数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题
35.数列极限【学生版】(正式版)(含答案)
数列极限【课前预习】 一、知识梳理 1.数列极限的概念在n 无限增大的变化过程中, 如果无穷数列{}n a 中的n a 无限接近于一个常数A , 那么A 叫做数列{}n a 的极限. 记作.2.几个常用的极限(1)lim n C →∞= ; (2)1(0),lim n n αα→∞>= ; (3)lim n n q →∞=3.极限的运算法则若数列{}n a ,{}n b 的极限分别存在, 设lim n n a A →∞=, lim n n b B →∞=, 则:(1)lim()n n n a b →∞±=; (2)lim()n n n a b →∞⋅=;(3)limnn na b →∞=运用极限的运算法则时, 需要注意以下两点:(1)存在性: 即参与运算的数列的极限必须都存在; (2)有限性: 即参与运算的数列必须是有限多个. 4.无穷等比数列的各项和设无穷等比数列{}n a 的的公比为q ，前n 项和为n S ，若0||1q <<，当n →∞时n S 的极限,叫做无穷等比数列的各项和, 并用符号S 表示, 即:S = .上述概念中需要注意:(1)对于无穷等比数列而言, 仅当0||1q <<时, 才可以定义其各项和; (2)无穷等比数列的各项和本质上是该等比数列前n 项和的极限.二、基础练习1.数列{}n a 中，21,11000,,1001,2n n n a n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩则数列{}n a 的极限( )A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不存在2.试举出符合下列条件的数列{},{}n n a b 的例子.（1）对于N n *∈, 有1n a >, 且lim 1n n a →∞=:______________________;（2）数列{}n a 的极限不存在, 但2lim 1n n a →∞=:______________________;（3）对于N n *∈, 有1n n b a <<, 且lim lim 1n n n n b a →∞→∞==:_____________________.3.(1)求值: 23321lim 41n n n n →∞-+=-__________.(2)计算23lim(2)n nn n →∞+++=+ .4.(1)求值: 222122008lim()n n n n →∞+++=______.(2)求值: 1111242lim 1111393n n n →∞++++=++++______. 5.等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若6378S S =，则lim n n S →∞= .6.若2lim 223n an bn cn →∞++=--，则a b += .7.如果1lim()02nn a a →∞-=，那么实数a 的取值范围是( ) A ．13a >或1a <- B.13a > C.13a >或0a < D.13a ≥或0a <8.等比数列{}n a 中, 11a >, 前n 项和为n S , 并满足11lim n n S a →∞=, 求1a 的取值范围.【例题解析】例1.给出下列命题：（1）若22lim n n a A →∞=, 则lim n n a A →∞=或者lim n n a A →∞=-.（2）若n n a b >, 且lim n n a p →∞=, lim n n b q →∞=, 则p q >;（3）lim()0n n n a b →∞-=, 则lim lim n n n n a b →∞→∞=;（4）若数列{},{}n n a b 的极限均不存在, 则{},{}n n n n a b a b ±⋅也一定没有极限. 其中不正确的命题的序号是________________;例2.试回答下列问题.（1）数列{}n a 有极限, 数列{}n b 没有极限, 试问数列{}n n a b +, {}n n a b ⋅的极限是否存在? 并举例说明. （2）数列{}n a 没有极限, 数列{}n b 没有极限, 试问数列{}n n a b +, {}n n a b ⋅的极限是否存在? 并举例说明.（3）若lim()0n n n a b →∞⋅=, 能否判定数列{}n a , {}n b 都等于0? 举例说明.例3.（1）已知222lim 31n n n an b n →∞⎛⎫++-+= ⎪+⎝⎭, 求实数,a b 的值.（2）已知131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++, 求a 的取值范围.例4.在边长为a 的正方形ABCD 中内依次作内接正方形()1,2,3,i i i i ABC D i =，使内接正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为α(0)2πα<<,求所有正方形的面积之和。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
数列的极限知识点 方法技巧 例题附答案和作业题
数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作l i m n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项）2几个重要极限：（1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a nn 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3.数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→0(lim≠=∞→B B Ab a nn n4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,0等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2）∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ） 例2()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 11 B 17 C 19 D 256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2,∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（ ）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++ 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52 （2）∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim（2n 2+n +7）,∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(limd d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想 例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围 解:∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2）∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n c 3211--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nnn n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ） ∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0答案:C7解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nnn ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析:∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析:答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=ca =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a 38∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。
求数列极限的方法总结及例题
求数列极限的方法总结及例题以《求数列极限的方法总结及例题》为标题，写一篇3000字的中文文章一、什么是数列极限数列极限是数学中非常重要的概念，它是指当数列中的每一项都确定时，其值是无限值，而它表示的数字则不会变化。
数列极限是描述数字趋势的一种抽象思想，它可以帮助我们理解许多数学问题。
然而，要求出数列极限的思路并不是十分简单，需要我们熟悉一些基本的数学知识和求极限的方法来推导出最终的结果。
二、常用的求极限的方法1.t极限定义法。
在求极限的过程中，极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以使用限定条件将极限运算表达式化简，这样最终可以得出一个易于理解的极限表达式。
2.t化为无穷积分法。
将极限表达式进行拆分变形，将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式，利用积分的性质来求解极限。
3.t求解解微分方程求解极限。
这种求极限的方法由求解解微分方程的极限问题引出，其本质是求解极限问题时将表达式进行拆分化简，将复杂的极限表达式化为微分方程来求解极限。
4.t比较定理。
具有相同极限值的函数可以用比较定理来求极限，其本质是利用比较定理来求出未知项的极限值。
三、例题例1：已知数列{an}为正数序列，且满足liman= 0，求lim(1/an)解：用极限定义法求解，lim(1/an)=lim(1/liman)=1/0，根据定义，1/0不存在，即数列的极限不存在。
例2：已知数列{an}为正数序列，求lim(1/an+1/bn)解：用比较定理求解，lim(1/an+1/bn)=lim(1/an)+lim(1/bn)根据定义， lim(1/an)=lim(1/bn)=0，所以lim(1/an+1/bn)=0+0=0。
四、总结从上面的分析中可以发现，要求数列极限的法子有很多，只需要熟悉基本思路，就可以把数列极限问题解决出来。
其中极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以将极限运算表达式简化；而化为无穷积分法可以将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式；求解解微分方程求解极限方法则是求解极限问题时将表达式进行拆分；比较定理则是利用比较定理来求出未知项的极限值。
大纲版数学理科高考总复习13-2数列的极限
依次为 r， 23r，( 23)2r，…，从而可知所有的圆的面积
形成一个以 πr2 为首项，34为公比的等比数列，因此lni→m∞Sn
＝1π－r234＝4πr2，选 C.
答案：C
易错点 忽视解题细节致误
例 已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q≥2，
则lni→m∞ 11＋ ＋1n1npq－ －11＝(
【解】
(1)原式＝lni→m∞ nn5422＋－1n1n－＋32＝－32；
(2)原式＝lni→m∞
n3＋n2 2n＋12n2－1
＝lni→m∞ 2＋11n＋21n－n12＝14；
(3)原式＝lni→m∞
n n＋1＋
n＝lni→m∞
1＋1 1n＋1＝12；
(4)∵nn1＋1＋nn4＋1＋…＋n3nn－ ＋21＝
)
A．0
B．1
p
p－1
C.q
D.q－1
• 【错因分析】 此题粗看上去超出了 学习的范围，考生解答此题时只注重 了对整体的分析，而忽视了对细节的 考虑，没有将选择题的特殊化解法用 好而盲目选择了D选项．
【正确解答】 解法一：特殊值法，由题意取 p＝1，
q＝2，
则lni→m∞
11＋ ＋1n1npq－ －11＝nli→1 D.2
解析：lni→m∞ n22n＋2＋3n1＝lni→m∞ 21＋＋n13n2＝2.
• 答案：B
2 ． (2010 年 江 西 高 考 ) lni→m∞ 1＋13＋312＋…＋31n ＝
()
3
3
A.5
B.2
C．2
D．不存在
解析：lni→m∞ 1＋13＋312＋…＋31n＝lni→m∞ 1－1－1313n＋1＝32， 故选 B.
考研：求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111n a a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!nn n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112()122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n =）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim nn x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l解得：l =l （舍负）；∴lim n n x →∞．4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim nn c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++； ∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++． 注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用．5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()b aJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!n n n n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n =112lim (1)(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ 11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12lim lim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sin sinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()1110n nxx n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+； 由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1)lim(1)lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n -----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim n n nxl y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim n n nxl y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p pp n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nkn k n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n ++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<，∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵10011()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()()1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n n x f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x S l +→∞→∞=+=（存在）； 对式子：12(1)2n n n x x x ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =l =lim n n x →∞．例15．证明：111lim(1ln )23n n n →∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n=++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n ---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim n n a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用． 例17．求：2lim (arctanarctan )1n a a n n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, ]1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()(), [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明， 若lim n n x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nn ααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列． 推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12limn n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略． 例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211limn n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211limn n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim1()x f x g x →=，且当n →∞时， 0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n →∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n →∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==； ∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,]2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, ]22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim n n x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a+的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：()1f x '=≤<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==解得：lim n n x →∞． 本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． （2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n n n ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn nn a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()111111011111111120101n n n A P P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0n n α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ=，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn n n n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim lim n n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。
数列极限的定义证明数列的极限(含解答)
数列极限的定义证明数列的极限例1证明数列,)1(,,43,34,21,21nn n --+的极限是1.（分析：所证结论，即对任意给定的0>ε，求数)(εN N =，使得N n >时，ε<-1n x ）证：nn x n n 1)1(--+=任给0>ε，要使ε<-1n x ，只要1(1)11n n n n ε-+--=<，即ε1>n ，∴对于0>ε，取]1[ε=N ，则当N n >时，1(1)1n n n ε-+--<即10(1)lim 1.n n n n-→+-=例2证明：02lim 1.1n n n →+=+证：21n n x n +=+任给0>ε（不妨设1ε<），要使ε<-1n x ，只要21111n n n ε+-=<++，即11n ε>-∴对于0>ε，取1[1]N ε=-，则当N n >时，211n n ε+-<+即02lim 1.1n n n →+=+注：取1ε<，保证110ε->，取N 时更方便.若不限定110ε->，则取1max{[1],1}.N ε=-例3已知2(1)(1)nn x n -=+，证明数列的极限是0.证：任给0>ε，要使ε<-1n x ，只要22(1)1110(1)(1)1n n n n nε--=<<<+++，即即ε1>n ，∴对于0>ε，取]1[ε=N ，则当N n >时，2(1)0(1)nn ε--=<+即20(1)lim 0.(1)nn n →-=+在利用数列极限的定义来论证某个数是数列的极限是，重要的是对任意给定的正数ε，定义中的正整数N 确实存在，但没有必要求最小的N .如果知道n x a -小于某个量，（这个量是n 的一个函数），那么当这个量小于ε时，ε<-a x n 当然也成立.若令这个量小于ε来定出N 比较方便的话，就可以采用这种方法（称为放大法）.例4证明221lim .292n n n n n →∞+=++证222192922(29)n n n n n n n +--=++++当9n ≥时，有2229912(29)2(29)4n n n n n n n n n--=<<++++取1max{[],9}.N ε=注：第一个不等式是有条件放大（即9n ≥）；第二个不等式是无条件放大，由此可知放大不等式一般有下列要求：（1）放大后的式子应该随着n 的增大而减小，能使该式小于ε.例如，式子如果是关于n 的有理分式，则要求分母n 的次数高于分子n 的次数.（2）使最后一个式子小于ε的不等式容易解出n .例5利用数列极限的定义证明1lim 1n n n →∞=（或1lim 1,0n n a a →∞=>）.分析：由于1n n x n =，底数与指数都随着n 而变化，故不好直接求解不等式11nn ε-<.需将不等式用其它方法化简放大，使得关于解n 更容易证一：令111nn a a -==+，即222(1)(1)(1)12222n n n n n n n n n a na a a a a --=+=++++>>⋅ （当2n >）即224n a n <，亦即a <1-<ε<，即24n ε>取24max{[],2}N ε=证2依据几何平均不超过算术平均不等式12n a a a n+++≤11(2)1)1n n n n +++++--=≤==+2(1)21n n --≤<=ε<，即24n ε>，故取24[N ε=.。
数列极限计算练习题
数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。
而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。
在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。
本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。
练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。
解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。
通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。
2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。
解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。
最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。
洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。
＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。
综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。
121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。
＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
第二章--数列极限习题解答
第2章 数列极限§2.1 数列极限的概念一 基本内容一、数列极限的定义lim 0,0,n n n a A N n N a A εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．在用-N ε定义证明极限时有两种方法．1 分析法由不等式n a a ε-<寻找n 与ε的关系，从而求N 的方法称为分析法． 2 综合法由n a a -经放大得到n 的简易表达式，从而求出N 的方法称为综合法． 二、数列发散的定义0000lim 0, 0, , n n n a a N n N a a εε→∞≠⇔∃>∀>∃>∍-≥“”．数列{}n a 发散, lim n n a a a →∞⇔∀≠00, 0, (, )a U a εε⇔∀∃>∍“外有{}n a 的无穷多项”． 三、无穷小数列数列{}n a 称为无穷小lim 0n n a →∞⇔=．性质(1) 无穷小的和差仍是无穷小； (2) 无穷小的积仍是无穷小； (3) 无穷小与有界量的积仍是无穷小； (4) lim ()n n n a a a a →∞=⇔-为无穷小．二 习题解答1 设1(1)nn a n+-=，1,2,,0n a ==．(1) 对下列ε分别求出极限定义中相应的N ，10.1ε=，20.01ε=，30.001ε=；(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对？(3) 对给定的ε，是否只能找到一个N ？解：(1) 因为1(1)20n n a a n n +--=-≤，所以2n ε>时，n a a ε-<，故10.1ε=时，20N =；20.01ε=时，200N =；30.001ε=时，2000N =．(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这不能证明n a 趋于0．必须是0ε∀>，2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，0n a ε-<，才能证明n a 的极限为0．(3) 因为lim 00,0,0n n n a N n N a εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”，而1n N >+时，亦有0n a ε-<，故N 的选取不唯一．2 按-N ε定义证明．(1) lim11n nn →∞=+．证：因为11111n n n n -=<++，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时， 11nn ε-<+， 故lim 11n nn →∞=+． (2) 2233lim 212n n n n →∞+=-．证：因为222223323212124232n n n n n n n n n n +++-=<<--+-，所以0ε∀>，取1max 3,N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，2233212n n n ε+-<-，故2233lim 212n n n n →∞+=-． (3) !lim 0n n n n→∞=．证：因为!12310n n n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅-=<⋅⋅⋅⋅，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N>时，!0n n nε-<，故!lim 0n n n n →∞=．(4) limsin 0n nπ→∞=．证：因为sin 0sin n n n πππ-=<，所以0ε∀>，取N πε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，sin 0n πε-<，故limsin 0n n π→∞=．(5) lim 0n n na→∞=(1)a >．证：设1a h =+，则10a h >⇒>，且当2n >时，21(1)(1)2n n a h n n h =+>-，于是2222440(1)(2)n n n n a a n h n n h nh -=<=<-+-，所以0ε∀>，取24max 2,N h ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，0n n aε-<，故lim 0n n na →∞=．3 指出哪些是无穷小数列？(1) n．解：因为1lim0(0)n n αα→∞=>，所以0n=．故是无穷小数列． (2) n解：因为1(1)n a >，所以1n =．故非无穷小数列．(3) 31limn n →∞． 解：因为1lim 0(0)n n αα→∞=>，所以31lim 0n n →∞=．故31n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列．(4) 1lim 3n n →∞．解：因为lim 0(||1)n n q q →∞=<，所以1lim 03nn →∞=．故13n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列．(5)n解：因为lim 0(||1)n n q q→∞=<，所以0n =．故⎧⎫是无穷小数列． (6) n解：因为1(1)na >，所以1n =．故非无穷小数列．4 证明：若lim n n a a →∞=，则k N +∀∈，lim n k n a a +→∞=．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，于是当n N >时，k N +∀∈，n k a a ε+-<，故lim n k n a a +→∞=．5 用定义证明(1) 数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．证：取012ε=，则2N ∀>，取01n N =+，则011112N n N ->>+，故数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．(2) 数列{}(1)nn -发散．3n >证：a R ∀∈，0a =时，取01ε=，则2N ∀>，取02n N =，则(1)0021n n N --=>，当0a ≠时，取01ε=，则||N a ∀>，取02n N =，则(1)02||1n n a N a N --≥->>，故数列{}(1)nn -发散．6 证明数列{}n a 收敛于n a a a ⇔-为无穷小数列，并用此结论证明(1)lim 11n n n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭． 证：()⇒设{}n a 收敛于a ，则lim n n a a →∞=，即0,0,n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒-<“”，于是lim 0n n a a →∞-=，即n a a -为无穷小数列．()⇐设n a a -为无穷小数列，则lim 0n n a a →∞-=，于是0,0,()0n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒--<“”，即lim n n a a →∞=．因为(1)111n n n -+-=，而1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列，所以 (1)lim 11n n n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭．7 证明若lim n n a a →∞=，则lim n n a a →∞=，举例说明反不成立．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，此时亦有||||n n a a a a ε-<-<，故lim n n a a →∞=．反之不成立，例如：(1)nn a =-，lim 1n n a →∞=，但lim n n a →∞不存在．8 用-N ε语言证明． (1)lim0n →∞=．证：0=<，所以0ε∀>，取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >0ε<，故lim0n →∞=．(2) 312lim0n nn →∞+++=．证：因为33212(1)1022n n n n n n n n n +++++-=<=，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，3120n n ε+++-<，故312lim 0n nn→∞+++=． (3) lim 1n n a →∞=，其中1, n n n n a n n -⎧⎪=⎪⎪⎩为偶数为奇数．证：当2n k =时，1111n n a n n--=-=；当21n k =+时， 111n a n-===<， 所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，1n a ε-<，故lim 1n n a →∞=．9 设,1n n a ∀≥-，lim 0n n a →∞=，用-N ε语言证明1n =．1n a=≤．证：因为lim 0n n a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a ε∍>⇒<“”，而1n a ≤，于是n N >1ε<，故1n =．10 利用上题结果求极限．(1)) limnn→∞．解：n==3322n--()22999222n nn nn=<=，故)3limnn→∞=．(2)n．解：=，所以1122-=-12n=<，故1n=．(3)n．解：因为=，11-=-=<<1n=<．故1n=．(4)n．提示：=．解：==，=<=故0n=．§2.2 收敛数列的性质一基本内容一、收敛数列的一般性质性质1 (唯一性) 若数列{}n a收敛，则极限唯一．性质2 (有界性) 若数列{}n a收敛，则必有界．性质3 (保号性) 若数列{}n a收敛，且lim0nna A→∞=>，则0,0nN n N a∃>∍>⇒>“”．性质3'(保号性) 如果limnna A→∞=，又, 0nn a∀>，则0A≥．性质4 (有序性) 设lim,nna A→∞=lim,nnb B→∞=(1) 若A B >，则0, n n N n N a b ∃>∍>⇒>“”； (2) 若0, n n N n N a b ∃>∍>⇒>“”，则A B ≥． 性质5 (夹逼性) 设lim lim n n n n a b l →∞→∞==，且数列{}n c 满足00, n n n N n N a c b ∃>∍>⇒≤≤“”，则{}n c 收敛，且lim n n c l →∞=．二、收敛数列的四则运算定理1 若{},{}n n a b 收敛，则{}, {}, {}, (lim 0)n n n n n n n n n n a a b a b a b b b →∞⎧⎫+-⋅≠⎨⎬⎩⎭也收敛，且(1) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+=+；(2) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞-=-；(3) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅；(4) lim lim lim nn n n n nn a a b b →∞→∞→∞=．三、数列与其子列的关系数列{}k n 是自然数集的一个无穷子集，且严格单调上升，则数列12,,,,k n n n a a a 称为数{}n a 列的子列，记作{}k n a ．定理2 数列{}n a 收敛{}n a ⇔的任一个子列都收敛，且极限相同．二 习题解答1 求下列极限．(1) 32331lim 423n n n n n →∞++++．解：323323311311lim lim 2342344n n n n n n n n n n→∞→∞++++==++++． (2) 212lim n nn→∞+．解：221212limlim 0n n n n n n →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． (3) 11(2)3lim (2)3n nn n n ++→∞-+-+．解：111121(2)31333lim lim (2)33213nn n n n n n n +++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (4))lim n n →∞．解：)1lim2n n n n →∞-===． (5))lim10n n→∞+．解：)lim10lim 1lim 2lim 10n n n n n n n n →∞→∞+=+++ 10=．(6) 22111222lim 111333n n n →∞++++++． 解：2211122111112222lim lim 211111133333113n n n n n n →∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭+++-==⎛⎫+++- ⎪⎝⎭-．2 设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，证明0,n n N n N a b ∃>∍>⇒<“”．证：因为lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，所以取2b aε-=，则110,2n b aN n N a a -∃>∍>⇒-<“”， 220,2n b aN n N b b -∃>∍>⇒-<“”，取12max{,}N N N =，则n N >时，2n n a ba b +<<，故结论成立．3 设{}n a 为无穷小数列,{}n b 有界,证明{}n n a b 为无穷小数列．证：因为{}n b 有界，所以0,,n M n b M ∃>∍∀≤“”，又{}n a 为无穷小数列，所以0,0,n N n N a Mεε∀>∃>∍>⇒<“”，于是n N >时， n n a b M Mεε<⋅=，故{}n n a b 为无穷小数列．4 求下列极限．(1) 111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭．解：111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭11111lim 12231n n n →∞⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭1lim 111n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭． (2)22)nn →∞⋅． 解：22)nn →∞⋅2111222lim22n n +++→∞==．(3) 21321lim 222nn n →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭． 解：设21321222n n n S -=+++，则13212122nn n S --=+++．于是 212222112222n n n n S --=++++-1112112122123122212n n n nn n ----=+⋅-=---， 所以21321lim 3222n n n →∞-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．(4)n ．解：因为，而2n ≥1≤=， 又1n =，所以1n =． (5) 222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭． 解：因为2222211111(2)(1)(2)n n n n n n n ++≤+++≤+，而21lim 0(2)n n n →∞+=，21lim0n n n →∞+=，所以222111lim 0(1)(2)n n n n→∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭． (6) 2lim nn →∞⎛⎫++． 解：2n≤++++，而1n n ==，1n n ==，所以2lim 1nn →∞⎛⎫++=+． (7) 2lim nn →∞⎛⎫++-． 解：同上得 2lim 1n n →∞⎛⎫+=-．(8) n n n→∞++．解：因为1n n ++≤<1n nn →∞++=． (9) n解：n≤1n =，1n ，所以1n ．5 设{}n a 与{}n b 一个是收敛数列，一个发散数列，证明{}n n a b ±是发散数列．又问{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是否必为发散数列．证：不妨设数列{}n a 发散，数列{}n b 收敛，假设数列{}n n a b ±收敛，则{}{}n n n n a b b a ±=收敛，但{}n a 发散，矛盾，故{}n n a b ±发散．此结论对{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭不成立，例如1n a n =，n b =0n n a b =→，0n na b =→．6 证明下列数列发散．(1) (1)1n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭．证：因为n 为奇数时，lim(1)11nn nn →∞-=-+，n 为偶数时， lim(1)11n n nn →∞-=+， 所以(1)1n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭发散．(2) {}(1)nn -．证：因为n 为奇数时，{}(1)nn -发散，所以{}(1)nn -发散．(3) cos 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．证：因为8n k =时，limcoslimcos214n k n k ππ→∞→∞==，84n k =+时， limcoslimcos(21)14n k n k ππ→∞→∞=+=-， 所以cos 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．7 判断下列结论是否成立(若成立，给出证明；若不成立，举出反例) ． (1) 若{}21k a -和{}2k a 都收敛，则{}n a 收敛；(2) 若{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛,且极限相同,则{}n a 收敛． 解：(1)结论不成立，例如：(1)n n a =-，(2) 结论成立．实因：{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛，且极限相同，不妨设32313lim lim lim k k k n n n a a a a --→∞→∞→∞===，则113222313330,0,0,0,k k k K k K a a K k K a a K k K a a εεεε--⎧∃>∍>⇒-<⎪∀>∃>∍>⇒-<⎨⎪∃>∍>⇒-<⎩“”“”“”，取123max{,,}N K K K =，则n N >时，n a a ε-<，故{}n a 收敛．8 求下列极限．(1) 1321lim 242n n n →∞-⋅⋅⋅． 解：因为1n =时，12≤，假设n k =时结论成立，即13210242n n -<⋅⋅⋅<，则1n k =+时，132121242(1)2(1)k k k k++⋅⋅⋅++==<<所以13210242n n -<⋅⋅⋅<，故1321lim 0242n n n →∞-⋅⋅⋅=．(2) 1!lim!np n p n =→∞∑．解：因为1!!(2)(2)!(1)!!2(1)!!n p n p n n n n n n =<<--+-+<-+∑，所以1!211!np p n n =<<+∑，故1!lim 1!np n p n =→∞=∑．(3) lim (1)n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，01α<<．解：因为10α-<，所以11(1)n n αα--+<，从而111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n ααααα---+=++<+=+，于是10(1)n n n ααα-<+-<，而1lim 0n n α-→∞=，所以lim (1)0n n n αα→∞⎡⎤+-=⎣⎦．(4) 22lim(1)(1)(1)nn ααα→∞+++，1α<． 解：因为22(1)(1)(1)nααα+++22(1)(1)(1)(1)1nααααα-+++=-1211n αα+-=-， 所以221lim(1)(1)(1)1n n αααα→∞+++=-．9 设12,,,m a a a 为m 个正数，证明{}12max ,,,m na a a =．证：设{}12max ,,,m a a a M =，则n M ≤≤，而1n =，所以{}12max ,,,m n M a a a ==．10 设lim n n a a →∞=，证明(1) []limn n na a n→∞=．证：因为1[]n n n na na na -<≤，所以[]1n n n na a a n n-<≤，而lim n n a a →∞=，1lim n n a a n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故[]lim n n na a n →∞=． (2) 若0a >，0n a >，则1n =．证：因为lim 0n n a a →∞=>，所以取2aε=，则 0,2n aN nN a a ∃>∍>⇒-<“”，从而322n a a a <<1n =．§2.3 数列极限存在的条件一 基本内容一、单调有界定理定义1 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≥，数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≤．数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀>(严格单调上升)， 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀<(严格单调下降)． 定理1 单调有界数列必有极限．推论 如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调上升，则, n n a a ∀≤；如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调下降，则, n n a a ∀≥．二、柯西收敛准则数列{}n a 收敛0, 0, ,m n N m n N a a εε⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．> 0, 0, n+p n N p n N a a εε⇔∀∃>∍∀⇒-<“, >”． 数列{}n a 发散0000>0, >0, >, , - 00n +p n N n N p a a εε⇔∃∀∃∃∍≥0“”．二 习题解答1 利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求下列极限．(1) 1lim 1n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1nnn n n n e --→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2) 11lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1lim 1n nn n n e n n n +→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭． 解：11111lim 1lim 1lim 1111nn n n n e n n n +-→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (4) 1lim 12nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：12211lim 1lim 122nnn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5) 21lim 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：212211lim 1lim 11nn nn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (6) 211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 提示：21111n n n +<-．解：因为211111111nnnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++≤+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211lim 1nn e n n →∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭．2 试问下面的解题方法是否正确？ 求lim 2n n →∞．解：设2n n a =及lim n n a a →∞=，由于12n n a a -=，两边取极限()n →∞得2a a =，所以0a =．解：给出的解题方法错误．实因在{}n a 的极限存在时，才能设lim n n a a →∞=，而lim 2nn →∞发散，所以出现了错误的结论．3 证明下列数列极限存在，并求其值． (1)设1a =1n a +=1,2,n =．解：因为12a =，假设n k =时2k a <，则1n k =+时，12k a +=从而,2n n a ∀<．又1,n n n a a +∀=>，所以{}n a ，于是由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=a =由此得2a =，0a =(舍去)，故lim 2n n a →∞=．(2) 设1a =(0)c >，1n a +=，1,2,n =．解：因为1a ，假设n k =时k a ，则1n k =+时，1k a +== 从而,n n a ∀．又 2,021(21)14n n n a a c ∀<<+-<+，于是2,nn n a a c ∀-<，所以1,n n n a a +∀=，即{}n a ． 由单调有界定理知{}n a 收敛，设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=两边取极限得a =，解之得a =，a =舍去)， 故lim n n a →∞=．(3) 设!nn c a n =(0)c >，1,2,n =．解：当[]n c >时，()[]110123[][]1123[]nc n c c a c c n c n+<=<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 而[]11lim0123[]c n c c n+→∞⋅=⋅⋅⋅⋅，故lim 0!nn c n →∞=．4 利用11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列的结论，证明111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列． 证：因为11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以2111,1121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫∀+>+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，于是 11111111111n n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111121n n n +-⎛⎫⎛⎫<++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭11111111221n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭121(1)(3)12(2)n n n n n +++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭1221431244n n n n n n +++⎛⎫=+⋅ ⎪+++⎝⎭1112n n +⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭ ．5 应用柯西收敛准则，证明下列数列{}n a 收敛．(1) 2sin1sin 2sin 222n n na =+++． 证：因为12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p +++++++++ 12111111111222222n n n p n p n n ++++⎛⎫≤+++=-<< ⎪⎝⎭， 所以0ε∀>，取1max 1,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，0p ∀>，12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p ε+++++++++<， 故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．(2) 222111123n a n =++++． 证：因为222111(1)(2)()n n n p ++++++111(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p <+++++++-+111n n p n <-<+， 所以0ε∀>，取1N ε=，当n N >时，0p ∀>，222111(1)(2)()n n n p ε+++<+++，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．6 证明：若单调数列{}n a 含有一个收敛子列，则{}n a 收敛．证：不妨设{}n a ，且有收敛子列{}k n a ，记lim k n n a a →∞=，则{}kn a ，且,kn k aa ∀≤．于是,k k n k a a a ∀≤≤，即{}n a 有上界，故由单调有界定理知结论成立．(1)n >7 证明：若0n a >，且1lim 1n n n ar a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=．证：因为0n a >，且1lim 1n n n a r a →∞+=>，所以取012r ε-=，则110,2n n a r N n N r a +-∃>∍>⇒-<“”．即121n n a a r +<+．因为改变数列的有限项不改变数列的敛散性，所以不妨设120,1n n a n a r +∀><+，于是11211121201n n n n n n a a a a a a a a a r ----⎛⎫<=⋅⋅⋅⋅< ⎪+⎝⎭，而112lim 01n n a r -→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭，故由夹逼性定理知lim 0n n a →∞=． 8 证明：若{}n a 为递增(递减)有界数列，则{}lim sup n n n a a →∞=，{}()inf n a ．又问逆命题是否成立．证：设{}n a ，因为{}n a 有界，从而有上确界，设{}sup n a a =，则,n n a a ∀≤，且0,0,N N a a εε∀>∃>∍>-“”，由单调性知n N >时，N n a a a a a εε-<≤≤<+，即n a a ε-<，故{}lim sup n n n a a a →∞==．同理可证{}n a 时，{}lim inf n n n a a →∞=．9 利用不等式11(1)()n n n b a n a b a ++->+-，(0)b a >>，证明111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递减数列，并由此推出11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为有界数列．证：当0b a >>时，1n ∀≥有1111()()n n n n n n b a b a b ab a b a ++---=-++++()(1)n b a n a >-+，于是1122(1)(1)()n n n n n b n b n a b a a a aa ++++⎛⎫>+-+=- ⎪⎝⎭．取111a n =++，11b n=+，则422(1)(1)(1)(2)2n b n n n n a a n n n +++-=-++3232441144n n n n n n+++=>++， 从而12n n b a ++>，即()()1211111n n nn +++>++，故()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭． 而121111(11)4n n n n +⎛⎫⎛⎫+<+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界．10 证明：13, 1nn e n n ⎛⎫∀-+< ⎪⎝⎭．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n n e n +→∞+=，又()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 且()1lim 1n n e n →∞+=，所以()()11111n n e n n ++<<+，于是()()()1111111n n n e n n n +-+<+-+()3111ne n n n n=+<<．故结论成立．11 给定两个正数11,a b 11()a b <，令11,2n nn n a b a b +++=(1,2,)n =， 证明lim n n a →∞、lim n n b →∞存在且相等．证：因为11,2n nn n a b n a b +++∀==，所以 1,{}n n n nn n n a b a a n a a a +++∀=≤=⇒ 且有上界1b ；1,{}n n n n b b b +∀=≥=⇒ 且有下界1a ，故由单调有界定理知lim n n a →∞、lim n n b →∞存在．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式12n n n a b a ++=两边取极限得2a ba +=，从而ab =，故结论成立．12 设{}n a 为有界数列，记{}1sup ,,n n n a a a +=，{}1inf ,,n n n a a a +=，证明 (1) {}n a 为递减有界数列，{}n a 为递增有界数列，且,,n m m n a a ∀≤．证：因为{}{}1121,sup ,,sup ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≥=，所以，而{}{}1121,inf ,,inf ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≤=，所以{}n a，于是当m n >时，n n m a a a ≤≤；当m n =时，n n m a a a ≤=；当m n <时，n m m a a a ≤≤．故结论成立．(2) 设lim , lim n n n n a a a a →∞→∞==，则a a ≤．证：在不等式n m a a ≤两边取极限即知结论成立． (3) {}n a 收敛a a ⇔=．证：()⇒设lim n n a →∞，则0,0N ε∀>∃>，2n n N a a ε∍>⇒-<“”，即,22n n N a a a εε∀>-<<+， 从而2n a a ε≤+，2n a a ε≥-，于是022a a a a εεε⎛⎫≤-≤+--= ⎪⎝⎭，故由ε的任意性知a a =．总练习题21 求下列数列的极限． (1) n解：因为3<=1n =，所以由夹逼性定理知3n =．(2) 5lim n n n e→∞．解：因为55550160(11)n n nn n nnn n n n e C C CC <<=<++++ 5(1)(2)(3)(4)(5)6!n n n n n n n =-----， 而5lim 0(1)(2)(3)(4)(5)6!n n n n n n n n →∞=-----，所以由夹逼性定理知 5lim 0n n n e→∞=． (3) lim n →∞．解：limn →∞limlimn n →∞→∞=- 0n n =-=．2 证明：(1) 2lim 0n n n q →∞=(1)q <．证：当0q =，结论显然成立，当0q ≠时，由1q <知11q>，令11h q =+，则3331(1)(1)(2)6n n n h h C h n n n q=+>=--，于是2236(1)(2)nn n q n n n h <--．而2223366(1)(2)(1)(2)nn n n q n n n h n n n h -<<----，又236lim 0(1)(2)n n n n n h →∞=--， 所以2lim 0n n n q →∞=．(2) ln lim0n nn α→∞=(1)α≥．证：因为2222ln 220n n n n n αααααα<<=，而22lim 0n n α→∞=，所以ln lim 0n nn α→∞=． 6n >(3)0n =．证：因为0(1)n n <=⋅⋅-111111223(1)n n n nn++++⋅⋅-<=，所以0<且0n =，故结论成立．3 设lim n n a a →∞=，证明(1) 12lim nn a a a a n→∞+++=，又问此等式能否反过来推出lim n n a a →∞=．证：因为lim n n a a →∞=，所以10,0N ε∀>∃>，12n n N a a ε∍>⇒-<“”，固定1N ，设112N M a a a a a a =-+-++-，则1n N >时， 12122na a a n N M M a nn n n εε+++--≤+⋅<+． 而lim 0n Mn →∞=，所以就上述2,0N ε∃>，22M n N n ε∍>⇒<“”，取 12max{,}N N N =，则n N >时，1222na a a a nεεε+++-<+=，故12lim nn a a a a n→∞+++=．反之不成立，例如(1)n n a =-，12lim 0n n a a an→∞+++=，但{}n a 发散．(2) 若,0n n a∀>，则n a ．证：因为lim n n a a →∞=，所以当0a =时，由平均不等式得120na a a n +++≤，从而0n a =．当0a ≠时，11lim n na a →∞=，则121111lim n n a a a n a→∞+++=， 于是12lim111n n na a a a →∞=+++，而1212111nn na a a nna a a +++≤≤+++，所以n a ．4 应用上题结论证明下列各题．(1) 1112lim 0n n n→∞+++=． 证：因为1lim 0n →∞=，所以1112lim0n n n→∞+++=． (2) 1n =(0)a >．证：设1a a =，1,1n n a ∀>=，则lim 1n n a →∞=，于是111lim n n x→∞=⋅⋅⋅=．(3) 1n =．证：设11a =，1,n nn a n ∀>=，则lim 1n n a →∞=，于是12n n n n ⋅⋅⋅=-． n(4)n=．证：设1nan=，则lim0nna→∞=，于是nn n=⋅⋅=．(5)ne =．证：因为1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以(1)limnnnnen→∞+=，于是由3(2)题的结论得nnen⋅⋅=．ne=，从而lim1n n nnen→∞==+．(6) 1nnn→∞++=．证：因为1n，所以31nnn→∞+=．(7) 若1lim nnnbab+→∞=，(0)nb>，则na=．证：设11a b=，11,nnnbn ab-∀>=，则1lim lim nnn nnba ab→∞→∞-==，于是1nn nnab-=⋅⋅=．5 证明：若{}n a为递增数列，为{}n b递减数列，且lim()0n nna b→∞-=，则limnna→∞与limnnb→∞都存在且相等．证：因为{}na，{}n b，所以数列{}n na b-．又lim()0n nna b→∞-=，于是sup{}0n na b-=，从而sup{}0n n n n n na b a b a b-≤-=⇒≤．由此知{}n a有上界1b，{}n b有下界1a，故lim nna→∞与limnnb→∞都存在．设limnna a→∞=，limnnb b→∞=，则lim lim lim()limn n n n nn n n na a a ab b b→∞→∞→∞→∞==--==，综上可知结论成立．6 利用单调有界数列必有极限的证明下列极限收敛，并求其极限．(1)116,na a+==(1,2,,)n=．解：因为165a=>，假设n k=时，5ka>，则1n k=+时，15ka+=>=，所以{}na有下界5．又1,n nn a a+∀=，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1na+=a=解之得5a=，故lim5nna→∞=为所求．(2)115,na a+==(1,2,,)n=．解：因为156a=<，假设n k=时，6ka<，则1n k=+时，16na+==,所以{}na有上界．又1,n nn a a+∀=>，从而{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1na+=两边取极限得a，解之得6a=，故lim6nna→∞=为所求．(3)112,na a+==(1,2,,)n=．解：因为12a=n k=时，ka<1n k=+时，1ka+===，所以{}na有上界．又nn1,nn a+∀=na==>，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1na+=两边取极限得a=，解之得a，故limnna→∞=为所求．(4)11144,23n nna a aa+⎛⎫==+⎪+⎝⎭(1,2,,)n=．解：因为141a=>，假设n k=时，1ka>，则1n k=+时，114141123213k kka aa+⎛⎫⎛⎫=+>+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．所以{}na有下界．又141412323nn n nn n naa a aa a a+⎛⎫⎛⎫=+<+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()11122n n n na a a a=+<+=，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式11423n nna aa+⎛⎫=+⎪+⎝⎭两边取极限得1423a aa⎛⎫=+⎪+⎝⎭，解之得1a=，故lim1nna→∞=为所求．(5)11313,1nnnaa aa+-==+(1,2,,)n=．解：因为131a=>，假设n k=时，1ka>，则1n k=+时，131122111k k kkk ka a aaa a+-++-==>++．所以{}na有下界．又21313121111n n n nn n n nn n na a a aa a a aa a a+---+-==+-=++++2(1)1nn nnaa aa-=-<+，所以{}na，由单调有界定理知{}na收敛．设limnna a→∞=，在等式1311nnnaaa+-=+取极限得311aaa-=+，解之得1a=，故lim1nna→∞=为所求．7 设数列{}n a满足0M∃>，对一切n∀，21321n n nA a a a a a a M-=-+-++-≤，证明数列{}n a与{}n A都收敛．证：因为n∀，21321n n nA a a a a a a M-=-+-++-≤，所以{}nA有上界，又{}nA，故由单调有界定理知{}nA收敛．于是，由柯西收敛准则知，0,0Nε∀>∃>，,n p nn N A A pε+∍>⇒-<∀“”，即12n n n pA A Aε++++++<．从而n N>时，21321()()()n p n n n n n n p n pa a a a a a a a+++++++--=-+-++-21321n n n n n p n pa a a a a aε++++++-≤-+-++-<，故由柯西收敛准则知{}n a收敛．8 设0a>,0σ>,112a aaσ⎛⎫=+⎪⎝⎭,112n nna aaσ+⎛⎫=+⎪⎝⎭,1,2,n=．证明数列{}na解：因为112a aaσ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，假设n k=时，ka1n k=+时112k kka aaσ+⎛⎫=+⎪⎝⎭所以{}n a有下界．又11122n n n n a a a a σ+⎛⎫⎛=+< ⎪ ⎝⎝⎭(()1122n n n n a a a a <<+=， 所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式112n n n a a a σ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限得12a a a σ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解之得a = 故lim n n a →∞9 设110a b >>，记112n n n a ba --+=，11112n n n n n ab b a b ----=+，2,3,n =．证明数列{}n a 与{}n b证：因为11111122n n n n n n n n a b a b a b a b ------+=≥=+，所以 ,n n n a b ∀≥．于是n ∀，122n n n n n n a b a a a a +++=≤=，又 n ∀，12221111n n n n n nn n n na b b b a b a b b b +==≥=+++ ， 从而{}n a 且有下界1b ，{}n b 且有上界1a ，故{}n a ，{}n b 收敛．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式112n n n a b a --+=，11112n n n n n a b b a b ----=+两边取极限得2a b a +=，2abb a b=+，从而得a b =．又111111111122n n n n n n n n n n a b a ba b a b a b a b --------+=⋅===+，所以11ab a b =，故lim lim n n n n a b →∞→∞==．10 按柯西收敛准则叙述数列{}n a 发散的充分必要条件，并用它证明下列数列{}n a 是发散的．(1) (1)n n a n =-； (2) sin2n n a π=． 解：{}n a 发散0000,0,,N n m N ε⇔∃>∀>∃>，000n m a a ε∍->“”．(1) 取01ε=，则0N ∀>，取001,3n N m N =+=+，于是00,n m N >，且00041n m a a ε-=>=，故{}(1)n n -发散．(2) 取01ε=，则0N ∀>，取002,2n N m N ππ=+=-，于是00,n m N >，且00021n m a a ε-=>=，故sin 2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．11 设lim n n b b →∞=，lim n n a a →∞=，记{}max ,n n n S a b =，{}min ,n n n T a b =，1,2,n =．证明 (1) {}lim max , n n S a b →∞=； (2) {}lim min , n n T a b →∞=．提示：参考第一章总练习题1． 证：(1) 因为{}()max ,2n n n n n n n a b a b S a b -++==，所以{}()lim max , 2n n a b a b S a b →∞-++==．(2) 因为{}()min ,2n n n n n n n a b a b T a b --+==，所以{}()lim min , 2n n a b a b S a b →∞--+==．12 证明下列不等式． (1) k n ∀<，k N ∈，111112121112!3!nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121111!k k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 证：因为k n ∀<，122111111nn n n n n C C C n n n n ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭1221111k n n n kC C C n n n >++++ 21(1)1(1)(1)112!!kn n n n n k n n n k n ---+=+⋅+⋅++， 所以()()()()111112121112!3!n n n n n+>+-+--+ ()()()1112111!k k n n n-+---． (2) 证明：()()11111nn e n n++<<+．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n n e n +→∞+=， 所以()111n e n+<+．又()11n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ ，且()1lim 1n n e n →∞+=，所以()11ne n +<．故()()11111n n e n n++<<+． (3) e e ⋅<<． 证：nn ⋅⋅== ()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ ⇒ ． 而n e =，于是,n e ∀<e <．又n n +⋅⋅=所以()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⇒ ， 而n e =，所以,n e ∀>．从而 1111(1)!!(1)n n n n n n n n n e n e e n n n nn ++-++>⇒>⋅>+，e ⋅>⋅e e ⋅<<． (4) 证明：11122!3!!e n >++++．证：因为 ()1,1mm e m∀>+， 当m n >时，()()()()111112211112!!n e m n m m m->+-++---，令m →∞，则11122!3!!e n >++++． (5) 证明：()1111122!3!!nn n +<++++． 证：()122111111nn n n n nC C C nn n n +=++++ 2(1)(1)2111112!!n n n n n n n n n n--⋅=+⋅+⋅++⋅()()()()111112211112!!n n n n n n-=+-++---11122!3!!n <++++．(6) 证明：()111lim 22!3!!n e n →∞++++=． 证：因为()1111122!3!!ne n n +<++++<，而()1lim 1nn e n→∞+=，所以()111lim 22!3!!n e n →∞++++=． 13 求极限0n x ≥ ⎝．解：当01x ≤≤时，21132nnx x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，所以此时nn。
(完整版)极限的解法与技巧_汇总
极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。
以下列举种方法，并附有例题。
1.运用极限的定义 例：用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2.利用单调有界准则求极限预备知识：若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.此方法的解题程序为：1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列{}n a 单调有界；2、设{}n a 的极限存在，记为A a n n =∞→lim 代入给定的表达式中，则该式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。
例：若序列{}n a 的项满足)0(1>>a a a 且),2,1(,211Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n a a a a n n n ,试证{}n a 有极限并求此极限。
解 由 a a >1a a aa a a a a a a a =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12112111222121 用数学归纳法证明 a a k > 需注意a a a a a a a a a a a k k k kk k k =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222121. 又 022121>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n nn n n n a a a a a a a a ∴ {}n a 为单调减函数且有下界。
令其极限为A 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a a 211有： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→n n n n a a a a 21lim 1即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21∴ a A =2∴ a A = )0(>A从而 a a n n =∞→lim. 3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系：,~arctan ~arcsin ,~tan ,~sin ,0x x xx x x x x x → ,~1x e x -,ln ~1a x a x -,ln ~)1(log a x x a+,1~11x nx n-+等价无穷小代换法设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~ββαα，''lim βα 存在， 则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα例:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→ 解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：若 A x f x x =→)(lim 0B x g xx =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g xx ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f xx x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 ,~)1ln(x x +,21~11x x -+,~1)1(x x αα-+（IV ）cA x f c x f c xx x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
求数列极限的24种方法及例题分析
18 幂级数
50
18.1 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
19 微分中值定理
52
19.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
目录
– 2/65 –
11 Toeplitz 定理
32
11.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
20 Taylor 公式
54
20.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13 Stirling 公式
36
13.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
数列的极限-高中数学知识点讲解(含答案)
数列的极限（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2006•海淀区一模）等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则221lim n nn S →∞-等于() A ．2B ．12C ．1D ．不存在2．（2005•海淀区二模）已知数列{}11,,2n n a a S =中为数列的前n 项和，且n S 与1n a 的一个等比中项为()n n N ∈，则lim nn S →∞的值为( ) A ．34B ．32C ．23D ．13．（2003•北京）若数列{}n a 的通项公式是3(1)3,1,2,2n n nn a n --+-==⋯，则12lim()n n a a a →∞++⋯+等于( )A ．124B ．18C ．16D ．12二．填空题（共6小题）4．（2008春•宣武区校级月考）已知n S 是公差为0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是公比为1d -的等比数列，若11b a =，212b a a =，323b a a =，则2limnn nS a →∞= ． 5．（2008春•宣武区校级月考）已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．6．（2005秋•崇文区期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11(1)4n n S a n =+，则n a = ，123lim()n n a a a a →∞+++⋯+的值是 ．7．（2006•石景山区一模）已知数列{}n a 是由正整数组成的数列，14a =，且满足1n n lga lga lgb -=+，其中3b >，2n ，且*n N ∈，则n a = ，113lim 3n nn n na a --→∞-=+ ． 8．（2006•崇文区一模）若7(12)x +展开式的第三项为168，则2111lim()n n x x x→∞++⋯+= ．9．（2006•丰台区一模）等比数列{}:1n b ，2，4，⋯，其前n 项和为n S ，1n =，2，3，⋯，则lim nn nb S →∞= ． 三．解答题（共5小题）10．（2005•北京）设数列{}n a 的首项114a ≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩是偶是奇，记2114n n b a -=-，1n =，2，3⋯（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）求12lim()n n b b b →∞++⋯+11．（2005•西城区校级一模）已知数列{}n a 中，156a =，1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，数列{}n b 对任何*n N ∈都有112n n n b a a +=-（1）求证{}n b 为等比数列； （2）求{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞．12．（2003•崇文区一模）给定直线:l y x =和点1(5,1)P ．作点1P 关于l 的对称点1Q ，过1Q 作平行于x 轴的直线交l 于点1M ，取一点22(P x ，2)y ，使1M 为线段12Q P 的内分点，且1112:2:1Q M M P =，再作2P 关于l 的对称点2Q ，过2Q 作平行于x 轴的直线交l 于点2M ，取一点33(P x ，3)y ，使2M 为线段23Q P 的内分点，且2223:2:1Q M M P =．如此继续，得到点列1P 、2P 、3P 、n P ⋯．设(n n P x ，)n y ，1n n n a x x +=-． （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是等比数列并求其通项；（Ⅲ）求n P 点的坐标，并求lim n n x →∞及limn n y →∞的值．13．（2003•朝阳区一模）已知函数()1)(0)f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的反函数，并指出其定义域；（Ⅱ）设数列{}(0)n n a a >的前n 项和为()n S n N ∈，若对于所有大于1的自然数n 都有1()n n S f S -=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）令()()()21121,:2n n lim n n n n n a a b n N b b b a a +→∞+-=∈++⋯+求．14．（2009•宣武区一模）设{}a 是正数数列，其前n 项和n S 满足1(1)(3)4n n n S a a =-+．（1）求1a 的值；求数列{}n a 的通项公式； （2）对于数列{}n b ，令1n nb s =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求lim n n T →∞．数列的极限（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2006•海淀区一模）等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则221lim n nn S →∞-等于() A ．2B ．12C ．1D ．不存在【分析】求出等差数列的前n 项和，然后利用极限的运算法则求解即可． 【解答】解：因为等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=， 所以12614a d +=，2d =，所以2(1)222n n n S n n n +=+⨯=+． 所以2222122121lim lim lim 2221n n n nn n n S n n n→∞→∞→∞+--===++． 故选：A ．【点评】本题考查等差数列求和，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．2．（2005•海淀区二模）已知数列{}11,,2n n a a S =中为数列的前n 项和，且n S 与1n a 的一个等比中项为()n n N ∈，则lim nn S →∞的值为( ) A ．34B ．32C ．23D ．1【分析】由题意可得2nnS n a =即2n n S n a =①，则211(1)n n S n a --=-②(2)n ，两式相减可得递推式，利用累乘法可求得n a ，用裂项相消法可求得n S ，然后取极限即可求得答案．【解答】解：因为n S 与1na 的一个等比中项为n ， 所以2nnS n a =即2n n S n a =①，则211(1)n n S n a --=-②(2)n ， ①-②得，221(1)n n n a n a n a -=--， 整理得，11(2)1n n a n n a n --=+， 所以321121112321111(2)23451(1)1n n n a a a n n a a n a a a n n n n n n ---=⨯⨯⨯⋯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯==-+++， 当1n =时112a =适合上式，所以111n a n n =-+， 所以121111111122311n n S a a a n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++， 所以1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞=-=+， 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的中项性质、累乘法求数列通项及裂项相消法对数列求和，综合性较强，熟练相关问题的基本方法是解决问题的根本．3．（2003•北京）若数列{}n a 的通项公式是3(1)3,1,2,2n n nn a n --+-==⋯，则12lim()n n a a a →∞++⋯+等于( )A ．124B ．18C ．16D ．12【分析】先利用分组求和求出12n a a a ++⋯+，然后再求极限即可．【解答】解：112212111(33)(33)[3(1)3]222n n n n a a a ------++⋯+=-+++⋯++-121211(333)[33(1)]22n n ------=++⋯++-+-⋯+- 11113[1()][1()]13(13)1133311224811()33n n nn------------=⨯+⨯=+---， 所以121[1()]1313lim()lim{}488n nn n n a a a -→∞→∞----++⋯+=+=， 故选：B ．【点评】本题考查数列求和及数列求极限，属中档题． 二．填空题（共6小题）4．（2008春•宣武区校级月考）已知n S 是公差为0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是公比为1d -的等比数列，若11b a =，212b a a =，323b a a =，则2limn n nS a →∞=13 ． 【分析】利用等差数列的定义和性质，以及等比数列的定义和性质，求出d 和1a 的值，求得n a 和n S 的值，利用数列极限的运算法则求出2limnn nS a →∞ 的值． 【解答】解：由等比数列的定义可得32121b b d b b ==-，即3211a a d a ==-，11a d d ∴+=-，112a d ∴=-，23231a d d =-+，2(1)(12d d ∴-=- 2)(231)d d +-+，32d ∴=，12a =-， 3372(1)222n a n n ∴=-+-=-，22942494n n n a -+=，21(1)31124n n n d n nS na --=+=， ∴2222113311301limlim lim 42499424990039n n n n n S n n na n n n n →∞→∞→∞---====-+-+-+， 答案为13．【点评】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出d 和1a 的值，求得n a 和n S 的值，利用数列极限的运算法则求出2limnn nS a →∞ 的值． 5．（2008春•宣武区校级月考）已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= 1 ．【分析】对等式11(1)n n nS ba b =-+-+两边求极限，因01b <<，所以1lim 0(1)n n b →∞=+，又1n n n a S S -=-，从而求出所求．【解答】解：由11(1)n n nS ba b =-+-+，及lim n n S →∞存在得1lim lim 1lim(1)n n nn n n S b a b →∞→∞→∞=-+-+，因01b <<，所以1lim0(1)nn b →∞=+，又1n n n a S S -=-故上式可变为1lim (lim lim )1n n n n n n S b S S -→∞→∞→∞=--+，1lim lim n n n n S S -→∞→∞=，因此 lim 1n n S →∞=故答案为：1【点评】本题主要考查数列的极限，解题的关键是对整个等式求极限，有一定的难度，属于中档题．6．（2005秋•崇文区期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11(1)4n n S a n =+，则n a = 141()33n -- ，123lim()n n a a a a →∞+++⋯+的值是 ．【分析】在11(1)4n n S a n =+①中，令1n =可得1a ．当2n 时，11114n n S a --=+②，用①减去②，化简可得113n n a a -=-，可得数列为等比数列，公比为13-，由此求得n a ．再根据等比数列的求和公式求得n S ，可得123lim()lim n n n n a a a a S →∞→∞+++⋯+= 的值．【解答】解：由于数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11(1)4n n S a n =+①，令1n =可得143a =．当2n 时，11114n n S a --=+②，用①减去②，化简可得113n n a a -=-，故数列为等比数列，公比为13-，141()33n n a -∴=-．41[1()]1331()1313n n n S --∴==--+，∴1231lim()lim lim[1()]13n n nn n n a a a a S →∞→∞→∞+++⋯+==--=， 故答案为141()33n --、1．【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项之间的关系，等比数列的求和公式，数列极限的运算法则的应用，属于中档题．7．（2006•石景山区一模）已知数列{}n a 是由正整数组成的数列，14a =，且满足1n n lga lga lgb -=+，其中3b >，2n ，且*n N ∈，则n a = 14n b- ，113lim 3n nn n na a --→∞-=+ ． 【分析】由1n n lga lga lgb -=+得1(2)n n a ba n -=，可判断{}n a 是公比为b 的等比数列，可求得n a ，而111111113()4334limlimlim 3334()4n n n n n n n n n n n n na bb a b b-------→∞→∞→∞----==+++，可得答案． 【解答】解：1n n lga lga lgb -=+，即1n n lga lgba -=， 则1(2)n n a ba n -=，{}n a 是由正整数组成的数列，所以{}n a 是公比为b 的等比数列，又14a =， 所以14n n a b -=， 由于3b >，所以301b<<， 所以111111113()4334limlimlim 13334()4n n n n n n n n n n n n na bb a b b-------→∞→∞→∞----===-+++， 故答案为：14n b -；1-．【点评】本题考查由数列递推式求数列通项及数列极限的求法，属中档题．8．（2006•崇文区一模）若7(12)x +展开式的第三项为168，则2111lim()n n x x x→∞++⋯+= 2 ．【分析】由题意，可先由二项式通项公式得到272C 2168x=，解得32x =，代入22111222lim()lim[()()]333n n n n x x x →∞→∞++⋯+=++⋯+，再由等比数列的求和公式求和，即可求得极限值得到答案【解答】解：由题意，272C 2168x=，解得32x =∴2222(1())111222233lim()lim[()()]lim lim 2(1())22333313n n n n n n n n x x x →∞→∞→∞→∞⨯-++⋯+=++⋯+==⨯-=-故答案为2【点评】本题考查数列的极限，考查了二项式的通项，等比数列的前n 项和公式，其中由二项式的通项建立方程解出x 的值是解题的关键，本题考查了方程的思想，考查了计算能力9．（2006•丰台区一模）等比数列{}:1n b ，2，4，⋯，其前n 项和为n S ，1n =，2，3，⋯，则limn n nb S →∞=12 ． 【分析】直接求出等比数列的前n 项和，以及通项公式，即可利用数列极限的运算法则求出所求极限．【解答】解：因为等比数列{}:1n b ，2，4，⋯，其前n 项和为1(12)2112n n n S -==--．11122n n n b --==．所以121lim lim 212n n nn n n b S -→∞→∞==-． 故答案为：12． 【点评】本题是基础题，考查等比数列前n 项和，以及通项公式，数列极限的求法，考查计算能力． 三．解答题（共5小题）10．（2005•北京）设数列{}n a 的首项114a ≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩是偶是奇，记2114n n b a -=-，1n =，2，3⋯（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）求12lim()n n b b b →∞++⋯+【分析】()I 根据题设条件，分别令1n =，2，能够求出2a 和3a ． ()II 由43113428a a a =+=+，知541132416a a a ==+，所以111144b a a =-=-，23111()424b a a =-=-，35111()444b a a =-=-，猜想：{}n b 是公比为12的等比数列．再用题设条件进行证明． 11121(1)2()lim()lim lim111122n n n n n b b III b b b →∞→∞→∞-++⋯+==--，由此能求出其结果．【解答】解：2111()44I a a a =+=+，32111228a a a ==+； 43113()428II a a a =+=+，所以541132416a a a ==+， 所以111144b a a =-=-，23111()424b a a =-=-，35111()444b a a =-=-， 猜想：{}n b 是公比为12的等比数列 证明如下： 因为121221111111()424242n n n n n b a a a b ++-=-=-=-=，(*)n N ∈ 所以{}n b 是首项为14a -，公比为12的等比数列． 11121(1)12()lim()lim lim2()1141122n n n n n b b III b b b a →∞→∞→∞-++⋯+===---． 【点评】本题考查数列的极限和运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 11．（2005•西城区校级一模）已知数列{}n a 中，156a =，1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，数列{}n b 对任何*n N ∈都有112n n n b a a +=-（1）求证{}n b 为等比数列； （2）求{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞．【分析】（1）求证{}n b 为等比数列，可由等比数列的定义进行证明，由题设条件112n n n b a a +=-，结合156a =，1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，研究{}n b 相邻两项的关系，再由定义得出结论．（2）由（1），求出{}n b 的首项，写出等比数列的通项公式；（3）先由112n n n b a a +=-，得到数列{}n a 的递推关系，结合1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，求出数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和，求极限即可．【解答】证明：（1）2112111111111111()[()]()232232323n n n n n n n n n n b a a a a a a b +++++++=-=+-+=-=若0n b =，则112n n a a +=，可得出1111()232n n n a a +=+，解得13()2n n a =⨯132a ∴=，不满足条件，故113n n b b +=，即数列{}n b 是等比数列；（2）21211111111()23229b a a a a =-=+-=，∴11()3n n b +=（3）1111()23n n n n a a b ++-==，又1111()32n n n a a ++=+∴111111()()3223n n n n a a +++-=，113()2()23n n n a ∴=⨯-⨯ 1111111113[()][()]2482239273n n n S =+++⋯+-+++⋯+1111[1()][1()]332232111123n n ⨯-⨯-=⨯-⨯-- 11()3()232n n =-⨯+ ∴lim 2n n S →∞=【点评】本题考查求数列的极限，是数列中综合性强难度较大的题，解此类题的关键是充分理解并运用题设中的条件及数列的相关的性质，求出数列的通项，数列的n 项和，的表达式，再根据极限的运算法则，求出数列的极限，本题考查了推理判断的能力及构造变形的能力，运算较繁琐，易出错．12．（2003•崇文区一模）给定直线:l y x =和点1(5,1)P ．作点1P 关于l 的对称点1Q ，过1Q 作平行于x 轴的直线交l 于点1M ，取一点22(P x ，2)y ，使1M 为线段12Q P 的内分点，且1112:2:1Q M M P =，再作2P 关于l 的对称点2Q ，过2Q 作平行于x 轴的直线交l 于点2M ，取一点33(P x ，3)y ，使2M 为线段23Q P 的内分点，且2223:2:1Q M M P =．如此继续，得到点列1P 、2P 、3P 、n P ⋯．设(n n P x ，)n y ，1n n n a x x +=-． （Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是等比数列并求其通项；（Ⅲ）求n P 点的坐标，并求lim n n x →∞及lim n n y →∞的值．【分析】（Ⅰ）通过点的坐标利用1112:2:1Q M M P =，即可求1a ； （Ⅱ）利用题设条件，11122n n n n Q M M P λ++++==转化为2111()2n n n n x x x x +++-=-，即可证明：数列{}n a 是等比数列并求其通项；（Ⅲ）利用累加法直接求n P 点的坐标，然后利用极限的运算法则直接求lim n n x →∞及lim n n y →∞的值． 【解答】本小题满分（16分）．解：()I 由条件知：1(1,5)Q ，1(5,5)M ，22(P x ，5)，11122Q M M P λ==， ∴212512x +=+，27x ∴=，又15x =， 121752a x x ∴=-=-=．⋯（2分）()II 证明：设11(n n P x ++，1)n y +，则11(n n Q y ++，1)n x +，11(n n M x ++，1)n x +．11122n n n n Q M M P λ++++==，⋯（4分）设22(n n P x ++，2)n y +，∴1212(*)3n n n y x x ++++=⋯（6分） 点1n P +的纵坐标1n y +与点n Q 、n M 的纵坐标相同， 故1n n y x +=代入(*)化简，得21230n n n x x x ++-+=， ()21112n n n n x x x x +++-=-即． ∴数列{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列． ∴112()()2n n a n N -=∈．⋯（9分）()III 解：1112()()2n n n n a x x n N -+=-=∈，0211:2()2x x -=⋅因此有，13212()2x x -=⋯2112()2n n n x x ---=将以上1n -个等式相加，得10121111()111122[()()()]244()1222212n n n n x x -----=++⋯+==--．⋯（12分）∴341119(),9()22n n n n n x y x ---=-==-． ∴3411(9(),9())22n n n P ----．⋯（14分）31lim lim[9()]92n n n n X -→∞→∞=-=， 41lim lim[9()]9162n n n n y -→∞→∞=-=⋯分． 【点评】本题考查数列的综合应用，数列是等比数列的判断，通项公式的求法，数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力．13．（2003•朝阳区一模）已知函数()1)(0)f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的反函数，并指出其定义域；（Ⅱ）设数列{}(0)n n a a >的前n 项和为()n S n N ∈，若对于所有大于1的自然数n 都有1()n n S f S -=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）令()()()21121,:2n n lim n n n n n a a b n N b b b a a +→∞+-=∈++⋯+求．【分析】（Ⅰ）设()y f x =，通过解方程可求得x ，然后交换变量字母，注意反函数定义域的求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n S =，易知0n S >，从而得=，可判断,数列是等差数列n S ，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，可求得n a ； （Ⅲ）代入n a 可得112121n b n n =--+，利用裂项相消法可求得12n b b b ++⋯+，然后求极限即可； 【解答】解：()()()222,,0I y f x y x ==+=设．0x ，2y ∴．∴=．∴2x =．∴()()()12,2f x f x x -=的反函数为．2()(,(0)n n II SS a =>，∴n S>==．所以,数列是等差数列∴1)n =-．()22n S n n N =∈即．2212,22(1)42n n n n a S S n n n -=-=--=-当时， 当1n =时，12a =，满足42n a n =-， 42()n a n n N ∴=-∈．2211()(4242)211()22(42)(42)(21)(21)2121n n n n n a a n n III b a a n n n n n n ++-+-+====--+-+-+，∴12111111(1)()()1335212121n b b b n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=--++． ∴121lim()lim(1)121n n n b b b n →∞→∞++⋯+=-=+． 【点评】本题考查反函数的求法、由递推式求数列通项及数列极限，考查学生的运算求解能力． 14．（2009•宣武区一模）设{}a 是正数数列，其前n 项和n S 满足1(1)(3)4n n n S a a =-+．（1）求1a 的值；求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n b ，令1n nb s =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求lim n n T →∞．【分析】（1）由题设条件得13a =，22111()2()4n n n n n a a a a a --=-+-，由此能求出数列{}n a 的通项公式． （2）由（1）知(2)n S n n =+，所以1111()22n n b S n n ==-+，再用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n T ，由此能求出lim n n T →∞．【解答】解：（1）由11111(1)(3)4a S a a ==-+，及0n a >，得13a =由1(1)(3)4n n n S a a =-+得1111(1)(3)4n n n S a a ---=-+．∴当2n 时，22111()2()4n n n n n a a a a a --=-+- 111112()()()02n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----∴+=+-+>∴-=，{}n a ∴是以3为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=+（2）由（1）知1111(2)()22n n n S n n b S n n =+∴==-+， 12n n T b b b =++⋯+11111111(1)2324112n n n n =-+-++-+--++ 1323323[]22(1)(2)42(1)(2)n n n n n n ++=-=-++++ ∴()()()3233\lim lim \lim lim 1342124n n n n mathop its T mathop its n n →∞→∞⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦分由02n n a b +<，得1111()()02n a b a +-< 得112n a ba +<-，得1112nb a a -<-∴1121log a bn a -<因而n 满足1121log a b n a -<的最小整数（14分） 【点评】本题考查数列的极限和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和的灵活运用．。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法一、知识要点 （一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法则：若lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= （当lim n n S →∞存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。
②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。
二、例题（数学的极限）例1.（1）∞→n lim 112322+++n n n = ;（2）数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim=3,则122lim nn na a a nb →∞+++=（3）∞→n lim nn a a +-+211(a>1)= ;（4）2221321lim()111n n n n n →∞-++++++= ;（5）)2(lim 2n n n n -+∞→= ;（6）等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则nnn a a a a a a 24221lim++++++∞→ = ;例2．将无限循环小数••21.0；1.32••21化为分数.例3．已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例4．数列{a n },{b n }满足∞→n lim (2a n +b n )=1, ∞→n lim (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否存在，说明理由并求∞→n lim (a n b n )的值.例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有lim()n n n A S n→∞-=a,求r 的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =1(1,2,)n n S n S +=,求n n T ∞→lim .例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2─c n x+n )31(=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…c n , …的各项和.例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
(完整)数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题,推荐文档
0
(s t)
（4） lim a0nt n b0 n s
a1nt1 at1n at b1n s1 bs1n bs
a0
b0
(s t)
不存在 (s t)
3. 数列极限的运算法则:
如果
lim
n
a
n
A,
lim
n
bn
B, 那么
lim(a
n
n
bn )
A
B
lim(a
n
n
bn
)
A
B
lim(a
n
n
.bn
)
A.B lim an b n
n
A 新疆 (B 0) 王新敞
奎屯
B
4．无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和，当 n 无限增大时的极限，叫做这
个无穷等比数列各项的和，记做 S
lim
n
Sn
头头 头头头头头头
/wxc/
头头头头 头头头 wxckt@
头头 头头头头头头
/wxc/
头头头头 头头头 wxckt@
⑵S
lim
n
Sn
a1 1 q
, (0
|
q
| 1)
头头 头头头头头头
/wxc/ 头头头头
头头头 wxckt@
3n2 2n 1
2n 1
2n2 n 7
① lim
； ② lim
n n
n
n2 1
； ③ lim
； ④ lim
n n2 1
n
5n 2 7
;
（2） lim （ n
n 2 n －n）;（3） lim （ 2 n n 2
求极限的方法及例题总结
1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ；ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
第一讲 数列的极限典型例题
第一讲 数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义N n N a x n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x n .注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-⇔ε另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度.注2 若n n x ∞→lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >∃N ∈∀>∃⇔≠∞→00,,0lim ε，有00ε≥-a x n .2. 子列的定义在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{}k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥．注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x k n .注4 ⇔=∞→a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ，若0>∃M ，使得对N n >∀，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量对数列{}n x ，如果0>∀G ，N n N >∀N ∈∃,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记作∞=∞→n n x lim ．注1 ∞只是一个记号，不是确切的数．当{}n x 为无穷大量时，数列{}n x 是发散的，即nn x ∞→lim 不存在．注2 若∞=∞→n n x lim ，则{}n x 无界，反之不真．注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量，则{}n n y x +为无穷大量． 注4 设{}n x 为无穷大量，{}n y 有界，则{}n n y x ±为无穷大量．注5 设{}n x 为无穷大量，对数列{}n y ，若0>∃δ，,N ∈∃N 使得对N n >∀，有δ≥n y ，则{}n n y x 为无穷大量．特别的，若0≠→a y n ，则{}n n y x 为无穷大量． 5.无穷小量若0lim =∞→n n x ，则称{}n x 为无穷小量．注1 若0lim =∞→n n x ，{}n y 有界，则0lim =∞→n n n y x ．注2 若∞=∞→n n x lim ，则01lim=∞→nn x ；若0l i m =∞→n n x ，且,N ∈∃N 使得对N n >∀，0≠n x ，则∞=∞→nn x 1lim．6.收敛数列的性质（1）若{}n x 收敛，则{}n x 必有界，反之不真． （2）若{}n x 收敛，则极限必唯一．（3）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且b a >，则N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >．注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >，则b a ≥．注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列{}n x 、{}n y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +，{}n n y x -，{}n n y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n y x （0lim ≠∞→nn y ）也收敛，且有()=±∞→n n n y x lim ±∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=⋅∞→n n n y x lim ⋅∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=∞→nnn y x lim n n nn y x ∞→∞→lim lim （0lim ≠∞→n n y ）．7. 迫敛性（夹逼定理）若N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n n z x y ≤≤，且n n y ∞→lim a z n n ==∞→lim ，则a x n n =∞→lim ．8. 单调有界定理单调递增有上界数列{}n x 必收敛，单调递减有下界数列{}n x 必收敛． 9. Cauchy 收敛准则数列{}n x 收敛的充要条件是：N m n N >∀N ∈∃>∀,,,0ε，有ε<-m n x x ．注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． 10.Bolzano Weierstrass 定理 有界数列必有收敛子列．11. 7182818284.211lim ==⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e n nn12.几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 s i n ≤x . s i n x x ≤ (2) 算术－几何－调和平均不等式：对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H (调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++)1(,1)1(>+>+⇒n nx x n（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1 =),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12（５）N n ∈∀，nn n 1)11ln(11<+<+ 13. O. Stolz 公式二、典型例题 1．用“N -ε”“N G -”证明数列的极限．（必须掌握） 例１ 用定义证明下列各式：（１）163153lim22=+-++∞→n n n n n ； （２）设0>n x ，a x n n =∞→lim ，则a x n n =∞→lim；（97，北大，10分） （３）0ln lim=∞→αn nn )0(>α证明：（１）0>∀ε，欲使不等式ε<=<-<+--=-+-++nn n n n n n n n n n n n 6636635616315322222成立，只须ε6>n ，于是，0>∀ε，取1]6[+=εN ，当N n >时，有ε<<-+-++n n n n n 616315322 即 163153lim22=+-++∞→n n n n n ． （２）由a x n n =∞→lim ，0>n x ，知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εa a x n <-，则<+-=-ax a x a x n n n ε<-aa x n于是，N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有<-a x n ε<-aa x n ，即 a x n n =∞→lim ．（３）已知n n ln >，因为<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=<αααααααn n n n n n 1ln 2ln 2ln 022≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡αααn n 122≤⋅αααnn ][2222244αααααn n n =⋅，所以，0>∀ε，欲使不等式=-0ln αn n ≤αnnln εαα<24n 成立，只须ααε24⎪⎭⎫ ⎝⎛>n ．于是，0>∀ε，取=N 142+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛ααε，当N n >时，有=-0ln αn n ≤αn nln εαα<24n ，即 0ln lim =∞→αn nn ．评注１ 本例中，我们均将a x n -做了适当的变形，使得ε<≤-)(n g a x n ，从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N ．将a x n -放大时要注意两点：①)(n g 应满足当∞→n 时，0)(→n g ．这是因为要使ε<)(n g ，)(n g 必须能够任意小；②不等式ε<)(n g 容易求解．评注２ 用定义证明a x n →)(∞→n ，对0>∀ε，只要找到一个自然数)(εN ，使得当)(εN n >时，有ε<-a x n 即可．关键证明N ∈)(εN 的存在性．评注３ 在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即： （１）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εM a x n <-（M 为任一正常数）. （２）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有k n a x ε<-)(N k ∈.例２ 用定义证明下列各式： （１）1lim=∞→n n n ；（92，南开，10分） （２）0lim =∞→n kn an ),1(N k a ∈>证明：（１）（方法一）由于1>n n （1>n ），可令λ+=1n n （0>λ），则()>++-++=+==n n nnn n n n n λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时，21nn >-，有 >n >-22)1(λn n 2222)1(44-=nn n n λ即 nn n210<-<．0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2εN ，当N n >时，有 1-nn ε<<n 2，即 1lim =∞→nn n ．（方法二）因为n n n n n n n n n n n n n212211)111(112+<-+=++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤- 个， 所以1-nn n2<，0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取142+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，当N n >时，有1-nn ε<<n2，即 1lim=∞→nn n ．（２）当1=k 时，由于1>a ，可记λ+=1a （0>λ），则>++-++=+=n n n n n n a λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时，21nn >-，于是有 <<n an 02242)1(λλn n n n <-．0>∀ε，欲使不等式0-n a n <<n a n ελ<24n 成立，只须24ελ>n ．对0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2ελN ，当N n >时，有0-n a n <<n an ελ<24n ． 当1>k 时，11>k a （1>a ），而=n ka n kn k a n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(1．则由以上证明知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有ε<<nka n )(01，即kn k a n ε<<0，故 0lim =∞→n kn an ．评注１ 在本例中，0>∀ε，要从不等式ε<-a x n 中解得N 非常困难．根据n x 的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个λ是变量，一个λ是定值． 评注２ 从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处． 评注３ 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例 用定义证明：0!lim =∞→n a nn （0>a ）（山东大学）证明：当10≤<a 时，结论显然成立．当1>a 时，欲使[][][][]ε<⋅<⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=-n a a a n a a a a a a a n a a n !1210! 成立， 只须>n [][]ε!1a a a +．于是0>∀ε，取=N [][]1!1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+εa a a ，当N n >时，有[][]ε<⋅<-n aa a n a a n !0!即 0!lim =∞→n a nn ． 例 设1<α，用“N -ε”语言，证明：0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．证明：当0≤α时，结论恒成立． 当10<<α时，0>∀ε，欲使<-+=--+]1)11[(0)1(ααααn n n n εαα<=-+-11)111(nn n只须>n αε-111．于是0>∀ε，取=N 1111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-αε，当N n >时，有 <--+0)1(ααn n εα<-11n即 0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．2.迫敛性（夹逼定理）n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．n n n z x y ≤≤，b y n →，c z n →}{n x ⇒有界，但不能说明n x 有极限．使用夹逼定理时，要求n n z y ,趋于同一个数．例 求证：0!lim =∞→n a nn （a 为常数）．分析：na m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= 1321!，因a 为固定常数，必存在正整数m ，使1+<≤m a m ，因此，自1+m a 开始，11<+m a ，12<+m a ，1,<n a，且∞→n 时，0→na． 证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使1+<m a ，当1+≥m n 时，有≤⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=≤n a m a m a a a a n an1321!0n am am⋅!， 由于∞→n lim0!=⋅na m am，由夹逼定理得0!lim=∞→n ann ，即 0!lim =∞→n a nn ． 评注 当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．例 若}{n a 是正数数列，且02lim21=+++∞→nna a a nn ，则0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ． 证明：由()()()n n na a a ⋅⋅⋅ 2121nna a a n+++≤212，知n n na a a n ⋅⋅⋅⋅ 21!nna a a n+++≤212即 n n a a a ⋅⋅⋅ 21n n n n na a a !1221⋅+++≤．于是，n n a a a n ⋅⋅⋅<210nnn nna a a !1221⋅+++≤，而由已知02lim21=+++∞→nna a a nn 及∞→n lim0!1=nn故 ∞→n lim0!1221=⋅+++nnn nna a a由夹逼定理得 0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ．评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0． 评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如： （1）0lim =∞→nn q （1<q ） （2）01lim=∞→an n （0>a ）（3）1lim=∞→nn a （0>a ） （4）1lim =∞→n n n（5）0!lim =∞→n a n n （0>a ） （6）∞→n lim 0!1=n n 例 证明：若a x n n =∞→lim （a 有限或∞±），则a nx x x nn =+++∞→ 21lim（a 有限或∞±）．证明：（１）设a 为有限，因为a x n n =∞→lim ，则11,,0N n N >∀N ∈∃>∀ε，有2ε<-a x n .于是=-+++a n x x x n21()()()na x a x a x n -++-+- 21 +-++-+-≤nax a x a x N 121 nax a x n N -++-+ 1121εε+<-+<n A n N n n A ． 其中a x a x a x A N -++-+-=121 为非负数．因为0lim=∞→nAn ，故对上述的22,,0N n N >∀N ∈∃>ε，有2ε<n A ．取},m ax {21N N N =当N n >时，有εεε=+<-+++2221a n x x x n即 a nx x x nn =+++∞→ 21lim．（２）设+∞=a ，因为+∞=∞→n n x lim ，则11,,0N n N G >∀N ∈∃>∀，有G x n 2>，且0121>+++N x x x ．于是=+++nx x x n21 ++++n x x x N 121 n x x n N +++ 11G nN G n N n G nx x nN 11122)(21-=->++>+取12N N =，当N n >时，G G nN <12，于是 G G G nx x x n=->+++221 ．即 +∞=+++∞→nx x x nn 21lim（３）-∞=a 时证法与（２）类似．评注１ 这一结论也称Cauchy 第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（１）01211lim=+++∞→nn n （已知01lim =∞→n n ）；（２）1321lim 3=++++∞→nnn n （已知1lim =∞→n n n ）．评注２ 此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“}{n x 为单调数列”，则由a nx x x nn =+++∞→ 21lim可推出a x n n =∞→lim ．评注３ 证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若10<<λ，a a n n =∞→lim （a 为有限数），证明：λλλλ-=++++--∞→1)(lim 0221aa a a a n n n n n ． 分析：令0221a a a a x nn n n n λλλ++++=-- ，则01101221)()()()1(a a a a a a a a x n n n n n n n n +-----++-+-+=-λλλλλ ．只须证 0)()()(101221→-++-+----a a a a a a nn n n n λλλ （∞→n ）由于a a n n =∞→lim ，故N n N >∀N ∈∃,，有ε<--1n n a a ．于是)()()(101221a a a a a a n n n n n -++-+----λλλ101111221a a a a a a a a a a n N n N n N N n N n N n n n n -++-+-++-+-≤---+-+----λλλλλ 再利用0lim =∞→n n λ（10<<λ）即得．例 求下列各式的极限： （１）)2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→（２）n n n1211lim +++∞→ （３）nn nn 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→解：（１）≤+++++++++≤+++++n n n n n n n n n n n n 2222221121 1212+++++n n n∵∞→n lim n n n n +++++221 ∞→=n lim 212)1(2=+++n n n n n ， ∞→n lim 1212+++++n n n ∞→=n lim 2112)1(2=+++n n n n ， 由夹逼定理， ∴21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n （２）n n n n n=+++≤+++≤11112111 ∵1lim=∞→nn n ，由夹逼定理，∴11211lim =+++∞→n n n． （３）∵121243212642)12(531212212452321<-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅≤nn n n n n n n ， ∴12642)12(53121<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅≤⋅n n nn n n．∵∞→n lim121=⋅nnn，由夹逼定理，∴12642)12(531lim=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→nn nn ．评注nn 212-的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：)12(53)1(32+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=n n x n ，求n n x ∞→lim ．解：∵0>n x ，{}n x 单调递减，{}n x 单调递减有下界，故其极限存在． 令a x n n =∞→lim ，∵3221++⋅=+n n x x n n ∴=+∞→1lim n n x n n x ∞→lim ∞→n lim322++n n ， a a 21=， ∴0=a ，即 0lim =∞→n n x ．)2112111(lim nn +++++++∞→ （中科院） 评注 拆项：分母是两项的积，111)1(1+-=+n n n n插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项．1111111+-=+-+=+n n n n n ３单调有界必有极限 常用方法：①n n x x -+1；②nn x x 1+；③归纳法；④导数法． )(1n n x f x =+ 0)(>'x f )(x f 单调递增12x x > )()(12x f x f > 23x x > 12x x < )()(12x f x f < 23x x <0)(<'x f )(x f 单调递减 12x x > )()(12x f x f < 23x x <12x x < )()(12x f x f > 23x x >不解决决问题．命题：)(1n n x f x =+，若)(x f 单调递增，且12x x >（12x x <），则{}n x 单调递增（单调递减）．例 求下列数列极限：（1）设0>A ，01>x ，)(211nn n x A x x +=+；（98，华中科大，10分） （2）设01>x ，nnn x x x ++=+3331；（04，武大）（3）设a x =0，b x =1，221--+=n n n x x x （ ,3,2=n ）．（2000,浙大） 解：（1）首先注意A x Ax x A x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211，所以{}n x 为有下界数列． 另一方面，因为0)(21)(211≤-=-+=-+n nn n n n n x x Ax x A x x x ．（或()121)1(21221=+≤+=+A Ax A x x nn n ）故{}n x 为单调递减数列．因而n n x ∞→lim 存在，且记为a ． 由极限的四则运算，在)(211nn n x Ax x +=+两端同时取极限∞→n ，得)(21aAa a +=．并注意到0>≥A x n ，解得A a =．（2）注意到33)1(333301<++=++=<+nn n n n x x x x x ，于是{}n x 为有界数列．另一方面，由)24)(3()3(2333333333333311211121121-------+++-=++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=-++=-n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x )2)(3(31121---++-=n n n x x x 知=---+11n n n n x x x x 02133)2)(3(311211121>+=+-++-------n n n n n n x x x x x x ． 即n n x x -+1与1--n n x x 保持同号，因此{}n x 为单调数列，所以n n x ∞→lim 存在（记为a ）．由极限的四则运算，在n n n x x x ++=+3331两端同时取极限∞→n ，得aaa ++=333．并注意到30<<n x ，解得3=a ．（3）由于nn n n n n n n n n a b x x x x x x x x x x x )2()2()2(2201112111--=--=--==--=-+=----+ , 又=+-=∑-=+0101)(x x x x n m m m n a a b a a b x nn m mn +-----=+--=∑-=)21(1)21(1)()2(1)(10,所以 n n x ∞→lim 323)(2)21(1)21(1lim)(a b a a b a a b nn +=+-=+-----=∞→． 评注１ 求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：设)(1n n x f x =+（ ,2,1=n ）I x n ∈，若)(x f 在区间I 上单调递增，且12x x >（或12x x <），则数列{}n x 单调递增（或单调递减）．评注2 第三小题的方法较为典型，根据所给的11,,-+n n n x x x 之间的关系，得到n n x x -+1与1--n n x x 的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项n x 写成级数的表达式．例 设11,b a 为任意正数，且11b a ≤，设11112----+=n n n n n b a b a a ，11--=n n n b a b （ ,3,2=n ），则{}n a ，{}n b 收敛，且极限相同． 证明：由≤+=----11112n n n n n b a b a a 111122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11，知≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b ．则10b b n ≤<，即{}n b 为单调有界数列．又10b b a n n ≤≤<，且=-+=-------1111112n n n n n n n a b a b a a a =+---------111121112n n n n n n n b a b a a b a 0)(11111≥+------n n n n n b a a b a ， 所以{}n a 亦为单调有界数列．由单调有界必有极限定理，n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在，且分别记为a 与b ．在11112----+=n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ，得ba ab a +=2与ab b =．考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<． 即得0≠=b a ．例 （1）设21=x ，nn x x 121+=+，求n n x ∞→lim ；（2）设01=x ，22=x ，且02311=---+n n n x x x （ ,3,2=n ），求n n x ∞→lim ．解：（1）假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，在nn x x 121+=+两端同时取极限∞→n ，得aa 12+=，即21±=a ． 又2>n x ，故21+=a ．下面只须验证数列{}a x n -趋于零（∞→n ）．由于<-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-<+a x a x a x a x a x n n n n n 41121201a x n-⎪⎭⎫ ⎝⎛<141， 而∞→n lim 0411=-⎪⎭⎫⎝⎛a x n，由夹逼定理得=∞→n n x lim 21+=a ． （2）由02311=---+n n n x x x ，知=++n n x x 231=+-123n n x x =+--2123n n x x 62312=+=x x ， 则 2321+-=+n n x x ． 假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，得56=a ． 下面只须验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-56n x 趋于零（∞→n ）．由于 =-+-=--56232561n n x x =⎪⎭⎫⎝⎛---56321n x 56325632111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n x ． 显然∞→n lim 056321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n ，由夹逼定理得56lim =∞→n n x ．评注１ 两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设a x n n =∞→lim ，由递归方程求出a ，然后设法证明数列{}a x n -趋于零．评注２ 对数列{}n x ，若满足a x k a x n n -≤--1（ ,3,2=n ），其中10<<k ，则必有a x n n =∞→lim ．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．评注３ 本例的第二小题还可用Cauchy 收敛原理验证它们极限的存在性．设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1，证明n 1（04，上海交大）证 （1）要证n ＝1 ，只要证2lim 12nn a n →∞=，即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n+→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1，故110n n n a a a +-=>，1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞（3）由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1知，a ＝a ＋1a ，因此10a=，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. （证完）４ 利用序列的Cauchy 收敛准则例 （1）设21xx =（10≤≤x ），2221--=n n x x x ，求n n x ∞→lim ；（2）设111==y x ，n n n y x x 21+=+，n n n y x y +=+1，求nnn y x ∞→lim ； 解：（1）由21x x =（10≤≤x ），得211≤x ．假设21≤k x ，则412≤k x ．有=-=+2221k k x x x 21212≤-k x x由归纳法可得 21≤n x ． 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---++22222121n p n n pn x x x x x x111111212--+--+--+-≤-+=n p n n p n n p n x x x x x x 021211111→≤-≤≤-+-n p n x x （∞→n ）． 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a ，由极限的四则运算，在2221--=nn x x x 两端同时取极限∞→n ，得022=-+x a a ．注意到21≤n x ，故x a x n n ++-==∞→11lim ．（2）设nnn y x a =，显然1>n a . 由于nn n n n n n n a y x y x y x a ++=++==+++1112111,则 111111+++-+=-n n n n a a a a ()()<++-=--1111n n n n a a a a <<-- 141n n a a 12141a a n --. 于是=-+n p n a a n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-+-+-+-++1211 n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-≤+-+-+-++121112124141a a n p n -⎪⎭⎫⎝⎛++<--- 12141141141a a p n ---⋅=- 03141121→-⋅<-a a n (∞→n ). 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a . 由极限的四则运算，在nn a a ++=+1111两端同时取极限∞→n ，得22=a ． 注意到1>n a ，故=∞→n nn y x lim2lim =∞→n n a ． 评注1 Cauchy 收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy 收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列{}n x 有界,因此有11111≤+≤-++x x x x p p .保证了定义中的N 仅与ε有关.评注2 “对N p ∈∀有()0lim =-+∞→n p n n x x ”这种说法与Cauchy 收敛准则并不一致．这里要求对每个固定的p ，可找到既与ε又与p 的关的Ｎ，当N n >，有ε<-+n p n x x ．而Cauchy 收敛准则要求所找到的Ｎ只能与任意的ε有关．５ 利用Stolz 定理计算数列极限例 求下列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→421lim 3333n n n n（2）假设1222...lim ,lim 2n n n n a a na aa a n →∞→∞+++==证明：（00，大连理工，10）（04，上海交大）证明：Stolz 公式121211222212...(2...(1))(2...)limlim(1)(1)lim 212n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+（3）nn n ln 1211lim +++∞→ （4）n n n n 1232lim++++∞→ （5）n n an 2lim ∞→（1>a ）６ 关于否定命题的证明 （书上一些典型例题需背）a x n n ≠∞→lim{}n x 发散例 证明：nx n 131211++++= 发散．例 设0≠n a （ ,2,1=n ），且0lim =∞→n n a ，若存在极限l a a nn n =+∞→1lim，则1≤l ．（北大，20）７ 杂例 (1) )1(1321211lim +++⋅+⋅∞→n n n(2) （04，武大）2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1n n n n n n a a a an a a a a a a →∞→∞+++>-=-=--- (3) )1()1)(1(lim 22n n x x x +++∞→ (1<x);(4)设31=a ,n n n a a a +=+21（ ,2,1=n ），求：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n a a a l 111111lim 21 ．。
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数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作lim n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在ΛΛ3. 数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n 型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.③利用已知数列极限（如()Λ01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）.④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. ⑤∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim =3,求nnn nb a a a 221lim +++∞→Λ的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n nn n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n=0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A2 B3 C4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++Λ212=__________ ∞→n lim 32222-+n n n =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（ ）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21 （3）原式=∞→n lim22642n n ++++Λ=∞→n lim 2)1(nn n +=∞→n lim （1+n 1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n 2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→Λ的值为 解：由nnn b a ∞→lim=3d 1=3d 2 ，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→Λ=2121114])12([2)1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+∞→=43 点评：化归思想 例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴ ⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a a=1,b=─1例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n）=21,求a 1的取值范围解: ∞→n lim （q a +11－q n）=21, ∴∞→n lim q n一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 1≠21综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim cc c n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0 答案:C7 解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+=21 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴ca =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim22na c n c a ++=c a =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim 21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38∴a 1=211 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2 ∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。