新人教A版高中数学选修2-1：1.3简单的逻辑联结词--且或非同步练习

p 是“第一次击中飞
机”，命题 q 是“第二次击中飞机”．试用 ∧， ﹁) 表示下列命题：
p， q 以及逻辑联结词“或”“且”“非” ( ∨，
(1) 命题 s：两次都击中飞机；
(2) 命题 r ：两次都没击中飞机；
(3) 命题 t ：恰有一次击中了飞机；
(4) 命题 u：至少有一次击中了飞机．
【答案】 (1) 两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题
)
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
【答案】 C [ ①中使用逻辑联结词“且”； ②中没有使用逻辑联结词； ③中使用逻辑联
结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，
共有 3 个，故选
C． ]
2．已知 p： x∈A∩ B，则 ﹁p 是 (
)
A． x∈A 且 x∈/ B
q 为真时， 5－ 2a>1，即 a<2，由 p∨q 为真命题， p∧ q 为假命题知， p 和 q 一真一假，
即 p 真 q 假或 p 假 q 真
－ 2<a<2
a≤－ 2或 a≥２
所以
或
，解得 a≤－ 2.]
a≥２
a<2
5．已知命题 p：关于 x 的方程 x2＋ 2ax＋ 1＝ 0 有两个大于－ 1 的实数根，命题 q：关于 x 的不等式 ax2－ ax＋ 1>0 的解集为 R，若 p∨ q 与 ﹁q 同时为真命题，求实数 a 的取值范围 .
【答案】A [ 依题意，﹁p：“甲没有降落在指定范围”， ﹁ q：“乙没有降落在指定范围”，
因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
( ﹁p) ∨( ﹁ q) ． ]
2．设 a， b， c 是非零向量．已知命题 p：若 a· b＝ 0，b· c＝ 0a∥c． 则下列命题中真命题是 ( )
反，故 a∥c，所以命题 q 是真命题．选项 A 中， p∨ q 是真命题，故 A 正确； 选项 B 中， p∧ q 是假命题，故 B 错误；选项 C 中， ﹁p 是真命题， ﹁q 是假命题，所以 ( ﹁
p) ∧ ( ﹁q) 是假命题，故 C错误；选项 D 中， p∨ ( ﹁q) 是假命题，所以 D 错误． ]
p：“甲的成绩超过 9
环”，命题 q：“乙的成绩超过 8 环”，则命题“ p∨ ( ﹁q) ”表示 ________．
【答案】甲的成绩超过 9 环或乙的成绩没有超过 8 环 [ ﹁ q 表示乙的成绩没有超过 8 环，
所以命题“ p∨ ( ﹁q) ”表示甲的成绩超过 9 环或乙的成绩没有超过 8 环． ]
(1) 若“ p 或 q”为真命题，则 a>1 或 a>4，即 a>1.
故实数 a 的取值范围是 (1 ，＋∞ ) ．
2
(2) 若“ p 且 q”为真命题，则 a>1 且 a>4，即 a>4. 故实数 a 的取值范围是 (4 ，＋∞ ) ．
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题
为真，“非 q”为假，故①④⑤⑥正确． ]
三、解答题 9．已知命题 p： 1∈ { x| x2<a} ，命题 q： 2∈ { x| x2<a} ．
(1) 若“ p 或 q”为真命题，求实数 a 的取值范围；
(2) 若“ p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围． 【答案】若 p 为真命题，则 1∈ { x| x2<a} ， 故 12<a，即 a>1； 若 q 为真命题，则 2∈ { x| x2<a} ，故 22<a，即 a>4.
8．已知命题 p：{2} ∈ {1,2,3} ，q：{2} ? {1,2,3} ．给出下列结论：①“ p 或 q”为真；
②“ p 或 q”为假；③“ p 且 q”为真；④“ p 且 q”为假；⑤“非 p”为真；⑥“非 q”为假．其
中正确结论的序号是 ________.
【答案】 ①④⑤⑥ [ 由题意知， p 假 q 真，故“ p 或 q”为真， “ p 且 q”为假， “非 p”
p∧ q) ∨ ( p∧ q) ．
能力提升
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次． 设命题 p 是“甲降落在指定范围”，
q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
()
A． ( ﹁p) ∨( ﹁ q)
B． p∨( ﹁ q)
C． ( ﹁p) ∧( ﹁ q)
D． p∨q
s
表示为 p∧q.
(2) 两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题
r
表示为 ﹁p∧ ﹁q.
(3) 恰有一次击中了飞机包含两种情况： ①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 ②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为 所以命题 t 表示为 ( p∧ ﹁q) ∨( ﹁p∧ q) ．
其中，叙述正确的是 ________( 填序号 )
【答案】①②④ [ 命题 s 是“ p∧ q”形式的命题， ①正确；命题 s 是真命题，②正确； 命题 ﹁s：函数 y＝sin x 不是周期函数或不是奇函数， ③不正确； 命题 ﹁s 是假命题， ④正确． ]
7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题
∴x 满足－ 1＜ x＜ 3 且 x∈ Z，故满足条件的集合为 { x| － 1＜x＜ 3， x∈ Z} ． ]
二、填空题
6．已知命题 s：“函数 y＝ sin x 是周期函数且是奇函数”，则
①命题 s 是“ p∧ q”形式的命题；
②命题 s 是真命题； ③命题 ﹁ s：函数 y＝sin x 不是周期函数且不是奇函数； ④命题 ﹁ s 是假命题．
x 的集合
1
为(
)
A． { x| x≤－ 1 或 x≥3， x∈/ Z}
B． { x| －1≤ x≤3， x∈/ Z}
C． { x| x＜－ 1 或 x∈ Z}
D． { x| － 1＜ x＜3， x∈ Z} 【答案】 D [ p：x≥３或 x≤－ 1， q： x∈ Z，由 p∧ q， ﹁q 同时为假命题知， p 假 q 真，
B． x∈/ A 或 x∈/ B
C． x∈/ A 且 x∈/ B
D． x∈A∪ B
【答案】 B [ x∈A∩ B，即 x∈ A 且 x∈ B，故 ﹁p 是 x∈/ A 或 x∈/ B.]
3．已知命题 p：3≥3， q： 3＞ 4，则下列判断正确的是 ( ) A． p∨q 为真， p∧ q 为真， ﹁ p 为假 B． p∨q 为真， p∧ q 为假， ﹁ p 为真 C． p∨q 为假， p∧ q 为假， ﹁ p 为假 D． p∨q 为真， p∧ q 为假， ﹁ p 为假 【答案】 D [ ∵ p 为真命题， q 为假命题，∴ p∨q 为真， p∧ q 为假， ﹁p 为假，应选 D.]
3．
p：
1 x－
<0 3
，
q：
x
2－
4
x
－
5<0，若
p∧ q 为假命题，则
x 的取值范围是 ________．
【答案】 ( －∞，－ 1] ∪ [3 ，＋∞）
[ p 为真时，由
1 x－3<0 得 x<3，q 为真时，由
x2－ 4x
－5<0 得－ 1<x<5，若 p∧ q 为假命题，则 p 为假命题或 q 为假命题，所以 x≥３或 x≤－ 1 或 x≥5，即 x≤－ 1 或 x≥3.]
1.3 简单的逻辑联结词——且、或、非
( 建议用时： 40 分钟 )
基础练习
一、选择题
1．给出下列命题：① 2014 年 2 月 14 日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人 节；② 10 的倍数一定是 5 的倍数；③梯形不是矩形；④方程 x2＝ 1 的解是 x＝± 1. 其中使用
逻辑联结词的命题有 (
p∧ ﹁q； ﹁ p∧ q.
(4) 法一：命题 u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题
u 表示为 p∨q.
法二： ﹁ u：两次都没击中飞机，即是命题 r ，所以命题 u 是 ﹁r ，从而命题 u 表示为 ﹁ ( ﹁
p∧ ﹁ q) ．
法三： 命题 u 表示： 第一次击中飞机且第二次没有击中飞机， 或者第一次没有击中飞机 且第二次击中飞机， 或者第一次击中飞机且第二次击中飞机， 所以命题 u 表示为 ( p∧ ﹁q) ∨ ( ﹁
4．给出命题
p：函数 y＝ x2－x－ 1 有两个不同的零点；
1 q：若 x<1，则 x>1. 那么在下列
四个命题中，真命题是 ( )
A． ( ﹁p) ∨q
B． p∧q
C． ( ﹁p) ∧( ﹁ q)
D． ( ﹁p) ∨ ( ﹁q)
【答案】 D [ 对于 p，函数对应的方程 x2－ x－ 1＝ 0 的判别式 Δ ＝ ( －1) 2－4×( － 1) ＝
5>0，所以函数有两个不同的零点，故 p 为真．
1
对于
q，当
x<0 时，不等式
<1 x
恒成立；当
x>0 时，不等式的解集为
{ x| x>1} ．故不等式
1
<1 x
的解集为
{ x| x<0 或 x>1} ．故命题
q 为假命题．
结合各选项知，只有 ( ﹁p) ∨ ( ﹁q) 为真．故选 D.]
5．已知 p： | x－1| ≥2， q：x∈ Z，若 p∧ q，﹁q 同时为假命题，则满足条件的
【答案】若命题
p 为真，则
Δ ＝ 4a2 －4≥０ － a>－1 ( － 1) 2－2a＋ 1>0