高中数学选修2-1精品教案1：1.2.1 充分条件与必要条件教学设计

1.2.1分条件与必要条件
（一）教学目标
1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归
纳的逻辑思维能力．
３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的
思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（二）教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件.
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.
教具准备：与教材内容相关的资料.
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（三）教学过程
学生探究过程：
一.复习引入
命题的概念及命题的真假性
二.思考、分析
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
四.抽象概括
充分条件与必要条件
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．
五.例题分析及练习
[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，
但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会]
(1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
训练题组1
1．下列命题中，p是q的充分条件的是()
A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b
解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；
对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；
对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；
对D ，当a >b >0时，有a >b ，
而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .
答案：A
2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，
而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．
故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．
答案：A
3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；
(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；
解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.
∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．
[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .
[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，
∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，
∴q ：－2≤x ≤3.
∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a ≥－2，a ≤3，a <0
⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23
，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q
等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
训练题组2
4．集合A ＝{x |x －1x ＋1
<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )
A ．[－2,0)
B ．(0,2]
C ．(－2,2)
D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1
<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.
答案：C
5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．
解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；
不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．
依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .
于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，
1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].
六.课堂小结与归纳
1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：
(1)定义法(直接法).
条件p 与结论q 的关系
结论 p ⇒q ，但q ⇒/ p
p 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ q
p 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ p
p 是q 成立的既不充分也不必要条件
(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .
若A B ，则p 是q 的充分不必要条件
若B A ，则p 是q 的必要不充分条件
若A不是B的子集，且B不是A的子
集，则p既不是q的充分条件，也不
是q的必要条件
(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．
2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
答案：B
2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.
答案：A
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A
5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．
答案：必要不充分
6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12
，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716
. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716
≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．
∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .
∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916
]∪[3，＋∞)．。