微积分学基本定理定积分计算(续)110310PPT课件

上可积. 称
x
b
( x) a f (t)dt, ( x) x f (t)dt, x [a, b]
为变上(下) 限的定积分，统称变限积分.
注: 1. 变上(下)限的定积分是 x 的函数，又称积分上(下)限函数，
y
y f (t)
应避免混淆上(下)限与积分变量.
x
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2. 注意区分： f ( x)dx, a f (t)dt, a f ( x)dx.
第一章5节
8
二、换元积分法
定理 若 f 在[a, b]上连续, 在[ , ]上连续可微，且满足
( ) a, ( ) b, a (t) b, t [ , ],
则
b
a f ( x)dx f ((t))(t)dt.
(1)
证: 设F(x)为f(x)的一个原函数，则由复合函数求导法则知：
F ((t)) F ((t)) (t) f ((t)) (t).
dx x
d b f (t)dt d (u( x)) f (u( x)) u( x);
dx u( x)
dx
d
v( x)
f (t)dt f (v( x)) v( x) f (u( x)) u( x).
dx u( x)
第一章5节
6
例. 计算下列导数：
(1) d x et2dt =
dx 0
x Δx
f (t)dt
x
f (t)dt
xx
f (t)dt.
a
a
x
由 f 在[a, b]上可积知其有界： M ,t [a,b], | f (t) | .
∴ | Δ |
xx
xx
f (t)dt
f (t) dt | Δx | .
x
x
故 lim Δ 0. 即 ( x) 在点 x 连续 . Δx0
当t
由0变到
2
时，x由0变到1.
∴
2 1 sin2 t d(sin t) 0
2 cos2 tdt 0
1 2
2 (1+cos2t)dt
0
1 2
[t
1 2
sin
2t
]
2
0
4
.
第一章5节
10
练习. 求
4
0
x 2 dx. 2x 1
解: 令t 2x 1, 当x由0变到4时，t由1变到3.
且
x
t2 1 2
(2) d x2 et2dt =
dx 0
(3)
d dx
x2 xet2dt
0
=
e x2
.
2x ex4
.
x2 et2dt 2x2e x4 0
.
第一章5节
7
定理 (积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积,
(1) 若函数 g 在[a, b]上单调减且非负，则存在 [a, b], 使
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx.
(2) 若函数 g 在[a, b]上单调增且非负，则存在 [a, b], 使
b
b
a f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx.
(3) 若函数 g 在[a, b]上单调，则存在 [a, b], 使
b
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx g(b) f ( x)dx.
并以变限积分的形式给出了 f 的一个原函数.
注2. 由定理可知：若 f 为连续函数，则其任一原函数 F 必为
x
F ( x) a f (t) dt C.
x
代入 x = a 得 C = F(a)， 即 F ( x) a f (t) dt F (a).
b
再代入 x = b 即得 N-L 公式： f (t) dt F (b) F (a).
第一章5节 a
5
定理 (原函数存在定理、微积分基本定理)
若 f 在[a, b]上连续, 则 ( x) x f (t)dt 在[a, b]上处处可导, a
且
(
x)
d dx
x
f (t)dt f ( x),
a
x [a,b].
注3. 对于变下限定积分以及变限复合函数，还有
( x) d
b
f (t)dt f ( x);
§9.5 微积分学基本定理 ·定积分计算(续)
本节将介绍微积分学基本定理, 并用以 证明连续函数存在原函数. 在此基础上又可 导出定积分的换元积分法与分部积分法.
一、变限积分与原函数的存在性 二、换元积分法与分部积分法 三、泰勒公式的积分型余项(略)
第一章5节
1
一、变限积分与原函数的存在性
定义 若 f 在[a, b]上可积, 则对任意 x∈[a, b]， f 在[a, x]
4
定理 (原函数存在定理、微积分基本定理)
若 f 在[a, b]上连续, 则 ( x) x f (t)dt 在[a, b]上处处可导, a
且
(
x)
d dx
x
f (t)dt f ( x),
a
x [a,b].
注1. 本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系、
证明了 “连续函数必有原函数” 的结论、
Oa x
3. 变上限与变下限可互化：b f (t)dt
x
f (t)dt.
bt
x
b
第一章5节
2
定理 若 f 在[a, b]上可积, 则 ( x) x f (t)dt 在[a, b]上连续. a
证: x [a,b], 考虑 x 的增量 Δx, 只要 x Δx [a,b], 就有
Δ ( x Δx) ( x)
再由 x 的任意性，定理得证.
第一章5节
3
定理 (原函数存在定理、微积分基本定理)
若 f 在[a, b]上连续, 则 ( x) x f (t)dt 在[a, b]上处处可导, a
且
(
x)
d dx
x
f (t)dt f ( x),
a
x [a,b].
证: x [a,b], 考虑 x 的增量 Δx, 只要Δx 0 且 x Δx [a,b], 就有
,
x 2 t2 3, 2
Δ
Δx
1 Δx
x Δx x
f (t)dt
1 Δx
Δx
f
(
x
Δx)
f (x Δx),
0 1.
由 f 在[a, b]上连续可知：
( x) lim Δ
Δ x 0 Δx
lim f ( x Δx) f ( x). Δx0
即 ( x) 在点 x 可导. 再由 x 的任意性，定理得证.
第一章5节
∴ 由牛顿-莱布尼兹公式，有：
f ((t))(t)dt F ((t)) F(b) F(a)
b
f ( x)dx.
a
注：1. 对定积分使用换元法时无需将最后结果代换回 x .
2. 若应用换元法时改变了积分变量，则应注意变限 .
第一章5节
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例1. 求 1 1 x2 dx. 0
解:
令 x sin t,