实际问题中导数的意义

2.1 实际问题中导数的意义

教学目标：

知识与技能：

⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法

⑵会利用导数求解最值

过程与方法：

通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程

情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法

教学重点：函数建模过程

教学难点：函数建模过程

教学过程：

例4：（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为m 1的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为m 3的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

思路点拨：设出项点O 到底面中心1O 的距离x 后，求出底面边长，表示帐篷的体积

解：设1OO 为xm ，则41<

由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m ） 22228)1(3x x x -+=-- 于是底面正六边形的面积为（单位：2m ）

)28(2

33)28(436222x x x x -+=-+⋅⋅，帐篷的体积为（单位：3m ）

]1)1(31)[28(233)(2+--+=x x x x V )1216(2

33x x -+ 求导数，得)312(23)('2x x V -=

令0)('=x V ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x

当21<x V ，)(x V 为增函数；

当42<

所以，当2=x 时，)(x V 最大

答：当1OO 为m 2时，帐篷的体积最大，最大体积为3316m

方法技巧：设出一个变量后，其他变量都用这个变量表示，然后列出所求变量的函数式，再求最值，这是这类题目的常规解决。

例5：（用料最省问题）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为880

312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100千米。 ⑴当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

思路点拨：设出汽车的速度为x 千米/小时，然后表示出从甲地到乙地的耗油量

解：⑴当40=x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240

100=小时，要耗

油5.175.2)84080

3401280001(3=⨯+⨯-⨯（升） ⑵当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了x

100小时，设耗油量为)(x h 升，依题意得

2100)88031280001()(3⨯+-=x x h 4

158********-+=x x 2

3

3264080800640)('x x x x x h -=-= )1200(≤≤x 令0)('=x h ，得80=x 当)80,0(∈x 时，0)('

当)120,80(∈x 时，0)('>x h ，)(x h 是增函数

∴当80=x 时，)(x h 取得极小值 此时45)880803801280001()(3⨯+⨯-⨯=x h 25.114

45==（升） 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升

方法技巧：正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键

例6：（费用量省问题）要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐盖，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？

思路点拨：把圆柱的高用底面半径r 表示出来，然后把造价表示为r 的函数 解：由h r V 2π=，得2

r V h π=，设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价为

r

aV r a r a rh a r a r S 45422)(222+=⋅+⋅+=ππππ 由0410)('2=-=r aV r a r S π 解得352πV r =，于是3242ππ

V V h == 由问题的实际意义，上述S 的唯一可能极值点就是S 的最小值点 ∴当3342552π

πV V h r = 25=时，储油罐的造价最省 方法技巧：本题用半径r 把高h 表示出来，把实际问题转化为关于半径r 的函数问题是关键

例7：（利润最大问题）某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件。如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元300≤≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件

⑴将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；

⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

思路点拨：由2-x 时，多卖出的商品件数为24件，可求得正比例函数，进而表示出利润与x 的关系

解：⑴设商品降低x 元，多卖出的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利

为)(x f ，则由题意)432)(930()(2kx x x f +--=)432)(21(2kx x +-= 又由已知条件2224⋅=k 得6=k

907243211266)(23+-+-=∴x x x x f ]30,0[∈x

⑵由⑴知43212518)('2-+-=x x x f )12)(2(18---=x x

当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况如下表：

故12=x 时，)(x f 有极大值，又9072)0(=f 11664)12(=f

所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大

方法技巧：利润（收益）＝销售额－成本，在有前利润（收益）的问题中，注意应用此公式列函数式

例5：要设计一种圆柱形，容积为ml 500的一体化易拉罐金属包装，如何设计才使 体最低？

解：设h r , 500 2=⋅h r π 2

500x h π= 法1：r r r

r r y 1000 5002 222+=⋅+=ππππ )0(r < 3

2 3500500 ≥++=r

r r π 法2：r r y 1000 2π= 210002'r

rt y -=π 令0'=y 例6：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸边A 处，乙与甲在同侧，乙厂位于离河岸km 40的B 处，乙厂到河岸垂足D 与A 相距km 50，两厂要在岸边合建一个传水站C ，从传水站到甲厂和乙厂水管费用分别是a 3元和a 5元，问传水站C 建在岸边何处才能使费用最省？

解：法1：设x CD =，x AC -=50，2240+=x BC

22405)50(3+⋅+-=x a x a y )500(<

224053'++-=x ax

a y 令0'=y 30=x