第二章 随机变量及其分布

分析：400次射击可看成400重伯努利实验。击中的
次数 X ~ b(400,0.02) 。“至少击中2次”等价于“击
中次数不是0或1次”。（解答）
结论：
a. 决不可轻视小概率事件。 b. 当所求事件的概率很小或很大时，可以根据实际 推断原理来判断实验的假设。
解：设击中次数为X，则 X ~ b(400,0.02) ，
P发( A1)
P{X
2} 1
P{X
2} 1
1
P{X
k}
生故障的台数
k 0
1 k10 2k0 (0.01)k (0.99)20k 0.0169
P( A1 A2 A3 A4 ) 1 P( A1 A2 A3 A4 ) 则发 生1 故P障(不A1能)P及(时A维2 )修P的( A概3 )率P为( A4 )
分析: 对第一种方法，“不能及时维修”等价于“4
人中任1人负责的20台中有2台或2台以上的设备 发生故障”。
对第二种方法，“不能及时维修”等价于“80
台中有4台或4台以上的设备发生故障”。（解答）
解答：对第一种方法.
以 Ai (i=1,2,3,4,) 表示“第i人维护的20台机器中发 生
故障不能及时维X修~”b。(2则0第,0一.0人1)维护的20台中同时刻
第二章 随机变量及分布
§1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率分布 §5 随机变量的函数分布
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§1 随机变量
• 随机变量的引入与 例1 、例2
• 定义: 设随机实验的样本空间为S={e}，
X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值
(2.4)
例1
离散型随机变量
a. (0—1)分布 随机变量X只可能取0与1两个 值，其分布律表格形式为：
X0
1
p k 1-p
p
（0<p<1）
表达式：P{X=k} = p k (1-p)1-k, k=0,1 则称X服从参数为p的 (0—1)分布重要或两点分布。 （说明）
b. 伯努利实验、二项分布
一、伯努利实验 定义：设实验结果只有两种可能 A与A ，则
例2：
按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级 品率为0.2，现在从中随机地抽取20只。问20只元 件中恰有k只（k=0,1,…，20）为一级品的概率市 多少。
分析：这是不放回抽样。由于元件总数很大，
而抽取的元件数量相对很少，检查20只元件相当
于做20重伯努利实验。记X表抽取的20只元件中
▪ 实值单值函数的映射不是指单射，而是相对于多 值函数的一般映射。
▪ 严格定义中“集合{e|X(e) ≦x,任 x∈R}有确定的概 率”应加入定义。但实际中不满足此情形很少见， 固未加入定义。
▪ 本书中，一般大写：X，Y，Z, W，…表随机变量， 小写：x, y, z, w，…表实数。
更多
▪ 随机变量取值随实验结果而定，在实验之前不 能预知它的结果, 且其取值都有一定的概率, 固与一般函数有本质区别。
为xk , 且 P{X= xk}= pk, k=1,2,…（2.1）
我们称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律。
• 由概率定义我们得到以下两性质：
1. pk ≧0, k=1,2,…（2.2）
2. pk 1 (2.3)
k 1
分布律还可以用表格来表示：
X
x1, x2, … xn, …
pK
p1 , pK , … pn , …
P{X=4}=0.218 P{X=5}=0.175 P{X=6}=0.109 P{X=7}=0.055
P{X=k} < 0.001 , 当 k ≥ 11时
P{ X=8 }=0.022 P{ X=9 }=0.007 P{X=10}=0.02
例3：
某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射 击400次，试求至少击中两次的概率。
（解答）（结论）
解：X仅在x= -1,2,3三点的概率≠0，根据分布函数定义及
概率的有限可加性：
0,
x 1
F (x)
P{ X
P{ X
1}, 1} P{X
2},
1 x 2 2 x3
1,
x3
0, x 1
即：
1
,
F (x)
4 3
,
4
1 x 2 2 x3
1 , x 3
F(x)的图形如图2—5，是一条阶梯形曲线，有x= -1,2,3三
举例
• 抛掷一个硬币观察正面反面，就是一个伯努利 实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。
• 抛掷一颗骰子，可得到6个点数，但是若我们考 察结果是否为“1点”与“非1点”，则就是一个伯努 利 实验。若抛掷n次就是n重伯努利实验。
• 在一批产品中，若做n次放回抽样，观察得到的 产品是否为次品, 则为n重伯努利实验; 若做n次不 放回抽样，由于各次实验不相互“独立”，故不是n 重伯努利实验。但是若此批产品的数目很大，抽 出的数目相对很小，则此时不放回抽样可看作放 回抽样, 如此n次不放回抽样也是n重伯努利实验
来表示。
2. 二项分布的推导过程与说明
3. 举例（ 例2，例3，例4 ）
C. 泊松分布
1. 定义：如果随机变量X的概率密度如下：
P(X k)
λ k k!
e
λ
,
k =0,1,2,… ( >0) ,
(2.4)
则称X服从参数为 的泊松分布，记作：
X ~ ()
2. 说明
3. 举例
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§3 随机变量的分布函数
函数,，X=X(e)为随机变量。
• 说明
• 举例与示意图2.2
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§2 离散型随机变量及其分布
• 定义：若随机变量的取值是有限个或可列 个，则称之为离散型随机变量 。
• 说明 • 要掌握离散型随机变量X的统计规律：
① 知道X所有可能的取值; ②且知每一可能取值的概率。
分布律
• 定义：设离散型随机变量X所有可能取值
一级品的个数，则：X ~ b(20,0.2)
（解答）
解：以X表示20只元件中一级品的个数。则
X ~ b(20,0.2) 。 P{X k} 2k0(0.2)k (0.8)20k ,k 0,1,,20.
将结果列表如下：
P{X=0}=0.012 P{X=1}=0.058 P{X=2}=0.137 P{X=3}=0.205
说明：
任一实验，若结果只有两个即S={e1,e2},
则总可定义：X=X(e)=
0,当e 1, 当e
e1 e2
，显然
X服从(0—1)分布。
比如新生 婴儿是男还是女，明天是否下雨， 抛一硬币是否出现正面等。
说明：
记P( A)=p (0<p<1),则P( A)=1-p。n重伯努利
实验定义中“重复”是指每次实验中A与A 发
比较第一、第二种方法。第二种方法虽然平均个 人任务更重，工作效率却更高。
例1：设随机变量X的分布律为
X
-1
2
3
pk
1/4
1/2
1/4
求X的分布函数，并求P{X≤1/2}， P{3/2<X ≤ 5/2}， P{2 ≤ X ≤ 3}。
分析：由分布函数定义，可根据随机变量X的分布律
求出分布函数。再由随机变量落在任一区间上的概率 与其分布函数的关系[ 如 (3.1) ]易求解。
个跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。（转下页）
由分布函数定义：
P{X ≤ 1/2}=F(1/2) = 1/4, P{3/2<X ≤ 5/2}=F(5/2) － F(3/2) =3/4 －1/4=1/2, P{2≤X ≤ 3}=F(3) － F(2) ＋ P{X =2}
=1 －3/4 ＋ 1/2=3/4.
• 而有的实验结果与数值无直接关系，我们可 以把它映射为数值来表示，如：硬币抛掷中出 现正面用“0”来表示，出现反面用“1”来表示。
例1：在一袋中装有编号分别为1，2，3的3只球，
在袋中任取一只球，放回，再取一只球，记录它 们的编号。考察两只球的编号之和。则实验的样 本空间S={e}={(i,j)} i,j=1,2,3。 i,j分别为第一，第 二次取到球的号码。 以X表示两球号码之 和，得到样本空间 的每一个样本点e， X都有一值与之对 应，如图2-1。
目标射击，直到打中目标为止，则此手所需射击次数X 是一随机变量。
• 例4：某车站每间隔5分钟有一公共汽车经过。若某人
随机到达此站，则他等车的时间X是一随机变量。
• 例5：某元件的可能寿命X 是一随机变量。
• 例6：一新生婴儿的性别记为X，当是男婴取X为1，当
为女婴时取X为0，则未出生前此婴儿的性别X为随机 变量。
即：Biblioteka Baidu
P{X k} 4k00(0.02)k (0.98)20k ,k,0,1,,400.
所求事件概率：
P{X≥2}=1－P{X=0}－ P{X=1} =1－(0.98)400 － 400(0.02)(0.98)399
=0.9972
例4：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发
生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处 理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护， 每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两 种方法在设备发生故障时不能及时维护的概率大小。
解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，
X所有可能取值为0，1，2，3，4。得X的分布律 为：P{X= k}= (1-p)k p , k=0,1,2,3, P{X= 4}= (1-p)4。用表格表示如下：
X
01
2
34
pk
p (1-p) p (1-p)2 p (1-p)3 p (1-p)4
代入p=1/2可得结果，可验证此结果满足分布 律两性质。
生
的概率不变。“独立”是指A各与次A实验互不影响。
记第i次实验结果为ci , ci为
，i=1,2,3,…n.
由独立得到：
P{c1 , c2 ,… cn }=p(ci) p(c2) …p(cn) . (2.5) n重伯努利实验是一个很重要的数学模型， 有二项分布，几何分布，巴斯卡分布等常见分
布以它为模型。
• 定义： 设X是一个随机变量，x是任意实数，
函数： F(x)=P{X≦x} 称为X的分布函数。 • 说明 • 基本性质 • 举例（例1，例2）
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• 为了进一步用数学方法研究随机实验，我们 把实验结果与实数对应起来，即将实验结果数 量化，引入随机变量的概念。
• 随机实验的结果很大部分直接与数值有关, 如：产品抽样中的次品数目，多次重复抛掷硬 币的实验中出现正面次数等等。
称为伯努利实验。将伯努利实验独立地重复地进 行n次，则称这n次实验叫n重伯努利实验。
• 说明 • 举例
二、二项分布
1. 定义：如果随机变量X的分布如下：
P
(
X=k
)
=
C
k n
p
k
q
n-k
,
k=0,1,2,…n.
(2.3)
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为 n, p 的
二项分布，或用记号
X ~ b(n, p)
例2：抛掷一硬币3次，考查3次抛掷中，出现H的
总次数，并记为X。引用第一章§2的表示法，可 得样本空间与X的取值的对应关系，如下表：
样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2 2 2 1 1 1 0
• 此前例1，例2中的X均为随机变量。
• 例3：某射手每次打中目标的概率为0.8，该射手不断向
例1：设一汽车在开往目的地的道路上要经四组信号灯,
每组信号灯以1/2的 概率允许或禁止汽车通过。以X表示 汽车首次停下时，它已通过的信号灯组数（设各组信号 灯的工作相互独立），求X的分布律。
分析：在第 i (1,2,3 ,4 )组信号灯前停下时，通过的信灯数
为 i -1且此事件发生的概率为(1/2) i-11/2 (因子 (1/2) i-1表示 前 i -1个允许通过的概率，因子1/2表示被第 i 个禁止通过 的概率)，同理，能到达目的地的概率为 (1/2)4。（解答）
▪ L为一实数集，X在L上取值记为{X∈L}, 它表 示事件B= {e|X(e)∈L},即B是S中使所有样本点 e所组成的事件，此时有P{X ∈ L}=P(B)= P{e|X(e)∈L}。
如：在例2中取X为2，记为{X=2}，它表事件 B={HHT,HTH,THH},P{X=2}=P(B)= P{HHT,HTH,THH}=3/8。
1 P( A1)4 1 0.98314 0.0659
对第二种方法. 80台中同时刻发生故障的设备台数 Y ~ b(80,0.01) 则发生故障不能及时维修的概率为
3
P{Y 4} 1 P{Y 4} 1 P{Y k}
k 0
1
3
k 0
8k0
(0.01)k
(0.99)80k
0.0087 0.0659