数学开放题的教学设计与编制

数学开放题的教学设计与编制

摘要：数学开放题是非常适应新课改要求的一类非传统习题。对教师和学生的意识、观念、能力、兴趣等都有重大挑战和促进。本文通过对开放题的特征讨论，就如何进行开放题的教学设计以及开放题编制进行探索，给出一些可操作方法和建议。

关键词：数学开放题教学设计编制

数学开放题是70年代开始出现的一种新题型。近年来，经常出现在中考与高考中，与新课改中对学生能力的要求非常匹配。开放题是相对于传统的封闭题而言，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论。也正因为这样，开放题的解题策略往往多种多样。人们在对历史的反思中，认识到数学教学不应建立在“概念-----定理-----例题-----练习”的知识传授型模式上，而应建立在对学生积极鼓励、引导学生进行探索的以学生为中心的创造模式上。开放题被人们认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型。

一、数学开放题的形式与特点

数学命题一般可根据思维形式分成“假设-----推理-----判断”三个部分。一个数学开放题，若其未知要素是假设，则

为条件开放题；若其未知要素是推理，则为策略开放题；若其未知要素是判断，则为结论开放题；有的问题只给出一定背景，其条件、解题策略与结论都要求主体在情景中自行设定与寻找，这类可称为综合开放题。

例1、计算

这是一道很简单的封闭题。现作一逆向题：试写一个有关单项式的运算的式子，要求其运算结果是。

这就是一道条件开放题。

例2、给定平面上有n个点，已知1、2、4、8、16都是其中两点之间的距离，那么点数n最小可能值是多少？

这就是一道策略开放题。

例3、若⊙O1、⊙O2、⊙O3 ……都是经过点A与B，点P是线段AB延长线上任意一点，从P向⊙O1、⊙O2、⊙O3 ……各圆作切线，切点分别为C1 、C2 、C3……，请判断这些切点在怎样的几何图形上，并证明你的结论。

这就是一道结论开放题。

例4、在一个矩形地块上，欲辟出一部分作为花坛，要使花坛面积为矩形面积的一半。请给出设计。（第17届国际数学教育心理学会公开课例题）。

由于例4只用了一般性语言来描述问题的背景，这种所给的题目就有相当的不确定性。这样的问题其条件、解题策略与结论都是呈现极大的开放性，称之为综合开放题。

在我们平常教学中，还有一种经常遇到的开放题型-----

探索性、存在性开放题。例如：

例5、已知平面直角坐标系中有两点A(-3，4)和B(3，-4)，试判断是否存在对称轴是y轴，且经过A、B两点的抛物线，若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由。

这种类型的题目可归纳为结论开放题。

开放题的出现以及对其教育功能的肯定，一方面反映了对数学教育以及其中各要素的关系思考和审视，反映了人们数学教育观念的转变，另一方面适应了飞速发展的时代需要。

1、当今技术的发展已使社会数学化。数学的应用已渗

透到社会的各个方面的时候，我们不应满足于陈旧的、封闭的教学方式。

2、中小学数学教育的目标应当从为少数学生未来的学

习需要服务转向为全体学生未来生活和就业需要服务。

3、数学不能仅仅理解为一门演绎科学、数学还有其更

重要的一面，即它是一门非逻辑的、生动的、有丰富创造力的科学。

4、学生学习数学不仅是为了掌握数学知识，进行“思

想体操”，还应认识到数学的价值，养成量化意识和良好的

数感，培养分析问题与解决实际问题能力。

5、数学教学是学生创造（再创造）性的活动过程，尽

靠教师的传授，不能使学生获得真正的数学知识。

二、数学开放题的教学设计

数学开放题不仅是供学生练习的题型，而且更重要的是数学教学的一种模式。在某些情况下，教师通过开放题的引进，学生参与下的解决，以及回顾与讨论，使学生在过程中体验数学的本质，品尝进行创造性教学活动的乐趣。

（一）、下面是“同类项概念”开放式教学的简单设计：准备好配组的同类项卡片，上课后每人发一张，让一个学生去找与自己卡片上单项式成同类项的朋友，找对的同类项朋友坐在同桌，另一个被“挤”出的学生站起来再找。学生在愉快专心的气氛下迅速掌握了确定同类项的法则。合并同类项的法则也可以在同座的讨论中顺利解决。

（二）、下面是“求五角星五个角之和”的开放式教学设计。

1、问题提出

在学习了多边形的概念、性质后向学生提出“五角红旗上的五角星的五个角之和是多少？”对于这个问题，学生依据正五角星的五个角都等于36°，很快就得出他们的和是180°。然后，在此基础上进一步向学生提出“如果我们改变条件，将正五角星改为不规则的五角星，那么它的结论又是怎样的呢？”问题一出，由于条件“不规则五角星”的任意性和结论“五个角的和”不确定性或不可知因素，使学生产生进一步探索的欲望。

2、学生的探索活动

问题提出后，学生开始独立思考。很快就有学生提出不少较好的解题方法。如学生甲根据∠AFG＝∠B＋∠D, ∠AGF ＝∠C＋∠E,将五角星的五个角都集中在△AGF中，从而得出它们和是180°（图一）。学生乙的方法是考虑平角CIE，由于∠BIC＝∠B＋∠E, ∠BIE＝∠C＋∠CHI, ∠CHI＝∠A＋∠D,于是等于将五角星的五个角都集中在平角CIE中，从而得到它们的和是180°。学生丙的方法与学生甲类似，只不过他是在△ACD中考虑。学生丁的方法也不错，他主要是利用多边形的外角和等于360°，得到五角星的五个角的和就等于五个小三角形的内角和，二次减去中间同一个五边形的外角和，即得到180°。……

从以上的求解结果来看，所用的方法是我们教学中常见的“一题多解”。但我们这里强调的是，先创设是学生思考、探索的情景，再去解题，而不是在条件和结论都很明确的情况下单纯地去考虑它的不同解法。然而，我们探索并不因此结束。如果我们进一步改变条件，比如求图二形状的五个角的和（我们称之为退化五角星），我们又该如何考虑呢？象这样的退化五角星你还能画出一些吗？它们五个角的和求解又有什么规律呢？

3、探索活动的延伸