自然摆动的单摆机械能守恒问题新解(极坐标处理)

自然摆动的单摆机械能守恒问题新解

摘 要：重新解答了自然摆动的单摆机械能守恒问题，得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上，单摆的

机械能都守恒的新结论．

关键词：单摆；动能；势能；机械能守恒

中图分类号：O 313.1 文献标识码：A

在中学物理学和大学力学中，单摆摆动过程中的摆锤（可以视为质点，下同）的运动可以利用重力机械能守恒定律来研究，可是参考文献[1]- [5]得出在单摆问题中机械能守恒定律不满足伽利略变换，本文就单摆在摆动过程中的机械能守恒问题作进一步研究.

将摆锤质量为m ，摆线长度为L 的单摆挂在与地面相固连的摆架上，将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为θ0（θ0∈[00,900]时自然放手，在忽略各种阻尼时，单摆就做自然摆动，θ0为最大摆角．有一小车相对于光滑地面以恒速u 沿单摆摆动方向向右运动．试问在地面（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）.和小车上观察，单摆的机械能是否守恒，并说明理由．

解：在地面上观察时，以单摆的悬挂点o 为极点，单摆静止时与摆线重合的射线oy 为极轴，从o 到摆锤的矢量r 为极径，极轴和极径的夹角θ为极角建立平面极坐标系如图1所示．

设在地面上观察时，单摆在t=0时刻从最大摆角θ0（θ0∈（00,900]）开始摆动，t 时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ，v ，a ，E k (t )，E p (t )，E (t )；在小车上观察时，单摆在t 时刻的摆角、速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ1，v 1，E 1k (t )，E 1p (t )，E 1(t )；在地面上和小车上观察时，都设摆锤的最高点为零势点．则有：

v =

t

s d d =t L d )]([d 0θθ-=t θL d d -． d t =v

θL d -（0≤θ≤θ0）． mg sin θ=ma ，g sin θ=a =t d d v =θL d d -v ⋅t θL d d -=θL d d -v ⋅v ，v d v =-gL sin θd θ， ⎰v v 0d v =-gL ⎰θ

θ0sin θd θ，

2

1v 2=gL (cos θ-cos θ0)．v =)cos (cos 20θθgL -． t θd d =L -v =-L 1)cos (cos 20θθgL -

=-)cos (cos 20θθL g -=-0cos 2cos 2θL g θL

g -＜0， 所以对于一个确定的单摆而言，只要初始状态确定，单摆的摆角是时间t 的单值函数，因此我们只需证明任意摆角的机械能相等即可，在本题中是减函数.

图1 自然摆动单摆机械能守恒问题新解

E k (t )= E k ′(θ)=

21m v 2=mgL (cos θ-cos θ0)； E P (t )= E P ′(θ)= -0mgLsin θθ⎰θd θ=- m gL ⎰θ

θ0

sin θd θ= -mgL (cos θ-cos θ0)

E (t )=E k (t )+E P (t )= E k ′(θ)+E P ′(θ)=mgL (cos θ-cos θ0) -mgL (cos θ-cos θ0)=0．

所以在地面上观察时单摆的机械能守恒，守恒值为0．

直觉判断：

因为摆锤在最高点以匀速度u 相对于小车沿x 轴负向运动，我们规定此时的势能为0，所以在小车上观察时，单摆的机械能比在在地面上观察时增加

21m (-u )2=2

1mu 2，所以在小车上观察时，单摆的机械能为： E 1(θ)=E (θ)+

21mu 2=0+21mu 2=2

1mu 2（常数）． 所以，在小车上观察时，单摆的机械能守恒，守恒值为2

1mu 2． 数学推导：在地面系——设初相为0，v=ωR,

x=Rcos ωt

y= R sin ωt 将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：

x 1=x-ut=Rcos ωt-ut

y 1= y=R sin ωt

因此在小车系，轨迹仍然是一个圆，圆心做匀速直线运动，向心力与弧线垂直.

在小车上观察（即以小车为静止系）时有：

θ1v =v -u cos θ，21θv = (v -u cos θ)2=2v +2u 2cos θ-2v u cos θ；r 1v =-u sin θ，21r v =2u 2sin θ．

21

v =21θv +21r v =2v +2u 2cos θ-2v u cos θ+2u 2sin θ=2v +2u +2u ⋅v cos θ= 2gL (cos θ-cos θ0)+u 2+2u ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．

E 1k (t )= E 1k ′(θ)=21m 21v =mgL (cos θ-cos θ0)+2

1mu 2+mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ． v =t

s d d =t L d )]([d 0θθ-=t θL d d -，d t =v θL d -（0≤θ≤θ0）．

a 1=a =g sin θ．ma 1=ma =mg sin θ．

0-E 1p (t )= -E 1p ′(θ)= ⎰θθma 01d s +⎰t u ma 01cos θd t +⎰t

m 0L 2

v u sin θd t = ⎰θθθmg 0sin (-L d θ)+mu ⋅⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+t

θL θθg 02

sin cos sin v v θL d -=

-mgL ⎰θθθ0

sin d θ+ muL ⋅⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

θ

θL θθgL θg 0)cos (cos 2cos 0v θdcos = mgL cos θθθ0+mugL ⋅⎰-+θθθθθ0)

cos 2cos 2(cos 0)cos (cos 2cos d 0θ-θgL θ=

mgL (cos θ-cos θ0)+gL mugL 23 ⎰--+-θ

θθθθθθθ00000cos cos cos 32cos cos cos dcos θ= mgL (cos θ-cos θ0)+gL mugL 23⋅32(cos θ-cos θ023) +gL

mugL 2⋅2 (cos θ-cos θ021)cos θ0= mgL (cos θ-cos θ0)+mu ⋅gL 2(cos θ-cos θ023) +mu ⋅gL 2(cos θ-cos θ021)cos θ0=

mgL (cos θ-cos θ0)+mu ⋅gL 20cos cos θθ-(cos θ-cos θ0+cos θ0)=

mgL (cos θ-cos θ0)+mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．

E 1p (t )= E 1p ′(θ)=-mgL (cos θ-cos θ0)-mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ．

E 1(t )=E 1k (t )+E 1p (t )= E 1k ′(θ)+E 1p ′(θ)=mgL (cos θ-cos θ0)+2

1mu 2+mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ+ -mgL (cos θ-cos θ0)-mu ⋅)cos (cos 20θθgL -cos θ=

2

1m 2u （常数）． 所以在小车上观察时，单摆的机械能守恒，守恒值为

2

1m 2u ． 当u =0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.

说明：文献[1]和[2]都认为拉力F 对于小球做功，造成机械能不守恒，上面的推导证明文献[1]和[2]的观点是错误的.通过本文我们也可以看出在单摆问题中绳子的约束力是一个保守力，可以改变动能和势能，但是不改变系统的机械能，与直接计算重力机械能得出的结果一致.

定理：质点做圆周运动的约束力是一个保守力，可以改变动能和势能，但是不改变质点的机械能.

在小车系摆锤在最低点的动能和势能分别为： E 1k (t )= E 1k ′(θ) =21m (v +u )2=21m (v 2+u 2+⋅2u v )=21m v 2+2

1mu 2+mu v = mgL (1-cos θ0)+2

1mu 2+mu ⋅)cos 1(20θgL -． E 1p (t )=-mu ⋅)cos 1(20θgL -．