概率论总复习

一、事件的集合表示

原理与要点：注意集合符号的逻辑含义.

⋃ 代表或者；⋂ 代表而且

A

代表不与否定

例：（1）A 与B 发生，C 不发生C AB

（2）A,B,C 至少两个发生AC BC AB ⋃⋃

（3）A,B,C 恰有两个发生C

B A B

C A C AB ⋃⋃

（4）A,B,C 同时发生ABC

（5）A,B,C 不全发生ABC 或者C B A ⋃⋃

二、古典概率

原理与要点：)

()

()(Ω=n A n A P ，即特殊样本数量与整体样本数量的比为古典概率

例：掷三颗骰子，求以下事件的概率 （1） 最大点数小于等于5 （2） 最大点数等于5

解：设},max {32,1X X X Y =即是三次的最大点数，则

（1）5187.06

5)5(33

==≤Y P

（2）2804.06

465)4()5()5(33

33=-=≤-≤==Y P Y P Y P

例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}. 解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。故样本点总数为：N n (1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，

事件A 包含的样本点数：n!，则 n

N

n A P !

)(=

(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有n

N C 种不同的方法；在n 个格子中放

n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数：

n N

n

N

A C n =!，则n n

N

N

A B P =)(

(3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有m

n C 种不同方法；余下n-m 个质点

任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：m

n

C m

n N --)1(, 则m

n m m n n

m n m n N N N C N N C C P ---=-=)1()1(

)1()(

例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？

解：考虑次序.基本事件总数为：4

10A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。 若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共

有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有3

9A 种选法；从而共有

539A =2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在

2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八

个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。 因此

4

10

2

83945)(A A A B P -==2296/5040=0.456

三、离散的随即变量分布的计算

原理与方法：分布函数的定义：)()(x X P x F ≤= 先计算点概率质量，再计算区间的概率质量。 例：

求 F 解：5.0)5.1()5.1(=≤=X P F

5.03.02.0)55.1(=+=<<

X P

四、切比雪夫不等式的应用：主要是用于计算某些特殊事件的概率的估计值。

2

2

)(1))(()

())((εεεεX Var X E X P X Var X E X P -

≥<-≤

≥-

例：若

2

)

(

,5

)

(=

=X

Var

X

E求

)2,8(≤≥X X P 的范围

解：

9

2)()3)(()

3535()28(2

=≤≥-=-≤-≥-=≤≥εX Var X E X P X X P X X P 或或

五、常见的期望与方差的计算: (1)二项分布（即贝努力分布）

),(~p n b X ，

,3,2,1,0,)(===-k q P C k X P k

n k k n n

npq X Var np X E ==)(,)(

例：某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？

解：设X 为10人中被治愈的人数，则()10,0.95X

，而所求的概率为

()()()()

82910

8==89101010100.950.050.950.050.958910P X P X P X P X ≥+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =0.0746+0.3151+0.5988=0.9885

10人中有8人以上被治愈的概率为0.9885.

例：射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求

(1)恰好命中两发的概率；(2)至少命中一发的概率.

解一：设事件A=“恰好命中两发”,B=“至少命中一发”

()2304.04.06.03

225

==C A P 98976.0)6.01(1)

(5=--=B P

解二：设X 为射击5发的命中发数,则)6.0,5(~B X

，所求概率为：