高中线性规划知识点及最新高考真题
(完整版)线性规划高考题及答案
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例６在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)(B)4 (C) (D)2七、研究线性规划中的整点最优解问题例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80(B) 85 (C) 90 (D)95• • • • • •C• 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
高考数学热点问题专题练习——线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析
线性规划——作图与求解一、基础知识（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。
例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。
例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。
考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。
（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b =-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或的斜率相等，∴或．【考点】线性规划．2.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．3.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】作出可行域:oyxA(1，1)由图可知，当直线过点时，目标函数取最小值为3，选B.【考点】线性规划6.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．7.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.【考点】线性规划8.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程＝(3＋1)2＋82＝80.组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax9.已知实数满足，则目标函数的取值范围是．【答案】【解析】可行域表示一个三角形ABC，其中当直线过点A时取最大值4，过点B时取最小值2，因此的取值范围是.【考点】线性规划求取值范围10.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【答案】B【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.11.（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．12.若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y =" -" 6取最小值。
高考数学(新课标版) 专题13 线性规划 Word版含解析
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高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
高中数学线性规划知识总结+练习
（一） 知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。
当B <0时, 表示直线下方区域； 表示直线的上方区域。
2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。
z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。
首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。
2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。
4。
最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。
二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】 画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。
2.区域弧长、面积问题【例2】 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】 若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。
高中线性规划试题及答案
高中线性规划试题及答案一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数的最优解一定在可行域的（）。
A. 边界上B. 内部C. 边界上或内部D. 边界上和内部答案：A2. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有最优解，则其最优解一定在（）。
A. 可行域的边界上B. 可行域的内部C. 可行域的边界上或内部D. 可行域的边界上和内部答案：A3. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有多个最优解，则其最优解一定在（）。
A. 可行域的边界上B. 可行域的内部C. 可行域的边界上或内部D. 可行域的边界上和内部答案：A4. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题无最优解，则其可行域一定（）。
A. 是空集B. 不是空集C. 是空集或不是空集D. 不能确定答案：A5. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有无穷多个解，则其可行域一定（）。
A. 是空集B. 不是空集C. 是空集或不是空集D. 不能确定答案：B二、填空题1. 线性规划问题中，目标函数的最优解一定在可行域的____上。
答案：边界2. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有最优解，则其最优解一定在可行域的____上。
答案：边界3. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有多个最优解，则其最优解一定在可行域的____上。
答案：边界4. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题无最优解，则其可行域一定____。
答案：是空集5. 线性规划问题中，如果一个线性规划问题有无穷多个解，则其可行域一定____。
答案：不是空集三、解答题1. 某工厂生产两种产品A和B，生产1单位产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，生产1单位产品B需要2小时的机器时间和3小时的人工时间。
工厂每天有18小时的机器时间和24小时的人工时间。
每单位产品A的利润是100元，每单位产品B的利润是120元。
如何安排生产计划以最大化利润？答案：设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
则有以下线性规划问题：目标函数：最大化 Z = 100x + 120y约束条件：3x + 2y ≤ 18 （机器时间）2x + 3y ≤ 24 （人工时间）x ≥ 0y ≥ 0通过求解该线性规划问题，可以得到最优解为x=6，y=4，此时最大利润为Z=100*6+120*4=1200元。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.设满足则（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值．【答案】B【解析】不等式组所表示的平面区域如下图所示：由得，当变化时，它表示一组斜率为-1的平行直线，在轴上的截距为，截距越大越大，截距越小越小，由图可知当直线经过点时在轴上的截距最小，截距不存在最大值；所以，有最小值2，无最大值．故选B．【考点】线性规划．2.设变量满足，则的最大值是 .【答案】3【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为.【考点】线性规划.3.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.4.若变量、满足约束条件，则的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，直线交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.5.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．6.若实数x，y满足，则的取值范围是________．【答案】[1,5]【解析】由题可知＝，即为求不等式组所表示的平面区域内的点与点(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1,5]，即的取值范围是[1,5]．7.已知,若恒成立, 则的取值范围是 .【答案】【解析】要使不等式成立,则有,即,设,则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点B时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,【考点】线性规划.8.若变量满足约束条件则的最小值为。
高三数学线性规划试题
高三数学线性规划试题1.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．D．【答案】C【解析】不等式组为如图所表示的阴影区域．由图可知当M与C重合时，直线OM 斜率最小．解不等式组得C(3，－1)，∴直线OM斜率的最小值为2.已知点满足，则的最小值是．【答案】【解析】根据线性规划的知识画出不等式的可行域如图所示,则目标函数在交点处取得最小值为,故填.【考点】线性规划3.设实数满足则的最大值等于________.【答案】2 【解析】实数满足所以x,y 的可行域如图所示.的最大值即为目标函数在y 轴的截距最小.即过点A （2,0），所以的最大值为2. 【考点】1.线性规划.2.截距最大对应的目标函数的最小值. 4. 已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】作出不等式组所表示的区域，，由图可知，在点取得最小值，在点取得最大值，故的最大值与最小值的差为．【考点】线性规划．5. 已知实数x ，y 满足若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[－1，1]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1kg 、B 原料2kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2kg ，B 原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 【答案】2800元【解析】设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－x＋，这是随z变化的一簇平行直线，解方程组∴即A(4，4)，∴z＝1200＋1600＝2800(元)．max故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．7.设变量x．y满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为（）A．3，一11B．－3，一11C．11，—3D．11，3【答案】A【解析】线性约束条件表示三角形及其内部，当目标函数经过点时，取最小值，经过点时取最大值.【考点】线性规划求最值8.若关于的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是.【答案】.【解析】当时，，因此根据图象可知，要使得不等式组所表示的平面区域是一个三角形，那么的取值范围是.【考点】线性规划.9.已知x，y满足则z＝2x＋4y的最小值为()．A．5B．－5C．6D．－6【答案】D【解析】画出线性约束条件下的平面区域．由，得点P(3，－3)．此时z＝2x＋4y达到最小值，最小值为－6.10.已知实数满足约束条件，则的最小值是____________.【答案】【解析】因为实数满足约束条件，x,y的可行域如图为三角形ABC围成的区域.又因为目标函数.所以要求z的最小值即为求出的最小值，即过原点直线的斜率的最小值.通过图形可知过点A的最小，由题意得A（3,1）.所以z的最小值为.故填.【考点】1.线性规划问题.2.构造的思想.3数形结合的思想.11.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是________．【答案】3【解析】＝2x＋y，设z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，不等式组对应的区域为BCD.平移直线y＝－2x＋z，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点C时，直线y＝－2x＋z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C(1,1)，代入z＝2x＋y得z＝2x＋y＝3，所以的最大值为3. 12.已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.【考点】线性规划求最值13.若变量满足线性约束条件，则的最大值为________．【答案】5【解析】由约束条件，得如下图所示的三角形区域，由得直线过点时，取得最大值为5．【考点】线性规划.14.已知变量x，y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为。
高三线性规划知识点
高三线性规划知识点线性规划是高中数学中的一个重要知识点，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将全面介绍高三线性规划的相关知识，包括定义、基本概念、解题步骤以及一些典型例题。
一、线性规划的定义线性规划是一种数学模型，用于求解一个线性函数在一组线性约束条件下的最优值。
在实际生活中，我们常常需要在一定的条件下寻找最优解，例如：生产成本最小、收益最大、资源利用最佳等等。
线性规划通过建立数学模型，帮助我们找到最优解。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标通常是最大化或最小化一个线性函数。
这个函数被称为目标函数，记作Z。
2. 线性约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了变量的取值范围。
3. 变量：线性规划的变量是我们要求解的未知数，可以用任意字母表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合称为可行域。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取到最大值或最小值的解称为最优解。
三、线性规划的解题步骤1. 建立数学模型：根据问题的描述，将目标函数和约束条件用代数式表示出来。
2. 确定可行域：将约束条件化为不等式形式，并将它们表示在坐标系中，找出它们的交集，确定可行域的范围。
3. 确定最优解：在可行域内寻找目标函数的极值点，得出最优解。
4. 检验最优解：将最优解代入原问题中，检验是否满足所有约束条件。
四、典型例题例题1：某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每吨利润为1000元，乙产品每吨利润为1200元。
已知生产一吨甲产品需要材料A 30千克，材料B 10千克；生产一吨乙产品需要材料A 20千克，材料B 40千克。
工厂每天可以使用材料A 600千克，材料B 200千克。
问如何安排生产，使得利润最大化？解：首先，我们定义两个变量x和y，分别表示甲、乙产品的生产量（吨）。
目标函数Z表示利润的最大值，即Z=1000x+1200y。
约束条件如下：30x+20y ≤ 60010x+40y ≤ 200x，y ≥ 0我们可以将该问题转化为图形解法，将约束条件绘制在坐标系中，确定可行域的范围。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是( )A．(1－，2)B．(0，2)C．(－1，2)D．(0，1+)【答案】A【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想2.若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线交直线于点，交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.3.已知 (x＋y＋4)< (3x＋y－2)，若x－y<λ恒成立，则λ的取值范围是()A．(－∞，10]B．(－∞，10)C．[10，＋∞)D．(10，＋∞)【答案】C【解析】已知不等式等价于不等式x＋y＋4>3x＋y－2>0，即，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z＝x－y，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z取最大值，由得，A(3，－7)，故z<3－(－7)＝10，所以λ≥10.4.若满足条件的整点恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为整数的点），则整数的值为（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图，要使整点恰有9个，即为，，，，，，，，，故整数的值为.故选C.【考点】简单的线性规划，整点的含义.5.已知，则满足且的概率为 .【答案】【解析】因为满足且的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.【考点】古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.6.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z=13．min故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．7.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划8.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划9.若，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，，令，则，为原点与点之间连线的斜率，直线与直线交于点，直线与直线交于点，显然，直线的倾斜角最大，且为锐角，此时取最大值，即，直线的倾斜角最小，且为锐角，此时，取最小值，即，因此，所以，即目标函数的取值范围是，故选A.【考点】1.线性规划；2.斜率10.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____．【答案】【解析】在同一坐标作出不等式组所表示的平面区域，与不等式组所表示的平面区域，由图可知，的面积为，与重叠的面积为，故从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率为．【考点】几何概率．11.（2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3]【答案】D【解析】∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，故z的取值范围为[﹣3，3]故选D12.已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是 .【答案】5【解析】由变量满足约束条件如图可得可行域的范围．目标函数取到最大值则目标函数过点A（2,1）即.【考点】1.线性规划问题.2.列举对比数学思想.13.若，满足约束条件，则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】（C）【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.14.原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a=0或a=1D．a＜0或a＞1【答案】B【解析】∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，故选：B．15.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】画出可行域及直线（如图所示）.平移直线，当其经过点时，【考点】简单线性规划16.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出可行域，如图所示，当点A,B分别与点重合时，向量与的夹角最大，且是锐角，，则，又，故当时，取到最大值为．【考点】1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关系式. 17.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为是()A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z＝5×1 600＋2 400×12＝36800，min故租金最少为36800元．选C.18.若实数满足，则的值域是()A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是，选B.19.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得m的取值范围是()A．(－∞，)B．(－∞，)C．(－∞，)D．(－∞，)【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)若存在满足条件的点在平面区域内，则只需点A(－m，m)在直线x－2y－2=0的下方，即－m－2m－2>020.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】作出满足条件的可行域(如图)∵a>0，b>0，∴直线ax+by=0的图象过二、四象限，∴平移直线ax+by=0知，目标函数z=ax+by在点M(4，6)处取得最大值12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6设m=，把2a+3b=6代入m=并整理得，b2－2b+2－2m=0∵方程有正数解，∴Δ=4－4(2－2m)≥0m≥∴的最小值为21.若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.【答案】.【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线交轴于点，交直线于点，当直线与直线在线段（不包括线段端点）时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形，将点的坐标代入直线的方程得，即，将点的坐标代入直线的方程得，因此实数的取值范围是.【考点】线性规划22.设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.(1)若与有且只有一个公共点，则＝;(2)记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是.【答案】,【解析】当直线与圆相切时，与有且只有一个公共点，此时解得．当或时，与有公共部分，为弓形．其面积为扇形面积减去三角形面积．当直线过圆心时，扇形面积最大，三角形面积最小，即弓形面积最大，但直线不过所以函数的取值范围是．【考点】直线与圆位置关系23.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】10【解析】作出可行域如图，令，则，作出目标直线，经过平移，当经过点时，取得最大值，联立得，代入得，∴【考点】线性规划。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
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高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
(完整版)高考线性规划必考题型(非常全)
线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标x,y即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y即简单线性规划的最优解。
x 4y3例1 已知3x 5y25，z 2x y，求z的最大值和最小值x 1x y 1例2已知x,y满足2x 4y 1 ,求z= x 5y的最大值和最小值x 2y 6二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。
它们的约束条件是个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段）区域内的各点的点坐标x,y即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x,y即最优解。
2 2例3 已知x, y满足，x y 4，求3x 2y的最大值和最小值例4 求函数y1,5的最大值和最小值。
三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题， 它也可以用线性规划的思想来进行解决。
元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段） ，区域内的各点的点坐标 x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标 x, y 即最优解。
x y 12 2x y 1 0，求x y 4x 4y 8的最小值。
y 1y 0 y 1实数x,y 满足不等式组 x y 0 ，求 的最小值x 12x y 2四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段） ，区域内的各点的点坐标 x, y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标x, y 即最优解。
2024高考全国卷及各省数学线性规划真题整理-免费(附答案)
2024高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（17全国卷I ，文数7）设x ，y 满意约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，故选D.2.（17全国卷I,理数14题）设x ，y 满意约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示。
由32z x y =-变形得322z y x =-。
要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。
由右图，易知 当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。
联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。
故32z x y =-的最小值是-5.3.（17全国卷Ⅱ，文数7、理数5）设x 、y 满意约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .则2z x y =+ 的最小值是（ ）A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图所示，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.（17全国卷Ⅲ，文数5）设x ，y 满意约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =（即x 轴）的交点()0,3A 处取得最小值， 此时min 033z =-=-。
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高中必修5线性规划简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数：P =2x + y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.2. 可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域•3. 整点：坐标为整数的点叫做整点.4. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题•只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.5. 整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3. 平移直线y=—k x +P时，直线必须经过可行域.4. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：2* （2015•马軼山一模）设变壘X, y满足约束条件I < F则z=x-3y的罠小值（扎-2 S. ~4C+ -5 D. -8rj-v>03. （2015 -Lil东）已知筈，y满足约朿条件\ x-y<2，若沪立+y的最犬値为4,则沪］［炖A B3 Ei 2 C* ~ 2 D«—314x-H5j>S4* 东）若变重壯y炳足釣束条件3 l<x<J ,则沪睑+刘的最"卜信为（）乱年 C. 6 D.A. 42xp 三 IDx-2y<l4f 则克苧的最大值育()百x+j-4<01 H!lz-^2x+y 的最大值是（ ）绘1内・一1B ・一2C+ -5D ・1(C, 12D . ia。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域如下图所示由得：当变化时，它表示一组平行直线，在轴上的截距是，截距越小越小，由图可知，当直线经过点截距最小，从而最小，所以故选B.【考点】线性规划.2.若变量满足约束条件则的最小值为________【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点A时截距最大.即.【考点】线性规划.3.由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，易求得，，，，由几何概型公式知，该点落在内的概率为，故选D.【考点】不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题.4.若变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y－4的最大值为()A．－4B．－1C．1D．5【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,1)(该点是直线x＋y－3＝0与y＝1的交点)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时z＝2x＋y－4取得最大值，最大值为z＝2×2＋1－4＝1，因此选C.max5.已知α，β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，求动点(a，b)所在的区域面积S.【答案】【解析】解：由函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)可得，f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，因此得到可行域即，画出可行域如图．∴动点(a，b)所在的区域面积S＝.6.若不等式组表示的平面区域是一个钝角三角形，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如图由图可知：故选【考点】线性规划.7.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.8. (2014·孝感模拟)已知实数x,y满足若z=x2+y2,则z的最大值为________.【答案】13【解析】画出可行域,z=x2+y2=()2,表示可行域内的点(x,y)和原点(0,0)距离的平方,可知点=13.B(2,3)是最优解,zmax9.已知，满足约束条件，且的最小值为6，则常数．【答案】－3【解析】画出可行域及直线，如图所示．平移直线，当其经过直线的交点时，，所以，.【考点】简单线性规划的应用.10.设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．11.若，满足约束条件，则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】（C）【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.12.原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a=0或a=1D．a＜0或a＞1【答案】B【解析】∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，故选：B．13.点在不等式组表示的平面区域内，到原点的距离的最大值为，则的值为．【答案】3.【解析】由题意，不等式组表示的平面区域如下图：当点在点时，到原点的距离最大为5，则，解得.【考点】1.线性规划求参数范围.14.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出可行域，如图所示，当点A,B分别与点重合时，向量与的夹角最大，且是锐角，，则，又，故当时，取到最大值为．【考点】1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关系式. 15.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得m的取值范围是()A．(－∞，)B．(－∞，)C．(－∞，)D．(－∞，)【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)若存在满足条件的点在平面区域内，则只需点A(－m，m)在直线x－2y－2=0的下方，即－m－2m－2>016.若、满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，当直线经过可行域上的点，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，因此的取值范围是，故选D.【考点】线性规划17.已知实数满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】不等式组所表示的区域如下图：，其中即为的斜率，由图像计算得，观察可知，令，则，故是的增函数，因此，没有最大值，所以的取值范围是.【考点】1、线性规划；2、函数的单调性与值域；3、数形结合的思想.18.实数、满足则=的取值范围是( )A．[－1,0]B．－∞,0]C．[－1,+∞D．[－1,1【答案】D【解析】作出满足不等式组约束条件的平面区域，如下图所示：∵表示区域内点与点连线的斜率，又∵当，时，，直线与平行时，，∴的取值范围为，故选D．【考点】1、简单的线性规划；2、直线斜率．19.已知变量、满足条件，则的最大值是______.【答案】.【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设，联立，解得，即点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.【考点】线性规划20.设满足约束条件，则的最大值为_____________.【答案】【解析】画出对应的平面区域，直线，如图所示.令则平移直线，当直线经过点时，；当直线经过点时，，所以的最大值为.【考点】简单线性规划的应用21.设实数x，y满足则点(x，y)在圆面x2＋y2≤内部的概率为() A．B．C．D．【答案】B＝2.x2＋y2≤恰好【解析】不等式组表示的可行域是边长为的正方形，所以S正在正方形的内部，且圆的面积为πr2＝π，所以点(x，y)在圆面x2＋y2≤内部的概率为＝.22.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，则的取值范围是________．【答案】[e,7]【解析】由题意知作出可行域(如图所示)．由得a＝，b＝ c.＝7.此时max由得a＝，b＝.＝＝e.所以∈[e,7]．此时min23.设实数x，y满足约束条件，若目标函数（）的最大值为8，则的最小值为 .【答案】4【解析】约束条件所表示的区域如图所示：目标函数在处取得最大值，所以，即，所以，当且仅当时取等号.【考点】线性规划.24.设变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】6【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点时；的值最大，即.【考点】线性规划.25.已知点在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】如下图所示，不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程，令，解得，得点的坐标为，作直线，其中可视为直线在轴上的截距，当直线经过区域中的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.【考点】线性规划26.设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点，则目标函数的最大值为．【答案】【解析】约束条件为画出可行域，的最大值在点（2,1）处取得最大值为3..【考点】双曲线和抛物线的基础知识、线性规划.27.已知实数满足，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为的直角三角形，则的值是 ( )A．B．－2C．2D．【答案】A【解析】实数满足所表示的区域如上图，当直线与直线垂直时，此时，直线方程变为，与轴交点坐标为，与直线交点的纵坐标为，而三角形面积，解得，当直线与轴或与直线时，求出的值不符合.【考点】二元一次不等式所表示的区域.28.已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为________．【答案】【解析】作出可行域及圆如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别是，得，，得得弧长 (为圆半径)．【考点】1.线性规划；2.两角和的正切公式；3.弧长公式.29.不等式组表示的平面区域的面积是 .【答案】【解析】不等式组表示的可行域如图所示，故面积为.【考点】考查线性规划.30.设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（）A．B．-6C．D．【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域可知，平面区域为三角形,当目标函数表示的直线经过点(3,4)时，取得最小值，所以的最小值为,故选B.【考点】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.31.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】做出线性约束条件下的可行域，可行域为由直线围成的三角形，三角形的三个顶点分别为，结合可行域可知的最大值为2，最小值为-1，所以范围是【考点】线性规划问题点评：线性规划问题求最值的题目取得最值的位置一般位于可行域的顶点或边界值处32.设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则ab的最大值（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为目标函数，故，，由目标函数的最小值为2，则，即，则，故的最大值为.选C.【考点】简单线性规划点评：本题考查的知识点是简单线性规划，基本不等式，是不等式的综合应用，难度中档.33.若变量满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可解：画出可行域（如下图），L：z=2x-y,由图可知，当直线l经过点A（2，1）时， z最大，且最大值为z=2×1-1=3．故答max【考点】线性规划点评：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题34. x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是_________.【答案】（－4，2）【解析】解：可行域为△ABC，如图，=-1，a＜2．当a＜0时，当a=0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-＞kAC=2，a＞-4．综合得-4＜a＜2，故答案为（－4，2）k=-＜kAB【考点】线性规划点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定35.若实数，满足条件则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据约束条件画出可行域，可行域为一个等腰梯形，画出目标函数，通过平移可知在点处取到最大值，最大值为9.【考点】本小题主要考查利用线性规划知识求最值.点评：解决线性规划问题的前提是正确画出可行域，其次要注意适当转化.36.设变量满足约束条件，线性目标函数的最大值为，则实数的取值范围是。
高中数学线性规划考点解析及针对练习
简单的线性规划考点精要（1）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程度框图。
（2）一元一次不等式组与简单线性的规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
解一元一次不等式、一元二次不等式是解不等式最重要的基础知识和基本技能；简单的线性规划及其应用也是必考的知识点，这两部分几乎年年考，是必备的基础知识和基本技能。
例题精讲:例1 已知x，y满足280440x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，求z=3x+y的最大值与最小值__________________.例2 不等式组(5)()003x y x yx-++≥⎧⎨≤≤⎩，所表示的平面区域的面积是_________例3 设变量x，y满足约束条件23033010x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_____________例4 线性规划中的几何问题1、如果点P 在平面区域2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 。
2、以原点为圆心的圆完全落在区域36020x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩内，则圆的面积的最大值为是 。
3、已知,x y 满足143034230x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩（1）求y z x=的取值范围。
（2）求22z x y =+的最大、最小值。
针对训练1．设变量x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z =5x+y 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．设变量x ， y 满足3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设y=kx ，则k 的取值范围是（ ）A ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 3．如果实数x ，y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么z=2xy 的最大值为（ ）A ．2B ．1C 2D 3 4．在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是（ ）A．B ．4 C．D ．25．若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥76．若x ，y 满足约束条件03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则z=2xy 的最大值为__________7．已知点P (x ，y )的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于___，最大值等于___8．已知1102(1)x x y y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥-⎩，则x 2+y 2的最小值是_______________答案:例1 14，1 例2．24 例3．{a |a >12} 针对训练1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．9 7．5.。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知不等式组表示的平面区域的面积等于，则的值为（）﹙A﹚（B）﹙C﹚（D）【答案】D【解析】由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积，解得，故选D.【考点】1.线性规划求参数的取值.2.曲线f（x）=（其中e为自然对数的底数）在点（0,1）处的切线与直线y=－x+3和x轴所围成的区域为D（包含边界），点P（x，y）为区域D内的动点，则z=x-3y的最大值为（）A．3B．4C．-1D．2【答案】A【解析】，切线的斜率k==1，切线方程为y=x+1，区域D如图所示，目标函数z=x-3y过点（3,0）时，z的值最大，最大值为3-3×0=3，故选A.【考点】线性规划.3.已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】作出不等式组所表示的区域，，由图可知，在点取得最小值，在点取得最大值，故的最大值与最小值的差为．【考点】线性规划．4.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1kg、B原料2kg；生产乙产品1桶需耗A原料2kg，B原料1kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？【答案】2800元【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z＝300x＋400y，且画可行域如图所示，目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－x＋，这是随z变化的一簇平行直线，解方程组∴即A(4，4)，∴z＝1200＋1600＝2800(元)．max故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2800元．5.若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为________．【答案】1【解析】可行域如下：所以，若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则3－m≥2m，即m≤1.6.已知实数x，y满足不等式组则2x－y＋3的最小值是()A．3B．4C．6D．9【解析】已知不等式组表示的平面区域如图所示．设z＝2x－y，则z为直线2x－y－z＝0在y轴的截距的相反数，结合图形可知在点A处z最小，A(1，1)，故z的最小值为1，所以2x－y＋3的最小值是4.7.不等式组所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则z＝x－2y的最大值是()．A．－5B．－2C．－1D．1【答案】C【解析】如图，由题意知，直线x＋y－4＝0与直线y＝kx垂直，所以k＝1，满足平面区域的面积为1，所以当直线x－2y＝0平行移动经过点A(1,1)时，z达到最大值－1.8.已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为()．A．－2B．5C．6D．7【答案】A【解析】由z＝x－y，得y＝x－z.作出不等式对应的平面区域BCD，平移直线y＝x－z，由平移可知，当直线y＝x－z经过点C时，直线的截距最大，此时z最小．由解得即C(3,5)，代入z＝x－y得最小值为z＝3－5＝－2.9.设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是【答案】[8,10]【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故8≤a≤10.10.曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为．【答案】4【解析】，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即：，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：令，将其变形为，当变化时，它表示一组斜率为，在轴上的截距为的平行直线，并且该截距越在，就越大，由图可知，当直线经过时，截距最大，所以＝，故答案为：4.【考点】1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.11.已知实数，满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.【考点】线性规划求最值12.若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数的取值范围是．【答案】【解析】画出表示的可行域，表示过的一组直线，如果能构成三角形，如图，那直线不与已知直线平行，夹在如图粗线直接，由逆时针旋转到之间的直线，能构成三角形，,.【考点】线性规划.13.若变量x,y满足约束条件则的最大值为A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由画出可行域及直线.平移直线，当其经过点时，取到最大值4，选A.【考点】简单线性规划的应用14.若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=______.【答案】8【解析】画出可行域如下图：可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故解，得，代入得故答案为8．【考点】简单线性规划15.雾霾大气严重影响人们生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元.（1）若投资人用万元投资甲项目，万元投资乙项目，试写出、所满足的条件，并在直角坐标系内做出表示、范围的图形；（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目投资多少万元，才能是可能的盈利最大？【答案】（1）如图；（2）用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目.【解析】（1）根据已知条件列出不等式组，再在平面直角坐标系中画出对应的可行域，注意边界上的点也满足条件；（2）主要是利用可行域求解线性目标函数的最大值即得投资公司获得的最大利润，图解法解决含有实际背景的线性规划问题的基本步骤是：①列出约束条件，确定目标函数；②画出不等式（组）表示的平面区域；③作平行直线系使之与可行域有交点，求得最优解；④写出目标函数的最值，并下结论.试题解析：（1）由题意，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界），根据（1）的规划和题设条件，可知目标函数为，作直线，并作平行于直线与可行域相交，当平行直线经过直线与的交点时，其截距最大，解方程组，解得，即，此时（万元），当，时，取得最大值.即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，使可能的利润最大.【考点】用线性规划解决实际问题，投资利润最大问题.16.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．2D．【答案】C．【解析】由题意可得，在点B处取得最小值，所以z=2.【考点】线性规划.17.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则a+b的最小值为_____________．【答案】4【解析】满足约束条件的平面区域如图，由，得，由，知，所以，当直线经过点时，取得最大值，这时，即，所以≥，当且仅当时，上式等号成立.所以的最小值为【考点】简单线性规划的应用18.已知实数、满足，则函数的取值范围是 .【答案】(2,5)【解析】作出不等式组表示的区域如图所示，设P（x,y），显然.从图可知，当点P在点C，D时，取最大值5；当点P在点A时，取最小值2.但要区域中应去掉A、C、D三点，所以其范围为（2，5）.【考点】线性规划.19.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素；一个单位的晚餐含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含个单位的碳水化合物，个单位的蛋白质和个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是元和元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【答案】应当为该儿童预订个单位的午餐和个单位的晚餐，就可满足要求．【解析】先根据条件列举出、所满足的约束条件，并确定目标函数，然后作出可行域，利用目标函数所代表的直线进行平移，根据的几何意义确定最优解，从而解决实际问题.试题解析：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为个单位和个单位，所花的费用为元，则依题意得：，且、满足：，即，画出可行域如图所示：让目标函数表示的直线在可行域上平移，由此可知在处取得最小值．因此，应当为该儿童预订个单位的午餐和个单位的晚餐，就可满足要求．【考点】线性规划20.已知x，y满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由满足的条件作图如下，又由，可看成两点间的斜率，由图可知过点时，有最大值;过点时，有最小值，则范围为．【考点】简单的线性规划21.设z＝2x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为_________．【答案】【解析】根据题意画出可行域，其中，经过平移图中虚线方程可知，当目标函数过点时，所以，此时，，当目标函数过点时，.【考点】线性规划.22.设，其中满足约束条件，若的最小值，则k的值为___ .【答案】1.【解析】由题意若的最小值为1，则直线通过直线和直线的交点，则有，解得.【考点】线性规划.23.若实数、，满足，则的取值范围是【答案】【解析】，令，如图画出可行域，的取值范围为可行域上任一点，与连线的斜率的取值范围，，故．【考点】线性规划．24.已设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( ) A．11B．10C．9D．【答案】B【解析】不等式表示的平面区域如图所示为三角形及其内部，根据中的几何意义，由图可知，当直线经过点时，最大，解方程得，所以，选B.【考点】简单的线性规划.25.已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为。
高三数学线性规划试题答案及解析
高三数学线性规划试题答案及解析1.已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5B．4C．D．2【答案】B【解析】画出可行域（如图所示），由于，所以，经过直线与直线的交点时，取得最小值，即，代人得，，所以，时，，选B.【考点】简单线性规划的应用，二次函数的图象和性质.2.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意；若，则不等式组表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直线在点处取得最小值，所以，解得.故选D.【考点】不等式组表示的平面区域，求目标函数的最小值，容易题.3.若变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y－4的最大值为()A．－4B．－1C．1D．5【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2,1)(该点是直线x＋y－3＝0与y＝1的交点)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z＝2x＋y－4取得最大值，最大值为z＝2×2＋1－4＝1，因此选C.max4.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．5.变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A．[－，6]B．[－，－1]C．[－1,6]D．[－6，]【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．由，解得A(2,0)；由，解得B(，3)．∴zmax ＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．6.已知x，y，满足，x≥1，则的最大值为．【答案】【解析】因为，又因为构成一个三角形ABC及其内部的可行域,其中而表示可行域内的点到定点连线的斜率，其范围为，所以当时，取最大值为【考点】线性规划，函数最值7.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，，画出可行域，如图所示.表示可行域内的点与定点连线的斜率，观察图形可知的斜率最大为，故选.【考点】简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.8.给定区域：,令点集在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______个不同的三角形.【答案】25【解析】把给定的区域:画成线性区域如图：，则满足条件的点在直线上有5个，在直线上有2个，能组成不同三角形的个数为.【考点】线性规划、组合问题.9.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定. 若为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为（）A．3B．4C．D．【答案】B【解析】画出区域D如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又,所以当目标线过点时，,故选B.【考点】线性规划10.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】(9,49)【解析】是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立.所以可得函数为奇函数.由可得，..满足m,n如图所示.令.所以的取值范围表示以原点O为圆心，半径平方的范围，即过点A,B两点分别为最小值，最大值，即9和49.【考点】1.线性规划的问题.2.函数的单调性.3.函数的奇偶性.4.恒成立的问题.11.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2y－3x的最大值为( ) A．－3B．2C．4D．5【答案】C【解析】满足约束条件的可行域如图所示．因为函数z＝2y－3x，所以zA ＝－3，zB＝2，zC＝4，即目标函数z＝2y－3x的最大值为4，故选C. [【考点】线性规划.12.如图,已知可行域为及其内部,若目标函数当且仅当在点处取得最大值,则的取值范围是______.【答案】【解析】根据线性规划的知识,可知目标函数的最优解都是在可行域的端点,所以根据题意,故填【考点】线性规划13.设实数x、y满足，则的最大值是_____________.【答案】9【解析】由可行域知,当时,【考点】线性规划14.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l ：y ＝2x 向左平移时，(2x －y)的值在逐渐变小，当l 通过点A(－2,2)时，(2x －y)min ＝－6.15. 已知x,y 满足条件则的取值范围是( )A ．[,9]B ．(-∞,)∪(9,+∞)C ．(0,9)D ．[-9,-]【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图),其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).表示区域内的点与点(-4,-7)连线的斜率.由图可知,连线与直线BD 重合时,倾斜角最小且为锐角;连线与直线CD 重合时,倾斜角最大且为锐角.k BD =,k CD =9,所以的取值范围为[,9].16. 已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a≤b≤4c －a ，cln b≥a ＋cln c ，则的取值范围是________． 【答案】[e,7] 【解析】由题意知作出可行域(如图所示)．由得a ＝，b ＝ c. 此时max＝7. 由得a ＝，b ＝.此时＝＝e.所以∈[e,7]．min17.已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最值转化为轴上的截距，当直线经过点B时，最小，由得：，代入直线得，故选Ａ．【考点】简单线性规划．18.已知实数、满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上截距的倍，当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，故的取值范围是，故选D.【考点】简单的线性规划问题19.设变量满足约束条件,则的最大值为( )A．6B．3C．D．1【答案】A【解析】这是线性规划的应用.目标函数是线性约束条件所确定的三角形区域内一点与原点的连线的斜率.先画出三条直线所围成的三角形区域，可知，直线与直线的交点坐标(1,6)代入计算得.【考点】线性规划的应用.20.已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为________．【答案】【解析】作出可行域及圆如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别是，得，，得得弧长 (为圆半径)．【考点】1.线性规划；2.两角和的正切公式；3.弧长公式.21.设变量x,y满足约束条件其中k(I)当k=1时，的最大值为______；(II)若的最大值为1，则实数k的取值范围是_____.【答案】1，．【解析】目标函数的可行域如图所示：不妨设（由可行域可知，），即，它表示一条开口向上的抛物线，且a的值越大，抛物线的开口就越小． (I)当时，由图象可知当抛物线图象经过点时，有最大值1； (II)表示一条经过点且斜率为k的直线及直线下方的区域，结合(I)可知，当抛物线经过点A时，有最大值1．从而可知，要使有最大值1，抛物线在变化过程中必先经过可行域内的点A，考虑临界状态，即直线与抛物线相切于点，此时，切线斜率，从而有k的取值范围是．【考点】线性规划．22.设满足约束条件，则的最大值为____________.【答案】6【解析】如图所示，在线性规划区域内，斜率为的直线经过该区域并取最大值时，该直线应过点，因此的最大值为6.【考点】线性规划的目标函数最值23.已知实数x，y满足且不等式axy恒成立，则实数a的最小值是．【答案】.【解析】由画出如图所示平面区域,因为区域中,恒成立得恒成立, 令则，函数在上是减函数，在上是增函数所以函数最大值为要使恒成立只要，所以的最小值是.【考点】线性规划,不等式及函数极值.24.已知x，y满足，则的最小值是（）A．0B．C．D．2【答案】B【解析】因为，x，y满足，所以，，画出可行域，表示A(-1,-1)到可行域内的点距离的平方，所以，其最小值为A到直线=0的距离的平方，=。
高三数学线性规划知识点
高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。
在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。
通常用Z表示目标函数的值。
2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。
3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。
3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。
整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。
4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。
它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。
三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。
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高中必修5线性规划
简单的线性规划问题
一、知识梳理
1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．
3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解. 积储知识：。