差分方程模型

an c1 c(1.01)n
代入原方程得
c1 c 1.01n1 1.01c1 (1.01)n1c 1000
c1 1000
故
an c(1.01)n 100000
例 4 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2n 的通解
解: 齐次特征方程 2 4 4 0 , 二重根 2 ,
an1 0.5an 0.1
齐次特征方程
,齐次通解
设特解为
代入 0.5 0 得
a，n*
c(0.5)n
于是所求通解
an D
D 0.5D 0.1 D 0.2
例3 (养老金) 解: an c(0.5)n 0.2
齐次特征方程
,
.
设特解 通解为
代入原方程an得1 1.01an 1000
1.01 0 an* c(1.01)n
一、关于差分方程模型简单的例子
1. 血流中地高辛的衰减
地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问 题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平 上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且 知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可 建立模型如下：
设某病人第n天后血流中地高辛剩余量为an ，
Fn2
解：差分方程的特征方程为
x2 x 1 0
特征根
x1
1 2
5 , x2
1 2
5
n
n
Fn
c1
1
2
5
c2
1
2
5
,由初始条件得:
1 c1 2
5
c2
1
2
5
1
(1)
c1
1
2
2
5
c2
1
2
5
2
1
(2)
c1
c
2
1
5 1
5
故
Fn
1 5
n
5 1 2
来自百度文库
12
5
n
定理2 (重根) 若特征方程的相异特征根为
3. 兔子问题（Fibonacci数）
设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后
长成成兔，同时(即第三个月)开始每月初产雌雄各一 的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末 共有Fn 对兔子，则建模如下：
Fn
F1
Fn1 Fn2 F2 1
F1 F2 F3
F4
1 1 F1 F2 2 F3 F2
相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0
特征根 2 为三重根, 通解为：
an c1 2n c2n 2n c3n2 2n
代入原方程得 c3 1 2
故
an c1 2n c2n 2n n2 2n1
三、差分方程的平衡点及稳定性
二阶线性差分方程初值问题
F 4 2F3
因上月新生 小兔不产兔
(因第n月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的， 另一 部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)
4．车出租问题 A， B两地均为旅游城市，游客可在一个
城市租车而在另一个城市还车。 A， B两汽车 公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要， 以便估算成本。分析历史记录数据得出：
an D
D 100000
an c(1.01)n 100000
例3 (养老金) 解法2 (化齐)：
an1 1.01an 1000
an 1.01an1 1000
相减得
an1 2.01an 1.01an1 0
2 2.01 1.01 0 ( 1.01)( 1) 0 1 1, 2 1.01
出现一对共
轭
虚
根
和k-2个相异的实根
, 则差分方程的通解为：
其中
x1 u iv, x2 u iv x3, , xk
an c1 n cosn c2 n sin n c3x3n ck xk n
u 2 v2 , arctanu
v
定义2 形如 an b1an1 b2an2 bk ank f (n) 的差 分方程为k阶常系数线性非齐次差分方程, 其中
1、一阶线性方程 an aan1 b 的平衡点及稳定性
平衡点由 x a x b
平衡点相当于n, an x0
, 重数x依1,次x为2 , , xk ,
其中
m1, m2 ,, ,则m差t 分方程的通m解1 为m：2 mt k
定
理a(3n定(理虚(c11根包1 含)c(1在c若2nt1定差理c分t22cn之方1m1中程nm)1的c1tm)特txn1mn征t1方)(cx程2t n1 的c特22n征
根
c2m2 nm2 1 )x2n
x k b1x k1 b2 x k2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 征根 x1 , x2 , , x，k 则差分方程的通解为
an c1x1n c2 x2n ck xkn
例1 求解兔子问题
Fn F1
Fn1 F2 1
xn 第n天营业结束时A公司的车辆数
yn 第n天营业结束时B公司的车辆数
xn1 yn1
0.6xn 0.4xn
0.3 y n 0.7 yn
一阶线性差分方程组 问题模型可进一步推广
二、差分方程的解法
定义1. 形如 an b1an1 b2an2 bk ank 0 的差分方程，称为{an} 的k阶常系数线性齐次 差 分方程，其中bi 为常数bk ， 0 n且 k
对应齐次方程的通解为
a
* n
c1 2n
c2n 2n
f (n) 2n 中, 2 是2 重根, 设特解为 an A n2 2n
得 A 1 2 故通解为 an c1 2n c2n 2n n2 2n1
代入
方法2 (化齐) :
an 4an1 4an2 2n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1
则 an1 0.5an 0.1 (一阶非齐次线性差分方程)
an an1 an 0.5an
2. 养老金问题
对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提
款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为
1000元，则可建模型如下：
设第n月的存款额为
，a n则
an1 1.01an 1000
(一阶非齐次线性差分方程)
为常数，b1,b2 , ,bk , f (n) 0，bk 0 n k
称 an b1an1 bk ank 0
为其对应的齐次方程。
定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差 分方程的通解加上非齐次方程的特解。即
an an* an
其中
a
* n
为通解, an 为特解
例2 (地高辛) 解: