品中随机抽取一个容量为5的样

本，再从样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114，116）内的概率．

10．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取

11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？

12．已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：

学生的编号i 1 2 3 4 5

数学成绩x 80 75 70 65 60

地理成绩y 70 66 68 64 62

（1）根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+（其中=0.36）；

（2）利用（1）中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩（四舍五入到整数）；

（3）若从五人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？

13．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：

天数t（天） 3 4 5 6 7

繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5 6

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，预测t=8时，细菌繁殖个数．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．