空间点、线、面的位置关系 学案——高一下学期数学人教A版必修2

空间中点线面的位置关系

第I部分知识梳理 (1)

知识点1平面的基本性质 (1)

知识点2直线与直线的位置关系 (2)

第II部分题型分类 (2)

题型1 平面基本性质的应用 (2)

【变式训练】 (3)

题型2 线线位置关系的判断和异面直线的夹角 (4)

【变式训练】 (5)

题型3 线面、面面位置关系的判断 (7)

【变式训练】 (7)

第I部分知识梳理

知识点1平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

知识点2 直线与直线的位置关系

1. 位置关系的分类

⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧一个平面内异面直线：不同在任何相交平行共面直线 2. 异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎥⎦

⎤ ⎝⎛2,0π. 3. 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．

4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

第II 部分 题型分类

题型1 平面基本性质的应用

1. 在下列命题中，不是公理的是( )

A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2.下列命题正确的个数为()

①梯形可以确定一个平面；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

3.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中

正确的命题是()

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.

A．①②B．②③C．①④D．③④

4.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1

的中点．求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

【变式训练】

5.以下四个命题中，

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

正确命题的个数是()

A．0 B．1 C．2 D．3

6.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD

＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12

AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？

7. 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB

＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .

(1)求AH ∶HD ；

(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．

8. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面

ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．

题型2 线线位置关系的判断和异面直线的夹角

9. 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一

定正确的是( )

A ．l 1⊥l 4

B ．l 1∥l 4

C ．l 1与l 4既不垂直也不平行

D ．l 1与l 4的位置关系不确定

10. 如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c

的位置关系是________．

11. 在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的

中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

12.如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，

求证：AD与BC是异面直线．

13.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所

成的角等于()

A．30° B．45° C．60° D．90°

【变式训练】

14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错

误的是()

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

15.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、

EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；