第一节 平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及线性运算
考试要求
1．了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[知识排查·微点淘金]
知识点1平面向量的有关概念
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量；向量的大小
叫做向量的长度(或模)
平面向量是自由向量
零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的
单位向量长度等于1个单位长度的向量
单位向量记作a0，
a0＝±
a
|a|
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量0与任意向量共线
相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
知识点2平面向量的线性运算
向量 运算
定义 法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
减法
求a 与b 的相反向
量－b 的和的运算叫作a 与b 的差
三角形法则 (3)a －b ＝a ＋(－b )
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
(4)|λa |＝|λ||a |. (5)当λ＞0时，λa 与a
的方向相同； 当λ＜0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0
(6)结合律：λ(μ a )＝(λμ)_a ＝μ(λa )；
(7)第一分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ；
(8)第二分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb
[微提醒] 向量线性运算的3点提醒 (1)两个向量的和仍然是一个向量．
(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．
(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． [微拓展]
对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2
＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.
常用结论
向量线性运算的常用结论
(1)在△ABC 中，若D 是BC 的中点，则AD →＝12
(AC →＋AB →
)；
(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →
＝0；
(3)四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →
. 知识点3 共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ． [微思考]
共线向量定理中为什么限定a ≠0?
提示：共线向量定理中限定a ≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0， 当b ≠0时，定理中的λ不存在； 当b ＝0时，定理中的λ不唯一．
因此限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． [微拓展]
1．a ∥b ⇔存在不全为零的x ，y ∈R ，使x a ＋y b ＝0.
2．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任意一点，则OA →＝λOB →＋μOC →
且 λ＋μ＝1.
[小试牛刀·自我诊断]
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(×) (2)AB →＋BC →＋CD →＝AD →
.(√)
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)
(4)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)
(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)
2．(共线向量定理掌握不准确)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
3．(向量加减法则用错)点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
＝( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12BA →
C.BC →－12BA →
D ．BC →＋12
BA →
答案：A
4．(链接教材必修4 P 86例4)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →
＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________．(用a ，b 表示)
解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b .
答案：b －a －a －b
5．(链接教材必修4 P 108B 组T 5)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →
|，则四边形ABCD 的形状为________．
解析：如图所示，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →
|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．
答案：矩形
一、基础探究点——向量的有关概念(题组练透)
1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0
解析：选C 对于A ，当|a |＝|b |，即向量a ，b 的模相等时，方向不一定相同，则a ＝b 不一定成立，故A 不正确；对于B ，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B 不正确；C 显然正确；对于D ，若|a |＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时a 与b 可以是任意向量，故错误的命题有3个，故选D.
3．给出下列命题：
①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →
”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；②若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |，且a ∥b .
其中真命题的序号是________．
解析：①正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →
. 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形．
反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →与DC →的方向相同，且|AB →|＝|DC →|，因此AB →
＝DC →；
②不正确．相等向量的起点和终点可以都不同；
③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b . 综上所述，真命题的序号是①. 答案：①
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
二、综合探究点——平面向量的线性运算(多向思维)
[典例剖析]
思维点1 向量的线性运算
[例1] (1)如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →
＝( )
A.AC →－AD →
B ．2A
C →－2A
D → C.AD →－AC →
D ．2AD →－2AC →
解析：连接CD (图略)，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →
，故选D.
答案：D
(2)[一题多解]已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →
＝0，则( ) A.OA →＝12AB →＋3AC → B.OA →＝12AB →－3AC → C.OA →＝－12AB →＋3AC → D.OA →＝－12AB →－3AC →
解析：解法一：对于A ，OA →＝12AB →＋3AC →＝12(OB →－OA →)＋3(OC →－OA →)＝12OB →＋3OC →
－15OA →，整理，可得16OA →－12OB →－3OC →
＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
解法二：已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA →－12OB →－3OC →＝0，所以OA →
＋12(OA →－OB →)＋3(OA →－OC →)＝0，即OA →＋12BA →＋3CA →＝0，所以OA →＝12AB →＋3AC →
，故选A.
答案：A
向量线性运算的解题策略
常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
思维点2 根据向量线性运算求参数
[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →
(λ，μ∈R )，则λμ
＝________．
解析：由题图可设CG →＝x CE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →
.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →
不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12
.
答案：1
2
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[学会用活]
1．(2021·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且
PT
AT ＝5－12
.下列关系中正确的是( )
A ．BP →－TS →
＝5＋12RS →
B ．CQ →＋TP →
＝5＋12TS →
C ．ES →－AP →
＝5－12BQ →
D ．AT →＋BQ →
＝5－12
CR →
解析：选A 由题意得，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS →5－1
2
＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ
→
＋TP →＝P A →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →
＝5－12QB →，所以C
错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →
＝0，不
合题意，所以D 错误．故选A ．
2．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA →·OB →
＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB →
＝0，则实数λ，μ的关系为( )
A ．λ2＋μ2＝1
B ．1λ＋1μ＝1
C ．λμ＝1
D ．λ＋μ＝1
解析：选A 解法一：取特殊点，取C 为优弧AB 的中点，此时由平面向量基本定理易得λ＝μ＝
2
2
，只有选项A 符合．故选A ． 解法二：依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →
，两边同时平方，得1＝λ2
＋μ2.故选A ．
三、应用探究点——共线向量定理及应用(思维拓展)
[典例剖析]
[例3] 设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →
共线，又他们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)B ．
又a ，b 是两个不共线的非零向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.
∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [拓展变式]
1．[变条件]若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →
＝a ＋m b ”，则m ＝________时，A ，B ，D 三点共线．
解析：BD →＝BC →＋CD →
＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →
.
即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴4a ＋(m －3)b ＝λa ＋λb ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，
解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线． 答案：7
2．[变结论]若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 的值为________． 解析：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线， 所以存在实数λ，
使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ＜0)．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.
又λ＜0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线． 答案：－1
利用共线向量定理解题的策略
(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与
联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →
共线．
[学会用活]
3．(2021·河北六校第一次联考)已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋mOC →
＝0，S △AOB S △ABC ＝4
7
，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C ．2
D ．4
解析：选D 由OA →＋2OB →＝－mOC →
得，13OA →＋23OB →＝－m 3OC →，如图所示，设－m 3OC →＝OD →，
则13OA →＋23
OB →＝OD →，∴A ，B ，D 三点共线，∴OC →与OD →
反向共线，m >0， ∴|OD →
||OC →|
＝m 3，
∴|OD →||CD →|＝m
3m 3＋1
＝m m ＋3，∴S △AOB S △ABC ＝|OD →||CD →| ＝
m m ＋3＝4
7
，解得m ＝4.故选D ． 限时规范训练 基础夯实练
1．(2021·山东烟台期中)若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB →＝3AM →，则CB →
＝( ) A ．3CM →－2CA →
B ．3CA →－2CM →
C ．3CM →＋2CA →
D ．3CA →＋2CM →
解析：选A 根据题意作出图形，如图，所以CM →＝CB →＋BM →
＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)＝13CB →＋23
CA →，
所以CB →＝3CM →－2CA →
.故选A ．
2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m
n 等于( )
A ．－12
B ．12
C ．－2
D ．2
解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，
故m
n
＝－2.
3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．23
解析：选D 由题意易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →
，
则2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.
所以λ＝12，μ＝1
6，
故λ＋μ＝12＋16＝2
3
.
4．(2021·云南曲靖一中月考)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →
，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →
＝( )
A ．13a ＋512b
B ．13a －1312b
C ．－13a －512
b
D ．－13a ＋1312
b
解析：选C DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC →
＝－13AB →－512AC →＝－13a －5
12
B ．
5．(2021·潍坊模拟)若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )
A ．1
2
B ．1
3
C ．1
4
D ．2
解析：选A 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →
，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD
＝BM 2MD ＝1
2.
6．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ＝________．
解析：由题意可得A ，D ，B 共线，∴1
3＋λ＝1，
∴λ＝23.
答案：23
综合提升练
7．(2021·广西名校联考)在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上，且BE ＝2EC ，则ED →
＝( )
A ．16A
B →－23A
C →
B ．16AB →＋23A
C →
C ．－16AB →＋13
AC →
D ．－16AB →＋23
AC →
解析：选A ED →＝BD →－BE →
＝－12AB →－23BC →＝－12AB →－23(AC →－AB →)＝16AB →－23AC →，故选A ．
8．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO →＝λAB →
＋μAC →
，其中λ，μ∈R ，则λμ
＝( )
A ．－2
B ．－12
C ．－ 2
D ． 2
解析：选A DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →
，∴λ＝1，μ＝－12，
∴λ
μ
＝－2. 9．如图所示，在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若AB →＋AC →＝4AP →
，则( )
A ．点P 与图中的点D 重合
B ．点P 与图中的点E 重合
C ．点P 与图中的点F 重合
D ．点P 与图中的点G 重合
解析：选C ∵在△ABC 中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，∴AB →＋AC →＝2AD →，AD →＝2AF →，∴AB →＋AC →＝4AF →
，∴点P 与图中的点F 重合．故选C ．
10．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )
A ．－4
B ．－14
C ．14
D ．4
解析：选B 因为向量a ，b 是两个不共线的向量，向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，
所以存在实数μ，使得4a ＋b ＝μ(a －λb )，即⎩
⎪⎨⎪⎧4＝μ，1＝－λμ，解得λ＝－1
4
，故选B ．
11．在△ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点．若AB →＝xAC →＋yAD →
，则( ) A ．x >1 B ．y >1 C ．x ＋y >1
D ．xy >1
解析：选B 设BD →＝λBC →(0<λ<1)，所以AD →－AB →＝λAC →－λAB →
，
所以(1－λ)AB →＝AD →－λAC →，所以AB →
＝11－λAD →－λ1－λAC →，所以x ＝－λ1－λ<0，y ＝11－λ＝
1－λ＋λ1－λ＝1＋λ1－λ>1，又x ＋y ＝1－λ1－λ＝1，xy ＝－λ
（1－λ）2
<0，故选B ． 12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →
，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →
. ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →
(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，
又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，
∴2μλ＝1，即μ＝λ2
.
∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤1
2，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦
⎤0，1
2 创新应用练
13．(2021·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b
|b |成立的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 由a ＝2b 可知，a ，b 方向相同，a |a |，b
|b |表示a ，b 方向上的单位向量，所
以a |a |＝b
|b |
成立；反之则不成立，故选B ． 14．在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →
＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心．若aMA →＋bMB →
＋33cMC
→＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________．
解析：由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →
)＝⎝⎛⎭⎫a －33c MA →＋
⎝
⎛⎭⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33C ．△ABC 中，
由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2
×3×33×12＝93
4
.
答案：π6 934。