2008年高考试题——数学文(全国卷2)

2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(必修+选修I)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B = 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3
4π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)
(012)k
k
n k
k n P k C p p k n -=-= ，，，，
一、选择题
1．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ） A ．{}01，
B ．{}101-，，
C ．{}012，
，
D ．{}1012-，，，
3．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
4．函数1()f x x x
=-的图像关于（ ）
A ．y 轴对称
B ． 直线x y -=对称
C ． 坐标原点对称
D ． 直线x y =对称
5．若13
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ）
A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ． b <a <c
D ． b <c <a
6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪
-⎩，
，．
≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ．
12
C ．12
-
D ．1-
8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ） A ．3 B ．6
C ．9
D ．18
9．4
4
)1()1(x x +
-的展开式中x 的系数是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
10．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1
B ．
2
C ．3
D ．2
11．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=
，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．
22
1+ B ．
2
3
1+ C ． 21+ D ．31+
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(必修+选修I)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量(12)(23)==，
，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学
又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）
15．已知F 是抛物线2
4C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为
(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13
A =-
，3cos 5
B =
．
（Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
19．（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1A C ⊥平面B E D ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
21．（本小题满分12分）
设a ∈R ，函数2
3
3)(x ax x f -=．
（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，
，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，
，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =
，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 提示：
1、αα,0sin < 在第三或四象限，0tan >α，α在第一或三象限α∴为第三象限角
2、}1,0,1{},21|{-=∈<≤-=⋂Z x x x N M
3、555=
=
d
4、)(x f 为奇函数
5、c a b x x e <<∴<<-∴<<-0ln 111
6、当⎩⎨
⎧=-=2
2y x 时，83min -=-=y x Z
7、ax y 2'
=，当1=x 时，
122,2'
=∴==a a a y 8、如图，,60,32o
SAO SA =∠=
则6,3,360sin =
∴==⋅=AB AO SA SO o
6363
12
=⨯=∴V
9、4
4
4
)1()1()1(x x x -=+
-
，x ∴的系数为41
4-=-C
10、)4
sin(2cos sin )(π
-
=-=x x x x f )(x f ∴最大值为2
11、设1||=AB ，则3=
AC ，13||||2-=-=CB AC a ，
1||2==AB C ，2
1322+=
=
∴a
c e
12、1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点
C
D
B
A
S
为C ，则四边形C OO O 21为矩形，所以
OC AC AC OA OC O O ⊥===,1||,2|||,|||21
3||||||2
2
=
-=
∴AC OA OC
二、填空题
13．2 14．420 15．2
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
13、20)2(7)32(4)32,2(=∴=+-+∴++=+λλλλλλb a ； 14、4203
63
103
16=--C C C ； 15
、
设
)
,(),(2211y x B y x A ，
),(4441
22
1221
2122
2x x y y x y x y -=-∴⎪⎩⎪⎨⎧==141
21212=+=--y y x x y y AB ∴所在直线方程为22-=-x y 即x y =，又4,04212==⇒⎩⎨
⎧==x x x y x
y ， 22||||2
11||24||2||12==
∴==-=
∆OF AB S OF x x AB ABF ;
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：
（Ⅰ）由5cos 13
A =-，得12sin 13
A =
，
由3cos 5
B =
，得4sin 5
B =． ··································································································· 2分
所以16sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=
． ················································· 5分
（Ⅱ）由正弦定理得4
5sin 13512sin 313
BC B AC A ⨯⨯=
=
=． ························································· 8分
所以ABC △的面积1sin 2
S BC AC C =⨯⨯⨯1131652
3
65
=⨯⨯⨯83
=． ····························· 10分
18．解：
设数列{}n a 的公差为d ，则
3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，
104由3610a a a ，，成等比数列得2
3106a a a =， 即2(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得2
10100d d -=，
解得0d =或1d =． ·················································································································· 7分 当0d =时，20420200S a ==． ····························································································· 9分 当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202
S a d ⨯=+207190330=⨯+=． ····························································· 12分
19．解：
记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，
12B B ，分别表示乙击中8环，9环，
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）112122A A B A B A B =++ ， ························································································ 2分
112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++
112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ·
················································································ 6分 （Ⅱ）12B C C =+， ·················································································································· 8分
2
2
2
13()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=， 3
3
2()[()]0.20.008P C P A ===，
1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ····································· 12分 20．解法一：
依题设，2AB =，1CE =．
（Ⅰ）连结AC 交B D 于点F ，则BD AC ⊥．
1在平面1A C A 内，连结E F 交1A C 于点G ，
由于
1A A A C F C
C E
==
故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠， CFE ∠与1FC A ∠互余．
于是1A C EF ⊥．
1A C 与平面B E D 内两条相交直线BD EF ，都垂直，
所以1A C ⊥平面B E D ． ············································································································ 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H D E ⊥，
故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ········································································· 8分
EF =
=
C E C F C G EF ⨯==
，3
E G ==
．
13
E G E F
=
，13
EF FD G H D E
⨯=
⨯
=
．
又1A C ==
，113
A G A C C G =-=
．
11tan A G A H G H G
∠=
=
所以二面角1A DE B --
的大小为arctan ·································································· 12分 解法二：
以D 为坐标原点，射线D A 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1 F
H G
(021)(220)D E D B ==
，，，，，，11(224)(204)A C DA =--= ，，，，，． ······································· 3分 （Ⅰ）因为10A C DB = ，10A C DE =
，
故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D = ，
所以1A C ⊥平面D B E ． ············································································································ 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥
n ，1D A ⊥ n ．
故20y z +=，240x z +=．
令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ······································································ 9分
1A C <>
，n 等于二面角1A DE B --的平面角，
111cos 42A C A C A C
<>==
，n n n ． 所以二面角1A DE B --
的大小为arccos 42
． ································································· 12分
21．解：
（Ⅰ）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-．
因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ······················································ 4分 （Ⅱ）由题设，3
2
2
2
()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．
当()g x 在区间[02]，
上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，
即02024a -≥． 故得65
a ≤
． ······························································································································ 9分
反之，当65
a ≤
时，对任意[02]x ∈，
，
2
6()(3)3(2)5
g x x x x x +-+≤
2
3(210)5x x x =+- 3(25)(2)5
x x x =
+-
0≤，
而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，
上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
，． ·························································································· 12分
22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为
2
2
14
x
y +=，
直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ·················································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22
(14)4k x +=，
故21x x =-=
．①
由6ED DF = 知01206()x x x x -=-
，得021215(6)77x x x x =+==；
由D 在A B 上知0022x kx +=，得0212x k
=+．
所以
212k
=
+，
化简得2
242560k k -+=， 解得23
k =
或38
k =
． ················································································································· 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到A B
的距离分别为
1h =
=
2h =
=． ········································································ 9分
又AB =
=，所以四边形AEBF 的面积为 121
()2S A B h h =+
1
4(12)
2k +=
=
=
≤
当21k =，即当1
2k =时，上式取等号．所以S
的最大值为． ································· 12分 解法二：由题设，1BO =，2A O =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，
故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△
222x y =+ ·
··································································································································· 9分
=
=
≤
=
当222x y =时，上式取等号．所以S
的最大值为 ···················································· 12分。