专题七第2讲知能演练轻松闯关

1．(2012·高考江西卷)曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________． 解析：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得， ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 答案：ρ＝2cos θ
2．(2012·高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α
y ＝3sin α，(α为参数)的交点个
数为________．
解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝
2
2
<3，故直线与圆的交点个数是2. 答案：2
3．(2012·高考天津卷)已知抛物线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt
2
y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，
准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p
2
，设准线
与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在直角三角形
EF A 中，|EF |＝2|F A |，即3＋p
2
＝2p ，得p ＝2.
答案：2
4．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝t
y ＝t
，
(t 为参数)和⎩⎨⎧
x ＝2cos θ
y ＝2sin θ
，(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解． C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.
由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)
5．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π
6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．
解析：结合图形(图略)，△AOB 的面积
S ＝1
2OA ·OB ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6＝3. 答案：3 6．(2012·江西八校联考)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．
解析：注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线
3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可，则|3×1＋4×(－2)＋m |
5
>1，即|m －5|>5，解得m <0
或m >10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
7．(2011·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos φ
y ＝3sin φ，(φ为参数)的右焦
点，且与直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t
y ＝3－t ，(t 为参数)平行的直线的普通方程．
解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点
为(4,0)．
将已知直线的参数方程化为普通方程为x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2
(x －4)，
即x －2y －4＝0.
8．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2
.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，
直线l ：ρsin(θ－π4)＝2
2
，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0y ＝1，
故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π
2
)．
9．已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝22t ＋4
y ＝22t
(参数t ∈R)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝
4cos θ，点O 为坐标原点．设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求证：OA →·OB →
＝0.
证明：直线l 的普通方程为y ＝x －4，曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝4x .
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x
y ＝x －4消去y 得
x 2－12x ＋16＝0，
∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，
∴y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝0. 10．(2012·高考福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭
⎫
233，π2，圆C 的参数方程为
⎩
⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ
y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝
⎛⎭⎫
0，233.
又P 为线段MN 的中点，
从而点P 的平面直角坐标为⎝
⎛⎭⎫1，3
3，
故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝3
3
x .
(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝
⎛⎭⎫
0，233，
所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，
圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9
＝3
2<r ，
故直线l 与圆C 相交．
11．(2011·高考辽宁卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos φ，
y ＝sin φ，(φ为参
数)，曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的
距离为2，当α＝π
2
时，这两个交点重合．
(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π
4
时，l 与C 1，C 2的交点分别为
A 2，
B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积． 解：(1)
C 1是圆，C 2是椭圆．
当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.
当α＝π
2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b
＝1.
(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2
＝1和x 29
＋y 2＝1.
当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.
当α＝－π
4
时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形
A 1A 2
B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝2
5
.。