数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题

数列的极限

一、知识要点

1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作lim n n a a →∞

=．

（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）()()()⎪⎩

⎪

⎨⎧-=>=<=∞

→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，

（4）⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 0

11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在ΛΛ

3. 数列极限的运算法则:

如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞

→那么

B A b a n n n +=+∞

→)(lim B A b a n n n -=-∞

→)(lim

B A b a n n n .).(lim =∞

→ )0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n

4．无穷等比数列的各项和

⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞

=

⑵1

lim ,(0||1)1n n a S S q q

→∞

==

<<- 二、方法与技巧

⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.

⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）

⑶求数列极限最后往往转化为()N m n

m ∈1

或()1

⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .

②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.

③利用已知数列极限（如()Λ01

lim

,10lim =<=∞→∞→n

q q n n n 等）.

④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ⑤∞－∞,

∞

∞

,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限

题型讲解

例1 求下列式子的极限： ①n

n

n )1(lim

-∞

→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞

→n lim （n n +2－n ）;（3）∞

→n lim （

22n +24n + (22)

n

） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞

→∞

→∞

→lim lim ,lim 是的（ ）

A 充分必要条件

B 充分不必要条件

C 必要不充分条件

D 既不充分又不必要条件

例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim =3,求n

n

n nb a a a 221lim +++∞→Λ的

值为

例4 求n

n n

n n a a a a --∞→+-lim （a >0);

例5 已知1)1

1

(

lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;

例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞

→n lim （

q a +11－q n

）=2

1,求a 1的取值范围

例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；

（2）求∞

→n lim 1

122+-+-n n

n n a a 的值．

数列极限课后检测

1下列极限正确的个数是（ ）

①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n

=0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞

→n lim C =C （C 为常数） A2 B3 C4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）

A 若∞

→n lim a n 2

＝A 2

，则∞

→n lim a n ＝A B 若a n ＞0，∞

→n lim a n ＝A ，则A ＞0

C 若∞

→n lim a n ＝A ，则∞

→n lim a n 2＝A 2

D 若∞

→n lim （a n －b ）＝0，则∞

→n lim a n ＝∞

→n lim b n

5若数列{a n }的通项公式是a n =2

)

23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…

+a n ）等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24

25

6数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51

,a n +a n +1=15

6+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）

A 52

B 72

C 41

D 25

4 7．∞→n lim n n ++++Λ212=__________ ∞→n lim 3

2222-+n n n =____________

∞

→n lim ［n （1－

31）（1－41）（1－51）…（1－2

1

+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c

an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a

cn c an ++22的值是（ ）

9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则

∞

→n lim

2

)1(+n a n =_____________

10等比数列{a n }公比q =－

21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=3

8

,则a 1=_____________

11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）

（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞

→n lim （

212-b +213-b +214-b +…+2

1

-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞

→n lim

n n b a =2

1

,