二次型及曲面
第7章 二次型与二次曲面
2 4
1 2 A= 0
T
0 0 −3
矩阵是对角矩阵
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
类似我们所考虑过的几何问题，我 们讨论在矩阵为Q的线性变换，即
定理 2.1
A 为正交矩阵的充要条件为
AT A = I. (2.4)
立则 证 ： 证 分 ， (2.4) 成 ， 明 先 充 性若
AX − AY = [ A( X −Y)]T A( X −Y) = ( X −Y)T AT A( X −Y) = ( X −Y)T ( X −Y)
2
= X −Y .
2
充分性得证。
x1 = q11y1 + q12 y2 +L+ q1n yn , x = q y + q y +L+ q y , 2 21 1 22 2 2n n
LLLL x = q y + q y +L+ q y n n1 1 n2 2 nn n
T
(1.7)
的作用下，二次型 f = X AX 会变成什么样子。
1 1 A= 0 0
2 3 0 3 0 −2 0 −2 −3
T
1
0
0
令 X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = X A X
T
例1.2
解
写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x + 2 x − 3x
二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 = [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2] (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. ETAE = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.
|EA| = 0 特征值 正交化 (EA)x = 特征向量
Q
单位化
定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
最大值为4, 最小值为2.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
二次型与二次曲面
f = 4y12 +4y22 2y32.
x12+x22+x32 = 1 可化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32
= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 最大值为4, 最小值为2.
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
x = Qy (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1 0 … 0 y1
= (y1, y2, …, yn)
0 …
2
…
…0 ……
y2 …
0 0 … n yn
= 1y12 + 2y22 + … + nyn2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
]
3
x32
4
x12
3(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
8 3
x32
4
x12
3(
x2
1 3
x3
)2
8 3
x32
令
y1 y2
x1 x2
1 3
x3
则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.
y3 x3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3
第六章 二次型与二次曲面
二、线性变换
在平面解析几何中，为了确定二次方程
ax 2bxy cy d
2 2
所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：
x x cos y sin y x sin y cos
选择适当的 ，消去交叉项,可使上面的方程化为
ax 2 by 2 d , 上述 x , y 由 x , y 的线性表达式给出，通常称为
a22 x 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 , , xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
n
n
记
a11 a 21 A a n1
a12 a1n a22 a 2 n , an 2 ann
T
x1 x2 X , x n
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
2 a nn x n
2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
2014-1-23 南京邮电大学 邱中华
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j ,
4
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
例1 用正交变换将二次型 2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 化为标准形，并求所作的正交变换。 二次型的矩阵
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型和二次曲面是线性代数中两个非常重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从二次型的定义、二次曲面的定义、二次型与二次曲面的关系等方面展开探讨，并通过具体的例子来加深理解。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
在线性代数中，一个二次型可以用一个对称矩阵来表示。
设有一个n元二次型，即一个n维向量x经过一个n×n的对称矩阵A的线性变换后的值，表示为Q(x)=x^T·A·x，其中x=[x1, x2, ..., xn]^T是一个n维向量，A是一个n×n的对称矩阵。
二次型的值可以理解为向量x在二次曲面上的高度或者说是该位置点的能量。
接下来，我们来回顾一下二次曲面的定义。
一个二次曲面可以用一个二次齐次方程来表示。
一个n维二次曲面可以表示为F(x)=x^T·C·x=0，其中x=[x1, x2, ..., xn]^T是一个n维向量，C是一个n×n的对称矩阵。
如果F(x)>0，那么点x在二次曲面的外部；如果F(x)<0，那么点x在二次曲面的内部；如果F(x)=0，那么点x在二次曲面上。
现在，我们来探讨二次型与二次曲面的关系。
通过观察二次型Q(x)=x^T·A·x和二次曲面F(x)=x^T·C·x=0的定义式，我们可以发现它们有很多相似之处。
首先，它们都涉及到n维向量x的平方项，因此它们都具有二次的特点。
其次，它们的系数矩阵A和C都是对称矩阵，这是因为二次型和二次曲面的定义式都要求它们的系数矩阵是对称的。
最后，它们的形式非常相似，只是等式左边是一个二次型，右边是一个常数或者是零。
通过进一步观察，我们可以发现更深层次的联系。
具体来说，二次型的矩阵A可以影响二次曲面的方程的形状和位置。
首先，矩阵A的特征值和特征向量决定了二次型Q(x)的主轴方向和主轴长度，进而影响了二次曲面的形状。
二次型(课后修改版)
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例3. 用配方法化f =4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形, 用配方法化f +3x +3x +2x 为标准形,
并求所用的可逆线性变换. 并求所用的可逆线性变换.
例4. 用配方法化f =x12−3x22−2x1x2−6x2x3+2x1x3 用配方法化f 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 用配方法化f =2x +2x 为标准形. 并求所用的变换矩阵. 并求所用的变换矩阵.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
把它们单位化可得正交矩阵 1 2 0 1 2 Q= 0 , 1 0 1 2 0 −1 2 令x = Qy, 得该二次型的标准形为 Qy, f = xTAx = (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y (Qy) Qy) AQ) = yT 0 1 0
0 0 2 0 0 0
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =2x1x2+2x1x3 –6x2x3为标准形. 用配方法化f =2x +2x 为标准形. 并求所用的变换矩阵. 并求所用的变换矩阵. 分析: 分析: 若用前面正交变换的方法化 f 为标准形, 为标准形, 求变换矩阵非常麻烦. 求变换矩阵非常麻烦. 因为 0 1 1 f(x1, x2, x3)的矩阵A = 1 0 −3 , 的矩阵A 1 −3 0 |λE–A| = (λ–3)[λ+1 (3+ 17 )][λ+ 1 (3− 17 )]. (3− 2 2 但由此可见 f 可化为 f = 3y12 − 1 (3+ 17 )y22+ 1 ( 17 − 3)y32. 3y )y 3)y 2 2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
1
§6.1 二次型及其标准形
1. 二次型及其矩阵 定义1.1 含有n 个变量x1 , x2 ,, xn且系数属于数域F的
二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn a x +2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
5
2 2 例 写出二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵。 解 a11 1，a22 2，a33 3,
1 2 0 a12 a21 2，a13 a31 0， A 2 2 -3 。 0 -3 -3 a23 a32 3 。 1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 X T AX 0 3 3 x 3 2 2 例 写出二次型 g ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 3x3 的矩阵。 1 0 0 解 A = 0 2 0 ， 0 0 -3 1 0 0 x1
T T T 2 1 1
2 n
证 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )的矩阵 A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C，使 C AC C AC diag (1 , 2 ,, n )
1 T
15
其中 1 , 2 ,, n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征 值；正交矩阵C 的 n 个列向量是 A 的对应于特 征值1 , 2 ,, n 的n 个单位正交特征向量。
二次型和二次曲面的对应关系
二次型和二次曲面的对应关系二次型和二次曲面的对应关系二次型与二次曲面的定义•二次型是一个关于n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次多项式，可以表示为Q(x) = xTAX，其中A是一个对称矩阵，n是正整数。
•二次曲面是一个在n维空间中的曲面，可以表示为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + …,其中A, B, C是常数，x, y, z是变量。
二次型与二次曲面的联系•二次型和二次曲面之间存在着紧密的对应关系，通过对二次型的矩阵A进行特征分解，可以获得二次曲面的标准方程。
二次型矩阵的特征分解1.计算二次型的特征值和特征向量；2.将特征值组成对角矩阵Λ，特征向量组成矩阵P；3.得到特征分解Q(x) = xTPΛPx。
二次曲面的标准方程•根据二次型矩阵的特征分解，可以得到二次曲面的标准方程。
1.当二次型矩阵A的特征值全为正时，二次曲面为椭圆或椭球体，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1。
2.当二次型矩阵A的特征值全为负时，二次曲面为虚椭圆或虚椭球体，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = -1。
3.当二次型矩阵A的特征值中有正有负时，二次曲面为双曲面，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1。
4.当二次型矩阵A的特征值中有零时，二次曲面为抛物面，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 2z/c。
结论•通过二次型的特征分解可以得到二次曲面的标准方程，从而对二次曲面进行研究和分析。
二次型和二次曲面之间的对应关系可以帮助我们从二次型的角度来理解和解释二次曲面的性质和特点。
二次型与二次曲面的性质对应•二次型和二次曲面之间的对应关系不仅仅是形式上的对应，它们之间还存在着一些性质上的对应关系。
###1. 矩阵的正定性与曲面的凸性•如果一个二次型矩阵A是正定的，即所有的特征值都是正的，那么对应的二次曲面就是一个凸曲面。
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
8.二次型与二次曲面
a=b ？ a=b=c ？ a=b ？
b=c ？
a=b ？
(二)、λ1 、λ2 不为零,λ3 = 0
λ1 x2+λ2 y2= c z + d y2 o x2 5 2p + 2q = z ( p、q同号) 椭圆抛物面 y2 = z ( p、q同号) o x2 双曲抛物面 6 2p - 2q 2 2 2 2 x y x y o o 8 a 2 - b 2 =1 7 a 2 + b 2 =1
x2 + y2 + z2 =1 例1:求曲线C: x2 + y2 -x =0 在xOy , zOx 坐标面上的投影.
(z≥0) ,
解:
x2 + y2 + z2 =1 在xOy面上的投影为 x2 + y2 -x =0 往zOx 面上投影: x2 + y2 + z2 =1 (消去y) x2 + y2 -x =0 z2 + x = 1 y =0 x2 + y2 -x =0 z =0
柱面特点: 含有两个变量的方程在空间表示柱面. C: f ( x,y )=0 ( z为母线) S: f (x,y)=0
z=0
柱面名称:与母线名称对应.
(1).椭圆柱面
x2 y2 2 1 2 a b
z
当 a=b 时,为圆柱面:
x2 y2 a2
o x
y
(2).双曲柱面
z
x2 z2 2 2 1 a b
2 2
√2 2 0 √2 2
0
1
0
,
f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 .
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
二次型和二次曲面
二次型和二次曲面
二次型是一种数学函数，它具有特定的格式，称为二次函数。
二次函数是指一个函数，它的输入变量为一个二次多项式，以及它的输出。
它可以用一个椭圆或抛物线的形式来表示。
二次函数也可以用来描述一个曲面，称为二次曲面。
二次曲面是指一个曲面，它的定义是由一个二次多项式（或者椭圆）来表达的。
它可以用来表示一个球面、圆柱面、椭圆面等。
此外，二次型和二次曲面也可以用来解决一些数学问题，比如统计学中的回归分析、最佳拟合、最小二乘法等。
它们还可以用来计算复杂的函数，比如三角函数、指数函数、对数函数等。
最后，二次型和二次曲面也可以用来描述一种物理现象，比如重力、热力学、光学等。
他们也可以用来解释一些现象，比如地球运动，太阳系中行星运动，气候变化等。
总之，二次型和二次曲面在数学和物理学中有着广泛的应用，是许多数学问题和物理现象的重要工具。
8.二次型与二次曲面解读
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
第六章 二次型与二次曲面2
x 1 y 与对角阵相合, 则(x, 1 2 0
y) = (1, 2)
等价关系汇总
相合的实对称阵的最简形: PTAP = Eq 不变量: 秩;正负惯性指数 O 实对称阵相合 正负惯性指数相同 规范形相同 相似的不变量: 秩; 特征值, 迹, 行列式 四种等价关系之间的相互关系 相抵 相 似 正交 相似 相 合
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 n 迹大于n. A 2E 2 证明2: 因为A是正定的n阶实对称矩阵, 所以A的n个特征值1, …, n均大于零. 设QTAQ = Q1AQ = =
1
n
n
,
则Q1(A+E)Q = +E, tr A E i 1 n
2 t 4 t 2 0 1 2 0, 2 t 2 2 3 A (2 2t )(2 t ) 0 2 4 t 0, 即 2 t 2, 当 -2< t <1 t 1, 时A正定. 2 2t 0,
例13 设ARmn, 证明ATA正定 r(A)=n. 证 若ATA正定,则 |ATA| > 0, n = r(ATA) r(A) n, r(A)=n. 由(ATA)T=ATA知ATA是n阶实对称阵,
三. 用配方法化实二次型为标准形 仿射变换时几何 形状可能改变
n
可逆线性变换下的不变量： r(f), p(f),q(f) 标准形不唯一，但规范形唯一. 2 2 f y1 y 2 y 21 yr2 0 yr21 0 yn p p
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
可逆线性变换 标准形 AT = A 实二次型
七章二次型与二次曲面-资料
7.1 实二次型 7.1.1 二次型的定义及矩阵表示
1．定义7.1 n个变量 x1,x2, ,xn 的二次齐次函数 nn
f(x1,x2, ,xn)
aijxixj
i1 j1
a 1 1 x 1 2 a 1 2 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
a 2 1 x 2 x 1 a 2 2 x 2 2 a 2 n x 2 x n
即
1 2 2 1 2 2
2 4
4 0 0
0
2 4 4 0 0 0
x1 2 x2 2 x3
所以得同解方程组为
x
2
x2
x 3 x 3
2
2
得基础解系为
1
1
,
2
0
.
0
1 4
0
0
1
x1
z1
z2
3 2
z3
x2 z1 z2 2 z3
x
3
z3
1
1
3 2
C C1C2 1 1 2 , | C | 0
0
0
1
C 可逆.
X C Y c 1 (c 2Z ) c 1 c 2Z 为可逆线性变换.
个对称矩阵.
f
例1 设二次型 f x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x 3试写出二次型 的矩阵.（ f 为三元二次型）
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型与二次曲面是线性代数和几何学中重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将讨论二次型和二次曲面的定义、基本性质以及它们之间的关系。
我们将从二次型和二次曲面的定义开始，然后讨论它们之间的关系，最后总结全文的内容。
**一、二次型的定义和基本性质**在线性代数中，二次型是一个定义在n维向量空间V上的二次齐次函数，通常记作Q(x)，其中x是V中的一个向量。
二次型通常表示为Q(x)=x^TAX，其中A是一个对称矩阵。
二次型的基本性质包括对称性、正定性和二次型矩阵的特征值。
1.对称性：由于A是对称矩阵，所以二次型Q(x)具有对称性，即Q(x)=Q(x^T)。
2.正定性：如果二次型Q(x)对于V中的任意非零向量x都有Q(x)>0，则称其为正定的二次型。
同样地，如果Q(x)对于任意非零向量x都有Q(x)<0，则称其为负定的二次型。
3.二次型矩阵的特征值：二次型的矩阵A的特征值提供了有关二次型行为的重要信息。
特征值为正的情况对应正定二次型，特征值为负的情况对应负定二次型，特征值为零的情况对应半正定或半负定的情况。
**二、二次曲面的定义和基本性质**在几何学中，二次曲面是一个定义在三维空间中的曲面，通常表示为F(x,y,z)=0。
二次曲面的基本性质包括轴、实轴、非退化性和标准化等。
1.轴：二次曲面的轴是通过曲面的中心且与曲面的任意切线垂直的直线。
轴可以是实轴或虚轴。
2.实轴和虚轴：如果二次曲面的轴是实轴，那么它是一个实二次曲面；如果二次曲面的轴是虚轴，那么它是一个虚二次曲面。
3.非退化性：二次曲面是非退化的，如果对于曲面上的每一点，存在一个领域使得在这个领域内，曲面能通过一个关于x、y和z的方程F(x,y,z)=0唯一确定。
4.标准化：二次曲面可以通过线性变换变换为标准形式，使得它的方程变得简单。
常见的标准形式包括椭球面、双曲面和抛物面等。
**三、二次型与二次曲面的关系**二次型和二次曲面之间的关系体现在它们的数学性质和几何性质上。
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( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 22 2 , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2
( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 22 2 , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2
2 1 1 【解】 二次型的矩阵 A 1 2 1 ; 1 1 2 1 1 6 2 2 由例 2 知, 取正交阵 P 0 6 12 1 6
1 3 1 3 1 3
:
正交变换 x Py 化二次型 f ( x )为正交标准形
a b 【例 1】 将实对称阵 A 正交对角化. b a 【解】 矩阵 A 的特征多项式
| E A|
a
b
b [ (a b)][ ( a b)] a
特征值为 1 a b, 2 a b.
解方程组 (1 E A) x 0 和 (2 E A) x 0 得到对 应特征值 1 , 2 的特征向量: 1 1 x1 , x2 . 1 1 x1 , x2 是正交的, 现在令 1 1 2 2 1 1 x , x P , || x1 || 1 || x2 || 2 1 1 2 2
(b1 , , br 0), 2 2 cq z q cq 1 z q 1
T 1 T 1
由于 1 , 2 不同, 故[ x1 , x2] 0 , 从而 x1 , x2 正交.
【定理6. 1】 若 A 为 n 阶实对称阵 , 则存在一个正交 阵 P 使得 T P AP diag(1 , , n ), 这里的 1 , , n 为 A的特征值.
注: 此定理说明实对称阵可以正交对角化.
正交变换 x Py 化二次型 f ( x )为正交标准形
2 2 f ( x ) y T ( P T AP ) y (a b) y1 ( a b ) y2 .
【例 5】 求正交变换 x Py 化二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 2 x2 x3 2 x3 为正交标准形.
2 2 2 f ( x ) y T ( P T AP ) y y1 y2 4 y3 .
6.2
二次型的标准形与惯性定理
本节主要内容:
二次型的标准形与惯性定理
实对称阵的合同
配方法化二次型为标准形
1. 二次型的标准形与惯性定理
在讨论二次型 f ( x ) x T Ax 时 , 有时我们仅需要一 2 2 个可逆变换 x Cy 将其化为 d1 y1 形式. d n yn
aij xi x j .
i 1 j 1
n
n
对于二次型
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 2a12 x1 x2 2 a22 x2
2a1n x1 xn 2a2 n x2 xn
2 n 阶对称阵 A 12 22 a1n a2 n
【例 4】 求正交变换 x P y化二次型 2 2 f ( x1 , x2) ax1 2bx1 x2 ax2 为正交标准形. a b 【解】 此二次型的矩阵 A ; b a
由例 1 知, 取正交阵 P
1 2 1 2 1 2 : 1 2
T
【最简单的二次型】 仅含平方项的二次型最简单, 最容易处理:
2 f d1 x1 2 d n xn ( x1 ,
d1 , xn )
x1 . x dn n
【二次型的核心问题】
对于一般的 n 元二次型 f X T AX , 是否存在可逆 线性变换 X CY 将其变为仅含平方项的二次型: f X T AX (CY )T A(CY ) 为什么我们要求 线性变换 Y T (C T AC )Y X CY 2 2 d1 y1 d n yn . 为可逆的?
则 P 为正交阵, 且
0 a b P AP . a b 0
T
3. 二次型的正交标准形
【定理6. 2】 对于 n元二次型 f ( x ) x T Ax , 存在一个 正交变换 x Py 化此二次型为正交标准形 2 2 , f 1 y1 n yn 这里 1 , , n 为 A的特征值. 1知, 存在一个正交阵 P 使 【证明】 由定理6. P T AP diag(1 , , n ) , 1 , , n为 A的特征值. 取正交变换 x Py , 则 1 y1 f ( x ) y T ( P T AP ) y ( y1 , , yn ) n yn 2 2 1 y1 n yn .
a1n x1 x a2 n , 再令 X 2 , 则 ann xn
T
f ( x1 , x2 ,
, xn ) X AX .
【定义 2】 我们称对称阵 a11 a A 12 a1n 为二次型 X T AX 的矩阵, 型的秩.
【二次型核心问题的矩阵版】
对于一个 n 阶对称矩阵 A, 是否存在一个可逆矩阵 C 使得 C T AC 为对角阵:
d1 T C AC
. dn
对此给出肯定地回答就是 本节的主题 , 为此我们先 来讨论实对称阵的性质.
2.复习-- 实对称阵的对角化
【命题6.3】 实对称阵的特征值都是实数, 从而其特 征向量都可取为实向量. 【证明】 设复数 是实对称阵 A 的特征值 , 非零的复 向量 x 是对应 的特征向量: Ax x .
T T ( Ax ) x2 x ) 1 [ x1 , x2] 1 ( x T ( x ) x 1 1 2 1 1 2 T T ( x A ) x2 x1 ( AT x2 ) x1 ( Ax2 )
T 1 T
x (2 x2 ) 2 ( x x2 ) 2 [ x1 , x 2],
现在我们通过验证 = 来证实 为实数:
( x T x ) = x T ( x ) = x T ( Ax ) = ( x T A) x = ( x T AT ) x
=( Ax ) x ( Ax ) x ( Ax )T x ( x )T x
T
T
T ( x x ), ( x ) x
【评注】 前面的示例说明将一个二次型化为标准形
的可逆变换不是唯一的 , 标准形也不唯一 ; 当变换 不是正交变换时 , 此二次型的标准形中各项的系数 就不一定是二次型矩阵的特征值了 . 在这个不唯一 中 , 有没有什么是确定不变的 . 我们的回答是 , 有 ! 这就是下面二次型的惯性定理:
一个二次型的标准形中, 正系数 (负系数)的个数是确定不变的.
第六章 实对称阵与二次型
本章主要内容:
实对称阵与二次型 二次型的标准形与惯性定理
正定二次型
6.1
二次型及标准型
本节主要内容:
二次型与实对称阵的对应
实对称阵的对角化 二次型的正交标准形
1. 二次型与实对称阵的对应
【定义 1】 实系数的 n元二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 2a12 x1 x2 2 a22 x2
【定理6.3】 设 n 元二次型 f ( x ) x T Ax 的秩为 r 0 . 若可逆变换 x By , x Cz 分别化此二次型为标准 形: 2 2 f b1 y12 b p y 2 b y b y p p 1 p 1 r r
2 f c1 z1
【定义 1】 若一个可逆线性变换 x Cy 可将二次型 f ( x ) x T Ax 化为 2 2 , f y T ( P T AP ) y d1 y1 d n yn 则称后者为二次型 f ( x ) x T Ax 的(一个)标准形.
示 如下两个不同的可逆线性变换 x1 2 y1 y2 x1 z1 3 z2 例 x 2 y y 和 x z 3z 1 2 1 2 2 2 可将二次型 f ( x1 , x2 ) x1 x2 化为不同的标准形 2 2 2 2 4 y1 y2 和 z1 9 z2 .
a1n a2 n a2 n ann 并称矩阵 A 的秩为此 二次 a12 a22
例如, f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 的矩阵为
1 0 1 1 0 3 . 1 3 0
【二次型的线性变换】
X T AX ( x1 , x2 ,
a11 a12 a a , xn ) 21 22 a n1 a n 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn a1n xn a2 n xn ann xn
若 f ( X ) X T AX 为 n 元二次型, 将线 性变换 X CY 代入此二次型, 得到
y1 Y y n
f ( X ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (C T AC )Y .
此时, Y T (C T AC )Y 为变元 y1 ,
T
而当 x 0 时, x T x 0 , 从而得到 .
当 为实数时 , 方程组 ( E A) x 0 的系数都是实 数, 从而其解可取为实数向量.
【命题6.4】 实对称阵不同特征值的特征向量正交.
【证明】 设 A 为实对称阵 , 1 , 2 是它的两个不同的 特征值, 对应的特征向量分别为 x1 , x2 : Ax1 1 x1 , Ax2 2 x2 .