系统辨识各类最小二乘法汇总

yk(k)=1.5*yk(k-1)-0.7*yk(k-2)+uk(k-1)+0.5*uk(k-2)+y1(k); end figure(3); plot(yk); title('对应输出曲线');
theta=[0;0;0;0]; p=10^6*eye(4);
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for t=3:N h=([-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]); x=1+h'*p*h; p=(p-p*h*1/x*h'*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h'*theta);
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p=(p-p*h*1/x*h'*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h'*theta);
a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4); d1t(t)=theta(5); d2t(t)=theta(6);
end 5、RGLS 试验程序（部分） for t=3:N
he=([-e(t-1);-e(t-2)]); xe=1+he'*pe*he; pe=(pe-pe*he*1/xe*he'*pe); thete=thete+pe*he*(e(t)-he'*thete);
c1t(t)=thete(1); c2t(t)=thete(2);
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RELS： 当噪声模型： e k = D Z −1 ∗ v k ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用增广最 小二乘方法。能辨识出参数（包括噪声参数）的无偏估计。 RGLS： 当噪声模型： e k =
1 C （z −1 ）
∗ v k ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用广义最
小二乘方法。能辨识出参数（包括噪声参数）的无偏估计。 RIV： 当不确定参数模型时，我们可以直接采用 RIV 模型得到参数的无偏一致估 计。
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图 5-1 RIV 有色噪声时参数估计变化曲线
从图中可以看出，RIV 算法对有色噪声的情况，也能给出参数的无偏估计， 其结果与 RLS（图 1-2）比较可以看出区别。 六、总结 RLS： 当噪声模型是有色噪声时，最小二乘参数估计不是你无偏、一致估计。而且 随着数据的增长，最小二乘法出现数据饱和现象，以致算法慢慢失去修正能力。 RFF.RFM： RFF 很简单，在老数据加上遗忘因子以降低老数据提供的信息量，增加新数 据的信息量，RFM 就比较特殊，其限定有效数据的长度 L，即始终只有长度 L 的 数据在影响参数估计，可以从根本上解决数据饱和现象 RCLS： 当噪声是有色噪声时， 我们提出偏差补偿最小二乘法，在算法中每次都减去 这个偏差量，使得最后的结果能够逼近真值。但却不适合噪声为白噪声的时候。
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图 1-2 RLS 有色噪声时参数估计变化曲线
从图中可以很明显的看出，当噪声变成有色噪声时，RLS 算法是有偏的，始 终不能得出参数的真值， 而且可以看出随着数据的增多，算法对参数的修正能力 明显下降，到最后参数值几乎不变，这说明 RLS 算法进入了数据饱和状态。
二、 遗忘因子法和限定记忆法
这两种算法（RFF,RFM）是基于 RLS 的数据饱和现象而提出来的一种辨识算 法。 RFF 很简单，在老数据加上遗忘因子以降低老数据提供的信息量，增加新数 据的信息量。仅仅在 RLS 算法内部加入遗忘因子系数，这里因为篇幅有限，不给 出其程序以及最后的参数变化曲线。 RFM 就比较特殊，其限定有效数据的长度 L，即始终只有长度 L 的数据在影 响参数估计， 可以从根本上解决数据饱和现象。下面是其实验的参数估计变化曲 线。
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图 3-1 RCLS 有色噪声时的参数变化曲线
图 3-2 RCLS 白噪声时的参数估计曲线
从图中可以很清楚的看出，RCLS 可以对有色噪声情况下，对参数进行无偏
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一致估计， 但是在白噪声的情况下， 却不能得到无偏估计， 其原因上面也提到了， 这里就不在赘述了。 四、增广最小二乘和广义最小二乘 针对不同的有色噪声模型， 我们用不同的辨识方法，并能顺带求出噪声的模 型模型， 通过扩充参数向量和数据向量的维数， 把噪声模型的辨识同时考虑进去。 当噪声模型： e k = D Z −1 ∗ v k ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用增广最 小二乘方法。其实验结果如下，其程序见附录。
一、最小二乘法 最小二乘法具有两个缺陷： 1、当噪声模型是有色噪声时，最小二乘参数估计不是你无偏、一致估计。 2、随着数据的增长，最小二乘法出现数据饱和现象，以致算法慢慢失去修 正能力。 下面是其分别在白噪声和有色噪声时的参数估计曲线。 最小二乘的程序见附 录。
图 1-1 RLS 白噪声时参数估计变化曲线
图 4-1 RELS 参数估计曲线
当噪声模型： e k =
1 C （z −1 ）
∗ v k ( v(k) 为白噪声 )时，我们采用广义最
小二乘方法。其实验结果如下，其程序见附录。
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图 4-2 RGLS 参数估计曲线
从上图可以看出，针对不同的参数模型，RELS 和 RGLS 分别能发挥不同的 作用， 并且给出参数的无偏一致估计， 并顺带求出了噪声参数， 其辨识结果良好， 符合要求. 五、辅助变量法 在有些问题中， 我们并不能事先知道参数的模型，而且我们也不需要求出噪 声参数，这时普通的 RLS 算法已经不能满足我们的要求，我们提出了辅助变量 法，RIV。下图给出其实验结果，具体程序见附录。
七、附录 1、RLS 实验程序： clc clear
% y1=randn(1,2500); % y1=y1/std(y1); % y1=y1-mean(y1); % a=0; % b=sqrt(0.1); % y1=a+b*y1; % figure(1); % plot(y1); % title('高斯白噪声');
%迭代计算 （ls 算法）
a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4);
end
theta t=1:N; figure(4); plot(t,a1t(t),t,-1.5,t,a2t(t),t,0.7,t,b1t(t),t,1,t,b2t(t),t,0.5); title('参数变化曲线'); text(300,-1.5,'a1'); text(300,0.7,'a2'); text(300,1,'b1'); text(300,0.5,'b2');
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%绘制参数变化曲线
2、RFM 实验程序（部分） 只给出算法更改部分： for s=3:100; h=([yk(s-1);yk(s-2);uk(s-1);uk(s-2)]); p=p-p*h*(inv(1+h'*p*h))*h'*p; theta=theta+p*h*(yk(s)-h'*theta); end s for t=3:N-100 m=s+t; h=([yk(m-1);yk(m-2);uk(m-1);uk(m-2)]); p=p-p*h*(inv(1+h'*p*h))*h'*p; theta=theta+p*h*(yk(m)-h'*theta); h=([yk(t-1);yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]); p=p+p*h*(inv(1-h'*p*h))*h'*p; theta=theta+p*h*(yk(t)-h'*theta);
最小二乘方法的总结与比较
Y30150638 控制二班 王思明（作业二） 最小二乘法大约是 1795 年高斯在他那著名的星体运动轨迹研究工作中提出 来的。后来，最小二乘法就成了理论的奠基石。由于最小二乘原理简单，编程程 序也不困难，所以它颇受人们重视，应用相当广泛。最小二乘的基本结果有两种 形式，一种是经典的一次完成算法，另一种是现代的递推算法。本次作业只讨论 递推算法和其他扩展的最小二乘方法比较。
%产生高斯白噪声
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for i=1:2500 y1(i)=1; end
%产生有色噪声
N=400; uk=rand(1,N); for i=1:N uk(i)=uk(i)*(-1)^(i-1); end figure(2); plot(uk); title('随机输入曲线'); %产生随机输入
yk=zeros(1,N); for k=3:N %定义输出
a1t(t)=thetc(1); a2t(t)=thetc(2); b1t(t)=thetc(3); b2t(t)=thetc(4);
end 4、RELS 实验程序（部分） for t=3:N h=([-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2);y1(t-1);y1(t-2)]); x=1+h'*p*h;
a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4);
end 6、RIV 试验程序（部分） for t=5:N hx=([-yk(t-3);-yk(t-4);uk(t-1);uk(t-2)]); h=([-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]); x=1+h'*p*hx; p=(p-p*hx*1/x*h'*p); theta=theta+p*hx*(yk(t)-h'*theta);
a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2); b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4);
end 3、RCLS 实验程序（部分） theta=[0;0;0;0];
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p=10^6*eye(4); j=0; thetc=[0;0;0;0];
for t=3:N h=([-yk(t-1);-yk(t-2);uk(t-1);uk(t-2)]); x=1+h'*p*h; j=j+((yk(t)-h'*theta)^2)/(1+h'*p*h); p=(p-p*h*1/x*h'*p); theta=theta+p*h*(yk(t)-h'*theta) d=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 0 0; 0 0 0 0]; w=j/(t*(1+thetc'*d*theta)); thetc=theta-t*w*p*d*thetc;
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图 2-1 RFM 白噪声时的参数估计曲线
从图中可以看出，相比于 RLS 的白噪声时的参数估计，变化曲线围绕真值 震荡变化，这说明没有数据饱和现象，辨识结果良好。
三、偏差补偿法 当噪声是有色噪声时，我们提出偏差补偿最小二乘法，因为从图 1-2 我们可 以看出，最后的参数估计是有偏的，所以我们在算法中每次都减去这个偏差量， 使得最后的结果能够逼近真值。我们称这种算法为 RCLS。 但是，既然我们加入了偏差量，如果我们的噪声是白噪声时，那这个偏差量 就变成了误差量，使得参数估计轨迹偏真值。 下图是其参数估计曲线，程
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ykf(t)=yk(t)+c1t(t)*yk(t-1)+c2t(t)*yk(t-2); ukf(t)=uk(t)+c1t(t)*uk(t-1)+c2t(t)*uk(t-2);
h=([-ykf(t-1);-ykf(t-2);ukf(t-1);ukf(t-2)]); x=1+h'*p*h; p=(p-p*h*1/x*h'*p); theta=theta+p*h*(ykf(t)-h'*theta);
a1t(t)=theta(1); a2t(t)=theta(2);
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b1t(t)=theta(3); b2t(t)=theta(4);
end
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