中考数学题型归纳探究题参考答案

中考数学题型归纳——探究题

中考真题（2005-2014）

（2005·青岛）22、（本小题满分12分）

等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：在 △ABC 中，AB AC ，把底边BC 分成m 等份，连接顶点A

和底边各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m 等分．

问题的提出：任意给定一个正n

边形，你能把它的面积m 等分吗 探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正 三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心） 引线段，才能将这个正三角形的面积m 等分

如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图①，这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连接中心和各边等分点（如图②，这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图③）．这样就能把正三角形的面积四等分．

① ② ③

实验与验证:仿照上述方法，利用刻度尺，在图④中画出一种将正三角形的面积五等分的示意简图．

猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m 等分叙述你的分法并说明理由． 答：

B C

B ④ B

B

B

拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m 等分（叙述分法即可，不需说明理由） 答：

问题解决：怎样从正n 边形的中心引线段，才能将这个正n 边形的面积m 等分（叙述分法即可，不需说明理由）

答：

22、（本小题满分12分）

（1）实验与验证：图（略） ··················· 3分 （2）猜想与证明：

先连接正三角形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起，即可把正三角形的面积m 等分．

······························ 5分 理由：正三角形被中心和各顶点连线分成三个全等的等腰三角形，所以这三个等腰三角形的底和高都相等；这个等腰三角形的底边被m 等分，所以所得到的每个小三角形的底和高都相等，即其面积都相等，因此，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起合成的图形的面积也相等，即可把此正三角形的面积m 等分． ············· 8分

（3）拓展与延伸：

先连接正方形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的四个小三角形拼合在一起，即可把正方形的面积m 等分．

························· 10分 （4）问题解决：

先连接正多边形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m 等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的n 个小三角形拼合在一起，即可把正多边形的面积m 等分．

······························· 12分

A D B

C

A 34A 5 6

（2006·青岛）23．（本小题满分 10 分）

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一

个三角形小圆圈的个数为

21）

（+

n

n

，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝

21）

（+

n

n

．

（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

23．（本小题满分10分）

解：（1）

………………………………………………………3′因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．

∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝

2

1 1

2〕

）

—

〔（+

⨯n

n

＝n2．………………6′

（2）

…………………………………………………………………9′因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．………………………………………10′

（2007·青岛）23．（本小题满分10分）

提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意

一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、

特殊的情形入手：

（1）当AP＝1

2

AD时（如图②）：

∵AP＝1

2

AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝1

2

S△ABD ．

∵PD＝AD－AP＝1

2

AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝1

2

S△CDA ．

∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四边形ABCD－1

2

S△ABD－

1

2

S△CDA

＝S四边形ABCD－1

2

(S四边形ABCD－S△DBC)－

1

2

(S四边形ABCD－S△ABC)

＝1

2

S△DBC＋

1

2

S△ABC ．

（2）当AP＝1

3

AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

解：