传力性能最佳的有急回曲柄摇杆机构的设计

传力性能最佳的有急回曲柄摇杆机构的设计
冯立艳;关铁成;田姗姗;崔冰艳
【摘要】分析了Ⅰ型曲柄摇杆机构极位夹角的可能取值:零度、锐角、直角和钝角,推导出上述各情况下杆长间的关系式.建立了最小传动角γmin与曲柄固定铰链中心A的位置角Φ和极位夹角θ的数理关系,对A点位置角Φ的可行域和极位夹角θ的最大值给出了量化描述.以Mathematica为工具,开发了曲柄摇杆机构设计系统,绘制出γmin-θ-Φ的三维曲面图.根据该图能迅速直观地获得最小传动角γmin 为最大的曲柄固定铰链中心A的位置,快速完成传力性能最佳的具有急回特性的曲柄摇杆机构的尺度设计.%The possible values of extreme position angle
forⅠtype crank-rocker mechanism are analyzed,that is the zero angle, acute angle,right angle and the obtuse angle.For the above cases,the relations on the bar length are derived.The mathematical relations between the minimum transm ission angle γminand the position angle Φ of the crank's fixed hinge center A and the extreme position angle θ is established.A quantitative description for the feasible region of the position angle Φ and the maximum value of the extreme position angle θ is ing Mathematica as a tool,the crank rocker mechanism design system is developed,three-dimensional surface charts of γmin-θ-Φ are drown.Which can obtain the crank's position angle Φ corresponding to the maximum of the minimum transmission angle γminquickly and directly,can finish the dimensional design of crank-rocker mechanism with the optimum transmission performance and the Quick-Return characteristics.
【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2018(000)006
【总页数】4页(P66-69)
【关键词】曲柄摇杆机构;极位夹角;摆角;最小传动角;位置角
【作者】冯立艳;关铁成;田姗姗;崔冰艳
【作者单位】华北理工大学机械工程学院,河北唐山063009;华北理工大学机械
工程学院,河北唐山063009;华北理工大学机械工程学院,河北唐山063009;华北
理工大学机械工程学院,河北唐山063009
【正文语种】中文
【中图分类】TH16;TH122
1 引言
曲柄摇杆机构实现整周转动与往复摆动之间的运动互换，在飞剪机、搅拌机、颚式破碎机等机械中有着广泛应用，这些机器都具有急回特性，以缩短非生产时间，提高生产效率。

曲柄摇杆机构，如图1所示。

图中：φ—摇杆的摆角；θ—极位夹角。

若曲柄AB、连杆BC、摇杆CD、机架AD的长度依次用a、b、c、d表示，则lAC1=b-a，l=b+a，∠C AC=θ，行程速比系数 K=。

θ值越大，急回AC212程
度越显著[1]。

机构的传动角γ越大，则机构的传力性能越好[2]。

而传动角在机构运转过程中是变化的，为使机构具有良好的传力性能，应使γmin≥［γ］。

图1 曲柄摇杆机构Fig.1 Crank-Rocker Mechanism
目前，国内许多教材将极位夹角描述为“当从动件在两极限位置时，对应的主动曲
柄两位置之间所夹的锐角[3]”，这是不准确的，因许多机构的极位夹角可能为钝角。

分析了曲柄摇杆机构的极位夹角可能为零度、锐角、直角或钝角，并详细推导出θ=0°、0°＜θ＜90°、θ=90°、90°＜θ＜180°等各种情况下，四个杆长满足的关系。

国内很多专家对满足最小传动角γmin的曲柄摇杆机构设计问题进行了研究。

文献[4]建立了曲柄长a与最小传动角γmin的函数关系。

文献[5]通过辅助角β建立了行程速比系数K与最小传动角γmin之间的关系，但其计算复杂。

在摆角一定的情况下，极位夹角θ并不是随意变化的，而是有一个最大值，故对曲柄摇杆机构行程速比系数K的取值范围进行了研究；在给定摇杆摆角设计具有一定急回特性的曲柄摇杆机构时，如果无其他附加条件，通常在可行区域内任意选定曲柄固定铰链中心A的位置，但A点的位置不同，则机构的尺寸不同，机构的最小传动角γmin也不同，要获得最小传动角γmin为最大的机构是困难的。

为快速设计出具有最佳传力性能的有急回曲柄摇杆机构，研究了摇杆摆角φ、极位夹角θ、最小传动角γmin和曲柄位置角φ的关系，基于Mathematica编写了曲柄摇杆机构的设计计算及绘图程序，绘制了γmin-θ-φ的三维曲面图，能迅速直观地获得最小传动角γmin为最大的曲柄位置角φ，从而完成具有最佳传力性能的曲柄摇杆机构的尺度设计。

2 极位夹角θ的取值
曲柄摇杆机构的四个杆长满足一定条件时，其极位夹角可能为零度、直角、锐角、钝角，现分析推导如下。

图1中，令∠ADC2=α，∠ADC1=β，则α＝β+φ。

3 给定摇杆摆角φ和行程速比系数K的曲柄摇杆机构的图解法设计
已知极位夹角θ、摇杆长度c、摇杆摆角φ的曲柄摇杆机构的图解法设计[6]，如
图2所示。

任选一点D，如图2（a）所示。

画出摇杆CD的两个极限位置DC1、DC2。

做以C1C2为弦，圆周角为θ的圆周，则A点就在该圆上。

摇杆与圆周的两个交点为F、G。

若无其他附加条件，曲柄固定铰链中心A的位置可在劣弧C1F 或C2G上任意选取。

A点选定后，连接AC1和AC2，以A为圆心，AC1为半径，作圆弧与AC2交于点E，以A为圆心，EC2/2为半径作圆，与直线AC1、AC2分别交于 B1、B2，AB1C1D 或 AB2C2D 即为所求的曲柄摇杆机构。

目前教材上只有这种情况，但图2（a）只适用于极位夹角为锐角的情况。

而当极位夹角θ=90°和θ＞90°时，曲柄摇杆机构的设计图分别，如图 2（b）、图 2（c）所示。

图2 极位夹角为锐角、直角、钝角的曲柄摇杆机构的图解法设计Fig.2 Graphic Design of Crank-Rocker Mechanism When Extreme Position Angle Equals the Acute Angle，Right Angle and Obtuse Angle
4 给定摇杆摆角φ的曲柄摇杆机构解析法设计
4.1 机构最小传动角γmin与极位夹角θ和A点位置角φ的关系
A点选定后，各杆长随即确定，从而可求得机构的最小传动角γmin。

设A点与y 轴正方向的夹角为φ，如图3（a）所示。

由于曲柄摇杆机构各杆尺寸的按比例缩放不会影响机构的极位夹角θ、摇杆摆角φ和传动角γ的值，因此分析时可以令摇杆为单位长度c=1，来求解其余各杆的相对长度a、b和d。

图 3（a）中，A 点、C1点、C2点的坐标依次为：A（-R sinφ，R cosφ），C1（-R sinθ，R cosθ），C2（R sinθ，R cosθ）。

曲柄摇杆机构的最小传动角出现在曲柄与机架共线的两个位置之一，而对于I型曲柄摇杆机构，其最小传动角永远出现在曲柄与机架重叠共线的位置[7]，即
由式（10）可知，最小传动角γmin与各杆的相对杆长有关，而与机构的真实杆长无关。

4.2 位置角φ的变化域分析
由图2可知，曲柄固定铰链中心A在劣弧C1F（或C2G）上任意选取。

其位置角φ可用极位夹角θ与摇杆摆角φ来表示，如图 3（a）、图 3（b）所示。

A 点位置角φ 的变化域为∠NOC1＜φ＜∠NOF，∠NOC1=θ，当极位夹角θ与摇杆摆角φ关系不同时，∠NOF的取值也不同。

当θ＜φ 时，如图 3（a）所示。

∠FC2M=∠C1C2M－∠C1C2F=（φ/2）－θ，
∠NOF=180°－∠FDO－∠DFO=180°－（φ－θ）。

则有，θ≤φ≤180°－（φ－θ）
当θ＞φ 时，如图 3（b）所示。

∠OC1D=∠C2C1D－∠C2C1O=θ－（φ/2）
∠NOF=180°－∠FOD=180°－（θ－φ）。

则θ≤φ≤180°－（θ-φ）。

由上述两种情况可得位置角φ的变化域为：
θ≤φ≤180°- θ-φ
4.3 极位夹角θ及行程速比系数K的最大值
由图2（c）分析可知，随着极位夹角θ的增大，摇杆的极限位置与外接圆交点间的距离越来越近，因此曲柄回转中心A位置的选择范围越来越小。

当C1与F（或C2与G）重合时，曲柄摇杆机构将不复存在，此时摇杆的两个极限位置与O点所在圆周相切，如图3（c）所示。

由此可求得极位夹角的最大值。

图 3（c）中，∠C2C1O=θ-90°，∠C1OD=90°－（φ/2），则极位夹角的最大值
为：
图3 解析法设计Fig.3 Analytical Method Design
5 给定摇杆摆角φ设计曲柄摇杆机构的软件系统
Mathematica是由美国Wolfram公司研究开发的一个数学软件，它提供了与Mathcad和Matlab这两个著名数学软件同样强大的功能，与其相比，Mathmatica更加小巧，能够完成符号运算、数学图形绘制甚至动画制作等多种操作[8-9]。

故基于Mathematica编写设计计算及绘图程序。

由上面的分析，每给定一个摇杆的摆角，可得到极位夹角θ的最大值和位置角φ的变化区间。

以极位夹角θ和曲柄位置角φ作为循环变量，依据前面推导的最小传动角γmin与极位夹角θ和位置角φ的关系式，设计了曲柄摇杆机构的软件系统。

该系统既可快速完成满足急回要求，且传力性能最优的曲柄摇杆机构的设计，精确计算曲柄摇杆机构各杆的相对尺寸、最小传动角，又可绘制γmin-θ-φ的三维曲面图，如图4（a）所示。

摆角φ=40°的三维曲面图，摆角φ=40°时各极位夹角对应的γmin-φ的平面曲线，如图4（b）所示。

各极位夹角时，机构最小传动角的最大值及对应的A点位置角，如表1所示。

由图4和表1表明，极位夹角θ越接近θmax，最小传动角γmin越小，即机构的传力性能越差。

当极位夹角θ∈［90°，90°），即行程速比系数K∈［3，3+）时，机构的传力性能很差。

因此，即使极位夹角可以为钝角，但现场常使用机构的行程速比系数一般均小于3。

计算及三维绘图所用的主要命令（略）。

图4 摆角φ=40°各参数与最小传动角的关系Fig.4 The Relationship Between the Parameters and the Minimum Transmission Angle of the Swing Angle φ=40°
表1 A点位置的合理选择Tab.1 Reasonable Selection of A Points极位夹角θ最小传动角的最大值max（γmin）A点位置角φ 10°51.7613°30.0727°20°42.8078°47.0351°30°35.649°60.5595°40°29.3597 71.5812 50°23.6136 80.4898 60°18.2947 87.6833 70°13.3845 93.5772 80°
8.9218°98.5222°90° 5.0034°102.782°100° 1.8303°106.554°
6 结论
（1）推导出极位夹角分别为零度、锐角、直角和钝角时，曲柄摇杆机构四个杆长之间存在的关系式。

因极位夹角不一定为锐角，故目前教材中极位夹角为锐角的概念是有问题的，建议将平面连杆机构极位夹角的定义修正为：当输出件处于两个极限位置时，对应曲柄的一个位置与另一个位置的反向延长线间所夹的角度[10]。

（2）鉴于目前教材中按行程速比系数K设计曲柄摇杆机构的图解法只适应于极位夹角为锐角的情况，故给出了极位夹角为直角、钝角时曲柄摇杆机构的设计图。

（3）在设计一定摇杆摆角且有急回特性的曲柄摇杆机构时，传统的方法是在可行区域内任意选定曲柄固定铰链中心A的位置，进而求得机构的尺寸，要获得最小传动角γmin为最大的机构是困难的。

故建立了最小传动角γmin与曲柄固定铰链A的位置角φ和极位夹角θ的关系式，推导出极位夹角的最大值，得出A点位置角φ的可行域表达式。

基于上述研究开发了曲柄摇杆机构设计系统，能自动绘制γmin－θ－φ的三维曲面图，很容易得到不同极位夹角θ时max（γmin）所对应的位置角φ，克服了A点选择的盲目性，能快速完成满足急回要求，且传力性能最优的曲柄摇杆机构的设计。

参考文献
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