三角形中的恒等式和不等式
三角恒等式初中二年级
三角恒等式初中二年级在初中数学学习中，三角恒等式是一个非常重要的概念。
掌握三角恒等式不仅对于进一步学习数学，如解三角函数的方程等，有着重要的作用，同时也有助于加深对三角函数的理解。
在本文中，我将为大家详细介绍初中二年级学生所需要掌握的几个常见的三角恒等式，并提供一些实例来帮助理解。
首先，我们将讨论两个最基本的三角恒等式：正弦恒等式和余弦恒等式。
这两个恒等式可以通过以单位圆为基础进行推导。
首先，我们考虑正弦恒等式：sin^2θ + cos^2θ = 1这个恒等式的意义是：对于任意一个角θ，它的正弦值的平方加上余弦值的平方等于1。
这个结果是基于单位圆上的定义得到的。
我们可以通过举例来验证这个恒等式。
例如，取θ为30°，则sin30°为1/2，cos30°为√3/2。
代入恒等式可以得到：（1/2）^2 + (√3/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1，符合恒等式的要求。
接下来，我们将讨论余弦恒等式：1 + tan^2θ = sec^2θ这个恒等式的意义是：对于任意一个角θ，它的正切值的平方加1等于它的正割值的平方。
同样地，我们可以通过举例验证这个恒等式。
例如，取θ为45°，则tan45°为1，sec45°也为1。
代入恒等式可以得到：1 + 1 = 2，符合恒等式的要求。
在实际应用中，三角恒等式的掌握对于解三角函数的方程非常重要。
当我们在解方程时，如果可以将一个方程转化为另一个等价的方程，就会更方便求解。
三角恒等式就可以帮助我们做到这一点。
例如，在解sinθ = cosθ方程时，我们可以利用正弦恒等式将它转化为sin^2θ + cos^2θ = 1，进而得到1 - 2sin^2θ = 1，最后解得sinθ = ±√2/2，即θ = 45°或θ = 135°。
此外，在高中数学中，三角恒等式还有更多的应用，如解三角方程组、证明三角不等式等。
三角形中的不等式
三角形中的不等式【知识点】若a、b为实数，则有-|a±b| ≤|a|-|b| ≤ |a ±b| ≤|a|+|b|。
1，绝对值不等式，一般指的是绝对值符号中含有未知数的不等式。
解绝对值不等式的基本方法是去绝对值符号，最常用的方法是分类讨论（“零点分区间法”），还有两边平方或者利用绝对值的定义等方法。
2，三角不等式，可以通过绝对值的性质对不等式进行缩放，以确定含绝对值的代数式（函数式）的取值范围、最大/小值问题，以及不等式的证明等综合运用。
这里省略绝对值的意义、以及三角不等式的证明过程一万字......【例①】求函数 y = |x－3|－|x＋1| 的最小值和最大值。
【解析】利用三角不等式的性质，选择合适的不等号方向求得最大/小值。
求最大值时，选择不等号方向为≤；求最小值时，选择不等号的方向为≥。
因为|x－3|－|x＋1| ≤|(x－3)－(x＋1)| = 4，所以，y 的最大值为 4；又因为|x－3|－|x＋1| ≥－|(x－3)－(x＋1)| = - 4，所以，y 的最小值为- 4。
【例②】若关于x 的不等式|x－4|－|x＋3| ≤ a 对一切x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围。
【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。
令 y = |x－4|－|x＋3| ，则原不等式y ≤ a 对一切x ∈R 恒成立⟺ a 大于等于 y 的最大值。
因为|x－4|－|x ＋3| ≤|(x－4)－(x＋3)| = 7，即 y 的最大值为 7，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 7。
【例③】若关于x 的不等式|x＋1| ＋|2－x| ≤ a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围。
【解析】对不等式解集的“转义（等价于）”理解，利用三角不等式求得最值。
令 y = |x＋1| ＋|2－x| ，则原不等式y ≤ a 的解集不是空集⟺ a 大于等于 y 的最小值。
因为|x＋1| ＋|2－x| ≥|(x＋1)＋(2－x)| = 3，即 y 的最小值为 3，所以，实数 a 的取值范围为 a ≥ 3。
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单在数学的广阔天地中，三角不等式是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
接下来，让我们一同深入探索三角不等式的奥秘。
一、什么是三角不等式三角不等式是指在三角形中，任意两边长度之和大于第三边的长度。
用数学语言表述就是：对于一个三角形的三条边 a、b、c，有 a ＋ b ＞c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
这看起来似乎很简单，但却是构建三角形的基本规则。
如果不满足这个条件，就无法构成一个有效的三角形。
二、三角不等式的证明证明三角不等式可以通过多种方法。
其中一种常见的方法是利用两点之间线段最短的原理。
假设存在三个点 A、B、C，如果要从点 A 到点 C，直接连接 A、C 两点的线段长度是最短的。
而如果先经过点 B 再到点 C，那么所经过的路径长度（即 AB ＋ BC）必然大于直接连接 A、C 的线段长度，即AC。
同理可证其他两边的情况。
另一种证明方法可以通过代数运算。
假设三角形的三条边分别为a、b、c，并且 c 是最大边。
根据余弦定理：c²＝ a²＋ b² 2ab cos C。
由于－1 ≤ cos C ≤ 1，所以 2ab cos C 的取值范围是－2ab, 2ab。
因此，c²＝ a²＋b² 2ab cos C ≤ a² ＋ b²＋ 2ab ＝（a ＋ b)²，即c ≤a ＋ b。
三、三角不等式的推广三角不等式不仅仅局限于三角形的三条边，还可以推广到更多的情况。
例如，在平面直角坐标系中，对于两个点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们之间的距离 d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²。
如果有三个点 A、B、C，那么｜AB| ＋｜BC| ≥ ｜AC|，这也是三角不等式的一种推广形式。
在三维空间中，对于三个点 A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃)，它们之间的距离分别为 d₁＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²＋（z₂ z₁)²，d₂＝√（x₃ x₂)²＋（y₃ y₂)²＋（z₃ z₂)²，d₃＝√（x₃ x₁)²＋（y₃ y₁)²＋（z₃ z₁)²，同样有 d₁＋ d₂ ≥ d₃。
三角形中的恒等式和不等式
tan nA tan nB tan nC tan nA tan nB tan nC ； n 为正整数
AB
BC
CA
tan tan tan tan tan tan 1
22
22
22
；
nA nB
nB nC
nC nA
tan tan
tan tan
tan tan
1
2
2
2
2
2
2 ； n 为正整数
n
nA nB nC
sin nA sin nB sin nC 4 sin cos cos cos
n
nA nB nC
1 4 cos cos cos cos
2
2
2
2 ；（ n 为偶数）
cos2 A
cos2 B
cos2 C
ABC 2 1 sin sin sin
2
2
2
2 2 2；
sin 2 A
sin 2 B
sin 2 C
ABC 1 2sin sin sin
2
2
2
2 2 2；
sin A sin B sin C 4sin A sin B sin C 2 2 2；
sin Asin B cosC 1 cos AcosB cosC
sin 3x cos 3x
tan( x
3sin x 4sin 3 x 4 cos3 x 3cos x
tan x tan y y z)
1 tan x tan y
tan z tan x tan y tan z tan y tan z tan z tan x
rs
ABC (10) cos cos cos
sin A sin B sin C
三角恒等式
三角恒等式三角恒等式是初等数学中的一个重要内容，它们是与三角函数相关的等式，常用于简化三角函数的计算和证明。
三角函数是研究角的函数，主要有正弦、余弦、正切等。
在三角函数中，常常需要用到一些三角恒等式，以便将复杂的表达式简化成更简单的形式。
下面将介绍几条常用的三角恒等式。
1. 正弦函数的三角恒等式对于任意角θ，有以下正弦函数的三角恒等式：sin(−θ)=−sin(θ)正弦函数具有奇函数的性质，即sin(-θ)等于-sin(θ)。
这是因为正弦函数是单位圆上角的对应边与斜边的比值，而这个比值在不同象限是相反的。
2. 余弦函数的三角恒等式对于任意角θ，有以下余弦函数的三角恒等式：cos(−θ)=cos(θ)余弦函数具有偶函数的性质，即cos(-θ)等于cos(θ)。
这是因为余弦函数是单位圆上角的邻边与斜边的比值，而这个比值在不同象限是相同的。
3. 正弦函数与余弦函数的平方和恒等式对于任意角θ，有以下正弦函数与余弦函数的平方和的三角恒等式：sin2(θ)+cos2(θ)=1这是三角函数中最基础的三角恒等式之一，称为勾股定理。
这个恒等式也可以表示为单位圆上角的正弦值的平方加上余弦值的平方等于1。
这个恒等式是很多三角函数相关推导的基础。
4. 二倍角公式对于任意角θ，有以下二倍角的三角恒等式：sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ)二倍角公式是用于计算角的两倍的表达式，对解题和推导非常有帮助。
通过这些公式，可以简化计算和证明的过程。
结语三角恒等式是三角函数中的重要内容，它们在数学研究和应用中扮演着重要的角色。
通过熟练掌握这些三角恒等式，可以更加灵活地处理复杂的三角函数表达式，简化计算过程，推导新的结论。
希望本文介绍的几个常用的三角恒等式对你有所帮助。
高中数学中的三角恒等式
高中数学中的三角恒等式三角恒等式是高中数学中重要的概念之一,它在解决各种与三角函数相关的问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍一些常见的三角恒等式，并探讨它们在解题中的应用。
一、正弦和余弦的恒等式在解决与正弦和余弦相关的问题时，我们常常需要使用以下恒等式：1. 正弦的平方加上余弦的平方等于1：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等式被称为三角恒等式的基本恒等式之一，它表明在单位圆上，任意一点的正弦值的平方加上余弦值的平方等于1。
2. 余弦的商等于正弦的倒数：cosθ = 1/sinθ这个恒等式可以广泛应用于解决与正弦和余弦相关的比例问题。
3. 两角和差的正弦和余弦：sin(α ± β) = sinα * cosβ ± cosα * sinβcos(α ± β) = cosα * cosβ ∓ sinα * sinβ这些恒等式可以用于求解两个角度相加或相减的正弦和余弦。
二、正切和余切的恒等式正切和余切是另外两个与三角函数相关的重要概念，在解题中经常会用到以下恒等式：1. 正切的平方加1等于秒的平方：tan²θ + 1 = sec²θ这个恒等式可以帮助我们在求解与正切和秒相关的问题时转换不同的形式。
2. 秒的平方减1等于正切的平方：sec²θ - 1 = tan²θ同样，这个恒等式也可以帮助我们在解题中进行转换和简化。
3. 余切的平方加1等于牵的平方：cot²θ + 1 = csc²θ这个恒等式在求解与余切和牵相关的问题时非常有用。
三、其他常见的三角恒等式除了上述介绍的恒等式外，还有其他一些常见的恒等式，如：1. 正弦的双倍角公式：sin2θ = 2sinθ * cosθ这个恒等式用于求解正弦的两倍角。
2. 余弦的双倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ这个恒等式可以用于求解余弦的两倍角。
常用三角恒等式
常用三角恒等式一、两角和与差的三角函数公式1. 两角和的正弦公式- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B- 例如：已知sin A=(1)/(2)，cos B=(√(3))/(2)，A = 30^∘，B = 30^∘，则sin(A + B)=sin(30^∘+ 30^∘)=sin30^∘cos30^∘+cos30^∘sin30^∘=(1)/(2)×(√(3))/(2)+(√(3))/(2)×(1)/(2)=(√(3))/(2)。
2. 两角差的正弦公式- sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B- 例如：若sin A=(√(3))/(2)，cos B=(1)/(2)，A = 60^∘，B = 60^∘，则sin(A - B)=sin(60^∘-60^∘)=sin60^∘cos60^∘-cos60^∘sin60^∘=(√(3))/(2)×(1)/(2)-(1)/(2)×(√(3))/(2)=0。
3. 两角和的余弦公式- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B- 例如：当cos A=(1)/(2)，cos B=(1)/(2)，A = 60^∘，B = 60^∘，cos(A +B)=cos(60^∘+60^∘)=cos60^∘cos60^∘-sin60^∘sin60^∘=(1)/(2)×(1)/(2)-(√(3))/(2)×(√(3))/(2)=-(1)/(2)。
4. 两角差的余弦公式- cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B- 例如：设cos A=(√(3))/(2)，sin B=(1)/(2)，A = 30^∘，B = 30^∘，则cos(A - B)=cos(30^∘-30^∘)=cos30^∘cos30^∘+sin30^∘sin30^∘=(√(3))/(2)×(√(3))/(2)+(1)/(2)×(1)/(2)=1。
详细介绍三角不等式
详细介绍三角不等式
三角不等式是数学中的一个基本定理，它是指：对于任意的三角形ABC，AB+BC>AC、AC+CB>AB、BC+AB>AC。
这个定理的意义在于，它告诉我们三条边之间的关系，使我们能够更好地理解和解决与三角形有关的问题。
三角不等式的证明方法有很多种，其中一种比较简单的方法是使用向量。
假设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则AB、BC、AC所对应的向量分别为AB=(x2-x1,y2-y1)，BC=(x3-x2,y3-y2)，AC=(x3-x1,y3-y1)。
根据向量的加法和模长的定义，我们可以得到：
|AB+BC| ≤ |AB|+|BC|
|BC+AC| ≤ |BC|+|AC|
|AC+AB| ≤ |AC|+|AB|
由于三角形ABC的三边的长度分别为|AB|、|BC|、|AC|，因此上述不等式可以改写为：
BC<AB+AC
AC<AB+BC
AB<AC+BC
这就是三角不等式的向量证明方法，它利用了向量的几何性质，简单而且直观。
除了向量证明方法外，还有很多其他的证明方法，例如几何证明、代数证明和不等式证明等。
无论采用哪种方法，都要注意证明过程的
严谨性和清晰性，以确保结论的正确性。
总之，三角不等式是数学中的一个基本定理，它对于解决与三角形有关的问题非常重要。
掌握了三角不等式，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，从而更加熟练地处理与三角形有关的各种问题。
三角恒等式和不等式
1.内切圆代换{}()1max ,,2a b c a b c <++内切圆代换：(),,,,0a y z b z x c x y x y z =+=+=+>,a,b,c 的代换量x,y,z 分别就是ABC 的内切圆的切线长长度，（1）p=x+y+z（2）S ==（3）Sr p ==切代换 设cot ,cot ,cot (tan ,tan ,tan222A B Cu A v B w C u v w ======或所以1uv vw wu ++= （1）()()21u u v u w +=++（2）()()()u v v w w u =+++（3）u v =+（4）1111u v w uvw ++=（5）()()()u v v w w u u v w uvw +++=++- （6）9uvw u v w ≤≤++ （7）2221u v w ++≥（8）()()()()89u v v w w u u v w +++≥++（9）211u v u w≥+++万能代换tan 2t α=222222222tan1tan 2122sin ;cos ,111tan 1tan 222tan 22tan 11tan 2t t t ttt ααααααααα--====++++==--三角恒等式 弦函数恒等式1.sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++= 2. cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+3. 222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+4.222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++= 切函数恒等式5.tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=6.cot cot cot cot cot cot 1A B B C A C ++=7. tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C A C ++= 全角与半角关系,222222A B C A B C πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而因此根据函数的观点(),,,,222222A B C f A B C f πππ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭弦函数不等关系1. 3cos cos cos 2A B C ++≤2.sinA sinB sinC 2++≤3. 2229sin sin sin 4A B C ++≤4.1cos cos cos 8A B C ≤5. sin sin sin 8A B C ≤等价式：2229cos cos cos 2224A B C ++≤ 1sin sin sin 2228A B C ≤cos cos cos 2228A B C ≤……切不等式关系cot cot cot A B C ++≥tan tan tan A B C ≥tan tan tan 222A B C++≥cot cot cot 222A B C≥ 嵌入不等式：,,0,,,x y z A B C >为三角形的三内角，则2222cos 2cos 2cos x y z xy C zx B yz C ++≥++证明：sinA sinB sinC 2++≤方法1：由柯西不等式：sinA sinB sinC ++≤由恒等式3222cos cos cos sin A sin B sin C 22cosA cosB cosC 223A B C ⎛⎫++++=+≤+ ⎪⎝⎭由嵌入不等式3cosA cosB cosC 2++≤,证毕方法2：放缩、基本不等式：sinA sinB sin 2sincos2sincos22222cos sin cos 2cos sin 1222222A BA BCCC C C A B C C+-++=+⎛⎫⎛⎫-=+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤=方法3：利用琴生不等式++++≤=sinA sinB sinC 3sin32A B C方法4：局部调整法因为A B C π++=,不妨设0A B C π<≤≤<,所以03A C ππ<≤≤<由sin sin 2sin cos 22A B A B A B +-+=，若固定C ，可得当A=B 时sin sin sin A B C ++取得最大值，可以猜测A=B=C 时，取得最大值由对称性可设0A B C π<≤≤<，若A,B,C 不全相等，则3π≤<A C ,令''',,33A BB C A C ππ===+-因此''A C A C-<-,从而有''''''sin sin 2sin cos 2sin cos sin sin 2222A C A C A C A C A C A C +-+-+=<=+ 若'3C π≠,则因''23B C π+=,故有'''''''sin sin sin sin sin sin sin 2sin cos 3sin 32232A B C A B C B C B C ππ++<+++-=+≤=证明：3cos cos cos 2A B C ++≤方法1：取x=y=z=1运用嵌入不等式 方法2：放缩法22cos cos cos 2sin cos 12sin 2221332sin 12sin 2sin 222222C A B C A B C C C C -++=+-⎛⎫≤+-=--+≤ ⎪⎝⎭方法3：局部调整法：因为A B C π++=,不妨设0A B C π<≤≤<,所以03A C ππ<≤≤<由cos cos 2cos cos 22A B A B A B +-+=，若固定C ，可得当A=B 时cos cos cos A B C ++取得最大值，可以猜测A=B=C 时，取得最大值由对称性可设0A B C π<≤≤<，若A,B,C 不全相等，则3π≤<A C ,令''',,33A BB C A C ππ===+-因此''A C A C-<-,从而有''''''cos cos 2cos cos 2cos cos cos cos 2222A C A C A C A C A C A C +-+-+=<=+若'3C π≠,则因''23B C π+=,故有'''''''3cos cos cos cos cos cos cos 2cos cos 3cos 32232B C B C A B C A B C ππ+-++<++=+≤=1.对于正数a,b,c 满足ab+bc+ac=1,求证：()()()2222221a ab b b bc c a ac c ++++++≥2.x,y,z,a,b,c 都是正数且ab+bc+ac=1,那么222222x y z yz zx xy++≥++3.正数x,y,z 满足2221112111xy z ++=+++，那么22222265111xy yz zx x y y z z x ++≤+++4.在ABC 中，有1cot cot cot cot cot cot 3222A B C A B C ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭5. 在ABC 中,证明222cos cos cos 11cos 1cos 1cos 2A B C A B C ++≥+++6. x,y,z,a,b,c 都是正数且满足ay+bx=c,cx+az=b,bz+cy=a,求证：2111xyzyzzxxy++≤---。
三角恒等式与三角方程三角恒等式的证明和三角方程的解法
三角恒等式与三角方程三角恒等式的证明和三角方程的解法三角恒等式与三角方程三角恒等式是数学中常见且重要的概念，它们在解决三角方程和推导其他数学公式时起到了关键作用。
本文将首先介绍三角恒等式的概念及证明方法，然后探讨三角方程的解法。
一、三角恒等式的证明三角恒等式是指在三角函数中成立的恒等式，常用的三角恒等式有诸如正弦、余弦、正切等函数之间的关系。
以下将介绍一些常见的三角恒等式及其证明方法。
1.1 正弦、余弦的平方和关系正弦、余弦的平方和关系是三角恒等式中的一类，常用的恒等式有如下两个：sin^2θ + cos^2θ = 1 (1)1 + tan^2θ = sec^2θ (2)恒等式(1)表示在一个直角三角形中，对于任意θ角度，正弦的平方加上余弦的平方总是等于1。
证明方法如下：对于直角三角形，设其斜边长度为r，邻边长度为x，对边长度为y，根据勾股定理可得：x^2 + y^2 = r^2将x和y分别除以r，得到：(x/r)^2 + (y/r)^2 = 1由于sinθ = x/r，cosθ = y/r，所以恒等式(1)得证。
恒等式(2)的证明方法与(1)类似，读者可以尝试自行证明。
1.2 三角函数之间的倍角、半角关系三角函数之间的倍角、半角关系也是三角恒等式中的一类，以下是一些常见的恒等式：sin2θ = 2sinθcosθ (3)cos2θ = cos^2θ - sin^2θ (4)tan2θ = (2tanθ)/(1-tan^2θ) (5)这些恒等式可以通过对应的三角函数的定义及三角函数间的关系来证明。
二、三角方程的解法解三角方程是一种常见的数学问题，其中包括了三角函数的方程、三角恒等式的应用等。
下面将介绍几种常见的三角方程解法方法。
2.1 利用基本周期性质三角函数具有基本周期性质，即sin(x+2πn) = sinx，cos(x+2πn) = cosx，其中n为整数。
利用这一性质，可以将方程简化为一个基本周期内的方程，然后求解。
2019初中奥数三角恒等式公式总结
2019初中奥数三角恒等式公式总结
1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R .(其中R为外接圆的半径)
2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC
3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即(a-b)/(a+b)=tan[(A-
B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明：
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地，我们同样也能够求证：当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
三角形中的三角函数是最基础的图形三角函数。
三角恒等式掌握三角恒等式的应用
三角恒等式掌握三角恒等式的应用三角恒等式在数学和物理学中有着重要的应用。
掌握三角恒等式不仅可以帮助我们解决各种与三角函数相关的问题，还能拓展我们的数学思维和解题能力。
本文将介绍三角恒等式的概念、常见的三角恒等式以及它们在实际问题中的应用。
一、概念与常见三角恒等式三角恒等式是指在三角函数中满足等式关系的三角函数之间的关系式。
常见的三角恒等式有正弦、余弦、正切、余切、正割和余割等函数之间的关系式。
下面是一些常见的三角恒等式：1. 正弦恒等式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ2. 余弦恒等式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ3. 正切恒等式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)4. 余切恒等式：cot(α ± β) = (cotαcotβ ∓ 1) / (cotβ ± cotα)5. 正割恒等式：sec(α ± β) = (secαseβ ∓ tanαtanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)6. 余割恒等式：csc(α ± β) = (cscαcscβ ∓cotαcotβ) / (cotα ± cotβ)这些三角恒等式是基础恒等式的推论，熟练掌握它们可以帮助我们解决各种三角函数相关的问题。
二、应用举例三角恒等式在数学和物理学中有着广泛的应用。
下面举例说明三角恒等式在实际问题中的应用：1. 几何问题中的运用三角恒等式在几何问题中经常被用来推导和证明一些性质。
例如，我们可以利用三角恒等式推导得到两个角的和、差的正弦、余弦、正切、余切的关系式，从而解决一些几何问题。
2. 物理问题中的应用三角函数在物理学中有着广泛的应用，特别是在波动、振动、光学和力学等领域。
例如，利用正弦恒等式，我们可以将复杂的周期函数表示为不同频率和振幅的简单正弦函数的和，从而分析和求解物理问题。
三角恒等式和三角不等式
特别地，已知三角形两边及某边对角，求余下元素（如已知,,a b A ；求,,c B C ），有以下几种情况：A 为锐角A 为直角或钝角当a bsinA <时，无解；当a bsinA =时，有唯一解且为直角三角形；当bsinA a b <<时，有二解；当a b ≥时，有唯一解.当a b ≤时，无解；当a b >时，有唯一解.三、三角恒等式在ABC ∆中，（1）sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+.（2）sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C +=；tan cot 22A B C +=.（3）sin sin sin 4cos cos cos 222A B C A B C ++=；sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C +-=；cos cos cos 14sin sin sin 222A B C A B C ++=+；cos cos cos 4cos cos sin 1222A B C A B C +-=-；tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；cot cot cot csc csc csc cot cot cot A B C A B C A B C ++=+.（4）sin sin sin 14sin sin sin 222444A B C A B B C C A +++++=+；cos cos cos 4cos cos cos 222444A B C A B B C C A +++++=；cotcot cot cot cot cot 222222A B C A B C ++=；tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++=.（5）cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A ++=；tan tan tan tan tan tan sec sec sec 1A B C B C A A B C ++=+.（6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=；sin 2sin 2sin 24cos cos sin A B C A B C +-=；158cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C ++=--；cos 2cos 2cos 214sin sin cos A B C A B C +-=-.（7）222sin sin sin 2(1cos cos cos )A B C A B C ++=+；222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C +-=；222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；222cos cos cos 12sin sin cos A B C A B C +-=-.（8）333sin 3sin 3sin 34cos cos cos 222A B C A B C ++=-；333sin 3sin 3sin 34sin sin cos 222A B C A B C +-=-；333cos3cos3cos314sin sin sin 222A B C A B C ++=-；333cos3cos3cos314coscos sin 222A B C A B C +-=--.（9）333333sin sin sin 3cos cos cos cos cos cos 222222A B C A B C A B C ++=+；333333sin sin sin 3sin sin cos sin sin cos 222222A B C A B C A B C +-=+；333333cos cos cos 13sin sin sin sin sin sin 222222A B C A B C A B C ++=+-；333333cos cos cos 13coscos sin cos cos sin 222222A B C A B C A B C +-=-+-.（10）sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin A B C B C A C A B A B C ++=；cos sin sin cos sin sin cos sin sin 1cos cos cos A B C B C A C A B A B C ++=+.（11）sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos 222222222222A B C B C A C A B A B C ++=；sin cos cos sin cos cos sin cos cos 1sin sin sin 222222222222A B C B C A C A B A B C ++=+.159四、三角不等式由琴生不等式可以证得下面一些结论.一般来说，在三角形中当且仅当60A B C ===︒取等号.（1）33sin sin sin 2A B C ++≤；加强为23sin sin sin 34n n n nA B C ++≤⋅，其中n N *∈.（2）3sin sin sin 2222A B C ++≤；加强为3sinsin sin 2222n n n n A B C ++≤，其中n N *∈.（3）2223sin sin sin 2224A B C ++≥；加强为22223sin sin sin 2222n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（4）33sin sin sin 8A B C ≤.（5）1sin sin sin 2228A B C ≤.（6）3sin 2sin 2sin 22A B C ++≥.（7）锐角三角形中，3cos cos cos 2A B C ++≤；加强为3cos cos cos 2n n n n A B C ++≤，其中n N *∈.（8）33cos cos cos 2222A B C ++≤；加强为23coscos cos 32224n n n n A B C ++≤⋅，其中n N *∈.（9）33cos cos cos 2222A B C ++≤.160（10）1cos cos cos 8A B C ≤.（11）33cos cos cos 2228AB C ≤.（12）3cos 2cos 2cos 22A B C ++≥-.（13）2223cos cos cos 4A B C ++≥即2229sin sin sin 4A B C ++≤；加强为22223cos cos cos 2n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（14）3sin sin sin sin sin sin 2222224A B B C C A ++≤；加强为3sin sin sin sin sin sin 2222224n n n n A B B C C A ++≤，其中n N *∈.（15）锐角三角形中，3cos cos cos cos cos cos 4A B B C C A ++≤；加强为3cos cos cos cos cos cos 4n n n n A B B C C A ++≤，其中n N *∈.（16）锐角三角形中，tan tan tan 33A B C ++≥；加强为tan tan tan 3(3)n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（17）tan tan tan 3222ABC++≥；加强为3tan tan tan 3()2223n n n n A BC++≥，其中n N *∈.（18）3tan tan tan 2229AB C ≤.（19）锐角三角形中，cot cot cot 3A B C ++≥；加强为3cot cot cot 3()3n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.161（20）cot cot cot 33222A B C ++≥；加强为cot cot cot 3(3)222n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.（21）锐角三角形中，sec sec sec 6A B C ++≥；加强为sec sec sec 32n n n n A B C ++≥⋅，其中n N *∈.（22）csc csc csc 23A B C ++≥；加强为23csc csc csc 3()3n n n n A B C ++≥，其中n N *∈.另外还有一些结论，请参见不等式中的三角不等式有关结论.162。
三角恒等式
三角恒等式三角恒等式，是三角函数的一种，是由三角形底边构成的。
它是一种最简单的三角形式，但是它的使用范围却非常广泛的，不仅是三角恒等式，它还能运用到其他的函数以及代数方程中。
三角形恒等式中有一个最重要的公式——AUM (Average Action),它是三角函数中最重要的一类公式。
这是一个有明确解题范围的几何问题，通常出现在三角函数中（如三角函数a-Δ a= c,a-Δ b= c)。
因为AUM可以在三角恒等式中表达出三角函数中任意两点之间有一个平行线，即a-Δ a= c,这就说明了一个问题——a-Δ a= c的对角线问题。
三角函数在几何中主要应用于三角等式中（三角恒等式: a、b=a-Δ a),如果a=3则其在三角函数中所表达的对角线与三角形面积之间具有最大角θ，那么三个角之间形成最小角θ的对角线称为三角恒等式。
1、三角形恒等式是一类解题的基本形式，它与函数、方程等都有密切联系，因此一定要掌握它的性质和用法。
分析：在三角形恒等式中，只有一项关系式是成立的，即a= b=a-Δ a= c,只有一个不为0。
这就表明了三角函数中三角形的定义和性质都与该定理无关。
用a-Δ a× c= a+ v× c 的乘积就能求出该几何函数值（也可称为三角恒等式),此式也叫做AUM (Average Action Expection,简称AUM)是三角恒等式中非常重要的公式。
该公式和解等式的基本思想是: a 和b是整数组，故a-Δ a−c是对角线上所有点c的值.2、三角形恒等式的解题应用①、解三角形恒等式的公式: b=a-Δ a= c; a=(a- vc);②、解析：如果a≤2a-Δ b= c,则对应的三角形A、B、C三个角点都保持了同样的直线关系，在图A中是直线CB和CB 相连，所以△ ABC就是三个AB+1和+2的对角线，所以两个三角体组成了直角AB的平行线。
这是数学中一个非常常见的解题方法，也是最简单的。
三角形中的不等式2
三角形中的不等式1. △ABC 中，求证：3π≥++++c b a cC bB aA . 法一：三角形ABC 中，必定有最大角≥∏/3，最小角≤∏/3(这个用反证法可证，此处不多说） 不妨设A≥B≥C,那么A≥∏/3,C≤∏/3(C*c+B*b+A*a)/(a+b+c)≥ ∏/3等价于: (C*c+B*b+A*a)≥(a+b+c)*∏/3（移项），等价于：(C*c+B*b+A*a)-(a+b+c)* ∏/3 ≥ 0（展开），等价于a(A-∏/3 )+b(B -∏/3 )+c(C -∏/3 )≥ 0将角B = ∏-A-C 代入 ,等价于a(A-∏/3 )+c(C -∏/3 )+B(∏-A-C -∏/3 )≥ 0a(A-∏/3 )+c(C -∏/3 )+B(2∏/3 -A-C)≥ 0展开整理,等价于A(a-b) +C(c-b) -a* ∏/3 -c* ∏/3 +b*2∏/3≥ 0等价于A(a-b) +C(c-b) -(a-b)*∏/3 -(c-b)* ∏/3 ≥ 0等价于(a-b)(A-∏/3) +(c -b)(C-∏/3) ≥ 0 ①也就是只要证明①成立。
因为在三角形中，大角对大边，A≥B≥C ，所以，a≥b≥c所以a-b≥0,c -b≤0,又因为 A≥∏/3,C≤∏/3所以(A-∏/3)≥0,(C -∏/3) ≤0所以(a-b)*(A-∏/3)≥0 ,(c -b)(C-∏/3)≥0所以(a-b)(A-∏/3) +(c -b)(C-∏/3) ≥ 0从而命题成立法二：原不等式等价于3(C*c+B*b+A*a)》=(a+b+c)（A+B+C ）化简：2（C*c+B*b+A*a)》=（Ab+Bc+Ca ）+（Ac+Ba+Cb ）不妨设A 》=B 》=C ，则a 》=b 》=c （大角对大边）左边显然为同序和，右边为乱序和，由排序不等式：同序和》=乱序和原不等式得证2. △ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ≤233.3．A 、B 、C 为锐角三角形三内角，求证：tan 3A+tan 3B+tan 3C ≥93.4．△ABC 中，求证：a 2+b 2+c 2≥43△（△为△ABC 的面积）（提示：利用c ab b a c c ab cos 2,sin 21222-+==∆，再用求差法）5．a 、b 、c 为△ABC 三边，x ∈R ，求证：a 2x 2+(a 2+b 2－c 2)x+b 2>0.（提示：△=…=（a+b+c ）(a+b －c)(a －b+c(a －b －c)<0)6．△ABC 中，利用代数换元a=y+z,b=z+x,c=x+y(x,y,z ∈R +)求证：sin 812sin 2sin 2 C B A . 7.问题 设a,b,c;ma,mb,mc;ha,hb,hc 分别表示△ABC 的三边长,三中线和三条高。
知识点归纳3：三角恒等式
知识点归纳3：三角恒等式
三角恒等式是三角函数的特殊性质，并具有极大的应用价值。
它规定：任何两相等的
角均有相等的三角函数值。
正如它的名称所示，它是一种恒等的性质，指的是在角的标准
化过程中，所有的三角函数值都不变。
三角恒恒等式可以写成：“对于任何给定的角θ，其对应的三角函数值sinθ，
cosθ和tanθ都一样”。
它可以用于证明和计算三角函数的值，从而解出角的大小和角度。
三角恒等式的证明可以从正弦定理出发，结合定积分定理，然后利用正弦与余弦定理，最后使用直角三角形中边余弦定理，普通三角形中对边两边的余弦定理，可以得出三角形
恒等式。
从正弦定理出发，讨论三角形的角是最常见的方法之一。
另一个应用三角恒等式的有趣也有意义的方面是，它可以用来证明和计算余弦公式、
正切公式及其他角度计算公式，以及逆函数公式。
特别是逆函数，被大家熟知的有arcsin、arccos、arctan等，它们都是由这些公式计算得出的，由此也可以证明其真实性。
三角恒等式在几何、旋转、动量、音频以及图像处理领域有着重要的应用。
它可用于
计算三角函数和逆函数的值，并可用于求解三角函数的标准方程和反三角函数的标准方程，从而解决曲线设计、点积推导、力学等方面的问题。
此外，三角恒等式也可以用于计算三
维空间内交互作用、抛物线等问题，以及相机校正和图像处理、二维几何图形变换等方面
的运算。
三角恒等式是一类具有普遍性作用的基本定理，具有广泛而深入的作用。
它既可以用
于数学的研究，也可以用于实际科技的计算，大大提高了工程计算的速度和精度，从而发
挥出重要的价值。
三角形恒等式
三角形恒等式三角形恒等式是关于三角函数的一组重要公式，它们可以帮助我们求解各种三角函数的值，以及解决与三角函数相关的问题。
本文将对常见的三角形恒等式进行详细阐述，包括定义、证明以及应用。
一、基本概念1. 三角函数在直角三角形中，我们可以定义三个基本比值：正弦、余弦和正切。
它们分别表示：正弦（sin）：对于一个锐角三角形，其对边与斜边的比值。
余弦（cos）：对于一个锐角三角形，其邻边与斜边的比值。
正切（tan）：对于一个锐角三角形，其对边与邻边的比值。
除此之外，还有反正弦、反余弦和反正切等逆函数。
它们用来求解某些特定的三角函数值。
2. 三角形恒等式在讨论三角形恒等式之前，我们需要了解两个概念：同侧：指两条线段或两个点在同一侧。
异侧：指两条线段或两个点不在同一侧。
对于一个锐角三角形 ABC，我们可以得到以下几个重要公式：$\sin A = \frac{a}{c}$$\cos A = \frac{b}{c}$$\tan A = \frac{a}{b}$其中，a、b、c 分别表示三角形 ABC 的三条边。
根据这些公式，我们可以得到一系列三角形恒等式。
这些恒等式是指，对于任意一个锐角三角形 ABC，以下公式都成立：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$1 + \tan^2 A = \sec^2 A$$1 + \cot^2 A = \csc^2 A$二、证明过程1. $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$我们可以利用勾股定理来证明这个恒等式。
对于一个锐角三角形ABC，假设其斜边为 c。
根据定义，我们有：$\sin A = \frac{a}{c}$$\cos A = \frac{b}{c}$那么根据勾股定理，我们有：$a^2 + b^2 = c^2$将上面的两个公式代入上面的式子中，得到：$(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1$化简后即可得到该恒等式。
三角不等式的数学知识点
三角不等式的数学知识点
关于三角不等式的数学知识点
数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺收集整理的关于三角不等式的数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
三角不等式要领：在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式
三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD 小于AB+CD。
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理)，也称为三角不等式。
加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的'三角不等式(其中a，b分别为向量a和向量b)
将三角函数的性质融入不等式.
如:当X在(0,90*)时,有sinx
等式成立的条件：
|a|-|b| = |a+b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≤0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≥0
|a|-|b| = |a-b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≥0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≤0
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
知识总结：三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论，包括广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会
用这一不等式导出不等关系。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.yr 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1； 商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
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三角恒等式及三角不等式
一、在△ABC 中有如下恒等式：
2sin 2sin 2sin 41cos cos cos C B A C B A +=++；
sC Bc A C B A 0cos cos 412cos 2cos 2cos --=++；
23sin
23sin 23sin 413cos 3cos 3cos C
B A
C B A -=++；
C B A C B A 2cos 2cos 2cos 414cos 4cos 4cos +-=++； 猜想：?cos cos cos =++nC nB nA
2sin
2sin 2sin 2sin 41cos cos cos nC
nB nA n nC nB nA π+=++；（n 为奇数） 2cos
2cos 2cos 2cos 41cos cos cos nC
nB nA n nC nB nA π+-=++；（n 为偶数） ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++2sin 2sin 2sin 122cos 2cos 2cos 222
C B A C B A ； 2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222
C B A C B A -=++；
2sin
2sin 2sin 4sin sin sin C
B A
C B A =-+； )cos cos cos 22sin sin sin 222C B A C B A +=++； C B A C B A cos cos cos 21cos cos cos 222-=++
2
sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++
C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++；（可以推广到πn C B A =++）nC nB nA nC nB nA tan tan tan tan tan tan =++；n 为正整数
1
2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A ；1
2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++nA nC nC nB nB nA ；n 为正整数
2cos
2cos 2cos 2sin 4sin sin sin nC
nB nA n nC nB nA π=++；（n 为奇数） 2sin
2sin 2sin 2cos 4sin sin sin nC
nB nA n nC nB nA π-=++；（n 为偶数）
二、三角恒等式；
z
y x z y x z y x z y x z y x sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin )sin(-++=++z y x z y x z y x z y x z y x cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos )cos(---=++ C B A C B A cos cos cos 1cos sin sin +=∑ x x x 3sin 4sin 33sin -= x x x cos 3cos 43cos 3-=
x z z y y x z y x z y x z y x tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=
++
x x
x x 23tan 31tan tan 33tan --=
x
x x x 3sin 41
)60sin()60sin(sin 00=+-； x
x x x 3cos 41
)60cos()60cos(cos 00=+-； x x x x 3tan )60tan()60tan(tan 00=+-；
三、在△ABC 中有如下不等式： （1）
23
33sin
3sin sin sin =++≤++C B A C B A ；
（2）
8333sin sin sin sin sin sin 3
≤
⎪⎭⎫
⎝⎛++≤C B A C B A ； （3）
233sin 32sin 2sin 2sin =
++≤++C B A C B A ； （4）8132sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 3
≤⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
++≤C B A C B A ；
（5）
23
2sin 2sin 2sin 41cos cos cos ≤
+=++C B A C B A ； （6）在锐角三角形ABC 中，
813cos cos cos cos cos cos 3
≤
⎪⎭⎫
⎝⎛++≤C B A C B A ； （7）在锐角三角形ABC 中，3
33tan 3tan tan tan =++≥++C
B A
C B A ；
（8）3
3cot 3cot cot cot =++≥++C
B A
C B A ；
（9）83
3)sin (sin sin 21sin sin sin 22≤+≤
C B A C B A 8
33)cos (cos sin 21cos cos sin 22≤+≤
C B A C B A 四、s r R -- 面积公式：pr c p b p a p p R
abc C ab ah S ABC =---====
∆))()((4sin 2121
半角公式：bc c p b p A ))((2sin
--=，bc
a p p A
)
(2cos -=
(1) R
r
C B A 42sin 2sin 2sin
=
; 12sin 2sin 2sin 41cos +=+=∑R
r
C B A A r R 2≥⇒ 在直角三角形中，21cos ≤+=∑R
r
A ；
(2)R
s
R c b a C B A A =++==∑22cos 2cos 2cos 4sin ；
(3)因为ca bc ab s c s b s a s s s abc s r Rr s ++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+
+=++2
222))()((4，所以 22
244sin sin R r Rr s B A ++=∑，224r Rr s ab ++=∑；
(4)2
332848sin sin sin R
rs
R rs R R abc C B A =⋅==
，Rrs abc 4=； (5) 2
2
2244cos cos R r R s B A +-=∑； (6) 2
2
24)2(cos cos cos R r R s C B A +-=；
(7)
R
r
R A 222sin 2
-=
∑ 3
223
4)
36(sin R
r Rr s s A --=∑; 3
3
233
443)2(cos R
R rs r R A --+=∑ (8) 22)
2(2tan tan tan tan r R s rs
C B A A +-==∑;rs r Rr s A 24cot 22--=∑； (9) 2
22
2)2(4tan tan r R s r Rr s B A +---=∑；
(10) R s
R
r R rs C B A C B A C B A 4822sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2cos 2cos 2cos 2=
==； （11）2
2
2
2
516344r Rr s r Rr R Gerretsen -≥≥++不等式：
ker Wal ：222382r Rr R s ++≥
Bludon :2
33)433(2R
s r R s ≤
⇒-+≤ 另外：2
222344516r Rr R s r Rr ++≤≤-
（12）Hadwiger Finsler -不等式：
∑∑
-+≥2
2)(34b a S a （13）2
sin 2sin 2sin 822tan 2tan 2tan 222
C
B A
C B A Bankoff Garfunkel -≥++-不等式： （14）1967年，Z ．Mitrovic ：
2
arccos
,202
1)cos (cos cos 2
λ
λλλ==<<+
≤++C B iff C B A
(15)k Weitzenboc 不等式：S c b a 342
22≥++。