建模作业商品价格问题

商品价格和包装大小的关系

摘要

我们知道现在很多商品都不止一种包装，为了满足不同消费者需求，厂家生产时将相同商品分成不同质量的包装，定价也各不相同。显然由于节省包装成本的缘故，大包装商品单位重量价格明显比小包装商品便宜，那么商品价格及单位重量价格与包装大小的具体关系是怎样的，需要我们建立模型来说明。本文建模的主要目的即是说明商品包装大小和价格的关系，用比例方法构造模型，通过定性分析，观察商品包装成本规律。可得基本结论:包装增大时单位重量商品的成本减小；单位重量商品价格的减小值不会随着包装增大而无限增大。我们知道成本包括生产成本、包装成本和其他成本。由生活常识易知生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积与重量有关，假设出三个参数建立成本与重量的函数关系，进而求导观察函数的增减。可得价格和单位重量价格与商品包装大小的关系。

关键词：商品包装；比例模型；单位质量价格；成正比

一、问题的重述

在超市购物时我们注意到大包装商品比小包装商品便宜。比如题目中提到的洁银牙膏，50g装每只1.50元，即单价为0.03元/g,120g装3.00元，即单价为0.025元/g,单价比1.2:1,。第一小题要求我们分析商品价格C与商品质量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本决定，其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比等。第二小题要求我们给出单位质量价格c与w的关系并画出简图说明w越大c越小但是随着c减小的程度变小，解释其实际意义。整个建模过程要求运用比例方法构造模型。

二、问题分析

题目中要求分析商品价格和重量的关系，即分析成本和重量的关系，成本由生产成本、包装成本和其他成本组成，生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积又与质量有关，其他成本由于其不确定性为建模带来巨大困难，设为常数即忽略包装损耗及工作效率的差异。建立几个量之间的函数关系，即可求解。

三、模型假设

1.总成本=生产成本+包装成本+其他成本，其中其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比，其他成本记为与w,s无关。

2.商品包装在用料形状大小方面完全相同没有差异。

3.商品成本中的其他成本包括包装损耗及工作效率不一忽略不计。

四、变量说明

商品价格：C

商品单价：c（单位重量价格）

商品重量：w

商品表面积：s

总成本：A

生产成本：包装成本：其他成本：

1 a

2 a

3 a

五、模型的建立与求解

5.1模型的建立

生产成本与重量w 成正比，有=kw (其中k>0且为常数）

包装成本与表面积s 成正比，而一般地s 又与成正比，

有,

(m,l 均>0且为常数） 其他成本为固定常数，与w,s 无关

由总成本=生产成本+包装成本+其他成本

有

所以商品单位重量价格为

（其中k,m,l 均为大于0的常数）

5.2.模型的求解

（其中k,m,l 均为大于0的常数）

上述c-w 的函数对w 求导可得：

易知,所以c 是定义域上的减函数，对再求导可得c 是定义域上的凹函数， 即随着w 的增大，c 的减少量始终减小，当w 很大时，，即c 不再减小。w 和c 的关系如下图。

1a 1a 2a 23w 23s lw =232a ms mlw ==3a 123A a a a =++233kw lmw a =++1331A c k lmw c w w -==++1331A c k lmw c w w -==++3432113c mlw c w -'=--0c '

→

六、模型的解释

从上述函数可得，c 是w 的减函数，c 随着w 的增大而减小，说明大包装比小包装便宜；但是由c 是定义域上的凹函数，说明单位重量价格的减小值随着重量变大的是在减少的，当某一刻w 足够大时，，c 不再减少，所以不是包装越大单位质量越小，建模的实际意义告诉我们不要一味追求大包装商品。

七、模型的评价

上述模型虽然来自对现实精确的评估，但仍然停留在定性分析阶段，结论是可靠的，但是模型本身来说比较粗糙，缺少检验步骤，需要对同一种商品不同包装进行大数据检测，但是商品本身包装规格只有有限种类，就给检验增加了难度。最后函数中含有三个参数，想要确定参数的值，至少需要三组不同重量及包装的同种商品。

0c '→