6.1微分方程基本概念
全版微分方程.ppt
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
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C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
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例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
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17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
高数应用数学 第6章 常微分方程
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解： 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
《高等数学》第6章常微分方程
y x2 4 4 x2
想一想
一电机开动后,每分钟温度升高10 C,同时将按冷却定律不断发散
热量.设电机安置在15 C恒温的房子里,求电机温度与时间t的函
数关系.
6.3 二阶常系数线性微分方程
了解二阶常系数线性微分方程的 概念及分类；掌握二阶常系数齐 次、非齐次线性微分方程的求解 方法及分类；能够灵活运用公式 解决实际问题.
Cx x 1,两边积分得 : Cx 1 x 12 C.因此原方程通
2 解为 :
y
1 2
x
12
C x
12
1 2
x
14
Cx
12
(C为任意常数).
2. 求微分方程y 2 y x满足条件y2 0的特解.
x
解：先解方程y 2 y 0 dy 2 dx,两边积分得y Cx2.
方程. 这类方程的求解一般分为两步：
1 分离变量：化原方程为 dy f (x)dx的形式；
g( y)
2 两边积分： gd(yy) f (x)dx得到x与y的一个关系式,即通解.
例题
1. 求微分方程 dy 2xy的通解.
dx
解：分离变量为dy
y
2 xdx, 两边积分得
dy y
2xdx ln
同时,C1,C2为任意常数,故y C1ex C2e2x是微分方程的通解.
将条件代入通解中, 得CC11
C2 0 2C2 1
CC12
1 .
1
故所求特解为： y ex e2x.
想一想
建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 1 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与
微分方程及其应用
x 1 y 2
解 分离变量,得
两端积分, 得
1 1 1 ln 1 y 2 ln 1 x2 ln C 2 2 2
即原方程的通解为
由 y x 1 1得, C 4,
1 x 1 y C
2 2
因此, 满足初始条件的特解为
1 x 1 y 4.
t 0
பைடு நூலகம்
0
于是所给问题归结为求解初值问题
dv m mg kv dt v t 0 0
分离变量得,
dv dt mg kv m
两边积分得,
dv dt mg kv m
1 t ln mg kv C1 k m
k t mg 整理得, v Ce m k
1 2Cx2 2 Cx2 1 2Cx2 2Cx2 1 1 0 2
1 y Cx 2 是所给方程的解. 2
又 1 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 2 1 y Cx2 是所给方程的通解. 2 y Cx 2
解
分离变量，得 ydy = -xdx ,
1 2 1 2 两边积分得 y x C1 2 2
即 x2 y 2 C
C 2C1 为所给方程的通解.
例4 求方程
dy 满足初始条件 y x 1 1 的特解. 2 dx y 1 x
y x dy dx 2 2 1 y 1 x
1 x C2ex x C1 C2ex C1x C2ex 0
y C1 x C2e x 是微分方程 1 x y xy y 0 的解
又
y C1 x C2 e x 中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的，
《高等数学》第6章常微分方程知识讲解
微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
微分方程
得通解： (2 e )(1 x ) C .
y
由 y(0) 0, 得 C 1,
故 初 问 的 为 ( 2 e y )(1 x ) 1 . 该 值 题 解
二. 齐 次 方 程
如果 F ( tx, ty) t F ( x , y ), t 0 成立, 则
k
F ( x, y ) 称为 k 次齐次函数 .
线性与非线性微分方程：
如果方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0 的左端为
y及y, y,, y ( n ) 的一次有理整式， 则称此方程
为n 阶线性 微分方程 .
不是线性方程的方程称 为非线性微分方程 .
例如 y P( x ) y Q( x ) 是一阶线性微分方程 .
第六章 微 分 方 程
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 微分方程的基本概念 一阶微分方程 可降阶的二阶微分方程 二阶线性微分方程 微分方程的应用举例
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函
数、未知函数的
导数或微分的方程 称为微分方程 . 例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
C1 A, C 2 0.
dx 而 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt
所求特解为 x A cos kt.
注意： 1. 有些方程可能无解 .
( y)2 y 2 1 0 无实函数解 .
2. 方程可能有解而无通解 . )2 y 2 0 只有特解 y 0 . (y
2e
两边积分
dy dx 2e y 1 1 x ,
1 1 x y e dy dx , y 2e 1 x
第6章 常微分方程
下面求h(x), 对(1)求导, 得：
y h(x)eP(x)dx P(x)h(x)eP(x)dx
07:57
18
代入标准方程
h(
x)e
P(
x)dx
P( x)h( x)e P( x)dx
P(x)
y
Q(x)
h(x)eP(x)dx Q(x) h(x) Q(x)eP(x)dx
h(x)
Q(
x)e
07:57
17
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
改写为 dy Q(x) dx P(x)dx
yy
两边积分
ln
y
Q(x) y
dx
P(x)dx
令 Q(x) dx u(x) y eu(x)eP(x)dx y
令 h(x) eu(x) y h(x)eP(x)dx (1)
例6.2.9 (饮食与体重模型)某人每天从食物中获取 10500J热量,其中5040J用于基础代谢。他每天的活
动强度，相当于每千克体重消耗67.2J。此外,余下 的热量均以脂肪的形式储存起来,每42000J可转化 为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化
的,会达到平衡吗?
解：设体重w是时间t的连续函数,依题意：
dx kx (k 0) dt
两边积分
dx x
kdt
C 0或C eC1
ln x kt C1 即 x Cekt (C为任意常数) 又因x(0) x0为已知,故特解为 x x0ekt
07:57
6
例6.2.2 (自然生长模型) yy(t)表示一种生物在时 间t时种群总数,开始时种群总数y(0)y0, n,m分别表 示该总群的出生率和死亡率,实践证明nmrky,其 中r>0, k>0,试求该总群自然生长规律。
微分方程的基本概念
微分方程是数学中重要的一个分支，其在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
微分方程的基本概念包括了方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
首先，我们来看微分方程的定义。
微分方程是包含未知函数及其导数或微分的关系式。
它是数学分析的研究对象，用来研究函数在局部上的变化规律。
通常用x来表示自变量，用y表示函数的取值，用y'表示函数y对x的导数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
接下来，我们来看微分方程的解的定义。
微分方程的解是指满足该方程的函数。
一般来说，微分方程的解不是唯一的，而是存在无穷多个。
例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，可以通过积分的方法求得其解。
解的形式可以是显式解或隐式解，取决于方程的形式和解的表达方式。
然后，我们来看初值问题。
初值问题是指在微分方程中给定一个特定的初值条件，要求求解满足该条件的解。
例如，对于一阶线性微分方程y'+y=0，给定初始条件y(0)=1，可以求解得到解y(x)=e^{-x}。
初值问题在应用领域中具有重要的意义，例如在物理学中，我们常常根据初始条件求解出系统的运动规律。
最后，我们来看一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是最简单和最常见的微分方程形式。
一般来说，一阶线性微分方程可以写作y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
我们可以通过积分的方法求解这类方程，即将方程两边同时积分，得到y=∫q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C。
其中C是一个常数，它代表了方程的任意常数。
总结起来，微分方程是数学中重要的一个分支，它可以用来研究函数在局部上的变化规律。
微分方程具有基本的概念，包括方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，例如求解物理系统的运动规律、分析电路的行为、研究经济的增长模式等。
6-1微分方程的基本概念
第一节
第十二章
微分方程的基本概念
一、问题的提出 二、微分方程的定义
机动
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一、问题的提出
例 1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一 求这曲线的方 点 M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ， 程。
解 设所求曲线为 y = y( x )
dy 则 = 2x dx 其中 x = 1时 , y = 2
d2x 2 +k x=0 的 解 . 并 求 满 足 初 始 条 件 2 dt dx x t =0 = A, = 0 的特解。 dt t =0
解
dx Q = − kC1 sin kt + kC 2 cos kt , dt d2x = − k 2C1 cos kt − k 2C 2 sin kt , 2 dt d2x 将 2 和 x 的表达式代入原方程 , dt
2x
= 0,
Q y = 3e 2 x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Y P
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
X = x + y y′ ∴ x + y y′ = − x , y y′ + 2 x = 0
第二节 目录 上页 下页
Q o
x X
即
返回
结束
三、小结
本节基本概念：
微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解 —— 通解; 特解； 初值问题 —— 初始条件； 积分曲线．
y′ = xy ,
′′ + 2 y′ − 3 y = e x , y ( t 2 + x )dt + xdx = 0,
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念1. 概念定义微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^n-1y/dx^n-1) = 0其中，x是自变量，y是因变量，dy/dx是y对x的导数，依此类推。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
2. 重要性微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中有着广泛的应用。
通过建立物理规律或实验数据与数学模型之间的联系，可以利用微分方程来预测和解释自然现象和工程问题。
它是现代科学研究和工程技术应用的基础。
具体而言，微分方程在以下几个方面具有重要性：(1) 描述动态过程微分方程可以描述许多动态过程，如运动物体的运动轨迹、电路中电流和电压随时间的变化、化学反应速率等。
通过求解这些微分方程，可以得到关于系统行为的详细信息。
(2) 预测未来行为通过已知的初始条件和微分方程，可以求解出函数在未来某个时间点的值。
这使得微分方程成为预测和规划问题的重要工具，如天气预报、金融市场预测等。
(3) 优化问题求解许多优化问题可以归结为微分方程的求解。
例如，在物理中常常需要找到使某个物理量最小或最大的条件。
这些问题可以通过求解微分方程获得最优解。
(4) 建模与仿真通过将实际问题建模成微分方程，可以进行数值模拟和仿真。
这对于工程设计、新产品开发等领域非常重要。
例如，在飞机设计中，可以使用微分方程来模拟空气动力学效应，从而改进飞机性能。
3. 应用举例微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：(1) 物理学中的运动描述经典力学中，牛顿第二定律描述了物体运动与作用力之间的关系：m * d^2x/dt^2 = F(x, dx/dt)其中，m是物体的质量，x是位置，t是时间，F(x, dx/dt)是作用力。
(2) 生物学中的生长模型生物学中，许多生物体的生长过程可以用微分方程来描述。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中重要的研究对象，它在自然科学、工程技术和社会科学等各个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、分类、解、初值问题以及一些重要的定理和应用。
一、微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为：$\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)$。
其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\frac{{dy}}{{dx}}$表示$y$关于$x$的导数，$f(x,y)$是已知函数。
微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数的阶数和自变量的个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
常微分方程可进一步分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中未知函数及其导数的次数均为一次，形如$\frac{{d^ny}}{{dx^n}}+a_1 \frac{{d^{n-1} y}}{{d x^{n-1}}} + \ldots + a_n y =f(x)$。
非线性微分方程中未知函数及其导数的次数不一定为一次。
偏微分方程根据方程中涉及到的导数阶数和未知函数的类型又可以进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。
三、微分方程的解求解微分方程的过程称为解微分方程。
解分为显式解和隐式解。
显式解是能直接从微分方程中解出未知函数表达式的解。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以通过分离变量、定积分等方法求得$y$的显式解。
隐式解是无法用解析式表示的解。
例如，二阶非线性微分方程$y''+y^2=0$的解无法用初等函数表示，只能通过级数或数值方法求得近似解。
四、初值问题初值问题是求解微分方程时常见的问题形式。
给定微分方程和一个特定的条件，例如$y(0)=y_0$，即在$x=0$处给出函数$y$的取值，然后求出该条件下的解。
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第一节 微分方程的基本概念
一、基本概念引例 例 一曲线过点 (1,2) ,曲线上任意点P(x,y)处的切 线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线方程为y y( x). 由导数的几何意义得 dy 3x2 ①
dx
因曲线通过点(2,5),故 y |x1 2 ② 对(1)式求积分,得 y 3x2dx x3 C ③
①
由题意知s(t)满足条件 s(0) 0, s(0) v0
②
对①式两端积分，得 s(t) gdt gt C1
再积分，得
s
(gt
C1)dt
1 2
gt 2
C1t
C2
③
将s(0) 0, s(0) v0 代入③④，得 C1 v0，C2 0
故所求的自由落体的运动规律为
由条件 y |x1 2 代入（3）式，得 C 1
故所求曲线方程为 y x3 1 ④
解法
设所求曲线方程为y y( x). 由导数的几何意义得 dy 3x2 ①
dx
因曲线通过点(1,2),故 y |x1 2 ②
对(1)式两端求不定积分,得
y 3x2dx x3 C (C为常数) ③
例4 求y 2x的通解？
Solution. 由y 2x得：y x2 C1
从而可得原微分方程通解为：
y
1 3
x
3
C1x
C2
注意： y 1 x3 C 仅仅是函数 是微分方程
(C1 , C 2为常数) 的通解, 并求满足初始条件
3阶微分方程 x3 yx2 y4xy3x2 ， 4阶微分方程 y(4) 4y10y12y5ysin 2x， n阶微分方程 y(n) 10，
常微分方程与偏微分方程：
未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程．
未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程．
微分方程的阶： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分
x
t0
A, dx
dt
0 的特解 .
t0
解:
k 2(C1 cos kt C2 sin kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos kt
课堂练习 P321 思考题1 习题T5
y1( x) y2( x)
k（k为常数）
此时常数C1与C2相互独立.
初始条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 ,
,
y(n1)( x0 )
y (n1) 0
例3 求y 2x的通解？ Solution. y 2x的通解为： y x2 C
第六章 常微分方程
导言：为了解决实际问题，经常需要确定反映客 观事物内部间联系的函数关系.寻找函数关系的一种 常用方法是建立所求函数的导数所满足的关系式这种 关系式就是所谓的微分方程.
本章主要介绍微分方程的基本概念、几种常用微 分方程的经典解法和微分方程的应用.
第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念引例 二、微分方程的基本概念
s
v0t
1 2
gt
2
.
④
实例2中的对应概念
实例2
s(t) g
①
s(0) 0, s(0) v0
②
s
1 2
gt
2
C1t
C2
③
s
v0t
1 2
gt
2
.
④
概念名称
二阶微分方程 初始条件 方程通解 方程特解
二、微分方程的基本概念
微分方程： 含有未知函数的导数或微分的方程，叫微分方程．例如
由条件 y |x1 2 得 C 1
故所求曲线方程为 y x3 1
④
概念命名
微分方程 初始条件
方程通解 方程特解
例2 设质量为m的物体,以初速度v0 从地面垂直 上抛，若物体只受重力作用，试求物体的运动规律.
解 设所求路程函数为s s(t),由牛顿第二定律知
ms(t) mg 即 s(t) g
P321 T4(2). 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点 为 Q且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 y y 2x 0
y P
Q O xx
第二节
x
)
d2 dx
y
2
5
xy
0
(
d2 dx
y
2
)
3
3
y( dy )7 dx
y3( dy )2 dx
5x
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.
常数的独立性：若在表达式 C1 y1( x) C2 y2( x) 中
方程的阶．
For example: 下列哪些不是微分方程？ 说出微分方程的阶数
y(n) 1 0
3 y2 4 y x 3 0 不是
dy 2xy x2 dx
e
y
d2y dx 2
2( dy )2 dx
1
(2x y)dx xdy 0
4
d3 dx
y
3
(sin