第二节 二重积分的计算法
第十章第二节_二重积分的计算法
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分的计算法
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
高等数学第十章第二节二重积分的计算法课件.ppt
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
最新-第二节二重积分的计算方法-PPT文档资料
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
第二节_二重积分的计算法
作业 P153 1 (4); 2 (3); 4; 6 (2), (3); 11; 12 (1), (3); 13 (4); 18
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4
∫∫ (x
D
2
+ y ) d x d y = ∫π dθ
2
3 6
π
∫
4 sinθ 2 r ⋅rdr 2 sinθ
2
= 15( − 3) 2
π
o
x
内容小结
二重积分化为累次积分的方法 X – 型区域 直角坐标系情形 Y – 型区域 极坐标系情形: 积分区域 极坐标系情形
例7. 计算
其中D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
−a 2
= π (1 − e
)
∫
+∞ − x 2 e 0
dx =
π
2
例8. 求球体
x2 + y 2 = 2 ax 被圆柱面
z
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
o
2a
y
x
( x 2 + y 2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 + y 2 = 2 y, 例9. 计算∫∫ D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、曲顶柱体体积的计算
y = ϕ2 ( x)
设曲顶柱的底为
z
y
ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x) D = ( x, y) a≤ x≤b
曲顶柱体体积为
D
o
a x0 b x y = ϕ1 (x) (x
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
第二节二重积分的计算方法
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算方法教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点：将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。
本节介绍一种二重积分的计算方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。
一、利用直角坐标系计算二重积分我们首先来考虑直角坐标系下面积元素σd 的表达形式。
在二重积分的定义中对区域D 的分割是任意的，极限∑=→∆ni i i i f 10),(lim σηξλ都存在，那么对于区域进行特殊分割该极限也应该存在。
因此，在直角坐标系下，我们用平行于x 轴和y 轴的两族直线把区域D 分割成许多小区域（图10—4）。
除靠区域D 边界曲线的一些小区域外，其余的都是小矩形区域。
当这些小区域的直径的最大者λ→0时，这些靠区域D 边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。
因此，第i 个小矩形区域i σ∆的面积k j i y x ∆⋅∆=∆σ。
因此，直角坐标系下面积元素dxdy d =σ。
于是二重积分的直角坐标形式为⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ。
由二重积分的几何意义知道，如果0),(≥y x f ，⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于一个以D 为底、以曲面),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积。
下面我们用定积分的微元法来推导二重积分的计算公式。
若积分区域D 可用不等式组表示为⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x b x a ϕϕ 如图10—5，选x 为积分变量，x ∈[a ，b]，任取小区间[x ，dx x +]⊂ [a ，b]。
在x 轴上分别过点x 、dx x +作垂直于x 轴的平面，设)(x A 表示过点x 垂直x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以)(x A 为底、dx 为高的柱体的体积，即体积元素 dx x A dV )(=该截面是一个以区间)](),([21x x ϕϕ为底边、以曲线),(y x f z =（x 固定）为曲边的曲边梯形，因此⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ所以⎰⎰⎰=ba Ddx x A d y x f )(),(σ=dx dy y x f x x ba ]),([)()(21⎰⎰ϕϕ，即dx dy y x f d y x f x x b a D]),([),()()(21⎰⎰⎰⎰=ϕϕσ。
9-2-二重积分的计算法
1
x
4
x
xyd
xyd
xyd
0 dx
xydy
x
1
dx xydy x2
D
D1
D2
1 y2 x
4 y2 x
0
x
2
dx
x
1
x
2
dx x2
0
4 1
x
x 2
(
x
2)2 2
dx
5
5 8
由此可见，这里用公式(1)来计算比较麻烦.
从例 2，例 3 可见，积分次序选择不同，二重积分计算
域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数.若先对 y 积
分，把 x暂定为常数，y 的变化范围由 1 到 2，然后再对 x从
0 到 1 积分，于是得
xy2dxdy
D
1
dx
2 xy2dy
01
1
x
0
y3 3
2
1
dx y
7 3
1
xdx
7
0
6
方法二 如图99，若先对 x积 2
分，后对 y积分，则得
从而有 D
f (x, y)d
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
(1)
或写成
f (x, y)d
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
(1')
这个公式表明，二重积分可以化为先对 y，后对 x 的
二次积分来计算.先对 y 积分时，应把 f (x, y)中的 x 看作常
表示（图9-5），其中1( y),2 ( y) 在区间c, d 上连续，这样的
13 第二节 二重积分的计算
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数 考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块 上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上 的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy
第二节二重积分的计算法
第二节二重积分的计算法第二节学习的是二重积分的计算法。
二重积分的计算法可以通过分别采用直角坐标系和极坐标系进行求解。
本文将详细介绍这两种方法的具体步骤。
在直角坐标系中，假设被积函数为f(x,y)，要计算其在D上的二重积分，其中D是一个有界区域，可以采用以下步骤进行求解：1.将区域D进行划分，然后选择该划分的一个子区域Di，其面积为ΔA。
2. 在子区域Di内任选一个点(xi, yi)，将该点作为积分的取值点。
3. 将函数值f(xi, yi)与子区域的面积ΔA相乘，得到局部的积分量f(xi, yi)ΔA。
4.将所有子区域的局部积分量相加，得到近似的二重积分。
5.使用极限的思想，当划分的子区域趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
6.对于具体的函数形式，可以通过积分的性质进行变换，求解更为简便。
在计算二重积分时，需要注意以下几点：1.对于非均匀分布的划分，可以通过增加划分数量来提高近似的准确度。
2.划分的子区域大小越小，计算结果越准确，但也会增加计算的复杂度。
3.当函数比较复杂时，可以选择适当的数值计算方法来求解。
接下来，我们将介绍使用极坐标系进行二重积分的计算方法。
极坐标系中的二重积分采用极坐标系下的面积元素dA=rdrdθ。
具体步骤如下：1.将被积函数f(x,y)转换为极坐标下的形式f(r,θ)。
2.将被积区域D在极坐标系下的范围确定，也即确定r的取值范围和θ的取值范围。
3. 计算面积元素dA，即dA=rdrdθ。
4.将被积函数f(r,θ)与面积元素dA相乘，得到局部的积分量f(r,θ)dA。
5.将所有局部积分量相加，得到近似的二重积分。
6.使用极限的思想，当面积元素dA趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
极坐标系的二重积分计算方法可以简化计算过程，特别适用于对称性较强的函数和区域。
在实际应用中，二重积分的计算方法可以进一步推广到多重积分的计算。
多重积分的计算涉及到更高维度的坐标系和更复杂的积分区域，但基本的思想和步骤与二重积分类似。
第二节二重积分的计算方法
r4 4
)
|ba
d
(b4 a4 )
2
例7 计算 ex2 y2 dxdy
D
D : x2 y2 a2
ex2y2 dxdy
2
d
a er2 rdr
0
0
D
2 0
(
er2 2
) |0a
d
(1 ea2 )
此题若采用直角坐标系方法无法积分
例8.化为极坐标形式: 2R
2R
2Ry y2
0 dy0
d
D
f (x, y)dxdy
d
[cΒιβλιοθήκη x2 ( y) x1 ( y)
f (x, y)dx]dy
x x1(y) D c
f (x, y)dxdy
d
dy
x2 ( y) f (x, y)dx
D
c
x1 ( y)
x x2(y)
先对x 后对y 的二次积分
注:(1).如果D 既是X 型域又是Y 型域,则
0
2
5.
arctan y d
4 d
2
rdr
4 d
2 rdr 3 2 .
D
x
0
1
0
1
64
1 x2 y2 4, y x, y 0围成的第一象限的区域
6.
sin x2 y2 d
2
2
d sin rdr 4.
D
x2 y2
0
1
1 x2 y2 4
7. D
f (x, y)dx
2 R sin
0
2 d
f (r cos , r sin )rdr
0
0
注意:下列情形适合用极坐标计算: (1).积分区域适于极坐标表示,例如:圆,圆环; (2).被积函数形如 f (x2 y2 ); (3).用直角坐标系计算不出时.
第二二重积分的计算法-资料
例1 化二重积分 f (x, y)d为二次积分
D
(写出两种积分次).序
(1)D是由y轴、y 1及y x围成的区域;
(2)D是由x轴、圆x2 y2 2x 0在第一象限及直线
x y 2围成的区域.
解(1： )f(x,y)d
D 11
dx f (x, y)dy
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
2020/2/10
例 3计 x 算 d y,其 D 是 中由 y 1 、 直 x2 及 线 yx
D
所围成 . 的闭区域
解:解法(1)积分区域如图
次序.
1
4x2
2
4x2
(1)dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1x2
1
0
2x
(2)dx f (x, y)dy 11 x
2020/2/10
解:(1)D1{x(,y)|0x1, 1x2y 4x2} D2{x(,y)|1x2， 0y 4x2} 由此可得 D的区 图 ,域 如 形下图
2020/2/10
公(式 1中 ) 积分 X域 型为 域，特D 点 内是 部穿 且 行y于 轴的直 D的 线边 与界相交.不多于两
2020/2/10
公(式 2)中积分 Y域 型为 域，特 穿D 点 过 内是 部且 平行 x轴 于的直 D的 线边 与界相交.不多于
2020/2/10
若积分区域X既型 非域，也Y非型域，可用平 于x轴(或平行y于 轴)的直线将区 D分域成几个小区域， 每个小区域X都型 是域或 Y型域，区D上 域的二重积 分就是这些小区二 域重 上积 的分的 . 和
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算法 一．本课的基本要求掌握在直角坐标系、极坐标系中二重积分的计算． 二．本课的重点、难点二重积分的计算为重点、积分限的确定为难点． 三．教学内容由⎰⎰∑→→∆=Dni iif d y x f 10),(),(lim σηξσλ；引入本次课题． 一． 直角坐标系中的累次积分法假定0),(≥y x f ，按照二重积分的几何意义⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D 为底、以曲面),(y x f Z =为顶的曲顶柱体的体积．在上一章第一节我们知道区域D 的不等式组表示法通常有两种：1．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x bx a ϕϕ 或2．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21y x y d y c ψψ 图1为方便，不妨以表示法1为例讨论．设⎰⎰Dd y x f σ),(所表示图形为图1．思路：⑴ 曲顶柱体的体积V 等于二重积分的值A ．⑵ 能否找到另一种计算曲顶柱体体积V 的方法；如能找到，设其表达式为B ． ⑶ 由传递关系可得到二重积分的计算方法，即A=B ．在定积分的应用中我们已讨论过“平行截面面积为已知的立体的体积” 的求法．下面我们就利用其求法之一的切片法来计算二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(所表示的柱体的体积．在区间[a,b]上任意取定一点0x ，作平行于yoz 面的平面0x x =，它与曲顶柱体相截所得截面是一个以区间[])(),(0201x x ϕϕ为底、曲线),(0y x f Z =为曲边的曲边梯形（图1中阴影部分）．所以，这载面的面积为：⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ．由0x 的任意性，过区间[a,b]上任一点x 且平等yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为：⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ应用平行截面面积为已知的立体体积的求法，得曲顶柱体体积为：⎰⎰⎰==bax x badx dy y x f dx x A V )()(21]),([)(ϕϕ即⎰⎰⎰⎰=bax x Ddx dy y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑴同理由表示法2可得：⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddy dx y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑵由此看到，二重积分的计算可化为两次定积分来计算．把二重积分化为两次定积分的方法称为累次积分法．在上述讨论中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上述公式的成立并不受此条件限制． 以后我们称图1所示的积分区域为X ─型区域，后者为Y ─型区域。
第二节 二重积分的计算
y
1
y=x
y= x
x , y = x所围 .
解 (按先 y后 x积分次序计算 )
I = ∫ dx ∫
0 1
1
x
x
sin y dy y
o
1
x
积不出的积分，无法计算。 积不出的积分，无法计算。
(改变积分次序 , 按先 x后 y积分次序计算 )
sin y 1 sin y I = ∫ dy ∫ 2 dx = ( y − y 2 )dy 0 y ∫0 y y
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0 ≤ y ≤ 2x − x2 D1 : , 0≤ x ≤1
0 ≤ y ≤ 2 − x D2 : 1≤ x ≤ 2
y = 2− x
视为 型区域 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1
1− 1− y2 ≤ x ≤ 2 − y D: , 0≤ y ≤1
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
根据二重积分的几何意义, 根据二重积分的几何意义,当
D
时,
为底， ∫∫ f ( x, y )dσ 等于以 D 为底，以曲面 z = f ( x, y ) 为顶的 曲顶柱体的体积． 曲顶柱体的体积．
z 应用计算“ 应用计算“平行截 面面积为已知的立 y = ϕ2 (x) 体求体积”的方法, 体求体积”的方法
高数PPT课件第二节 二重积分的计算法
2
3)
27
二重积分的计算法
例 计算 I | x2 y2 4 | d D : x2 y2 16
D
分析 因被积函数 x2 y2 4
y
的 x2 y2 4 在积分域内变号. 故 D1 : x2 y2 4
D2
D1
o 24 x
D2 : 4 x2 y2 16
I (4 x2 y2 )d ( x2 y2 4)d
其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
y y 2(x) D
X－型
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
Oa
b x Oa
bx
3
二重积分的计算法
用二重积分的几何意义说明其计算法
f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)的值等于以D为底,
以D曲面 z f ( x, y)为顶的曲顶柱体的体积.
是区间 [1( x0 ),为2底( x,0 )]
z
z f (x, y)
曲线 z f ( x0 , y) 为曲边
的曲边梯形.
y
A( x0 )
2( x0 ) 1( x0 )
f
(
x0
,
y)dy
x [a,b] 有:
y 2(x)
A( x0 )
D
y 1 ( x)
O
a
x0 b x
A( x) 2( x) f ( x, y)dy 1 ( x)
其中函数1( y)、2( y)在区间 [c,d]上连续.
y
d
y
d
Y－型
D x 2( y)
x 1( y) D x 2( y)
x 1( y)
第二节 二重积分的计算
的 f (x, y)都成立, 只须D是x—型区域即可.
注2. 习惯上常将右端的二次积分记作
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
即
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x)
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx
111y2122围成的平面区域及是由直线其中计算????????yx?xyddxdyxeidyx利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的不过重积分的情况比较复杂在运用对称性是要兼顾被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面不可误用
第八章 重积分 第二节 二重积分的计算
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的 上 下 限 ：
1
x
(x
y)d
0
dx ( x x2
y)dy
D
x
1 xy 1 y2 dx
0
2 x2
1 3 x 2 x 3 1 x4 dx
02
2
1
3 x3 1 x4 1 x5 3
6
4
10 0 20
方法2： 先对 x 积分.
y 2(x)
D
y 1(x)
a x0 b
x
从而, V
b
A( x)dx
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx,
a
a 1 ( x)
故
f ( x, y)d
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∀x 0 ∈ [ a , b ]
作平面 x = x0
6
机动 目录 上页 下页 返回
= ϕ (x) yy= ϕ22(x)
y y
ϕ2( x0 )
z
z
zz= ff((x, y) = x, y)
A((x) ) Ax0 0
o o
a a
ϕ1( x0 )
x00 x
xx = ϕ1( (x b b yy = ϕ1x) )
分析］ ［分析］ 当被积函数中有绝对值时， 当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。 积分域中不同范围脱去绝对值符号。
2
∫∫ xydσ = ∫−1 dy ∫y D
2
y+2
∫∫ xydσ = ∫∫ D D
+ ∫∫ = ∫ dx ∫
D2
0
1
x
− x
xydy + ∫ dx ∫
1
4
x
x−2
xydy
=L
1
计算较繁
15
机动 目录 上页 下页 返回
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
机动 目录 上页 下页 返回
− 1 ≤ y ≤ 1 ［法2］ DY : ］ − 1 ≤ x ≤ y
－1 D
y
1 y y=x o －1 1
x
原式 = ∫ ydy ∫
−1
1
y
−1
1 + x 2 − y 2 dx
的积分较繁，故应用法1 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！ 注意两种积分次序的计算效果！
x=2
1
o
2 2 2
1
2
x
x2 2 ∫∫ xydσ = ∫1 dy ∫y xydx = ∫1 [ y ⋅ 2 ] y dy D
1 y3 = ∫ ( 2 y − )dy = 1 1 2 8
2
11
机动 目录 上页 下页 返回
【例2】 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ , D : 由y = x , x = −1, 】
为底， ∫∫ f ( x , y )dσ 的值等于以 D 为底，以曲面 z = D
则
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积． 为曲顶柱体的体积．
方法】根据二重积分的几何意义以及计算 以及计算“ 【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求. 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
D 1 D2 D3
D3
o
机动 目录 上页
x
9
下页 返回
4. 【例题部分】
【例1】 计算 ∫∫ xydσ , 其中D：由y = 1, x = 2及 】
D
y = x所围闭区域 .
看作X－ 【解Ⅰ】 看作 －型域
y
y=x
D
1 ≤ x ≤ 2 DX : 1 ≤ y ≤ x
2 x
y=1
o
2
1 x
2
x
(1)［X－型域］ a ≤ x ≤ b, ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ). ［ －型域］
y = ϕ2 ( x )
y = ϕ2 ( x )
D
y = ϕ1 ( x)
a
b
D
y = ϕ1 ( x )
a
b
ϕ 上连续. 其中函数 ϕ1 ( x ) 、 2 ( x )在区间 [a , b] 上连续.
小结】 【小结】
以上三例说明， 以上三例说明，在化二重积分为二次 积分时， 积分时，为简便见需恰当选择积分次 既要考虑积分区域D的形状 的形状， 序；既要考虑积分区域 的形状，又要 考虑被积函数的特性(易积) 考虑被积函数的特性(易积)
16
机动 目录 上页 下页 返回
5.【简单应用】 【简单应用】
ϕ1( x0 )
b
ϕ2( x0 )
A( x0))= ∫∫ A( x =
即得
ϕ 2 2 ( x0 ) ϕ ( x)
ϕ 1 1 ( x0 ) ϕ( x)
f f xx0 ,)dydy ( ( , y y)
b
∴ V = ∫ A( x )dx
a
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
ϕ2 ( x)
(2)回顾一元函数定积分的应用 回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV = A( x )dx 体积为
n
V = ∫ A( x )dx
a
2
机动 目录 上页 下页 返回
b
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. 【预备知识】 预备知识】
D 1
D3
D2
在分割后的三个区域上分别都 型域) 是X－型域(或Y—型域) －型域( 型域
由二重积分积分区域的可加性得
∫∫ D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
D1 D2 D3
5
机动 目录 上页 下页 返回
2.【二重积分公式推导】 . 二重积分公式推导】
且设f ( x , y ) ≥ 0
a (1).若积分区域为 －型域： ≤ x ≤ b, ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2( x). 若积分区域为X－型域： 若积分区域为
0 0
2
1
y
2 − y2
dx
=∫ e
0
1
−y
2
1 2 y3 y2 2 1 −y ⋅ dy = ∫ e ⋅ dy = (1 − ). 0 6 e 3 6
20
机动 目录 上页 下页 返回
2 【补例3 】计算积分 I = ∫∫ | y − x | dσ , 其中D为 : D
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.
1
d
ψ2( y)
f ( x , y )dx
公式2 公式
即化二重积分为先对 x后对 y的二次积分 .
3.【二重积分的计算步骤可归结为】 画出积分域的图形，标出边界线方程； ①画出积分域的图形，标出边界线方程； ②根据积分域特征，确定积分次序； 根据积分域特征，确定积分次序； 根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 ③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
13
机动 目录 上页 下页 返回
【例3】 计算 ∫∫ xydσ , 其中D：由y = x及 】
2 D
y = x − 2所围闭区域
既是X—型域 既是 型域 【解】 D既是 又是Y—型域 型域 又是 先求交点
y2 = x 由 ⇒ (1,-1) 或 (4,2) y = x − 2
14
机动 目录 上页 下页 返回
D
和y = 1所围闭区域 .
既是X—型域又是 型域又是—Y型域 既是 型域又是 型域 【解】 D既是
1
y
D y=x
− 1 ≤ x ≤ 1 ［法1］ DX : ］ x ≤ y ≤ 1
1 1 2 2
－1
x
o
1
x
1 上式 = ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy = L = −1 x 2
12
c
ψ1
o a
x
bx
为计算方便, 选择积分次序, 必要时还可交换积分次序 交换积分次序. 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
(3) 若积分域较复杂 可将它分成若干 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域. -型域或 -型域.
y
D 1
D2
∫∫ D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫
d
d
x = ψ 1( y)
D
x = ψ 2 ( y)
x = ψ 1( y)
D
c
c
x = ψ 2 ( y)
型区域的特点】 【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于 轴的 型区域的特点 穿过区域且平行于x 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点.
4
机动 目录 上页 下页 返回
(3)［既非 －型域也非 －型域］如图 ［既非X－型域也非Y－型域］ 则必须分割. 则必须分割.
0≤ x ≤ 2 2≤ x ≤ 2 2 DX1 : , DX 2 : 2 2 1 2 0 ≤ y ≤ 2 x 0 ≤ y ≤ 8 − x y = 1 x2 2 D D2 1 将D = D1 + D2 视为 型区域 , 则 视为Y–型区域 o 22 0≤ y ≤ 2 D: 2 y ≤ x ≤ 8 − y2 8− y2 2 f ( x, y)dx I = ∫∫ f ( x, y)d xd y = ∫ dy∫
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体 【例4】 】 求两个底圆半径都等于 的直交圆柱面所围成的立体 的体积V. z 的体积 【解】 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2 , x2 + z2 = R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z = R − x
据二重积分的性质4（几何意义） 据二重积分的性质Байду номын сангаас（几何意义） σ = ∫∫ dxdy 【解】
y = x 交点 y = x + 2
2
D
( ⇒ ( −1,1) ，2,4)
− 1 ≤ x ≤ 2 DX : 2 x ≤ y ≤ x + 2
∴ σ = ∫ dx ∫
−1 2 x+2 x2
dy = ∫ ( x + 2 − x 2 )dx
8