2019届高考数学一轮复习第六章数列6-2等差数列及其前n项和课件文PPT
高考数学第一轮知识点 第2课时 等差数列及其前n项和课时复习课件 理
∴数列的中间项为 11，项数为 7.
【变式训练】 3.在等差数列{an}中，Sn 表示其 前 n 项和． (1)若 a3＋a17＝10，求 S19 的值； (2)若 S4＝124，Sn－4＝54，Sn＝210，求项数 n； (3)若 S4＝1，S8＝4，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
解析： (1)S19＝a1＋a219×19＝a3＋a217×19
＝95.
(2)SS4n＝－aS1n＋－4＝a2＋an＋a3＋ana－41＝＋1a2n－42，＋an－3＝156，
由两式相加得 a1＋an＝70. ∴Sn＝a1＋a2n×n＝70×2 n＝210. ∴n＝6. (3)S4＝1，S8－S4＝3，S12－S8，S16－S12，S20 －S16 成等差数列，首项为 1，公差为 2，
解得ad1＝＝21. 2，
所以 an＝2n＋10.
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d，Sn＝242， 得 12n＋nn2－1×2＝242.解得 n＝11 或 n＝ －22(舍去)．
等差数列的性质
1．等差数列的单调性 等差数列公差为 d，若 d＞0，则数列递增； 若 d＜0，则数列递减；若 d＝0，则数列为常数 列． 2．等差数列的最值 若{an}是等差数列，求前 n 项和的最值时， (1)若 a1＞0，d＜0，且满足aann≥ ＋1≤0，0， 前 n 项和 Sn 最大；
等差数列的判断与证明
判断或证明数列{an}为等差数列，常见的方法 有以下几种： (1)利用定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)； (2)利用等差中项：2an＋1＝an＋an＋2；
(3)利用通项公式：an＝dn＋c(d、c 为常数)，d 为公差．当 d≠0 时，通项公式 an 是关于 n 的 一次函数；d＝0 时为常函数，也是等差数列； (4)利用前 n 项和公式：Sn＝an2＋bn(a、b 为常 数)．若一个数列的前 n 项和为关于 n 的二次
数学(文)一轮教学案：第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析
第2讲 等差数列及前n 项和考纲展示 命题探究1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2D ．3答案 C解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50. 解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10；(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n )＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立．(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )扫一扫·听名师解题A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－1 2.4.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列及其前n项和的性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n a n ＋1. ②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( )(3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44答案 C 解析 由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析 由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13.由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C.[答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等． (2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，≤n ≤n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能．∴a 2012>0，a 2013<0.再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0， 而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n＝2n 3n ＋1，则a n b n＝( ) A.23B.2n －13n －1C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4 答案 B解析 a n b n ＝2a n 2b n＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)， 故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32. ∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.2．[2016·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C. 3．[2016·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .4．[2016·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.5．[2016·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )A ．20B ．40C ．60D ．80答案 B解析 前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.6．[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．4答案 A解析 由S 4S 2＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x .∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4＝9x 4x ＝94.7．[2016·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝______.答案 13解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案 14解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ， ∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．[2016·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________.答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39.10．[2016·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析 设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.11．[2016·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛ 110－3n －⎭⎪⎫113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10(10－3n ). 12．[2016·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解 数列{a n }不是等差数列，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， ∴1S n－1S n －1＝2(n ≥2)，又S 1＝a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，∴a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．能力组13.[2016·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4答案 D解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可得，数列{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为a 22－a 21＝3的等差数列，由此可得a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，即得a n ＝3n －2，∴a 6＝3×6－2＝4，故应选D.14.[2016·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21答案 B解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值，∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.15.[2016·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.16．[2016·冀州中学仿真]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.。
高考数学一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课件文
n≤10 ， 即 共 有
10
个数．所以
S10
＝
10（1＋19） 2
＝
100或S10＝10×1＋1பைடு நூலகம்× 2 9×2＝100，故选 C.
12/13/2021
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(必修 5 P46B 组 T2 改编)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝20，S20＝50，则 S30＝________． 解析：根据等差数列性质 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以 S30＝3(S20－S10)＝3(50 －20)＝90. 答案：90
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考点四 等差数列的单调性与最值
(1)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题：p1： 数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中真命题为
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当 n≥2 时，由22SSnn＝－1＝a2na＋n2－a1n＋，an－1， 得 2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1. 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为 an＋an－1>0， 所以 an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是等差数列．
ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差 为__2_d_．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
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5．等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）或 Sn＝____n_a_1＋ __n__（__n_2－__1_）__d________．
高考数学一轮总复习 第六章 6.2 等差数列及其前n项和
(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 018，2S20011
S2 020＝ 2 020. 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d，则2S2001199 －2S2001133 ＝6d＝6，∴d＝1. 故2S2002200 ＝S11＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
123456
5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 8 和最大. 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0， 所以a8>0. 又a7＋a10＝a8＋a9<0， 所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大.
123456
6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以 多降落9.80 m，那么经过 20 秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公 数列. 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈ ＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
知识梳理
ZHISHISHULI
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 的 等差中项 .
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和pptx课件
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0___，Sn的最小值为___－__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝ an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝___a_p＋__a_q___. 2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd____. 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增 数列，若公差d<0，则为递减数列.
(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关于 n 的二次函 数且常数项为 0.显然当 d<0 时，Sn 有最大值，d>0 时，Sn 有最小值.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时， Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
等差数列的前n项和公式第2课时课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
方法二：设数列的前 n 项和为 Sn＝An2＋Bn， 则SS1100＝ 0＝110000A2＋A＋101B0＝0B1＝001，0，解得AB＝ ＝－ 1110111.010， 故 Sn＝－11010n2＋11101n， 所以 S110＝－11010×1102＋11101×110＝－110.
方法三：设等差数列的前 n 项和为 Sn.因为数列{an}为等差数列，所以数列Snn 也是等差数列，且10，S1100，100，1S01000与110，1S11100三点共线，于是有11S1111000－ －11S0010000＝ 1S10100000－－S111000，将 S10＝100，S100＝10 代入，即得 S110＝－110.
【思路分析】 利用等差数列的前 n 项和公式列方程组求解或利用等差数列 前 n 项和的性质求解．
【 解 析 】 方 法 一 ： 设 该 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d ， 由 题 意 可 得
12a1＋12×2 11d＝354， 6（a61a＋1＋d）6×＋ 2 56××225d×2d＝2372，解得 d＝5.
(2)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和．若SS36＝13，则SS162＝__1_30_____． 【解析】 方法一：设数列{an}的公差为 d.由等差数列的前 n 项和公式，得SS36 ＝63aa11＋＋135dd＝13，故 a1＝2d 且 d≠0，所以SS162＝162aa11＋＋1656dd＝2970dd＝130. 方法二：根据等差数列前 n 项和的性质可知 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 仍 成等差数列，设 S3＝k，则 S6＝3k，S6－S3＝2k， ∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k， ∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k， ∴SS162＝130kk＝130.
高考数学一轮复习-等差数列及其前n项和课件
作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知
量和未知量是常用方法．
跟踪训练
1. (2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，
S7＝14，则a10＝( C )
A．18
B．16
C．14
D．12
设{an}的公差为d，
[例2] 已知数列{an}中，a1＝ ，其前n项和为Sn，且满足an＝
(n≥2)．
4
2 −1
1
(1)求证：数列
是等差数列；
证明：当n≥2时，Sn－Sn－1＝
22
.
2 −1
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
1
两边同时除以SnSn－1，得
1
1
－
1
−
＝2.
1
1
又 ＝ ＝4，
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
1 +
−1
2
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋
d＝____________．
2
3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
*)．
(n－m)d
(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N
3.等差数列的性
4.体会等差数列与一次函数、二次 质及应用．
函数的关系．
课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
×)
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( √ )
高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件
∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )
高考备考指南文科数学第6章第2讲等差数列及其前n项
A．671
B．672
C．673
D．674
【答案】D 【解析】因为{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1 ＋(n－1)×3＝3n－2.因为an＝2 020，所以3n－2＝2 020，解得n＝674.故栏目选索引D．
第六章 数列
高考备考指南
文科数学
3 ． (2018 年 北 京 模 拟 ) 设 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 a4 ＋ a10 ＝ 4 ， 则 S13 ＝
文科数学
【解析】(1)因为数列{an}为等差数列，a1＋a7＋a13＝2π，所以 3a7＝2π，即 a7＝23π. 则 tan a7＝tan23π＝－tanπ3＝－ 3.故选 A．
(2)因为 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列，且 S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20， 所以 S30－30＝10＋2×10＝30.所以 S30＝60.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为
_______m_d________的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
栏目索引
第六章 数列
高考备考指南
文科数学
4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2)n.
栏目索引
(2)由(1)可得{an}前 n 项和 Sn＝n12＋22n＋10＝11n＋n2，所以 S3＝11×3＋32＝42.
第六章 数列
高考备考指南
文科数学
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn
第六章 §6.2 等差数列-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d 2，
所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次 函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差 数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差 数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 ⇔{an}是等差数列.
第六章
§6.2 等差数列
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式 与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元函数的关系.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝12dn2＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的 一次函数，则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0
2019届新课标高考数学大一轮复习第六章数列6数列的通项专题研究讲义理
所以5ann＝1－35×(25)n－1＝1－3×52nn－1， 故an＝5n－3×2n－1. 方法二：设an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝ 2an－3k×5n，与题中递推公式比较得k＝－1，即an＋1－5n＋1＝ 2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等 比数列，则an－5n＝－3×2n－1，故an＝5n－3×2n－1.故选D项． 【答案】 D
探究5 已知Sn与an的关系求通项： (1)已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，要注意运用an和Sn的 关系，即an＝SS1n，－Sn＝n－11，，n≥2. (2)对于形如Sn＝f(an)求an常有两种处理方法：①由Sn＝ f(an)，得Sn－1＝f(an－1)两式作差，得an＝f(an)－f(an－1)(n≥2)．② 将an换成Sn－Sn－1，即Sn＝f(Sn－Sn－1)，先求出Sn，再求出an.
【讲评】 本题的递推公式是an＋1＝αan＋β的推广an＋1＝ αan＋β×γn，两边同时除以γn＋1后得到γann＋＋11＝αγ ·γann＋βγ ，转化为 bn＋1＝kbn＋βγ的形式，通过构造公比是αγ的等比数列 {bn－γ（1－β k）}求解．
题型五 公式法
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝4，an＋1＝Sn＋ 3n，n∈N*.求数列{an}的通项公式．
【解析】 因为an＋1＝( 2－1)(an＋2)，所以an＋1－ 2＝
等差数列前n项和公式PPT课件
sn
(a1
an)n 2
（补成平行四边形）
.
11
例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝。
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式： sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
.
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小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
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(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k， m∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 4．等差数列与函数的关系 (1)由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，可得 an＝dn＋(a1 －d)．当 d>0 时，{an}是递增数列；d<0 时，{an}是递减数列．d ＝0 时，{an}是常数列．
C．6
D．5
[解析] 由题意，7a12＋a7＝7×22a4＝35，所以 a4＝5.
[答案] D
5．已知{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn.若 a3＝6，S3＝12， 则公差 d 等于________．
[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由 a3＝6，S3＝12，得a31a＋1＋2d3＝d＝6，12， 解得da＝1＝22. ，
项和，若 a3＋a6＋a9＝60，则 S11＝( )
A．
B．110
C．55
D．50
[思路引导] (1) 由公差为2，S5＝25求a1 →
由a2m＝15列方程 → 解方程得m值
(2) 由a3＋a6＋a9＝60求a6 → 利用性质求S11
[解析] (1)S5＝5a1＋5×52－1×2＝25，解得 a1＝1. 所以 a2m＝a1＋(2m－1)×2＝1＋4m－2＝15，解得 m＝4，故 选 A. (2) 因 为 a3 ＋ a6 ＋ a9 ＝ 3a6 ＝ 60 ， 所 以 a6 ＝ 20 ， 则 S11 ＝ 11×a21＋a11＝11×22a6＝11×2 40＝220.故选 A.
[解析] A 项中未强调差是同一个常数，故 A 错． [答案] A
2．(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6 ＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．6
[解析] 由等差数列的性质知 a2＋a6＝2a4，所以 a6＝2a4－a2 ＝0，故选 B.
[答案] B
3．若{an}为等差数列，且 a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差 d 等于( )
(2)等差中项 若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b 且有 A＝ 2 .
[温馨提示] 常用此定义和等差中项来判断或证明一个数列 是等差数列．如：(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则该数 列的通项公式为 an＝ 3n－2 .
(2)若 m 是 1,5 的等差中项，则 logm9＝__2__.
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公 式是 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) ．
(2)等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前
n
项和
Sn＝na1＋nn－ 2 1d
或 Sn＝ na12＋an(n∈N*)．
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则
ak＋al＝am＋an
.
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公 差为 2d .
(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为 d，则{pan＋qbn}也是等 差数列．
[答案] 2
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 等差数列的基本运算——热考点 (1)(2017·山东聊城期末)已知{an}是公差为 2 的等差
数列，前 5 项和 S5＝25，若 a2m＝15，则 m＝( )
A．4
B．6
C．7
D．8
(2)(2017·吉林长春外国语学校期末)Sn 是等差数列{an}的前 n
(2)由等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋nn－2 1d，得 Sn＝d2n2 ＋a1－d2n.简写为：Sn＝An2＋Bn.当 d≠0 时，可以借助二次函数 的图象和性质(单调性、最值)来研究等差数列前 n 项和的问题．
[小题速练] 1．下列结论错误的是( ) A．若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常 数，则这个数列是等差数列 B．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2 C．等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的 D．已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)， 则数列{an}一定是等差数列
A．－2
B．－12
1 C.2
D．2
[解析] 由于 a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 则 a1＝1.又由 a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得 d＝－12.故选 B. [答案] B
4．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 S7＝35，则 a4 等于
()
A．8
B．7
[答案] (1)A (2)A
等差数列运算的求解技巧 (1)在等差数列中，已知五个基本量 a1，d，n，an，Sn 中，知 三即可求二，数列的基本运算实质是基本量的运算．主要使用的 是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运 算的准确性，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思 想的运用．
第
六
数列
章
第二节
等差数列及其前 n 项和
高考概览 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项 和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用 有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函 数的关系.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)如奇数个数成等差数列，可设为…，a－2d，a－d，a，a ＋d，a＋2d，…(公差为 d)；偶数个数成等差数列，可设为…，a －3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为 2d)．