角、角的大小比较与运算
七年级数学上册教学课件《角的比较与运算》
将余数的度数乘以60化成分. 360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7 =51°+25′+5′÷7=51°25′+300″÷7=51°25′43″
随堂演练
1.按图填空： (1)∠AOB+∠BOC=∠AOC； (2)∠AOC+∠COD=∠AOD； (3)∠BOD-∠COD=∠BOC； (4)∠AOD-∠BOD =∠AOB.
答案
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等 的两个角的射线，叫这个角的平分线．
角的三等分线
α α α
角的四等分线
α α α α
知识点2 角的运算
例1 如图，O是直线 AB上一点，∠AOC=53°17′， 求∠BOC 的度数.
分析：∠AOB是 平角， ∠BOC=∠AOB-∠AOC .
解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB＝∠AOC＋∠BOC,
课堂小结
比较 度量法；叠合法. 角 运算 度与度、分与分、秒与秒分别相加、减.分秒 相加时逢60要进位，相减时借1作60.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
探究 利用一副三角板，你能画出哪些度 数的角？这些角有什么规律？
都是15的倍数.
问题 如图，如果∠AOB＝∠BOC，那么 ∠AOC＝2∠AOB＝2 ∠BOC ，∠AOB＝ ∠BOC＝ 1 ∠AOC .
2
我们把射线OB叫做∠AOC的角平分线.
提问
你能类比线段中点的定义，你能给角平分线下定 义吗？
可以类比比较线段大小的方法.
a° F
∠ABC ＞∠DEF
b 叠合法.
步骤 1 使两个角的顶点及一边重合； 2 两个角的另一边落在重合一边的同侧；
角的比较和运算 课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册
线段 定义 类比
角
定义
表示 表示
大小 运算
大小 运算
叠合法 度量法 和、差、倍、分 叠合法 度量法 和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角 的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章 图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角 的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角 的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别 是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化 问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.
角的比较与运算
2、证明中的书写：
OC 为 AOB 的角平分线
1 1 2 AOB 2 （或 AOB 21 22 ）
3 练习（1）射线 OC 在 AOB 的内部，下列四个式子中，不能 判断 OC 是 AOB 平分线的是（ ） A AOB 2AOC B AOC BOC C AOC BOC AOB
1 D AOC AOB 2
D C B O A
如图
∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
则OB 是
AOC 的平分线， 1 BOC ＝ 2 ∠AOC， 1 BOC ＝ 2 ∠BOD 1 AOD ∠BOC ＝ 3 BOD ＝ 2 ` 3 AOD
此时OB、OC叫∠ AOD的三等分线
A E
AD是 BAD
BAC的平分线 = CAD
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？ C 解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB ∴∠EOC=1／2∠AOC, F ∠COF=1／2∠COB（角平分线的意义）
E
A
O
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180° B （平角的意义）
∴∠EOF=∠EOC+∠COF
A D
B
C
E
F
2、叠合法比较
A
D
B
DE边在∠ABC的外部,则
C
E
F
∠ABC<∠DEF
2、叠合法比较
A D
B
DE与AB边重合,则
C
E
F
∠ABC=∠DEF
2、叠合法比较
A D
B
C
E
F
DE边在∠ABC的内部,则
∠ABC>∠DEF
七年级下册角的比较知识点
七年级下册角的比较知识点在七年级下册的数学课程中，角是一个非常重要的概念。
角的比较是角的基本运算之一，下面将介绍角的比较的相关知识点。
1. 角的大小比较在比较两个角的大小时，需要将它们转化为相同的单位，通常使用角度作为单位，然后比较它们的度数。
如果两个角的度数相同，则它们的大小相等；如果两个角的度数不同，则要比较它们的大小关系，可以使用不等式来表示大小关系。
例如，比较角A和角B的大小，如果角A的度数为50度，角B的度数为80度，则可以表示为A<B，即角A比角B小。
2. 角的正负比较角也有正负之分，正角是指角度在0度到180度之间的角，负角是指角度在180度到360度之间的角。
当比较两个角的大小时，需要同时考虑它们的正负关系。
例如，比较正角A和负角B的大小，如果角A的度数为50度，角B的度数为200度，则可以表示为A>B，即正角A比负角B大。
3. 角的互补和补角比较互补角是指两个角的度数相加等于90度的角，补角是指两个角的度数相加等于180度的角。
当比较两个角的大小时，可以利用互补或补角的关系来确定大小关系。
例如，比较角A和角B的大小，如果角A的补角的度数比角B 的补角的度数大，则可以表示为A<B，即角A比角B小。
4. 角的相等比较当两个角的度数相等时，它们的大小相等。
例如，如果角A的度数为60度，角B的度数也为60度，则可以表示为A=B，即角A和角B相等。
5. 角的平分线比较角的平分线是指将角分为两个大小相等的角的线段。
当比较两个角的大小时，可以利用它们的平分线之间的关系来确定大小关系。
例如，比较角A和角B的大小，如果角A的平分线的度数比角B的平分线的度数大，则可以表示为A>B，即角A比角B大。
角的比较与运算(新人教版)课件
将一个角按照一定的比例进行缩小或扩大，形成一个新的角，这个新的角就是原 来角的比例。
03
特殊角
直角
总结词
直角是角度的一种，度数为90度。
详细描述
在几何学中，直角是一种常见的角度，其度数为90度。直角是两条线段垂直相交形成的角，具有特殊的性质和运 算规则。
平角
总结词 详细描述
钝角
总结词
角度决定几何形状
角度在几何图形中起着至关重要的作用， 不同的角度可以形成不同的几何形状。 例如，两条射线组成的角可以形成平面 几何图形，如三角形、四边形等。
VS
角度与面积的关系
在某些几何图形中，角度的大小与面积的 大小有关。例如，在扇形中，角度越大， 面积越大。
角在日常生活中的应用测量角度 Nhomakorabea导航
角在数学解题中的应用
角的比较与运算(新人教 版)课件
contents
目录
• 角的比较 • 角的运算 • 特殊角 • 角的和差公式 • 角的应用
01
角的比 较
比较大小
直角
等于90度的角。
平角
等于180度的角。
锐角
小于90度的角。
钝角
大于90度但小于 180度的角。
周角
等于360度的角。
角的度量单位
度（°） 分和秒
角的大小比较方法
01
02
03
使用量角器测量
使用叠合法比较
使用三角函数比较
02
角的运算
角的加法
角的加法定 义
角的加法性 质
角的减法
角的减法定 义
角的减法性 质
两个角相减，其度数之差等于两个角 对应边相减后，再除以边的数量所得 的商。
角的比较重难点题型
角的比较--重难点题型【知识点1 角的比较与运算】【题型1 角的大小比较】∠COD＝50°；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，边OB与OD重合，边OA 和OC置于重合边的同侧，则边OA．（填序号：①“在∠COD的内部”；②“在∠COD的外部”；③“与边OC重合”）【变式1-1】（2021春•呼和浩特期末）如图，∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（）A．∠AOC＞∠DOBB．∠AOC＜∠DOBC．∠AOC＝∠DOBD．∠AOC与∠DOB无法比较大小【变式1-2】（2021秋•开封期末）如图所示，其中最大的角是，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是．【变式1-3】（2021秋•门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O 是网格线交点，那么∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【题型2 角的和差】【例2】（2021秋•安庆期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．【变式2-1】（2021秋•五常市期末）用一副三角板不能画出的角是（）A．75°B．105°C．110°D．135°【变式2-2】2021秋•北碚区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为度．【变式2-3】（2021秋•荔湾区期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【题型3 n等分线】【例3】（2021秋•罗湖区校级期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB 上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度数．【变式3-1】（2021秋•奉化区校级期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ：∠BOC＝（）A．1：2B．1：3C．2：5D．1：4【变式3-2】（2021秋•江汉区期末）如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC 的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC 的大小．【变式3-3】（2021秋•越秀区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON ＝°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON 的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．【题型4 角平分线】【例4】（2021秋•武都区期末）如图所示，点O是直线AB上一点，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，则∠BOF和∠EOF是多少度？【变式4-1】（2021秋•南山区期末）已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC=12∠AOBA．1个B．2个C．3个D．4个【变式4-2】（2021秋•曲阳县期末）已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，∠BOD的度数是；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是；（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC．射线ON 平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【变式4-3】（2021秋•裕华区校级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠AOB的一边OB与射线OM重合，现将∠AOB绕着点O按顺时针方向旋转180°．在旋转过程中，当射线OA、OB或者直线MN是某一个角（小于180°）的平分线时，旋转角的度数为．【题型5 余角与补角的定义】【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．【题型6 利用余角或补角的性质得角相等】【例6】（2021秋•鹿邑县期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC 的角平分线，若∠AOC＝70°．（1）求∠BOD的度数．（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．【变式6-1】（2021秋•旌阳区期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有．（填序号）【变式6-2】（2021秋•芮城县期末）综合与实践已知直线AB 经过点O ，∠COD ＝90°，OE 是∠BOC 的平分线．（1）如图1，若∠AOC ＝30°，求∠DOE ；（2）如图1，若∠AOC ＝α，求∠DOE ；（用含α的式子表示）（3）将图1中的∠COD 绕顶点O 顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由；（4）将图1中的∠COD 绕顶点O 逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，直接用含α的式子表示∠DOE ．【变式6-3】（2019秋•东西湖区期末）如图1，平面内一定点A 在直线EF 的上方，点O 为直线EF 上一动点，作射线OA 、OP 、OA '，当点O 在直线EF 上运动时，始终保持∠EOP ＝90°、∠AOP ＝∠A 'OP ，将射线OA 绕点O 顺时针旋转60°得到射线OB ．（1）如图1，当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，若OA '平分∠POB ，求∠BOF 的度数；（2）当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，且∠AOE ＝3∠A 'OB 时，求∠AOF ∠AOP 的值；（3）当点O 运动到某一时刻时，∠A 'OB ＝130°，请直接写出∠BOP ＝ 度．【题型7 求几何图形中互余或互补角的个数】【例7】（2021•娄星区模拟）如图，C 是直线AB 上一点，CD 是∠ACB 的平分线． ② 图中互余的角有 ；②图中互补的角有 ；③图中相等的角有 ．【变式7-1】（2021秋•南开区期末）如图所示，已知O 是直线AB 上一点，∠BOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD ．（1）图中与∠DOE 相等的角有 ；（2）图中与∠DOE 互余的角有 ；（3）图中与∠DOE 互补的角有 ．【变式7-2】（2021秋•成都期中）如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOD ＝120°，∠AOC ＝90°，OE 平分∠BOD ．写出图中所有互补的角和互余的角．【变式7-3】（2021春•吴中区月考）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）；④12（∠α﹣∠β）．可以表示∠β的余角的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【题型8 数学思想方法与角】【例8】（2021秋•河东区期末）已知∠AOB＝90°，OC为一射线，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOC，则∠MON是（）A．45°B．90°C．45°或135°D．90°或135°【变式8-1】（2021秋•成华区期中）（1）如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数；（2）如图2，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠MON的度数【变式8-2】（2021秋•无锡期末）如图，∠AOB＝150°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，则2∠BOE﹣∠BOD＝°．【变式8-3】（2021秋•镇海区期末）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．。
角的比较和运算
如图∠ 如图∠ AOB= ∠ COD=900， 0， ∠ BOC=_____. 340 ∠ AOD=146
练 一
如图： 是哪两个角的和? 如图： ∠AOC是哪两个角的和 是哪两个角的和 练 两角的差? ∠BOD 是哪 两角的差 如果∠ 那么∠ 如果∠AOB=∠COD, 那么∠AOC和 ∠ 和 相等吗? ∠BOD相等吗 相等吗
O
若∠ＡＯＣ＝ 34 34 ， ＡＯＢ＝？ Ｃ ＝ 051' ，则∠ＡＯＢ＝ 21
0
'
∠ＢＯ
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
角的加减运算： 角的加减运算：
(1)34 34 + 21 51 = 55 85 = 56 25
0 ' 0 ' 0 ' 0
'
(2)180 − 52 31 =
0 0 '
1.计算 计算: 计算 (1)48°35′+17°45′ ° °
0 '
如图： 是直线 上一点， 是直线AB上一点 例1 如图：O是直线 上一点，∠AOC＝53°17′ ＝ ° 求∠BOC的度数 的度数 C
A
O
B
解：因为∠AOB是平角 ∠AOB＝∠AOC+∠BOC 所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC ＝180°－53°17′ ＝126°43′
D
C
( 1 )
DAB =
想一想： 想一想： （１）若时钟由２点３０分走到２ 若时钟由２ ３０分走到２ 分走到 ５５分 问时针、 点５５分，问时针、分针各转过多大的 角度？ 角度？ （2）钟表上 时15分时，时针与分 分时， ）钟表上2时 分时 针所成的锐角是多少度？ 针所成的锐角是多少度？
同类练习： 同类练习：
华师大版数学七年级上册.2角的比较和运算课件
知3－练
1 如图，∠AOB=55°.画出∠BOC的平分线OD,并计算 ∠AOD的度数.
（来自教材）
2 如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，
则下列结论中错误的是( )
A．AD是∠BAC的平分线 B．CE是∠ACD的平分线
C．∠BCE＝1 ∠ACB
2
D．CE是∠ABC的平分线
知3－练
1、角的比较方法：度量法和叠合法 2、角的运算 3、角的平分线 ：
要点精析： 角平分线是在角的内部从角的顶点引出的一条射线，
不是直线或线段； 角平分线把角分成了两个相等的角．
知2－导
做知一识做点
如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准
确地画一个角等于∠AOB.
第一步:画射线O′A′；
第二步:以点O为圆心，
以适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D;
知2－导
知识点
第三步:以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′ 于点C′;
第四步:以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条 弧于点D ′;
做一做 如图,用量角器和直尺在纸上画∠AOB=84°. 然后沿点O对折，使边OB和OA重合，那么折 痕把角分成了大小相等的两部分. 你也可以用量角器画出等分∠AOB的射线OC.
知3－导
知3－讲
知识点
定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
知3－讲
2
2
由于∠COE＝∠DOC＋∠DOE，因此，∠COE＝
1 2
∠AOD＋
1 2
∠BOD＝
1 2
∠AOB.
结合的结论可求出∠DOE的度数，从而求出
华东师大版数学七年级上册.2角的比较和运算(共21张)
张:我的折扇大一些,所以我的折扇的 角也大一些。 王:我的折扇长一些,所以我的折扇的 角也大一些。
一、角的比较:
F
A
C
B
D
E
同学们,你们有办
法帮他们进行判
断吗?
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?
角的比较方法
1、度量法
∠ABC > ∠DEF
O
A
∠BOD= ∠ A＿O＿D －∠A＿O＿B
看图填空：
1、如图（1）若∠AOC=32°，∠BOC=43°则
∠AOB= 75 ° 。 若已知 ∠AOB = 68 ° ∠BOC=40°则∠AOC= 28° 。
2、如图（2）若∠AOC=90°， ∠BOD=90°那么
图中相等的角是∠AOC= ∠BOD ∠AOB= ∠COD。
A
D
C
C B
O 图（1） B
A O 图（2）
学以致用…
利用三角尺 还可以画出哪 些度数的角？
３０°、４５°、６０°、９０°、１５°、７５°、 １０５°、１２０°、１３５°、１５０°、 165 °
角平分线
将你手中的角对折，使其两边重合，折痕把 这个角分成的两部分是什么图形，你发现它们的大 小有什么关系？
B
如图(2)，
C
∠AOC =∠AOB－∠BOC=40 °
O （2） A
已知：∠AOC、∠BOC有一条公共边OC，如 果∠AOC＝60°，∠BOC＝40°， OM、ON 分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠MON 的度数。
N B
O
C M A
C N
M B
O
七年级上册数学角的比较与运算
七年级上册数学角的比较与运算一、角的比较在七年级上册数学中，角的比较是基础知识点之一。
比较角的大小可以通过度量法和叠合法两种方法进行。
1. 度量法：使用量角器测量角的度数，可以直接比较大小。
在比较两个角的大小时，首先应该确定它们的度数，然后根据度数大小来判断角的大小。
2. 叠合法：将两个角的一边和顶点重合，通过观察另一边的位置来判断角的大小。
如果另一边在重合边的同一侧，则这个角比另一个角小；如果另一边在重合边的不同侧，则这个角比另一个角大。
二、角的运算角的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
这些运算可以通过角的和、差、积、商的定义进行计算。
1. 角的和与差：如果两个角的大小之和等于另一个角的大小，那么这两个角叫做互为补角；如果两个角的大小之差等于另一个角的大小，那么这两个角叫做互为邻补角。
利用角的和、差性质，可以计算角的和与差。
例如，如果一个角是30°，另一个角是它的邻补角，那么这两个角的和为90°，差为60°。
2. 角的乘法与除法：在特殊情况下，角的倍数和分数可以通过旋转或对称得到。
例如，一个角的两倍等于将这个角的两边分别延长至原来的两倍；一个角的一半等于将这个角的两边分别缩小到原来的一半。
同样地，一个角的四分之一等于将这个角的两边分别缩小到原来的四分之一。
通过这些方法，可以计算出角的倍数和分数。
三、应用实例在实际问题中，常常需要利用角的比较与运算来解决一些几何问题。
例如，计算角度、比较线段长度等。
下面举一个应用实例：假设有一个三角形ABC，其中∠A=30°，∠B=60°，要找出∠C的度数。
根据三角形内角和定理，一个三角形的三个内角之和为180°。
因此，我们可以利用这个定理来计算∠C的度数。
具体来说，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°。
通过这个例子可以看出，利用角的比较与运算可以解决一些基础的几何问题。
角的大小比较与运算
75°
15°
105 °
15°
120°
角平分线
在一张纸上画出一个角并剪下，将这 个角对折，使其两边重合，折痕与角两边 所成的两个角的大小有什么关系？
射线OC是∠AOB的角平分线，思考下列问题：
Ａ
Ｃ
C D
A A
B D
B
C
4、如图：OC、OD分别是∠AOB 、∠BOE的平 分线，
（1）如果∠AOB=70°，∠BOE=60°，求 ∠DOC的度数.
（2） 如果∠1+ ∠2 =55°，求∠AOE的度数.
B
2 1
O
C A
通过这堂课的学习，你有什么收获？
1、比较两个角大小的方法 2、角的运算 3、角平分线
∠AOC =∠AOB + ∠ ＿BO＿C
∠BOD = ∠COD+ ∠ ＿B＿OC D
∠AOC= ∠AOD－∠ ＿CO＿D
∠BOD= ∠ ＿AO＿D－∠ ＿AO＿B
C O
B A
例1：如图O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′ 求∠BOC的度数
C
A
O
B
探究
借助一副三角尺，大家都能画出哪些度数 的角？
∠AOB＝ 3 ∠AOM＝ 3 ∠MON＝ 3 ∠NOB.
变式练习
A B
C
1、填空
O
D
(1)∠AOD ＝_______＋________＋__________;
(2) ∠BOC ＝________－__________
＝__________－________;
(3) ∠AOB____∠AOC;（填>或<）
3.62 角的比较和运算 华东师大版(2024)数学七年级上册课件
B
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
∠AOC=∠BOC= 1∠AOB
2
A C
O
B
随堂练习
1. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( A )
A．∠AOB＞∠AOC
B．∠AOC＞∠BOA
C．∠BOC＞∠AOC
D．∠AOC＞∠BOC
2. 比较15.30°，15°30′，15.03°的大小，正确的是（ B ） A.15.30°＞15°30′＞15.03° B.15°30′＞15.30°＞15.03° C.15.30°＞15.03°＞1
从而想到，如果两个角中，所作圆弧与角两边的交点之间的线段相
等，那么这两个角就应该相等.
知识点2 尺规作角
试一试
如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确 地画一个角等于∠AOB.
B
O
A
B D
B′ D′
O
CA
O′
C′
A′
第一步：画射线O′A′； 第二步：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于 点C，交OB于点D； 第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D′； 第五步：过点D′画射线O′B′； ∠A′O′B′就是所要画的角.
理由：因为∠AOC=40°,所以∠BOC=180°-∠AOC=140°.
因为∠DOE=90°，
所以∠COE=∠DOE-∠COD=90°-20°=70°，
所以∠COE=
1 2
∠BOC，即OE平分∠BOC.
课堂小结
角 的 比 较 和 运 算
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二、例题讲解 例1、判断
（1）平角是一条直线（ ） （2）两个锐角的和一定小于平角 （ ） （3）周角是一条射线（ ） （4）角的大小与两条边的长短有关（ ） 例2、57°28′30″=___________度； 37.5°=________度________分 例3、如图1，OC 是∠AOB 的平分线，则∠_______=∠_______=
1∠______。
（图1） （图2）
例4、如图2 ∠AOC=________+________ = ________ - ________
∠AOD-
∠AOB =_________=_________+_________； ∠BOC=________ - ________ - ________ - _______
=∠AOC - ________=________ - ∠COD
例5、如图3，写出如图所示的每条射线与四个不同方向所表示的角。
（1）OA 的方向是_____________；（2）OB 的方向是_______________； （3）OC 的方向是_____________；（4）OD 的方向是_______________。
例6、如图4，A 、B 、C 三点分别代表邮局、医院、学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中A 点应该是__________，B 点是__________，C 点是_________________。
（图4）
例7、选择题
1、下列说法正确的是 （ ） A.两条射线所组成的图形叫做角 B.周角是一条射线
C.在直线上任取一点作顶点，就可以把这条直线看做一个平角
D.在∠ABC 的边BC 的延长线上任取一点D 2、两个锐角的和是 （ ） A.一定是锐角 B.一定是直角
C.一定是钝角
D.可能是锐角、直角或钝角
N
E。
A 。
B。
C
3、如图，下列各组角中，表示同一个角的是 （ ）
A.∠BDA 与∠BDE
B.∠ACE 与∠AEC
C.∠BAD 与∠CAE
D.∠ACE 与∠ABD
4、在下列四个式子中，不能表示“OC ”是∠AOB 的平分线的是 （
A.∠AOC = ∠BOC
B.∠AOC = ∠BOC =21
∠AOB
C.∠AOB = 2∠BOC
D.∠AOC + ∠BOC = ∠AOB 5、在钟表上，分针与时针构成直角的情况是（ ）
A.12点15分
B.9点整
C.3点20分
D.6点45分 6、电视塔在学校的东南方向，则学校在电视塔的（ ）
A.西南方向
B.东北方向
C.东南方向
D.西北方向 7、若∠A=34°，则∠A 的余角度数为（ ）． A.54° B.56° C ．146° D ．66°
8、一个角的补角是它本身的3倍，则这个角的度数是（ ）
A.85°
B.76° C ．45° D ．135°
例8、 如图，∠AOB=60°，OC 是∠AOB 内部的一条射线，射线OM ∠COB ，求∠MON 的度数。
例9、如图,BD 平分∠ABC,BE 分∠ABC 分2:5两部分,∠DBE=21°,D C
A
E
例10、如图,已知∠α、∠β ,画一个角∠γ，使∠γ=3∠β-
1
2
∠α. β
α
例11、如图，作出表示下列方向的射线：
（1） 北偏东62°（2）南偏西65°（3）北偏西73° （4） 南偏东76°（5）东北方向 （6）西北方向
例12、如图，在图(a)，在角内引一条射线时，图中共有（1+2）个角；
北
东
在图(b)中，在角内引两条射线时，图中共有（1+2+3）个角；
在图(c)中，在角内引三条射线时，图中共有多少个角？如果在角内引n条射线（n为自然数）时，则共有几个角？
(a) (b) (c)
A组（基础知识达标）
一、选择题
1．下列语句中，正确的是（）．
A．比直角大的角钝角; B．比平角小的角是钝角
C．钝角的平分线把钝角分为两个锐角; D．钝角与锐角的差是锐角
2．两个锐角的和（）．
A．必定是锐角; B．必定是钝角;
C．必定是直角; D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
3．两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角（）．
A．一个是锐角，一个是钝角; B．都是钝角;
C．都是直角; D．必有一个是直角
4．下列说法错误的是（）．
A．两个互余的角都是锐角; B．一个角的补角大于这个角本身;
C．互为补角的两个角不可能都是锐角; D．互为补角的两个角不可能都是钝角5．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，•那么这两个角是（）． A．42°，138°或40°，130°; B．42°，138°;
C．30°，150°; D．以上答案都不对
6．如果∠A和∠B互为余角，∠A和∠C互为补角，∠B与∠C的和等于120°，那么这三个角分别是（）．
A．50°，30°，130°; B．75°，15°，105°;
C．60°，30°，120°; D．70°，20°，110°
7．如图1所示，∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则 ( ）．
A．∠α=β B．∠β=∠γ C．∠α=∠β=∠γ D．∠α=∠γ
(1) (2) (3)
二、填空题
8．如图2，OB是_____的角平分线；OC是_____的角平分线，∠AOD=______，•∠BOD=______度．
9．如图3，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BCO，∠AOB为直角，∠EOD=70°，•则∠BOC的度数为_______．
10．∠1=1
2
∠A，∠2=
1
2
∠A，则∠1和∠2的关系是_______．
11．如图4，射线OA表示北偏东_____，射线OB表示_____30°，射线OD•表示南偏西_______，欲称西南方向，射线OC表示________方向．
(4) (5) (6)
12．如图5，小于平角的角有______个，∠EOC=_____+_______．
三、解答题（每题10分，共40分）
13．如图6所示，直线AB上一点O，任意画射线OC，已知OD、OE分别是∠AOC、•∠BOC的角平分线，求∠DOE的度数．
14．如图3-4-5所示，已知∠BOD=2∠AOB，OC是∠BOD的平分线，试表示出图中相等的角．
15．如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD．
16．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE为射线，试问，•图中小于平角的角共有几个？请一一列出．
B组（发散创新应用）
一、综合题
1．（1）如图所示，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，若∠AOC=•28，∠BOC=42°，那么∠MON是多少度？
（2）如果∠AOB的大小保持与上图相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？
（3）∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．2．一个角的补角是它的余角的3倍但少20°，求这个角的大小．
二、应用题
3．有一张地图（如图），有A、B、C三地，但地图被墨迹污损，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能确定C•地的位置吗？
4．如图所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东45°的方向爬行2.5cm，•碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm（此时位置记作C点）．
（1）画出蚂蚁的爬行路线；（2）求出∠OBC的度数．
三、创新题（每题14分，共28分）
5．如图所示，已知钝角∠α，画出它的补角和它的补角的余角．
6．如图所示，共有多少个角？一般地，你能得到什么结论？
7．如图所示，将一副三角板叠放在一起，•使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB的度数为______度．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。