专题二、分式不等式的解法

（ 【1 】一）分式不等式：
型如：
0)()(>x x f ϕ或0)
()
(<x x f ϕ（个中）（、x x f ϕ)(为整式且0≠）（x ϕ）的不等式称为分式不等式.
（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：
（1）
0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ（3）0)()(0)
()(<⋅⇔<x x f x x f ϕϕ
（2）
⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （4）⎩⎨
⎧≠≤⋅⇔≤0
)(0)()(0)()
(x x x f x x f ϕϕϕ （3）小结分式不等式的解法步调：
（1）移项通分,不等式右侧化为“0”,左侧为一分式 （2）转化为等价的整式不等式
（3）因式分化,解整式不等式（留意因式分化后,一次项前系数为正） （1）分式不等式的解法：
解关于x 的不等式
02
31
>-+x x
办法一：等价转化为： 办法二：等价转化为：
⎩⎨
⎧>->+02301x x 或⎩
⎨⎧<-<+0230
1x x 0)23)(1(>-+x x 变式一：
02
31
≥-+x x
等价转化为：⎩
⎨
⎧≠-≥-+0230
)23)(1(x x x
比较不等式0231<-+x x 及02
31≤-+x x 的解集.（不等式的变形,强调等价转化,分母不为零）
练一练：解关于x 的不等式
051)
1(>--x x 3532
)2(≤-x
例1、 解关于x 的不等式：
23
2
≥+-x x 解：
023
2
≥-+-x x 03)
3(22≥++--x x x
即,
03
8
≥+--x x 03
8
≤++x x （包管因式分化后,包管一次项前的系数都为正） 等价变形为：⎩
⎨
⎧≠+≤++030
)3)(8(x x x
∴原不等式的解集为[)3,8--
例2.解关于x 不等式
23
28
2<+++x x x
办法一：322
++x x
恒大于0,应用不等式的基赋性质
办法二：移项.通分,应用两式同号.异号的充要前提,划归为一元一次或一元二次不等式. 例3、 解关于x 的不等式：1≥x
a 解：移项
01≥-x a
通分 0≥-x x a 即,0≤-x
a
x 等价转化为,⎩
⎨
⎧≠≤-00
)(x a x x
当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a
当a=0时,原不等式的解集为φ
⒈ 一元二次不等式与特别的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 剖析一：应用前节的办法求解;
剖析二：由乘法运算的符号轨则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须
异号,∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-040
1x x 的解集的
并集,即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-040
1|{x x x }=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.书写时可按
下列格局：
解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩
⎨⎧>+<-0401x x
⇔x ∈φ或-4<x<1⇔-4<x<1, ∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.
小结：一元二次不等式)a ()c bx ax (c bx ax 00022≠<++>++或的代数解法：
设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++响应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、,则00212>--⇔>++)x x )(x x (a c bx ax ;
①若⎩⎨
⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨
⎧<-<->.
x x ,
x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得1x x <或2x x >;当21x x =时,得1x x ,R x ≠∈且.
②若⎩⎨
⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<.x x ,
x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2
121212100000或或则得 当21x x <时,得21x x x <<;当21x x =时,得∅∈x .
剖析三：因为不等式的解与响应方程的根有关系,是以可求其根并由响应的函数值的符号暗示出来即可求出不等式的解集.
解：①求根：令(x-1)(x+4)=0,解得x（从小到大分列）分离为-4,1,这两根将x轴分为三部分：（-∞,-4）（-4,1）（1,+∞）;
②剖析这三部分华夏不等式左边各因式的符号
③由上表可知,原不等式的解集是{x|-4<x<1}.
例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0;
解：①检讨各因式中x的符号均正;
②求得响应方程的根为：-2,1,3;
③列表如下：
④由上表可知,原不等式的解集为：{x|-2<x<1或x>3}.
小结：此法叫列表法,解题步调是：
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)情势（各项x的符号化“+”）,令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0,求出各根,无妨称之为分界点,一个分界点把（实数）数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……;
②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向分列,响应各因式纵向分列（由对应较小根的因式开端依次自上而下分列）;
③盘算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;
④看下面积的符号写出不等式的解集.
演习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1<x<0或2<x<3}.
思虑：由函数.方程.不等式的关系,可否作出函数图像求解
例2图演习图
直接写出解集：{x|-2<x<1或x>3}. {x|-1<x<0或2<x<3}
在没有技巧的情形下：可大致画出函数图星求解,称之为串根法
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0(<0)情势,并将各因式x的系数化“+”;(为了同一便利)
②求根,并在数轴上暗示出来;
③由右上方穿线,经由数轴上暗示各根的点（为什么？）;
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
留意：奇穿偶不穿
例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检讨各因式中x 的符号均正;
②求得响应方程的根为：-1,2,3（留意：2是二重根,3是三重根）; ③在数轴上暗示各根并穿线,每个根穿一次（自右上方开端）,如下图：
④∴原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.
解释：∵3是三重根,∴在C 处穿三次,2是二重根,∴在B 处穿两次,成果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有雷同因式(x-x 1)n 时,n 为奇数时,曲线在x 1点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在x 1点处不穿过数轴,无妨归纳为“奇穿偶不穿”.
演习：解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0;
②求得响应方程的根为：-2（二重）,-1,3; ③在数轴上暗示各根并穿线,如图：
④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.
解释：留意不等式若带“=”号,点画为实心,解集鸿沟处应有等号;别的,线虽不穿-2点,但x=-2知足“=”的前提,不克不及漏失落.
2．分式不等式的解法 例4 解不等式：
07
3<+-x x . 错解：去分母得03<-x ∴原不等式的解集是{}3<x |x .
解法1：化为两个不等式组来解： ∵
073
<+-x x ⇔⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-0
7030703x x x x 或⇔x ∈φ或37<<-x ⇔37<<-x , ∴原不等式的解集是{}37<<-x |x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵
073
<+-x x ⇔⎩⎨⎧≠+<+-0
70)7)(3(x x x ⇔37<<-x , ∴原不等式的解集是{}37<<-x |x
解释：若本题带“=”,即(x-3)(x+7)≤0,则不等式解分散应留意x ≠-7的前提,解集应是{x| -7<x ≤3}.
小结：由不等式的性质易知：不等式双方同乘以正数,不等号偏向不变;不等式双方同乘以负数,不等号偏向要变;分母中有未知数x,不等式双方同乘以一个含x 的式子,它的正负不知,不等号偏向无法肯定,无从解起,若评论辩论分母的正负,再解也可以,但太庞杂.是以,解分式不等式,切忌去分母.
解法是：移项,通分,右边化为0,左边化为)
x (g )x (f 的情势.
例5 解不等式：03
22
32
2≤--+-x x x x . 解法1：化为不等式组来解较繁.
解法2：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0
320
)32)(23(222x x x x x x ⇔
⎩
⎨
⎧≠+-≤+---0)1)(3(0
)1)(3)(2)(1(x x x x x x , ∴原不等式的解集为{x| -1<x ≤1或2≤x<3}. 演习21演习：3⑴⑵25
3
>+-x x .
答案：1.⑴{x|-5<x<8};⑵{x|x<-4,或x>-1/2};2.{x|-13<x<-5}.
演习：解不等式：
12
3422
+≥+--x x x x
.（答：{x|x ≤0或1<x<2}） 1. 不等式222310372x x x x ++>-+的解集是 2. 不等式31
13x x
+>--的解集是
3. 不等式2223712x x x x +-≥--的解集是
4. 不等式11
11x x x x -+<
+-的解集是 5. 不等式
229152x x x --<+的解集是 6. 不等式2232
0712
x x x x -+>-+的解集是 7. 不等式2121x x x +≤+的解集是 8. 不等式21
12x x ->-+的解集是 9. 不等式23
234
x x -≤-的解集是 10. 不等式22
12(1)(1)x x x -<+-的解集是 11. 不等式22
06x x x x +<+-的解集是12. 不等式2121
x x
x +<-的解集是 13. 不等式
232
1
x x
x x +>++的解集是14. 不等式211(3)x >-的解集是 15. 不等式
(23)(34)0(2)(21)x x x x -->--的解集是16. 不等式23
11
x x +≥+的解集是
17. 不等式
1230123x x x +->---的解集是18. 不等式25
214x x
+≤
--的解集是
19. 不等式
2
2
1
421
x
x x
≥
--
的解集是20. 不等式
2
2
1
(1)(2)
x
x x
-
<
+-
的解集是
答案
1. 2. (-2,3)
3. 4.
5. 6.
7. 8. (1,2)
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. [-1,2] 17. 18.
19. 20.。