人教版A版高中数学高二必修五 3.3线性规划实际应用问题的求解
人教A数学必修五课件：第3章 3.3.2 第2课时 线性规划的实际应用
36x＋60y≥900， 则yy－＋xx≤≤721，，
x，y∈N，
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数 z＝1 600x
＋2 400y 在点(5，12)处取得最小值 zmin＝36 800 元．]
合作探究 提素养
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
线性规划中的最优整数解问题
【例 2】 某运输公司有 7 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车，4 辆载 重量为 10 吨的 B 型卡车，有 9 名驾驶员．在建筑某段高速公路的工 程中，此公司承包了每天运送 360 吨沥青的任务．已知每辆卡车每天 往返次数为：A 型车 8 次，B 型车 6 次，每辆卡车每天往返的成本费 为：A 型车 160 元，B 型车 280 元．每天派出 A 型车与 B 型车各多少 辆时，公司花的成本费最低？
解答线性规划应用题的一般步骤 (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题 意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划 应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可 借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题 转化为数学上的线性规划问题．
[提示] 分析题意，我们可得到以下式子
x＋y≤25 000 000， 12x＋10y≥3 000 000， x≥0， y≥0.
1．已知目标函数 z＝2x＋y，且变量 x，y 满足约束条件 x－4y≥－3，
3x＋5y<25， 则( ) x≥1，
A．zmax＝12，zmin＝3 B．zmax＝12，无最小值 C．zmin＝3，无最大值 D．z 既无最大值又无最小值
高中数学 3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到达点 M(0，5)的
距离的平方，过 M(0，5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知 栏
目
垂足 N 在 AC 上，故
链
接
MN＝ 1|＋0－（5－＋21）| 2＝ 32＝322.
MN2＝3
2
22＝92，故
z
的最小值为29.
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5
解析：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)．
(1)将 w＝x＋2y 变形为 y＝－12x＋w2，得到斜率为－12，在 y 轴上
截距为w2的一簇随 w 变化的平行直线，作过原点的直线 y＝－12x，由
栏
图 1 可知，当平移此直线过点(0，2)时，直线在 y 轴上的截距w2最大，目链
接
目 链
接
点评：由题目可获得以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；②求 z＝2xy＋＋11
＝2·x－y－（－－121） 的取值范围．解答本题可先将目标函数变形找到它的
几何意义，再利用解析几何完知整识版求pp最t 值．
11
解析：作出可行域，如图 A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
9
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴上的
截距为 z，随 z 变化的一簇平行直线．
由图可以看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 栏
z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
目 链
解方程组x3－x＋4y5＋y－3＝25＝0，0，得 A 点坐标为(5，2)．
范围是( )
栏
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题常
线性规划的常见题型及其解法线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2＝8∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －bx，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255． 【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73 B ．37 C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0， ∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12 B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b(b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3． 【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示． 当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94 B ．47 C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3． 【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝50，4x＋3y＝180，解得A(30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值z max＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]． 【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1．综上可知，m ＝1． 【答案】1。
2020秋高中数学人教A版必修5同步：3.3-3.3.2第2课时 线性规划的实际应用
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原 料．已知生产 1 吨甲、乙产品所需原料及每天原料的可用 限额如下表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别 为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为 ()
项目 甲 乙 原料限额
A/吨 3 2
12
B/吨 1 2
8
A.12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元
[知识提炼·梳理] 线性规划在实际问题中的题型 主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物 力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大， 收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排， 能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通 过的顶点便是最优解．( ) (2) 当 线 性 目 标 函 数 的 直 线 与 可 行 域 的 某 条 边 平 行 时，最优解可能有无数个．( ) 答案：(1)× (2)√
C．36 800 元
D．38 400 元
解析：设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，租金为 z 元， 36x＋60y≥900， 则yy－ ＋xx≤ ≤72， 1， x，y∈N* .
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数 z＝1 600x＋2 400y 在点(5，12)处取得最小值，zmin＝36 800(元)．
x－y≥0， 2．若满足条件x＋y－2≤0，的整点(x，y)(整点是指
y≥a 横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，则整数 a 的值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0 解析：不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所 示，当 a＝0 时，只有 4 个整点，分别为(1， 1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)． 当 a＝－1 时，正好增加(－1，－1)， (0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5 个整点，所以 a＝－1.
人教A版高二数学必修五第三章3-3-2 第2课时 简单线性规划的应用共33张 精品
探究点1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用
一、用量最省问 例题1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg 的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋 白质,0.14 kg脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花 费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
A规格 2
第二种钢板
1
B规格 1 2
C规格 1 3
今需要A，B，C三种规格的成品分别15,18,27 块，用数学关系式和图形表示上述要求．各截这 两种钢板多少张可得所需A，B，C三种规格成品， 且使所用钢板张数最少？
分析：列表
第一种钢板 第二种钢板
成品块数
A规格
B规格
C规格
张数
2
1
1
x
1
2
3
y
2x y x 2y x 3y
第2课时 简单线性规划的应用
在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件
下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理地安排和规划 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.
下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直 观解决一些简单的实际问题；(重点） 2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提 高学生数学建模和解决实际问题的能力.
0.
y
66，
作出可行域，
人教A版高中数学必修五课件3.3.3简单线性规划问题.pptx
(5,2)
复习线性规划解题步骤
解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 的最大值或最小值。
线性规划的实际应用
例题分析: P78 例题1
练习: P80 第4题
• 解线性规划应用问题的一般步骤：
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
3.3.3简单线性规划问题 实际应用
复习线性规划
问题：
目标函数 （线性目标函数）
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
3xx45yy235 x 1
y
x=1 C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
求z的最大值与最小值。
O
x
可行域
复习线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条
件的解(x，y)叫可行解； 2x+y=3
2x+y=12
可行域 ：由所有可行解组来自成的集合叫做可行域；最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
1、理清题意，列出表格； 2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）
与目标函数； 3、准确作图； 4、根据题设精度计算。
作业: P85 第5题
人教A版高中数学必修五《3-3 简单的线性规划问题》PPT课件
ｙ＝-2ｘ+ z
2ｘ+ｙ=0
o
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x B 当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝ 2×5+2＝12
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
答 4、 作出答案。
练习1.设z=2x+y，式中变量满足下列条件:
2x 3y 12 0
y
x y 3
x0
y0
求z的最值
x y 3
0
x
2x 3y 12 0
l0:2x+y=0
练习2： 式中x, y满足下列条件 求函数z=7x+y最大值，
y
2x 5 y 15 x y 0 6 x8
x-y=o
0 6
y
o
x
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h，每生 产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h，该厂每天 最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按 每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是 什么？
甲产品
每件耗时（ h)
1
A配件(个） 4
产品
原料A数量（kg 原料B数量（kg） 利润（元） ）
生产甲种产
3
品1工时
1
30
生产乙种产
2
品1工时
2
40
限额数量
1200
800
高中数学 3.3.2.2 线性规划的实际应用课件 新人教A版必修5
-7-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 1-2 】 有 5 辆载重 6 吨的汽车,4 辆载重 4 吨的汽车,要运送 一批货物,设需载重 6 吨的汽车 x 辆,载重 4 吨的汽车 y 辆,则完成这项运输 任务的线性目标函数为( A.z=6x+4y C.z=x+y 答案:A 0 ≤ x ≤ 1, 【做一做 1-3 】 设 z=2y-2x,其中 x,y 满足条件 0 ≤ y ≤ 2, 则 z 的最小 2y-x ≥ 1, 值为 答案:0 . ) B.z=5x+4y D.z=4x+5y
-5-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
一般地,对目标函数 z=ax+by,若 b>0,则纵截距与 z 同号,因此,纵 截距最大时,z 也最大;若 b<0,则纵截距与 z 异号,因此,纵截距最大时,z 反而 最小.
-6-
目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
【做一做 1-1 】 完成一项装修工程,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工 需付工资每人 40 元.现有工人工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则完 成这项工程的线性约束条件是( 50x + 40y = 2 000, A. x∈������,y∈������ 50x + 40y ≥ 2 000, C. 答案:B x∈������,y∈������ D. B. ) 50x + 40y ≤ 2 000, x∈������,y∈������ 40x + 50y ≤ 2 000, x∈������,y∈������
-12-
高中数学人教A版必修5第三章3.3.2简单的线性规划问题(二)课件
学段 初中 高中
硬件建设 班级学生数 配备教师数 万元
45
2
26／班
40
3
54／班
教师年薪 万元
2／人 2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若 根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中 班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
B(3,9)和C(4,8)在直线上,且在可行域内, 整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出直线 x+y=0，
2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
2019年高中数学人教A版必修5课件：3.3.2.2简单线性规划的应用(45张)
解析：设甲种 x 组，乙种 y 组． 5x＋4y≤25， 3x＋5y≤20， 则x≥y， y≥1， * * x∈N ，y∈N ， 总的组数 z＝x＋y，作出该不等式组表示的平面区域如图中 阴影部分所示，寻找整点分析，知选 D. 答案：D
4．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、 质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获 得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为( ) 体积/ 质量/箱 利润/箱 货物 箱(m3) (50 kg) (百元) 5 2 20 甲 4 5 10 乙 托运 24 13 限制 A.4,1 B．3,2 C．1,4 D．2,4
解析：设每周需用谷物饲料 x kg，动物饲料 y kg，每周总的 饲 料 费 用 为 z 元 ， 由 题 意 得 1 x＋y≥35 000， y≥ x， ≤x≤50 000， y≥0， 5 而 z＝0.28x＋0.9y.如图所示，作出以上不等式组所表示的平 面区域，即可行域，
作一组平行直线 0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且 1 和原点最近的直线经过直线 x＋y＝35 000 和直线 y＝5x 的交点 87 500 17 500 87 500 17 500 A 3 ， 3 ， 即 x＝ 3 ， y＝ 3 时， 饲料费用最低． 所 以，谷物饲料和动物饲料应按 5∶1 的比例混合，此时成本最低．
类型二 线性规划中的最优整数解问题 [例 2] 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗 衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多 少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月 供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制 的因素是资金和劳动力，关于这两种产品的有关数据如下表：
人教版A版高中数学高二必修五 3.3利用“线性规划巧解动直线与线段相交问题
利用“线性规划”巧解动直线与线段相交问题山东 孙道斌在平面直角坐标系中，如果直线:l 0=++C By Ax 与线段AB 相交，那么线段AB 的两个端点A ),(11y x 和B ),(22y x 必居于直线l 的两侧（或在直线l 上），此时有)(11C By Ax ++0)(22≤++C By Ax ①；如果直线l 与线段AB 不相交，那么线段AB 的两个端点A 和B 必居于直线l 的同侧，此时有)(11C By Ax ++0)(22>++C By Ax ②。
利用以上两个结论，可以非常简捷地解决动直线与线段相交问题。
举例说明。
例1已知直线l 过点)2,1(-P ，且与以），（、03)3,2(B A --为端点的线段相交，求直线的斜率k 的范围。
解: 直线l 过点)2,1(-P ，且斜率为k 。
）（的方程为：直线12+=-∴x k y l即02=++-k y kx又直线l 与线段AB 相交,∴由结论①得：0)203)(232(≤++-+++-k k k k即0)24)(5(≤+-k k ， 解得：521≥-≤k k 或。
例2直线l 04:=-+y x 与线段AB 无公共点，其中点）（、a B a A 2,1)3,2(+，求a 的范围。
解： 直线l 与线段AB 无公共点 ∴ 由结论②得：0)421)(432(>-+-++a a即0)32)(1(>-+a a 解得：231>-<a a 或。
列3已知）（、5,2)1,3(B A ，动直线01:=++m y mx l 与线段AB 相交，求m 的取值范围。
解： 直线l 与线段AB 相交∴ 由结论①得：0)152)(113(≤++++mm m m解得：41754175+-≤≤--m 。
总之，对于例1，动直线过定点，对于例2，动直线为一组平行线，此两例均可用数形结合法，但都较繁且易出错；但对例3，数形结合法不适合。
此三例，若运用本文中的两个结论，则简捷且不宜出错。
高中数学(3.3.2简单线性规划问题)示范教案新人教A版必修5
使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1. 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）
2. 设 t=0 ，画出直线 l 0
3. 观察、分析，平移直线 l 0，从而找到最优解
4. 最后求得目标函数的最大值及最小值
已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解
. 为突出重点，本节教学应指
导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化
课时安排 3 课时
三维目标
一、知识与技能
1. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、
2x
由
3y
12,
得
x
12 , 7
5x 4 y 20.
20 y.
7
令 90x+100y=t ，作直线 :90x+100y=0 ，即 9x+10y=0 的平行线 90x+100y=t ，当 90x+100y=t
过点 M（ 12 , 20 ）时，直线 90x+100y=t 中的截距最大 77
12
20
由此得出 t 的值也最大， z ma =90× +100×
线y
2 x
1 z ，这说明，截距
z[]3
可以由平面内的一个点的坐标唯一确定
33
. 可以看到直
线y
2 x 1 z 与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距 33
z 最大时， 3
z 取最大值，因此，问题转化为当直线
高中数学人教A版必修5课件：3.3.2.1 简单的线性规划问题
题型一
题型二
题型三
1 ≤ ������ + ������ ≤ 5, 正解:解法一:作出二元一次不等式组 -1 ≤ ������-������ ≤ 3 所表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)即可行域. 考虑 z=2x-3y,把它变形为 y= 3 ������ − 3 ������, 得到斜率为 3 , 且随z 变 化的一组平行直线.− ������是直线在y 轴上的 截距,当直线截距最大时,z 的值最小,当然直 线要与可行域相交,即在满足约束条件时目 标函数 z=2x-3y 取得最小值;当直线截距最 小时,z 的值最大,当然直线要与可行域相交, 即在满足约束条件时目标函数 z=2x-3y 取 得最大值.
解析:不等式组表示的平面区域如 图阴影部分所示.作出直线y=ax(a>0),并平移该直线,当直线在y轴 上的截距最大时,z最大.又目标函数仅 在点(3,1)处取最大值. 故-a<-1,即a>1. 答案:(1,+∞)
题型一
������ + ������ ≥ 0, 【变式训练 2】 (1)变量 x,y 满足约束条件 ������-2������ + 2 ≥ 0, ������������-������ ≤ 0, ( D.2 ).
1 3 2 1 2
题型一
题型二
题型三
由图可见,当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 A 时,截距最大,即 z 最小. ������-������ = -1, 得点A 的坐标为(2,3), ������ + ������ = 5, ∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. 当直线 z=2x-3y 经过可行域上的点 B 时,截距最小,即 z 最大. 解方程组 ������-������ = 3, ������ + ������ = 1, 得点 B 的坐标为(2,-1), ∴zmax=2x-3y=2×2-3×(-1)=7. ∴-5≤2x-3y≤7. ∴2x-3y 的取值范围是[-5,7]. 解方程组
人教版A版高中数学高二必修五 3.3用线性规划解决生产生活问题
用线性规划解决生产生活问题山西 马志君日常生产生活很多问题，可抽象转化为线性规划问题解决，求解的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
例1 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资余额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x 、y 万元投资甲、乙两个项目由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+008.11.03.010y x y x y x 目标函数z=x+0.5y上述不等式组表示的平面区域如图1所示，阴影部分（含边界）即为可行域。
作直线l 0：x+0.5y=0，并作平行于直线l 0的一组直线x+0.5y=z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M 点是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点。
解方程组⎩⎨⎧=+=+8.11.0|3.010y x y x 得⎩⎨⎧==64y x 此时z=1×4+0.5×6=7（万元）∵7＞0，∴当x=4，y=6时，z 取得最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。
例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，第一张钢板可同时截成三种规格小钢板块数分别为1、3、1；第二张钢板可同时截成三种规格小钢板块数分别为1、1、4，第一张钢板面积为1平方单位，第二张钢板面积为3平方单位，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各14、23、39块，问各截这两种钢板多少张可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小，并求出这个最小面积。
解：设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，满足条件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,39423314 其目标函数z=x+3y 取最小值，作出如图2所示的可行域，可知最优解在（325,317）附近。
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线性规划实际应用问题的求解
山东唐午阳唐富新
在线性规划的实际问题中，主要有两种类型. 而即便是简单的线性规划问题，题中的条件也常常较多，因此，在解题前应切实做到认真细致地审清题目，将所有的约束条件悉数罗列出来，尤其是约束条件中有没有等号、未知数x,y,z是否是正整数、有没有包含零等都应考虑清楚；另外，还应弄清楚约束条件和目标函数的区别，不能混为一谈. 要解决实际中的线性规划问题，就要根据实际空间列出不等式组，继而画出平面区域. 再找出实际要求的目标函数，然后求出其最值.
一、求解方法
解决实际问题的关键在于正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言进而建立数学模型，而建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤：
①明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；
②明确问题中所有的约束条件，并用线性不等式表示；
③明确问题的目标，并用目标函数表示，按问题的不同，求其最大值或最小值.
利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：
①模型建立；
②模型求解；
③模型应用.
但有时根据实际问题的需要，在“模型建立”前需要作出“模型假设”，在“模型求解”后需要作出“模型分析”和“模型检验”，这需要根据具体问题而定.
解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范. 但考虑到作图必然有误差，加入图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.
二、典题例析
某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费为3元、4元、5元，问如何安排调运方案，才能使得两个仓库运货到三个商店的总运费最少？
解析：（1）模型建立
设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨、y吨，
则仓库A运给丙商店的货物为（12-x-y）吨；
从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为（7-x）吨、（8-y）吨、[5-（12-x-y）]=（x+y-7）吨，
于是总运费为z = 8x + 6y + 9（12 - x - y）+3（7 - x）+4（8 - y）+5（x + y - 7）
= x - 2y + 126.
从而得到本题的数学模型是：
求总运费z = x - 2y + 126在约束条件
120,
70,
80,
70,
,0.
x y
x
y
x y
x y
--≥
⎧
⎪-≥
⎪⎪
-≥
⎨
⎪+-≥
⎪
≥
⎪⎩
即在
07,
08,
7,
12
x
y
x y
x y
≤≤
⎧
⎪≤≤
⎪
⎨
+≥
⎪
⎪+≤
⎩
下的最小值.
（2）模型求解
作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图，
作出直线l:x- 2 y= 0,把直线l作平行移动，
显然当直线l移动到过点A（0，8）时，
在可行域内z = x -2 y + 126取得最小值
min
z= 0 - 2×8 + 126 = 110, 即x = 0, y = 8时总运费最少.
（3）模型应用
安排的调运方案是：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.
y。