空间点、线、面的位置关系 学案——高一下学期数学人教A版必修2

空间中点线面的位置关系
第I部分知识梳理 (1)
知识点1平面的基本性质 (1)
知识点2直线与直线的位置关系 (2)
第II部分题型分类 (2)
题型1 平面基本性质的应用 (2)
【变式训练】 (3)
题型2 线线位置关系的判断和异面直线的夹角 (4)
【变式训练】 (5)
题型3 线面、面面位置关系的判断 (7)
【变式训练】 (7)
第I部分知识梳理
知识点1平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
知识点2 直线与直线的位置关系
1. 位置关系的分类
⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧一个平面内异面直线：不同在任何相交平行共面直线 2. 异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎥⎦
⎤ ⎝⎛2,0π. 3. 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
第II 部分 题型分类
题型1 平面基本性质的应用
1. 在下列命题中，不是公理的是( )
A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2.下列命题正确的个数为()
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
3.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中
正确的命题是()
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
A．①②B．②③C．①④D．③④
4.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1
的中点．求证：
(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
【变式训练】
5.以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
6.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD
＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12
AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？
7. 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB
＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .
(1)求AH ∶HD ；
(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．
8. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面
ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．
题型2 线线位置关系的判断和异面直线的夹角
9. 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一
定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
10. 如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c
的位置关系是________．
11. 在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的
中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
12.如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，
求证：AD与BC是异面直线．
13.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所
成的角等于()
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式训练】
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错
误的是()
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
15.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、
EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD 与MN 为异面直线；
③GH 与MN 成60°角；
④DE 与MN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
16. 若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正
方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
17. 四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A
所成角的余弦值为( )
A.255
B.55
C.45
D.35
18. 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的
中点，求EF 与AB 所成角的大小．
19. 如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，
OA ＝2，M 为OA 的中点．
(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；
(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小．
20. 如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA
＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
题型3 线面、面面位置关系的判断
21. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α
22. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.33
23. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与
D 1F 所成角的余弦值为________．
【变式训练】
24. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；
②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；
③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是()
A．①④B．②④C．①D．④
25.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
26.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．若P A⊥AC，P A
＝6，BC＝8，DF＝5.则P A与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC 的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)
27.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a
的取值范围是()
A．(0，2) B．(0，3) C．(1，2) D．(1，3)。