理第20题 解析几何(解析版)-2022年高三毕业班数学第X题满分练(全国通用)

第20题解析几何
高考考点
命题分析
三年高考探源 考查频率
曲线的方程或轨迹方程
高考全国卷每年必有一道解析几何解答题，在高考中解析几何一般运算量较大，该题通常有2问，第1问多为曲线方程的确定，第2问多为直线与圆锥曲线的位
置关系的应用，考查热点是长度、面积及定点定值问题
2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ20
2020课标全国Ⅱ19 2019课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21
★★★★★ 直线与圆锥曲线位置关系及应用（长度、面积、定点、定值）
2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ20 2020课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21 2019课标全国Ⅲ21
★★★★★
例题（2021高考全国I ）已知抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆
22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．
（1）求p ；
（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）5解：（1）抛物线C 的焦点为0,
2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，42
p
FM =+，（2分）
所以，F 与圆22
:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142
p
+-=，解得2p =；（4分）
（2）抛物线C 的方程为2
4x y =，即24
x y =，对该函数求导得2x y '
=，（5分）
设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1
112x y y x x -=
-，即112
x x y y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，
由于点P 为这两条直线的公共点，则101020
20220
220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，
所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，
联立002
220
4x x y y x y --=⎧⎪⎨=
⎪⎩
，可得2
00240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，（8分） 所以，
()
()()
2
2
2
2
22
001212000
001414164422x x AB x x x x x y x
x y ⎛⎫
⎛⎫=++-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，（9分）
点P 到直线AB 的距离为2
00
2
44
x y d x -=
+（100分）
所以，()()()2
3
00
2
22
20
0002
0411
144422
2
4PAB
x y S AB d x
x y x y x -=⋅=+-=-+△， ()()2
2
22000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，
由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值3
21
202052
⨯
=（12分）
1．（2022届山西省吕梁市高三模拟）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别
为1F ，2F 3
(
3,6为C 上一点，过点1F 且与y 轴不垂直的直线l 与C 交于
A ，
B 两点． (1)求
C 的方程；
(2)在平面内是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)22
1128
x y +=(2)存在；8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】 (1)设C 的半焦距为()0c c >，由题意得22222
3
361c a a b a b c
⎧=
⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得22
21284a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
所以C 的方程为22
1128
x y +=．
(2)假设存在定点(),Q s t ，使得QA QB ⋅为定值λ，设()11,A x y ，()22,B x y ． 由（1）知()2,0F -，因为l 不垂直于y 轴，故设l 的方程为2x my =-，
联立，得2221128
x my x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去x 并化简，得()
22
238160m y my +--=．
则()22
6464230m m ∆=++>，且122823m y y m +=
+，12
216
23
y y m =-+， ()()1111,2,QA x s y t my s y t =--=---，()()2222,2,QB x s y t my s y t =--=---，
所以()()()()121222QA QB my s my s y t y t ⋅=----+--
()()()()2
22
1212122m y y m s t y y s t =+-++++++⎡⎤⎣⎦
()()()
222221618222323
m m s t m s t m m λ+++⎡⎤⎣⎦=--+++=++． 所以()()()2222
22221616828223223m s m tm s t m s t m λλ⎡⎤⎡⎤---+-++++++=+⎣⎦⎣⎦
， 所以()()2216822222s s t λ--++++=，80t -=，()2
2163233s t λ-+++=，
所以83
s =-，0=t ，44
9λ=-．
所以存在8,03Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，使得QA QB ⋅为定值449-．
2．（2022届河南省顶级名校高三4月联合考）己知抛物线1C 的方程是2
2
3
y x =
，圆2C 的方程是()2
211x a y -++=，过抛物线1C 上的点()(),0>P a b b 作圆2C 的切线，两切线分别与抛物线1C 相交于与点P 不重合的()()()112212,,,>A x y B x y y y 两点． (1)求直线P A ，PB 的方程（直线PB 的方程用含b 的等式表示）； (2)若PA PB =，求实数2b 的值．
【答案】(1)x a =，()242
214370b x by b b ---+=(2)227+【解析】 (1)由题意可知，直线PB 的方程是x a =，
根据条件可设直线PA 的方程是()y k x a b =-+，即0kx y ka b --+=， ∵直线PA 与圆()2
211x a y -++=相切，
∴
()2
111
k a ka b
k --+=+，
∴212b k b
-=，
∴直线PA 的方程是222
1130222
b b b x y b b b ----⋅+=，
即()242
214370b x by b b ---+=.
(2)若210b -=，则0k =，直线PA 与抛物线1C 没有两个交点，不合题意， 故210b -≠，
∴直线PA 的方程可写成()4222237121b b b x y b b -=+--，将它代入223
y x =并化简得()2242314370b y by b b ---+=，
∴()()2224
Δ(4)121730b b b b =---->①，
()12431b y b b +=
-，即()12
431b
y b b =--， ∴()
2
1112211
114PA b y b by k k
=+
-=++-()()()()()222
2
22222222135
4164143119131b b b b b b b b b b b b ⎡⎤+-⎢⎥=+---⎢⎥---⎣⎦
，
∵2PB b =，∴
()222
2
2135
231b b b b b +-=-，
解得，22b =，或227
b += 经检验，22b =与227b +=
①，所以实数2b 的值是227
+3．（2022届山西省高三第二次模拟）已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>经过点()12,0A ，
()24,0A ，(322,3A ，(422,3A -，53,3A 中的3个点.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知点M ，N 是双曲线C 上与其顶点不重合的两个动点，过点M ，N 的直线1l ，2l 都经过双曲线C 的右顶点，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=，判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由
【答案】(1)22
143
x y -=(2)直线MN 过定点，且定点坐标为()2,3
【解析】 (1)由于34,A A 关于x 轴对称，所以34,A A 要么都在双曲线C 上，要么都不在双曲线
C 上.
点12,A A 不可能都在双曲线C 上，因为双曲线C 经过3个点，所以34,A A 都在双曲线C 上.
将34,A A 的坐标代入22
221x y a b
-=得22831a b -=，
由34,A A 都在双曲线C 上可知()24,0A 、53,3A 都不在双曲线C 上，
所以点()12,0A 在双曲线C 上，故2a =， 结合
22
83
1a b -=可得3b = 所以双曲线C 的方程为22
143
x y -=.
(2)设()()1122,,,M x y N x y ，其中12y y ≠，故可设直线MN 的方程为x my n =+，
由2214
3x my n
x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 并化简得()2223463120m y mny n -++-=，
2
340m -≠，212122
26312
,3434
mn n y y y y m m -+=-⋅=--. 因为双曲线C 的右顶点为()12,0A ，且121k k +=， 所以
1212
12122222
y y y y x x my n my n +=+--+-+-
121222
12122(2)()
(2)()(2)my y n y y m y y m n y y n +-+=
+-++-
22222222222
226246123343413126122(2)3434mn m mn mn
m m m m n m m n m n n
n m m ---
--==----+---，
所以32n m =-+，代入x my n =+得()32x m y =-+， 当3y =时，2x =， 所以直线MN 过定点()2,3.
4．（2022届河北省九师联盟高三4月联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右
焦点分别为()16,0F ，)2
6,0F ．且该双曲线过点(22,2P ．
(1)求C 的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点(),0T t 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A ，B 和点C ，D ．当直线AB ，CD 均不平行于坐标轴时，直线AC ，BD 分别与直线x t =相交于P ．Q 两点，证明：P ，Q 两点关于x 轴对称． 【答案】(1)22
142
x y -
=(2)证明见解析 【解析】 (1)解：由已知可得22226
82
1a b a b ⎧+⎪
⎨-=⎪⎩，解得224,2a b ==， 所以双曲线C 的方程为22
142
x y -
=； (2)证明：由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，直线CD 的方程为1
x y t m
=-
+，点 ()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，
由22
142x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
，得 ()222
2240m y mty t -++-
=，
则()()22222
(2)424168320mt m t m t ∆=---=+->，得2224m t +>，
所以2121222
24
,22
mt t y y y y m m --+==--， 同理可得()2234342242,1212t m mt y y y y m m
-+==--，其中,m t 满足2224t m +>， 直线AC 的方程为()133111y y y y x x x x --=
--，令x t =，得()131113
y y
y t x y x x -=-+-, 又11331
,x my t x y t m =+=-+，所以()212133
1m y y y m y y +=+，即()2132131,m y y P t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 同理可得()2242241,
m y y Q t m y y ⎛⎫
+ ⎪ ⎪+⎝⎭
， 因为
()()()()()()()
2
2
2
2
1234123413
24
222
213
24
1324111m m y y y y y y y y m
y y m
y y m y y m y y m
y y m y y ⎡⎤++++++⎣⎦
+
=
++++()()()()()
2222
2
2222221324442212122120
m t t m mt mt m m m m m m y y m y y ⎡⎤---+⋅+⋅⎢⎥
----⎢⎥⎣⎦==++， 所以,P Q 两点关于x 轴对称.
5．（2022届天津市第七中学高三阶段检测）已知曲线C 上动点M 与定点()
2,0F 的距离和它到定直线1:22l x =-2
2
，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．
(1)说明曲线C 的形状，并写出其标准方程； (2)是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA
QB PB
=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)曲线C 为椭圆，标准方程为：22
142
x y +
=，(2)存在定点()0,2Q ，使得QA PA QB PB =恒成立. 【解析】 (1) 设(),M x y (
)
2
2
2
22
22
x y x ++=
+，整理可得：22
142x y +=， ∴曲线C 为椭圆，标准方程为：22
142
x y +=.
(2)①当直线l 与y 轴垂直时，即:1l y =，由椭圆对称性可知：PA PB =，
QA QB ∴=，∴点Q 在y 轴上；
②当直线l 与x 轴垂直时，即:0l x =，则(2A ，(0,2B -， 若存在定点Q ，则由①知：点Q 在y 轴上，可设()()0,1Q t t ≠，
由QA PA QB PB =221
212
t t --=++1t =（舍）或2t =，()0,2Q ∴； 则若存在定点Q 满足题意，则Q 点坐标必然是()0,2，
只需证明当直线l 斜率存在时，对于()0,2Q ，都有QA PA
QB PB
=成立即可. 设:1l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由221
14
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()
2212420k x kx ++-=，其中23280k ∆=+>恒成立，
122122412212k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪=-
⎪+⎩
，121212112x x k x x x x +∴+==，
设点B 关于y 轴的对称点为B '，则()22,B x y '-， 11111211QA y kx k k x x x --=
==-，22222
211
QB y kx k k x x x '--===-+--， 12112220QA QB k k k k k x x '⎛⎫
∴-=-+=-= ⎪⎝⎭
，即,,Q A B '三点共线，
12QA QA x PA
QB QB x PB
∴
==='； 综上所述：存在定点()0,2Q ，使得
QA PA
QB PB
=恒成立. 6．（2022届浙江省嘉兴市高三4月二模）已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分
别为1F ，2F ，椭圆1C 上的点31,2A ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.
(1)求椭圆1C 的标准方程；
(2)若抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆1C 的右焦点2F 重合，过点(,0)(0)P m m >作直线1l 交抛物线2C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线2C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线2C 的切线2l ，且21l //l ，求MNQ △面积S 的最小值.
【答案】(1)22
143
x y +=；(2)16.
【解析】 (1)因为椭圆1C 上的点31,2A ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4，
所以有24a =，即2a =，
将点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆1C 的方程22
214x y
b
+=，
得219
144b
+=，从而23b =， 所以椭圆1C 的标准方程为22
143
x y +
=； (2)由（1）知椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，所以12
p
=，即2p =，从而抛物线2C 的方程为24y x =.
设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 为：(0)x ty m t =+≠，
联立24x ty m
y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty m --=，所以1212
44y y t y y m +=⎧⎨
=-⎩①， 直线211
4
:14y MF x y y -=
+与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得 22
11440y y y y ---=，所以得Q 点的纵坐标为14y -，所以21
144,Q y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
因为21l //l ，所以直线2l 为：211
4
4
t x ty y y =++与抛物线22:4C y x =
联立，消去x 得
2
211161640t y ty y y ---=，故2
221114240t t t y y y ⎛⎫
∆=++=+= ⎪⎝⎭
，得12y t =-，代入①式可以得
224y t t =+
，122244y y t m t t ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即212m t
=+，又有()2
,2Q t t ，
直线MN 为212(0)x ty t t =++
≠，得2221||12MN t t t =+++2
22
121Q MN d t t t -⎫=++⎪⎭+
所以33
2
2
2222112222216MNQ S t t t t ⎛⎫⎛⎫=++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭
△， 当且仅当1t =±时取到最小值.
7．（2022届山西省吕梁市高三第二次模拟）已知O 为坐标原点，椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>6
(6,1)P ． (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，且121
3
k k =-，
求OA OB ⋅的取值范围．
【答案】(1)22
193
x y +=；(2)[3,0)(0,3]-.
【解析】 (1)由题意，22
6
611c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，解得3,3a b ==
所以椭圆C 为22
193x y +
=. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，
若直线l 的斜率存在，设l 为y kx t =+，联立2219
3y kx t
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
消去y 得：()
222
136390+++-=k x ktx t ，22Δ390k t =+->，
则122
21226133913kt x x k t x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，又12k k =121213y y x x =-， 故12121
3
=-y y x x 且120x x ≠，即2390-≠t ，则23≠t ，又1122,y kx t y kx t =+=+，
所以()()()222
222222121212221212122
691133939313-+++++-+==+=+==---+k t t kx t kx t kt x x t y y t k k k k t x x x x x x t k ， 整理得222933=+≥t k ，则2
3
2
≥
t 且Δ0>恒成立． 221212121212222122393333133313--⎛
⎫⋅=+=-==⋅=⋅=- ⎪+⎝⎭
t t OA OB x x y y x x x x x x k t t ， 又232≥
t ，且23≠t ，故2331[3,0)(0,3)⎛
⎫-∈- ⎪⎝⎭
t . 当直线l 的斜率不存在时，2121,x x y y ==-，又12k k =212113-=-y x ，又22
11193
x y +=，解得2192x =，则22
2
111233
⋅=-=
=OA OB x y x ． 综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．
8．（2022届浙江省温州市高三3月适应性测试）已知椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>离心率为
662⎝⎭；圆()()2223:4C x m y n -+-=的圆心为M ，M 是椭圆上1C 上的点，过O 作圆2C 两条斜率存在的切线，交椭圆1C 于A ，B ．
(1)求椭圆1C 方程；
(2)记d OA OB =+，求d 的最大值． 【答案】(1)2
213
x y +=
(2)22
【解析】 (1)依题意2222
222
6216a b a b c c a ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭
+=⎪⎪⎪=+⎨⎪
⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3,1,2a b c ==
所以椭圆1C 的方程为2
213
x y +=.
(2)设过原点的圆()()22
23
:4
C x m y n -+-=的切线方程为y kx =，即0kx y ， 2
31
km n k -=
+()
222
348340m k mnk n -++-=， 其两根12,k k 满足2
122
3434n k k m -=-，设12,OA OB k k k k ==，
(),M m n 是椭圆1C 上的点，所以2222
1,133
m m n n +==-
. 2221222243
341334133434343
m m n k k m m m ⎛⎫--- ⎪
-⎝⎭====-
---. 设()()1122,,,A x kx B x kx ，
则22
11221,1OA k x OB k x +=+，
且2222221211221,133x x k x k x +=+=，22122212
33,1313x x k k ==++ 所以()()2
2
2222112211OA OB k x k x +=+++
()222222222222222222
121122112211221122333362x x k x k x k x k x k x k x k x k x =+++=-+-++=-+ 2212
221233621313k k k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭
()()()()2222122122
12313313621313k k k k k k +++=-⨯++ 222222121212222222
121212
3318332
626262=41339233k k k k k k k k k k k k ++++=-⨯=-⨯=-+++++. 所以由基本不等式得(
)22
22
2d OA OB OA OB =+≤+=，
当且仅当OA OB =时等号成立. 所以d 的最大值为229．（2022届云南省高三第二次统一检测）已知曲线C ()
2
2110x y x -++=，点
D 的坐标为()1,0，点P 的坐标为()1,2．
(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标；
(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A ，PB 与y 轴分别交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P ．证明：直线AB 的斜率为定值． 【答案】(1)(
3,23或(3,23-(2)证明见解析 【解析】 (1)∵曲线C ()
2
2110x y x -++=，
移项平方得()()2
2
211x y x -+=+，化简得24y x =， ∴曲线C 的方程为24y x =．
∴()1,0D 为抛物线24y x =的焦点，直线1x =-为抛物线24y x =的准线． 设()00,E x y ，则01ED x =+． ∵4ED =，
∴014x +=，解得03x =．
∴2
0412y x ==，解得023y =± ∴E 的坐标为(
3,23或(3,23-．
(2)∵()1,2P ，曲线C 的方程为24y x =，2241=⨯， ∴点()1,2P 在曲线C 上．
∵A 、B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ，
∴直线P A 、PB 的斜率都存在，且都不为0，分别设为k 、1k ，则10kk ≠，直线P A 的方程为
()21y k x -=-，即2y kx k =+-．
当0x =时，2y k =-，即()0,2M k -． 同理可得()10,2N k -．
∵线段MN 的垂直平分线经过点P ， ∴
1
2222
k k -+-=，即1k k =-．
由2
24y kx k y x
=+-⎧⎨=⎩，得：()
2222222440k x k k x k k --++-+=． 设()11,A x y ，则1，1x 是()
2222
222440k x k k x k k --++-+=的解．
由韦达定理得：2112
44
1k k x x k -+=⋅=．
∴212444
22k k y k k k k
-+=⨯+-=-．
∴22
444,2k k A k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 同理可得22
444,2k k B k k ⎛⎫
++- ⎪-⎝⎭
． ∴2222
442214444
AB
k k k k k k k k k ---+==-++-+-． ∴直线AB 的斜率为定值．
10．（2022届河南省五市高三第二次联合调研）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的上
顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M 为椭圆C 的右顶点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若经过点(,0)P t 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，实数t 取何值时以AB 为直径的圆恒过点M ？
【答案】(1)22
142
x y +
=，(2)23t = 【解析】 (1)由题意知：2b c
bc =⎧⎨=⎩
解得：2b c ==2a =，
所以椭圆C 的方程为22
142
x y +
=. (2)由（1）知：(2,0)M ，
若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x t =（22t -<<）， 此时2
22t A t ⎛- ⎝
，2
,22t B t ⎛-
⎝， 由0MA MB ⋅=得22
22,2022t t t t ⎛⎛--⋅---= ⎝⎝， 解得23t =
或2t =（舍），即23
t =. 若直线l 的斜率存在，不妨设直线l ：()y k x t =-，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立()2214
2y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()
22222
124240k x k ty k t +-+-=.
所以，2122412k t
x x k +=+，22122
2412k t x x k -=
+.
由题意知：0MA MB ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-=， 易得()()()()2
2
22
12
1
2
1240k
x x k t x x k t +-++++=，
()()()()()
2
22
22222124244120k k t
k t k t k t k +--++++=（），
整理得，()22
3840k t t -+=，因为k 不恒为0
故解得2
3
t =或2t =（舍）， 综上，2
3
t =
时以AB 为直径的圆恒过点M . 11．（2022届江苏省南通市高三二模））已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别
是F 1，F 2，焦距为2，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F △的内切圆的面积的最大值为3
π
． (1)求椭圆C 的方程；
(2)延长12,PF PF 与椭圆C 分别交于点A ，B ，问：
1212PF PF F A
F B
+
是否为定值?并说明理由．
【答案】(1)22
143
x y +
=，(2)是，理由见解析 【解析】 (1)设12PF F △的内切圆的半径为r ，点P 的坐标为()00,x y ． 因为焦距为2，所以122F F =，故1c =． 12PF F △的面积()120121211
22
S F F y PF PF F F r =
⋅=++⋅，故0(1)y a r =+． 对于给定的椭圆，要使 12PF F △的内切圆的面积最大，即r 最大，即0y 最大, 由于12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π,故此时3r =, 所以0y b =时，有3
(1)b a =+①
又221a b -=．②
由①②，得224,3a b ==，
所以椭圆C 的方程22
143x y +
=． (2)由题意知：12(1,0),(1,0)F F - ,
设()()1122,,,A x y B x y ，直线1PF 的方程为1x my =-，
与（1）中所求椭圆22
:143
x y C +
=联立方程组并消去x 得， ()2
234690m
y my +--=，24(1)0m ∆=+> ，
所以0129
34
y y m -=+，所以
221001103409PF y m y F A y -+==-． 因为点00(,)P x y 在直线1:1PF x my =-上，所以00
1
x m y +=
， 又点 00(,)P x y 在椭圆22:143x y C +=上，所以22
003412x y +=，
所以()2
022
2100000113431452993x PF y x y x y F A ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭===
． 同理，可得
20
2523
PF x F B -=， 所以
1212103
PF PF F A F B +=（定值）． 12．（2022届浙江省稽阳高三4月联考）如图，点()()00,10A x x >在抛物线22x py =上，抛物线的焦点为F ，且||2AF =，直线y kx k =-交抛物线于B ，C 两点（C 点在第一象限），过点C 作y 轴的垂线分别交直线OA ，OB 于点P ，Q ，记PQO ，ACP △的面积分别为1S ，
2S .
(1)求0x 的值及抛物线的方程； (2)当0k <时，求1
2
S S 的取值范围.
【答案】(1)2
02,4x x y ==(2)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 （1）12,22
p
AF p =+=∴=， 204,2x y x ∴==.
（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为直线OA ：12
y x = 则()112,P y
y ，
直线OB 的方程为:22
y y x x =
,1212,y x Q y y ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
, 联立方程组24y kx k
x y
=-⎧⎨=⎩消去y 可得:2440x kx k -+=
,121244x x k x x k +=⎧∴⎨=⎩
1
121221,1
x x x x x x x ∴+=∴=
- ()()12111
212
111112212112y x y y PQ y y S S x y y PC y ⎛⎫- ⎪⋅⎝
⎭∴==--- 2222211111121
222221111112424112424x x x x x x x S S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---- ⎪⎪ ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2
1211221214414
x S x x S x ∴==--
,
22211112222
2111144414444S x x x S x x x x ⎛⎫
-+∴==-=-=-+ ⎪----⎝⎭ 又10,01k x <∴<<,-4<x12-4<-3, 221144141,103434
x x ∴-
<<--<+<--
故1210,3S S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。