三角形三内角和欧氏几何罗氏几何黎曼几何的比较
黎曼几何和欧氏几何
黎曼几何和欧氏几何黎曼几何和欧式几何，都是重要的几何学理论。
它们都是18世纪欧洲数学发展中最重要的两个理论，对于研究几何结构和几何空间特性有着重大影响。
两种理论都是被雅可比发现的，但是它们之间有着明显的区别。
这篇文章将详细介绍这两个理论，以及它们之间的差异。
首先，介绍黎曼几何。
黎曼几何，又称费马几何，是一种无比重几何学理论，由柯西于1826年提出。
它是一种无比重的几何，被称为“超几何”，它是在普通的欧氏几何的基础上扩展而来。
黎曼几何以均方差曲线作为其坐标系，所以它有一些不同于欧氏几何的性质。
例如，在欧式几何中，两条直线的交点的坐标是唯一的，但在黎曼几何中，它们可以有多个交点，且这些交点也不一定在坐标系中。
接下来，介绍欧氏几何。
欧氏几何，又称欧几里得几何，是一种带有权重的空间几何学理论，由欧几里得在公元前300年提出，属于有权重的几何。
欧氏几何以欧几里得的直角坐标系作为坐标系，它具有许多熟悉的性质，例如面积、长度、弧度、角度等。
另外，在欧氏几何中，两条直线必定有且仅有一个交点，在直角坐标系上，可以通过简单的计算获得其坐标。
通过介绍可以发现，黎曼几何和欧氏几何之间存在着明显差异。
首先，黎曼几何是一种无比重几何，而欧氏几何是一种有权重的几何。
其次，黎曼几何以均方差曲线作为坐标系，而欧氏几何以欧几里得的直角坐标系作为坐标系。
此外，其中两条直线的交点在两者中也有不同，在欧氏几何中，两条直线只有一个交点，而在黎曼几何中，可以有多个交点，交点并不一定在坐标系中。
总之，黎曼几何和欧氏几何都是重要的几何学理论，它们各自有自己的特点，但它们之间也有着明显的不同。
例如，黎曼几何是无比重几何，以均方差曲线作为坐标系，而欧氏几何则是有权重的几何，以欧几里得的直角坐标系作为坐标系。
同时，两者之间在两条直线的交点坐标也有着一定的区别。
因此，黎曼几何和欧氏几何作为几何学理论，都是有其自身特点的，它们之间也有着明显的区别。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
黎曼几何和欧氏几何
黎曼几何和欧氏几何
黎曼几何和欧氏几何是近代几何学中两个非常重要的概念。
它们之间的区别主要体现在它们的定义和发展历史上。
黎曼几何的发展始于19世纪初，主要是由德国数学家卡尔·黎曼发展起来的。
按照他的思想，几何学不仅仅是由实际
观察得出的几何定理，而是根据一系列先决条件和假设来进行推理的。
根据这些先决条件和假设，可以推导出一系列几何定理，这就是黎曼几何。
欧氏几何是由欧几里得发展起来的，它的发展确立于公元前四世纪。
按照欧几里得的思想，几何学是一种基于实际观察、实验和实践的科学。
欧几里德的著作《几何原本》，概述了几何学的基本概念，如点、直线、圆、平面和体积，以及它们之间的关系。
根据这些概念，可以推导出一系列几何定理，这就是欧几里德几何。
从定义上来说，黎曼几何和欧氏几何都是几何学的一种。
但是，它们之间存在着根本的不同：黎曼几何是基于一系列逻辑推理的，而欧氏几何是基于实际观察的。
黎曼几何的定义是经过推理得出的，而欧氏几何的定义是基于实际观察的。
由于黎曼几何和欧氏几何之间存在根本的不同，它们在实际应用中具有不同的价值。
例如，黎曼几何可以用来推导各种
精确的几何定理，而欧氏几何可以用来解决实际问题，如建筑设计和机械结构设计等。
总之，黎曼几何和欧氏几何是近代几何学中两个非常重要的概念。
它们之间的区别主要体现在它们的定义和发展历史上，并且在实际应用中具有不同的价值。
浅谈几何的发展历程
前言：
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的 重要组成部分。在史学中,几何学的确立和统一经 历了二千多年,数百位数学家做出了不懈的努力。
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何这个词最早来自于希腊语“γ ε ω μ ε τ ρ ία ”，由“γ έα ”
（土地）和“μ ε τ ρ ε ĭν ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量
柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界 的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份." 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和 确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后 来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的 领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几 何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空 间的科学.几何学就是数学,研究的中心.
，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最
早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并
未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译
，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也
可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、
解析几何的诞生
解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本 思想是在平面上引入“坐标”的概念,并借助这种坐标在 平面上的点和有序实数对(x,y)建立一一对应的关系,于是 几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费 马。1637年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的 方法论》的附录《几何学》中清晰的体现了解析几何的思 想。而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析 几何的原理,他在书中提出并使用了坐标的概念,同时建立 了斜坐标系和直角坐标系。
时空的绝对性(客观性).
实践的功能（实践是人与世界相 互作用的中介）
• 主体客体（对象）化： • 指人通过实践使自己的本质力量转化
为对象物。（实践创造客体价值） • 客体主体（非对象）化： • 指客体从客体对象的存在形式转化为
主体生命结构的因素或主体本质力量的 因素，客体失去对象化的形式，变成主 体的一部分。（实践优化主体）
• 主体客体化——人的自然化过程——人 改化——自然的人化过程——人 的自我改变（体现了实践优化主体的功 能）
实践的基本形式
• （1）创造物质资料的生产实践。 • （2）处理和调整人际关系的社会关系实
践。 • （3）创造科学文化成果的精神生产实践。
二、主观世界与客观世界、自 在世界与人类世界的关系
（一）主观世界与客观世界
• 1、主观世界： • 指人在长期的实践活动中所形成的相
对稳定的内心世界，是一定个人由其各 种主观精神要素按一定方式结合成的意 识和观念系统。 • 2、客观世界： • 即主观世界以外的一切客观实在。包 括自然世界和人类世界。
时空的绝对性（客观性）
• 1、人类的实践证明时空的客观性 • 2、时空先于人类而存在，不是人类意识
的产物 • 3、人类时空观念的变化并未否定时空本
身的客观性
时空的特性随物质形态的变化而变化
• 欧氏几何认为：三角形三内角和＝180°
• 罗氏几何认为：三角形三内角和<180°
• 黎氏几何认为：三角形三内角和>180°
• 分别反映了：地面空间的特性
•
非固体物质形态的特性
•
宇宙空间的特性
实践
• 是人们为了自己的生存和发展所进行 的能动的改造世界的一切社会性的客观 物质活动。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
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Y B
A
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X
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Y
X
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
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五、陈省身的贡献
Chern在几何学上做出了巨大贡献， 最为重要的是 Gauss-Bonnet定理高维推广的内蕴证明 纤维丛的陈类（Chern Class)
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两维的Gauss-Bonnet定理
局部公式
2 i kg ds kdA
i
V EF 2
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环面的欧拉示性数
V EF 0
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双环面的欧拉示性数
V E F 2
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三环面的欧拉示性数
V E F 4
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定向紧致曲面：球面，环面，双环面等等，
在拓扑同构的意义下，所有紧致可定 向曲面，都是球面粘上g个环柄得到的。 都可以进行三角剖分。欧拉示性数为
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。
它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。
1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。
十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。
从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
【数学概观】三种几何学的并存
【数学概观】三种⼏何学的并存三种⼏何并存⼀、泰勒斯——推理⼏何学的⿐祖⼏何学四千年前发源于古埃及，当时主要是⼈对⾃然界的有意识的改造与创新（发明车轮，建筑房屋、桥梁、粮仓，测量长度，确定距离，估计⾯积与体积等）⽽出现的实验⼏何学。
公元前七世纪， “希腊七贤”之⼀的泰勒斯到埃及经商，掌握了埃及⼏何学，传回希腊。
那时，希腊社会安定，经济繁荣，⼈类对仅仅知道“如何”之类的问题已不满⾜，他们还要穷究“为何”。
于是演绎推理⽅法应运⽽⽣，以泰勒斯为⾸的爱奥尼亚学派将⼏何学由实验⼏何学发展为推理⼏何学。
关于泰勒斯的学术⽣平虽然没有确切的可靠材料，但下述五个命题的发现应归功于泰勒斯：（1）圆被任⼀直径⼆等分；（2）等腰三⾓形两底⾓相等；（3）两条直线相交，对顶⾓相等；（4）如果两个三⾓形有⼀条边和这条边上的两个⾓对应相等，则这两个三⾓形全等；（5）内接于半圆的⾓是直⾓。
泰勒斯的重要贡献不仅仅在于他发现了上述命题，更重要的是他提供了某种逻辑推理⽅法。
这样，泰勒斯成为第⼀个在数学中运⽤证明的⼈，他的贡献是数学发展史上的⼀个⾥程碑。
关于泰勒斯，还有很多有趣的传说故事。
⽐如（1）骡⼦打滚据说，泰勒斯在其早年的商务活动中，经常⽤骡⼦运盐做买卖，有⼀次过河时，这头骡⼦滑倒了，盐被河⽔溶解了⼀部分，起来后感觉负担减轻很多。
从此以后，这头骡⼦每次过河都要打⼀个滚。
为了改变这头骡⼦的恶习，有⼀天，泰勒斯让这头骡⼦驮着海绵过河。
这样，骡⼦越打滚越沉，骡⼦因此再也不敢故伎重演了。
（2）不结婚免痛苦有⼀天，也是当时 “希腊七贤”之⼀的雅典执政官梭伦（Solon, 约公元前630---前560）问泰勒斯为什么⼀辈⼦不结婚，泰勒斯当时没有回答。
⼏天之后，泰勒斯让⼈找到梭伦家，传给他⼀个假消息，声称⾃⼰⼏天前曾去过雅典，听说梭伦在雅典游历的⼉⼦被杀⾝亡，梭伦听了很伤⼼。
正当梭伦异常伤⼼时，泰勒斯跑来告诉他说：“您的⼉⼦根本没有事，我只是想告诉您我为什么⼀辈⼦不结婚。
什么是黎曼几何？
什么是黎曼几何？黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。
是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。
黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。
黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。
黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。
与欧氏几何注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。
数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。
欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。
物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。
而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。
以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。
欧氏几何欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。
因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。
两点之间的距离也是直的。
但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。
在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。
若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
《马克思主义基本原理概论》试题五《马克思主义基本原理概论》试题五
《马克思主义基本原理概论》试题五一、单选题1、马克思主义是（A）A无产阶级思想的科学体系B人民大众思想的科学体系C革命阶级思想的科学体系D革命政党思想的科学体系2、狭义的马克思主义是指（C）A马克思创立的学说B马克思恩格斯时代的学说C马克思恩格斯创立的无产阶级思想的科学体系D正在实践中发展着的马克思主义人世间有些知识化学教案有些情感化学教案有些体会化学教案非亲历其境不能得其益试卷试题3、广义的马克思主义是指（D）A 马克思恩格斯时代的学说B马克思恩格斯时代创立的学说C马克思恩格斯创立的无产阶级思想的科学体系D由马克思恩格斯创立并由其继承者发展着的马克思主义景仁博闻强识善叙前言往行玄每与之言不倦也玄出行殷仲文卞范之之徒皆骑马散从而使景仁陪辇试卷试题高祖为桓修抚4、作为中国共产党和社会主义事业指导思想的马克思主义是（A）A从广义上理解的马克思主义B从狭义上理解的马克思主义C特指的马克思主义 D泛指的马克思主义5、马克思主义产生的经济、社会历史条件是（B）A科学技术的发展 B资本主义经济的发展C无产阶级反对资产阶级斗争日益激化D工人阶级登上历史舞台6、马克思主义哲学创立之后，开始出现了( D ) 人走过的路化学教案那你就算成功了试卷试题”沭阳县潼阳中学高三年级阶段测试语文试卷答案A 唯物论与唯心论的对立B 可知论与不可知论的对立C 辨证法与形而上学的对立D 唯物史观与唯心史观的对立7、“观念的东西不外是移入人的头脑并在人的头脑中改造过的物质的东西而已。
”这个命题表明( D ) （3）制备苯甲酸在乙醚萃取过的水溶液中化学教案边搅拌边加入浓盐酸酸化至pH＝3.5左右A意识是人脑中特有的物质B人脑是意识的源泉C观念的东西和物质的东西没有本质上的区别D意识是客观存在的主观映象8、主张“世界上除了运动着的物质之外，什么也没有”的观点，属于( B ) 指上面提的庄子、陶潜；第二句的“之”结构助词化学教案的试卷试题C试卷试题第一句的“而”连、A否认人的意识存在的自然唯物主义B主张世界统一物质的辩证唯物主义C否认时间与空间存在性的唯心主义D把人的意识理解成某种特殊的“精细物质”的机械唯物主义9、人的意识不仅反映客观世界，并且创造客观世界，这一命题表明意识对物质具有( C ) 一个且正确的得2分化学教案选两个且都正确的得满分化学教案但只要选错一个化A决定性 B预见性 C能动性 D主动性10、相信“意念移物”，甚至相信可以用意念来直接改变物质结构，就是信奉( A ) 小刘以为这是一道面试题化学教案便诚惶诚恐地说：“按照法律规定化学教案你只要聘用了她化学教案就该支付她的薪A主张精神主宰客观物质世界的主观唯心论B主张精神是脱离人脑独立存在的客观唯心论C认为人的思想是特殊物质的机械唯物主义D认为人具有主观能动性的实践唯物主义11、主体认识、改造客体的过程，从根本上说是（C）A主体认识客体，客体得到改造的过程B主体摆脱客体的制约，实现自身价值C主体为了满足自己的需要，获得一定的价值D 主体为了满足客体的需要，实现客体的价值（3）Na3AsO4可作杀虫剂试卷试题AsO43-的空间构型为▲ 化学教案与其互为等电子12、辩证唯物主义认识论的首要的基本观点是（B ）A 唯物主义的观点B实践的观点C矛盾的观点D普遍联系的观点与人交换技艺化学教案身心不能有一日的宽闲试卷试题君子可以坚守穷困化学教案不怕自身的辛苦、13、恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要，这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。
《马克思主义基本原理》练习题及答案
《马克思主义基本原理》练习题及答案1. 什么是马克思主义?1．马克思主义是无产阶级思想的科学体系。
它的内容涵盖了社会的政治、经济、文化、军事、历史和人类社会发展与自然界的关系等诸多领域和各个方面，是极其深刻和丰富的。
第一，从不同的角度可以对什么是马克思主义作出不同的回答。
从它的创造者、继承者的认识成果讲，马克思主义是由马克思、恩格斯创立的，而由其后各个时代、各个民族的马克思主义者不断丰富和发展的观点和学说的体系。
从它的阶级属性讲，马克思主义是无产阶级争取自身解放和整个人类解放的科学理论，是关于无产阶级斗争的性质、目的和解放条件的学说。
从它的研究对象和主要内容讲，马克思主义是无产阶级的科学世界观和方法论，是关于自然、社会和思维发展的普遍规律的学说，是关于资本主义发展和转变为社会主义以及社会主义和共产主义发展的普遍规律的学说。
第二，关于什么是马克思主义，还可以从狭义和广义上来加以回答。
狭义的马克思主义是指由马克思和恩格斯创立的基本理论、基本观点和学说的体系。
广义的马克思主义不仅包括由马克思和恩格斯创立的基本理论、基本观点和学说的体系，也包括继承者对它的发展，即在实践中不断发展着的马克思主义。
如何用科学的态度对待马克思主义第一，马克思主义是一种科学的世界观和方法论，是无产阶级认识世界和改造世界的强大思想武器，是我们认识、分析和处理问题以及采取行动的指南，我们不应当把它看成包容一切学科的知识总库，它也不提供一切问题的现成答案。
坚持马克思主义，就是要坚持它的基本立场、基本观点和基本方法，并学会运用这些立场、观点和方法去观察和解决实际问题。
第二，坚持马克思主义，就是要坚持它的精神实质和理论品质，不要把马克思主义视为可以各取所需的词语和生搬硬套的条文，不要把原理当作标签任意贴到各种事物上去，而是要理论联系实际，具体问题具体分析。
第三，随着时代发展和历史条件的变化，马克思主义创始人针对特定历史条件的一些具体论述可能不再适用，而新的实践又会提出新的问题，需要去认识，去解决。
第五公设——精选推荐
第五公设作为基础的五条公理和公设五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体⼤于部分。
五条公设 1.过两点能作且只能作⼀直线； 2.线段(有限直线)可以⽆限地延长； 3.以任⼀点为圆⼼,任意长为半径,可作⼀圆； 4.凡是直⾓都相等； 5.同平⾯内⼀条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内⾓之和⼩于180°，则这两条直线经⽆限延长后在这⼀侧⼀定相交。
最后⼀条公设就是著名的平⾏公设，或者叫做第五公设。
它引发了⼏何史上最著名的长达两千多年的关于“平⾏线理论”的讨论，并最终诞⽣了⾮欧⼏何。
⾮欧⼏何学是1829年由俄罗斯数学家尼古拉?洛巴切夫斯基（1793－1856）提出的。
他试图创建⼀种新的⼏何学，否定2000多年前由希腊⼈欧⼏⾥德宣布的古典⼏何定律（原理）。
认为：“在⼀点上只能通过⼀条直线平⾏线”的定律应改为“从⼀点上⾄少可通过两条平⾏直线”，从这⾥洛巴切夫斯基逐步修订了欧⼏⾥德的所有⼏何定律（原理），其结果是演绎出⼀种新的可以完全相容⽽不是对⽴的⼏何学。
起初，⼈们还以为这只是为了迎合哲学的投机⾏为，后来则发现它适合⼏何学的⼀些特殊领域，⽐如伪球⾯的⾯积。
1850年前后，德国数学家乔治?黎曼1826－1866也提出另⼀种⾮欧⼏何学，它的原理是从⼀点上不能划出任何平⾏直线。
在洛巴切夫斯基和黎曼的⾮欧⼏何学之后，⼜增添了另外⼀些⼏何（原理）定律。
所有这些都显⽰出有可能建⽴兼收并蓄⽽并⾮对⽴的⼏何学体系。
这些⼏何学根据其开始选择的原理各不相同，但在⼀定情况下，每⼀“真理”都能更有利于另⼀“真理”，⽽任何⼀种“真理”都不会⽐另⼀种更为“真实”。
当爱因斯坦向⼈们证实了宇宙并不是欧⼏⾥德式的时候，⾮欧⼏何原理最终被⼴泛认可。
事实上，黎曼⼏何证明了所谓的直线并不是真正的“直线”，当我们在纸上画⼀条直线时，由于纸被放在了⼤地上，⽽地球并不是平⾯⽽是球体，也就是说所谓的平⾯事实上是曲⾯，我们画的直线实际上是曲线。
黎曼几何和欧氏几何
黎曼几何和欧氏几何几何学是数学中最古老、最重要的科学。
它起源于古希腊，几何学具有极其重要的意义，不仅深刻地影响了中世纪的数学家，而且影响了现代物理的发展。
许多几何学家的许多论文都以一种篇章的方式呈现出来，最有名的是黎曼几何和欧氏几何，它们是几何学的两个重要分支。
黎曼几何的思想最早出现在公元17国度的欧洲，这样的思想是由德国数学家卡尔黎曼发明的，它由他的几何学著作《新欧洲几何学纲要》发表而知名。
黎曼几何在欧氏几何之后被推广，黎曼几何没有像欧氏几何那样普及，但是它有诸多不同之处，黎曼几何主要重视点，线和面，而欧氏几何则注重空间结构，如平面几何和立体几何。
黎曼几何可以被归结为一个独立的学科。
它不像欧氏几何那样，有大量的基础定理与定义，黎曼几何的定义比较少，但是它却是一个综合性的学科，涉及到几何学中的点、线、面和空间，它提供了一些定理，比如黎曼的有理平面的定义，黎曼坐标的定义，黎曼斜率的定义，黎曼球的定义等。
这些定义和定理都是黎曼几何的核心部分。
此外，黎曼几何还有一系列技术细节，比如几何学中关于空间的近似和转换，因而黎曼几何在科学研究和工程实践中有着重要的作用。
例如，可以用黎曼几何的思想设计和分析航空航天技术，在全球定位系统中定位和导航，以及在动力学建模和仿真中进行空间运动控制等。
另外，黎曼几何有许多实用应用，比如在空间编程、多维分析等，可以用它来处理复杂的几何问题和形状理论，并发挥出它独特的艺术效果，如艺术创作和室内装饰等。
总之，黎曼几何和欧氏几何是数学界重要的分支，它们对科学家和工程师的工作具有重要的意义。
在人们的日常生活中，可以看到黎曼几何的身影，它不仅可以满足科学研究的需要，而且可以提供一种艺术的视角，改变和改善我们的生活。
第三讲 从欧氏几何到非欧几何
欧几里得公理化方法：
演绎推理
定义、 公设（公理）
几何定理
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念 和一组不加证明的公设（公理）出发，用纯逻辑 推理的法则，演绎出该系统的所有概念和命题， 把该系统建立成一个演绎系统。 这种构造逻辑系统的思想称为“公理化思想”； 相应的方法则称为“公理化方法”
原始定义 点是没有部分的那种东西；
在引力场中，如果把光线看成直线，则三角形内角和 大于180°。如果把拉紧了的线看成直线，也是一样的。
再看“真”的标准
标准一：光走的是直线。 标准二：拉紧了的线是直的。 标准三：两点间最短路线是直的。 标准四：圆周率为π的半径若采用标准三、四， 则欧氏几何是对的。
其中S是三角形面积， R是圆球半径。 内角和与180度的差 与面积成正比。
罗氏几何模型——双曲几何
把双曲面上曲线叫做“直线” 一条直线外有无数条平行线
三角形内角和小于180度。
且有：
其中S是三角形面积， c是某个正的常数。 内角和与180度的差 与面积成正比。
宇宙大爆炸
质量密度大于临界密度， 引力便使宇宙停止膨胀， 并令它重新收缩，成为封 闭宇宙。 质量密度小于临界密度， 宇宙便无休止地膨胀，成 为开放宇宙。
相容性原则 任何公理间不能自相矛盾
独立性原则 任一条公理都不能从别的公理中推出来 完全性原则 本系统的一切定理都由该系统的公理推出
产生的影响
牛顿的名著《自然哲学的数学原理》形式类似于《几 何原本》；
荷兰哲学家史宾诺莎Spinoza的经典名著伦理学，结构 完全仿照《几何原本》 ； 狭义相对论中，爱因斯坦把整个理论建立在两条公理 上：相对原理和光速不变原理；
哪种几何是真的
相对论动摇了欧氏几何的地位，但没有否定欧氏几何。
欧式几何
欧式几何VS非欧几何1什么是欧式几何？2.欧式几何的来源？欧几里得3欧式几何公理有哪些？4欧式几何的缺陷——出现非欧几何5什么是非欧几何？包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何6三种几何的关系导出命题第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。
许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。
19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。
（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。
）从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。
例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
非欧氏几何非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。
当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
三角形三内角和欧氏几何罗氏几何黎曼几何的比较
三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．图7－11欧氏几何罗氏几何三角形的三内角和等于180 o．三角形的三内角和小于180o；并且不同的三角形有不同的内角和．存在矩形和相似形．不存在矩形和相似形．两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似．两个三角形的三个对应角相等，则两个三角形全等．两平行线之间的距离处处相等．两平行线之间的距离，沿平行线的方向越来越小．欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图．图7－12现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图．黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁．黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．。
罗氏非欧几何的一种图像表示.
其中，cosh 1 X 是反双曲余弦函数。
本来，反双曲余弦有正负两个值，因为距离总是 罗氏非欧几何的一种图像表示方法1826年，俄国数学家罗巴切夫斯基（ 刃o6a 耳e B 建立了一种不同于传统的欧几里德 几何的新的几何体系，被称为“ 罗氏非欧几何”。
罗氏几何与欧氏几何的主要不同在于： 欧氏几何中的第五公设一一平行公设，在罗氏 几何中，是不成立的。
在欧氏几何中，过一条直线外的一点，能作而且只能作一条与这直 线不相交的平行线；而在罗氏几何中，过一条直线外的一点，能作无数条与这直线不相交 的直线。
在欧氏几何中，三角形的内角和总是等于 ；而在罗氏几何中，三角形的内角 和总是小于 。
在欧氏几何中，两条平行线之间的垂直距离，处处相等；而在罗氏几何 中，不可能作出垂直距离处处相等的两条平行线。
人们自然会产生怀疑： 这样的罗氏非欧几何， 有可能成立吗？罗氏非欧几何本身， 会不 会存在不可克服的矛盾？ 下面，我们介绍一种罗氏非欧几何的图像表示方法。
在这种表示方法下，罗氏几何可以得到完全的实现，不会产生任何矛盾，足以消除人们对罗氏几何的种种疑问。
30内的圆S O 罗氏几何乎育弦邸* PQ 、ST 歩氏几何直线 三聲形皿 罗氏几何■点罗氏几何三角形作一个半径为1的单位圆。
用这个单位圆内部的圆面，代表整个罗氏几何的平面。
这 个圆的任何一条弦，代表罗氏几何的直线。
这个圆的任何两条弦的交点，就是罗氏几何中 两条直线的交点。
圆中三条两两相交的弦，中间围成的一个三角形，就是罗氏几何三角形。
下面说明，在这种图像表示法中， 怎样求两个罗氏几何点之间的罗氏几何距离， 怎样求两条罗氏几何直线之间的罗氏几何夹角。
以单位圆心 0为坐标原点，建立平面直角坐标系。
设 （x i , yj 、（X 2, y 2）是单位圆内两点的坐标，这两点对应的两个罗氏几何点之间的 罗氏几何距离定义为 d* cosh 1 -；=/ X 121 X i X2 ym 正的，所以这里的反双曲余弦函数只取正值，即有1 J 2cosh X ln(x V X 1)。
三种几何差异
黎曼几何
黎曼流形上的几何学。德国数学家黎曼19世 纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根
大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的
就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在 这篇演说中黎曼将曲面本身看成一个独立的几何 实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一 个几何实体。
黎曼几何的规定：
欧式几何的五条公理：
1、任意两个点点可以通过一条直线连接。 2、任意线线段能无限延长成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心， 该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同 一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直 线在这一边必定相交。
罗氏几何
罗氏几何即双曲几何，也称罗巴切夫斯基
几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何，是一种独 立于欧几里得几何的一种几何公理系统。
罗氏几何的公理：
1、同一直线的垂线和斜线不一定相交。 2、垂直于同一直线的两条直线，当两端延长 的时候，离散到无穷。不存在相似而不全等的
多边形。
3、过不在同一直线上的三点，不一定能做一 个圆。
过直线外一点，无法作一条直线与原直线不相交。
而物理界中，据黎曼几何，光线按曲线运动；而欧 氏几何中，光线按直线运动。
1、基本规定：在同一平面内任何两条直线都 有公共点(交点)。
2、直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
3、黎曼几何的模型是一个经过适当“改进” 的球面。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
欧式、罗氏、黎曼几何的区别
三种几何的区别，主要体现在如何对待
“殴几里得第五公设”。即
过直线外一点，只可以作一条直线
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三角形三内角和
——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较
1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．
罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”
罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．
图7－11
欧氏几何罗氏几何
三角形的三内角和等于180 o．三角形的三内角和小于180o；并且
不同的三角形有不同的内角和．存在矩形和相似形．不存在矩形和相似形．
两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似．
两个三角形的三个对应角相等，则两个三角形全等．
两平行线之间的距离处处相等．两平行线之间的距离，沿平行线的
方向越来越小．
欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图．
图7－12
现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图．
黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁．
黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”
后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．。