木工必会——圆周九等分画法

24.3.2等分圆周法

B
O
C
A
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正方形．
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正六角形．
探ห้องสมุดไป่ตู้新知
如何用等分圆周的方法画正多边形？其一：依次画出相等的中心角来等分圆．其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上依次截取等于该中心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点．
巩固练习
课本第108页：练习1.
课堂小结
如何用等分圆周的方法画正多边形？其一：依次画出相等的中心角来等分圆．其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上依次截取等于该中心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点．
测试作业
课本第108页：练习2（任选一个图案）．
九年级
上册
24.3 正多边形和圆（第2课时）
情境导入
借助圆画一个正多边形.
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
度量法：用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． B
O A
C
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．尺规法：用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径（2 cm）的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可．

圆周及弧的实用精确等分

圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的[费马大定理的一个初等证明]的[试论作图题的重要性]一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的2n倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。

故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。

究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。

众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。

《一》：准备一个顶角为060、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为060，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。

我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。

《二》：准备一根已标记有n个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意n 边形，规定这个n边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。

《三》：将任意n边形套在等分工具锥上。

《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。

常用的几何图形画法

两圆外切：
用圆弧连接两圆弧作图依据的是几何中两圆相切的基本关系。
圆与圆相切分为内切和外切。
作图步骤：例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2) 连接圆弧的半径为R，试完成连接作图(外切)。
作图步骤：例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2)连接圆弧的半径为R，试完成连接作图(内切)。
作图步骤：例:已知圆O1（半径R1）O2（半径R2)连接圆弧的半径为R，试完成连接作图(与O1外切，O2内切)。
作图步骤：
3.用圆弧连接直线和圆弧连接直线和圆弧的作图方法同前面介绍的两种连接情况类似，即分别按照连接直线和圆弧的方法求出圆心和切点，下面举例说明。
例：已知一直线和圆O1（半径R1）连接圆弧半径为R，试作出光滑连接（与圆切）。
连接作图的注意事项： 1.为能准确、迅速地绘制各种几何图形应熟练地掌握求圆心和切点的方法 2.为保证图线连接光滑作连接圆弧前应先用圆规试画，若有误差可适当调整圆心位置或连接圆弧半径大小
作图步骤如图示：
例：已知长轴AB、短轴CD，试用四心法作出椭圆。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
3—4 圆弧连接从扳手的图形可以看出，圆弧连接的实质是几何要素间相切的关系。
02
圆弧连接的形式有：
用圆弧连接两已知直线用圆弧连接两已知圆弧用圆弧连接一直线和一圆弧
作图时需要解决的两个问题：
3—5平面图形的尺寸分析及画法
这一节将以前面所介绍的几何作图方法为基础，着重对平面图形中的尺寸和线段进行分析，目的在于确定绘制平面图形的步骤。一、平面图形的尺寸分析平面图形中的尺寸按其作用不同，分为定形尺寸和定位尺寸两大类。 1.定形尺寸指确定平面图形上几何要素大小的尺寸。如线段的长度（80）、半径（R18）或直径（φ15）大小等。 2.定位尺寸确定几何要素相对位置的尺寸。如图中的70、50。 3.尺寸基准定位尺寸的起点称为尺寸基准。对平面图形而言，有长和宽两个不同方向的基准。通常以图形中的对称线、中心线以及底线、边线作为尺寸基准。

九分割统合绘画法定（精）

九分割统合绘画这是日本森谷宽之独创的一种艺术治疗方法，其想法产生于1983年。

森谷对中井的“框格法”产生了很浓的兴趣，觉得通过画格子能对描画空间起到保护的作用，而且因为描画空间更具有层次性，能让缺乏描画意欲的人更容易下笔。

同时，森谷从偶然翻到的一本介绍曼陀罗的书中受到启发，曼陀罗特别是密教的金刚界曼陀罗是呈九分割的布局，因此想到了九分割统合绘画法。

九分割统合绘画的方法是：1、劳教人员在A4纸上画上框，再分成9个小方格。

2、顺时针或逆时针地用画、文字、图形或者记号等把自己头脑中的想法自由地表现在小方格里。

3、可以根据情况制定一个方向，比如说“我的过去”，“最近思考的事情”，“我喜欢和不喜欢的事情”等。

4、在治疗的初期，自我防卫比较强的阶段，有时会发生画不完9个小方格和情况。

可以适当地停止。

5、画完了以后，可以加上说明文字，并涂上彩色。

6、完成作品以后，尽量使得想法得到充分地展开。

7、让劳教人员给自己的作品加上标题。

8、把参加团体的劳教人员分成6人一个小组，分享、讨论。

操作步骤：1、治疗者当着来访者的面，在A4画纸上用水彩笔手画出边框，再把画面分割成3*3格（对团体实施时可通知事先印制好9个格子的纸）。

2、指示语：从右下角按逆时针顺序画到中心，或者从中心开始按顺时针画到右下角，这两种顺序都可以，请依顺序一格一格地把脑海中浮现的事物自由地画出来。

实在不能用图表达时，用文字，图形，符号也可以。

3、以上的指示方法是用不命题的自由联想法，依据实际情况，也可以应用在命题画上。

例如可以给出“我”“最近的一些想法”“我爱的和我厌恶的”一类的命题，要伺机而行。

例如，当治疗接近尾声，来访者开始回顾至今为止的整个过程时，就可指定“印象深刻的事”这个题目让来访作画。

4、在治疗关系还不够稳定的初期，有强烈焦虑的来访者和防备心强、缺乏幻想的来访者有可能不能画满九个格子，这时候可以告诉他们不画满也没关系（在治疗初期，或许有必要先用涂鸦法等唤醒来访者的潜意识，在来访者积累了一定的潜意识的意象后再操作本方法。

圆周及弧的实用精确等分

圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的［费马大定理的一个初等证明］的［试论作图题的重要性］一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的〃倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。

故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。

究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。

众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。

《一》：准备一个顶角为600、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为600，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。

我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。

《二》：准备一根已标记有几个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意几边形，规定这个几边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。

《三》：将任意八边形套在等分工具锥上。

《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。

《五》：将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意八边形。

第1章1.4.1.2等分圆周

A G
1＇ 2＇ H M 3＇
1
2
3 4＇ 4 5＇ 5 6＇ 6 7＇ L 7 N
三、椭圆的画法
长轴AB 短轴CD 切点4
椭圆有两条相互垂直而且对称的轴，即长轴和短轴
F O4 E C 切点3
四圆心法切点
A
O1
O
O3
B
切点2 切点1
D
O2
四、斜度和锥度
1、斜度是指一直线相对于另一直线或一平面相对
30°
1﹕80
1﹕80
h=字体高度
h
四、斜度和锥度
1、斜度是指一直线相对于另一直线或一平面相对
另一平面的倾斜程度。其间夹角用正切值来表示。
公式:斜度 = tan a = H/L = (H-h)/l 1 ：3
1
a
1 2 3
（3）. 斜度的画法
20
1：6
36
B K
1等分
A
6等分
C
80
12
2.锥度是指正圆锥体底圆直径与锥高之比。
另一平面的倾斜程度。其间夹角用正切值来表示。
公式:斜度 = tan a = H/L = (H-h)/l 斜度的标注 1 ：n (H : L)
H H h
a
h
a
l L
四、斜度和锥度
1、斜度是指一直线相对于另一直线或一平面相对
另一平面的倾斜程度。其间夹角用正切值来表示。
公式:斜度 = tan a = H/L = (H-h)/l 斜度的标注 1 ：n (H : L)
公式：锥度=2tan a =D/L =(D-d) / l
锥度符号 D-d d
D
15° l
2
L 1∶3 1∶3

关于圆周九等分的尺规作图技巧探究

关于圆周九等分的尺规作图技巧探究作者：贺健琪来源：《陕西教育·高教版》2012年第10期[摘要] 在《机械制图》的几何作图部分，圆周质数等分（7、9、11……）的尺规绘图技巧一直以来是几何作图的一个盲区，在普通《机械制图》教材中只介绍圆周五等分的尺规近似作图方法和技巧，受圆周五等分的尺规作图方法的启发，本人对圆周的质数等分的尺规作图技巧产生了浓厚的兴趣，借助AutoCAD软件，经过大量试验和实践，2011年发现了圆周7等分的比较精准的尺规作图方法，论文发表在《陕西教育》2011年第9期，之后着手开始寻找圆周9等分的作图技巧，现将具体等分方法演示如下。

[关键词] 圆周等分尺规作图技巧引言凡是参与绘制图样的工作人员和参与绘图教学的教师，在实际工作和教学过程中，经常会遇到将圆周等分的问题，特别是需要将圆周作质数等分（7、9、11……）的时候，离开了计算机和量角器，我们将感到无从下手，自从大量试验并总结出圆周7等分的作图技巧之后，我就坚信一定可以找到圆周9等分的作图技巧，试验的主要思路依然是：将圆周直径作等分，绘制某段圆弧或圆弧的弦长，在圆周上产生交点，求得正9边形的边长。

试验中不断出现误差、失败，再不断地进行修正、逼近，正是：功夫不负有心人，有付出就有回报，我终于找到了一种圆周9等分的简捷作图技巧，现将我发现的圆周9等分的尺规作图技巧及步骤演示如下：以和大家商榷！圆周九等分作图步骤1.如（图1.1）所示，绘制直径为200mm的圆，作圆周横向直径MN，过N点作射线并将其做九等分，求出MN的九分之一点F，A为圆周上象限点。

2.如（图1.2）所示，以点F为圆心、以FO为半径画圆，并与等分圆的圆周交于B点，则AB即为圆内接九边形的边长。

3.如（图1.3）所示，以AB为弦长在等分圆周上依次截出分点B、C、D、E、B1、C1、D1、E1，完成圆内接九边形。

4.验证：如（图1.4）所示，以上作图是用AutoCAD准确作图，对于直径为200mm的圆来说，最后一边EE1的长度为68.34mm，其余各边的长度为68.41mm，误差仅为0.07mm。

圆周的任意尺规等分

• JIAOLIU PINGTAI交流平台圜周的任意H现等分◎黄正洪（长沙市芙蓉区人民东路德政园小区，湖南长沙410000)一看课题就知这是一篇题目很大的文章，但笔者在这写的内容却不是很多，这是因为笔者的“任意角的等分”已发表在国际国内有名的《数学学习与研究》的2018第3期上，该的发表意味着作（又有了新的，这阅过此稿的数学前辈的期待相一致.现在我有了这的成果作为武器，想要破解以上课题就成了非常容易的事）1•做出行将被'等分的已知圆及其半径大于（或小于）已知圆的同心圆.并取该同心圆周的|当作辅助弧.*2按“任意角的尺规等分”中的步骤，一步一步地将辅助弧分成'等分，明其中两个连续等分点的位置.3.分别作圆心和这两个等分点的连接线，则在已知圆周上产生了两个交点，以此两交点的距离为长，在已知圆周上取*'个点，则每隔六个点所确定的点的总成即为此圆周的'等分点.无须证明，我们知上述画作过程正确无误，从此，作图天下无难题可言.现在笔者要说的是，为什么这么一个一做做了几百年也没有人做得出来的题目，本文仅用以上几行字了呢？这情形还真人啼笑皆非.而笔者的好奇心是在撰写“的精确等分”之时开启的，笔在这篇已发表在《数学学习与研究》2017第19 上的小论文中说;“究竟有没有可行的这个数学王国来的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明.众所周知圆其想象的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在间里的呈现，是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这始探索吧，精诚所至必能金石为.#这意的是，题中的精确之说未必精确，因为它不是作图的结果，我这样来命这个题目，是为了满足吸引眼球和推介文中实践出真知的需要，没有想到的是这一写作使笔者的思绪从的平到的空间后，一没有出得来.继而笔到若在平面上解决不了的尺规作图问题，是不是可以放到三维的空间里去进行呢？于是笔者的“整数度角的尺规作图”就应运而生，笔者在这篇刊登在《数学学习与研究》2017第23期上的小论的结尾部分说:“有了眼前这个1°的角的作图，尺规作图的领域就有了新的机会，此前很多我们无法攻克的难题，在1°角的推出之下已不成问题.譬如在等分圆周时，只需将特殊的39°的角加上这个1°的角就得到40°的角，由于有9 X40° & 360°的周角存在，这意味着尺规九等分已得到解决.由此而知，但凡与1。

尺规绘图(圆周等分、斜锥度)

（1）、斜度：指一条直线（或一个平面）对另一条直线（或另一个平面）的倾斜程度。
例：∠1：5的图形画法：
演示说明
图1-19
演示说明
作两直角三角形对比讲解
（或模型）
第16页课时授课计划
教学内容与教学过程
方法
标注：用细实线绘制，斜线与水平线成300，高度与数字相同，方向与斜线方向一致。
（2）、锥度：锥度直径与锥高之比。
例：1：4的锥度的画法：已知50、20。
（1）、标注：用细实线绘制300等腰三角形，底边与数字高相等，指向与锥度方向一致。
（2）、斜度与锥度画法的区别：
斜度：高度差与长度之比：单向分布。
锥度：直径差与长度之比：双向分布。
C、小结：
1、正五、六边形画法。
2、斜、锥度的画法及标注。
演示说明
演示说明
第17页
线段等分。
布置作业：1-6Βιβλιοθήκη 教学后记：第15页
课时授课计划
教学内容与教学过程
方法
A．复习引入：分割一直线段为几等分：平行线法（用分规截等分）
B．新课：
§1-3、尺规绘图
二、平面图形画法：
（一）、基本作图方法：
2、作圆内接正六边形：
圆规作图
三角板作图（自学）（图1-20）
3、作圆内接正五边形：
4、斜度和锥度：
课时授课计划
第3周编号：06
班别
08数控
日期
星期二第3,4节
星期第节
星期第节
星期第节
星期第节
课题
§1-2、尺规绘图
课型
新授
课时
2
教具
教学目标：
1、掌握等分圆周的作图方法。

等分线段、斜度等

D
b)
1:4
R6
C2
72 96
c)
2024/7/15
11
小结
思考题
❖ 1、如何绘制圆内接正三边形和圆内接正八边形？
❖ 2、斜度和锥度有何区别？1：5的斜度和1：5的锥度是否相同？
2024/7/15就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
D
E
B
c)
1:6
∅ 32
60x60
d)
3 3
2024/7/15
8
第二节斜度和锥度
❖ 锥度是指圆锥的底面直径与其高度的比值。 ❖ 锥度常用于机械零件中的圆锥销、工具手柄等处，而且有些锥度已经标准化了。在图样中，
锥度也常以比例的形式表示，例如：锥度1：5；锥度1：10。
1:5
15°
1.4h
2024/7/15
第二章机械制图基本技能
第一节等分线段和等分圆周
A
BA
BA
B
A1 2B
1
C
2 3
C
1 2 3
a)
b)
c)
d)
三等分线段
2024/7/15
1
第一节等分线段和等分圆周
圆内接正方形的画法
B
B
O
A
C
D D
B CA
A D
B C

圆周的任意尺规等分

圆周的任意尺规等分长沙市芙蓉区德政园醉心苑8-205黄正洪这是一篇题目很大的文章，但我在这篇文章里实际要写的内容却不是很多，这是因为【任意角的尺规等分】一文已发表在国际国内有名期刊《数学学习与研究》2018第3期上，该文的问世意味着尺规作图领域又有了新的进展，在这个新进展武器的支撑下，要解决以上课题就成了非常容易的事：一、作一个行将被n等分的已知圆，及其半径大于（或小于）已知圆的同心圆，并选定该圆周的1/6(或其它可分圆弧)作为辅助弧。

二、将此辅助弧的圆心角，按【任意角的尺规等分】中的步骤分成n等分，并标明此弧上连续两个等分点的位置。

三、分别作圆心与这两个等分点的连接线，则此两线在已知圆周上产生了两个交点，以此两交点的距离为长，在已知圆周上取6n等分点，则每隔六个点所确定的点的总成即为此圆周的n等分点。

无须证明，我们知道上述画作过程正确无误，从此以后，有关角度等分的作图天下已无难题可言。

现在我要说的是，为什么这么一个做了几千年也没能做得出来的题目，而本文仅用以上几行字就解决了呢？这情形还真是叫人啼笑皆非。

我的好奇心是在撰写【圆周及弧的实用精确等分】时开启的，我在这篇已发表在《数学学习与研究》2017第19期上的论文中说；“究竟有没有切实可行的手段能突破数学王国里遗留下来的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和圆弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。

众所周知圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和圆弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘分里开始探索吧，精诚所至必能金石为开”。

有意思的是：上述题目中的精确之说其实并不是真正意义的精确，因为它不是用尺规作图画出的结果，将精确二字放在标题中是为了吸引眼球和推介实践出真知的需要，没有想到的是这一写作过程使我的思绪从二维的平面上进入到了三维的空间里，继而我想到在二维的平面上解决不了的问题可以放到三维的空间里去进行。

机械制图几何作图圆周的等分和正多边形

作图步骤：
1)分别以长、短轴为直径画同心圆； 2)N 等分圆周（大圆和小圆分成相同的等分）；
3)过大圆上各分点画短轴的平行线；
4)过小圆上各分点画长轴的平行线； 5)连接相应平行线的交点得椭圆。
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
1.椭圆已知长、短轴——四心扁圆法画近似椭圆。
O4 E
作图步骤：1)连接长短轴端点AC ;
13.8
1:10
7
§1-3 几何作图
二、斜度和锥度

举例：以1:1 的比例抄画下图所示平面图形。
32 7 7 13.8 13.8 50 7 1:10 7 32
50
1:10
§1-3 几何作图
二、斜度和锥度
2.锥度
定义：圆锥的底圆直径与其高之比。
1:4 α L H
tanα = H / 2L 2tanα = H / L——1:n

圆弧连接作图举例 3.用半径为R 的圆弧外切两已知圆弧。
O
R
t1
O1
t2
O2
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
工程上常用的曲线有： 1.椭圆 2.抛物线 3.双曲线 4.阿基米德螺线 5.圆的渐开线 6.摆线以下逐一介绍各类曲线的画法。
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
1.椭圆已知长、短轴——同心圆法绘制椭圆。
t
连接圆弧
t
R1+R
已知圆
连接圆弧的圆心在与已知圆同心的圆周上，半径为R1+R ；切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上。
§1-3 几何作图
三、圆弧连接

圆弧连接的作图原理与已知圆弧相切—内切

任意等分圆周的尺规作图法

任意等分圆周的尺规作图法
（以七等分圆周为例）
——天柱县凸洞小学龙再铃
〖附〗任意等分已知线段的方法（以七等分为例，参见下图）：过已知线段AK的端点
A作射线AP，截取AQ=QR= …=VP，连结PK，分别过点Q、R、S、T、U、V作PK
的平行线，交线段AK于点a、b、c、d、e、f，即为已知线段AK的七等分点。

七等分圆周尺规作图法：（如下图所示）
1．用等分已知线段的方法，将⊙O的直径AK七等分；
2．以点K为圆心，直径AK为半径画弧，交直径AK的垂直平分线于M、N两点；
3．自点M、N分别向直径AK上的点b、d、f连结并延长，使其延长线分别交⊙O于B、C、D、E、
F、G点，则点A、B、C、D、E、F、G将⊙O七等分。

依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA即得⊙O的内接正七边形。

圆内接正五边形（五等分圆周）的尺规作图法
五等分圆周，除了可以用任意等分圆周的尺规作图法外，还可使用下面的方法：
1．在⊙O内作互相垂直的直径AK和MN；
2．平分半径ON得点S；
3．以点S为圆心，SA的长为半径画弧，交MO于点Q；
4．以点A为圆心，AQ的长为半径画弧，交⊙O于B、E两点；
5．分别以点B、E为圆心，仍以AQ的长为半径画弧，分别交⊙O的弧BKE于点C、D，则点A、B、C、D、E将⊙O五等分。

依次连结AB、BC、CD、DE、EA，即得⊙O的圆内接正五边形。