高三数学期末考试试题(理科)

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黑龙江省哈尔滨市高三上学期期末考试数学(理)测试题(含答案)(2019级)

哈尔滨市XX 中学上学期期末测试高三理科数学一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．复数ii i 1313+-+等于（） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.02．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（）A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－123. 已知)6cos()42(cos 2ππ+=+x x ，则=x cos （） A.33 B. 33- C. 31 D 31-. 4．已知,x y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为( )A.21 B.2 C.23 D.34 5．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定为“0,2>-∈∃x x R x ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2； (5)若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数绝对值越接近1.A.1个B.2个C.3个D.4个6. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生CA ．13B ．21C ．197．如图，给出的是求111246+++ (1)20+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是( ) A ．10i ≥ B ．10i ≤ C ．9≥i D ．9≤i8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A.12B.4C.5639．某同学为了解秋冬季用电量（y 度）与气温（C x ）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为602+-=∧x y ，现表中一个数据被污染，则被污染的数据为（）A ．40 B. 39 C ．38 D ． 37 10．若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )A B C D11．从抛物线x y 42=的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PB PA ,,B A ,为切点,若直线AB 的倾斜角为3π,则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.332 C.334 D. 32 12. 若方程0122=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<则)()(22314x x x x -+-的取值范围是（）A.]26,8[B.(]54,26C.[]54,8D.(]54,8 二、填空题：（共4题，每题5分，共20分）13．在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为 .14. 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，3,60=︒=AB C ，则此直三棱柱的外接球的表面积为 .15．已知点21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点，若|:|AB ||2BF 5:4:3|:|2=AF ，则双曲线的离心率为 .16.ABC ∆中，BC B c B A b ,tan 2)tan (tan =+边上中线长是1，则a 的最小值是 .三、解答题：（共70分）17．（共12分）已知数列{}n a 满足(){}21,n n n S a n N b *=-∈是等差数列，且1143,b a b a ==. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若*)(211N n b b a c n n n n ∈-=+,求数列}{n c 的前n 项和n T .18．（共12分）2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列及其数学期望.19．（共12分）如图，已知长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --20.（共12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由.21．（共12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()yh x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（共10分）已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 4=，曲线2C 的参数方程是)0(sin cos πααα<≤⎩⎨⎧=+=为参数，t t y t m x ，射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线1C 交于极点O 外的三点C B A ,,. （1）求||||||OA OC OB +的值；（2）当12πϕ=时，C B ,两点在曲线2C 上，求m 与α的值.23．（共10分）已知c b a ,,都是正数. （1）若b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+；（2）求证：abc cb a ac c b b a ≥++++222222.高三理科数学答案1-12 DCABA ABBCB BD13.14.15.16.17.（1）由21,n n S a =-可得1121n n S a ++=-，两式作差可得1112n n n n a S S -++=-=，又111a S ==适合此通项公式，所以12n n a -=；由此可得11431,4,b a b a ====由等差数列的性质可得n b n=；（2）由题意写出数列{}n c 的通项公式111211221n n n n n c a b b n n -+⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭，再用分组求和法求之即可. 试题解析：（1） 1121,21n n n n S a S a ++=-=-,两式相减可得 111122,2n n n n n n n S S a a a a a ++++-==-∴=, 当1n =时，111121,1S a a a ==-∴=，所以n a 是以1为首项，2为公比的等差数列，所以12n n a -=，11431,4,n b a b a b n ====∴=.（2）()1111221122211n n n n n n c a b b n n n n --+⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111112221 (22121223121112)n n n n T n n n n ---⎛⎫⎛⎫∴=--+-++-=---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-18.（1）由表可知：空气温度指标为0的有1A ；空气温度指标为1的有23,58,910,,,A A A A A A ,空气温度指标为2的有46,7,A A A .所以空气温度指标z 相同的概率22632101532455C C P C ++===.（2）计算10块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表：其中长势等级是一级的有234679,,,,A A A A A A ，共个，长势等级不是一级的4<有15810,,,A A A A ，共4个.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5.()()11111132312211116464171,2424C C C C C C P X P X C C C C ⋅⋅+⋅======⋅⋅,()()1111111111312121112111116464713,4248C C C C C CC C C C P X P X C C C C ⋅+⋅+⋅⋅+⋅======⋅⋅,()111111641524C C P X C C ⋅===⋅,所以X的分布列为：()123454242482412E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19.（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ONAM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得0,0,0,0,0,0,A B M D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎝，则AD ⎛=- ⎝⎭，()BM =，所以0AD BM ⋅=，故AD BM ⊥．（2）设DE DB λ=，因为平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =，2ME MD DB λ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0AM =．设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =，)2210x y z λλ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1y =，得20,1,1x y z λλ===-，所以20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，因为5cos ,m n m n m n⋅==⋅，求得51=λ 20.（1）设()00,y x B ，则()00,y x C --，142020=+y x所以4144114222022020000021-=--=-=+⋅-=x x x y x y x y k k （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)2(221y x x k y 得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=，解得212141)14(2k k x B +-=，2111414)2(k k x k y B B +-=-= 所以121241B BC B y k k x k -==-，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k k k x k -+-===--+++，所以52PQBC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQBC k k =．21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，∵()()22l n f xx ax a x=-++，∴()()()()22122222a x x x a x a af x x a x xx⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭=-++==，∵2a>，∴12a >，令()0f x '>，即()2120a x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，∵0x >，∴01x <<或2a x >，所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当4a=时，()264ln f x xx x =-+，∴()426f x x x'=+-，()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭，令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x φ⎛⎫=-=-+-+--+-+ ⎪⎝⎭，则()00x φ=，()()()()00000000002442222262621x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫'=+--+-=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-， ∴当(()2,x ∈+∞时，()y f x=不存在“类对称点”．当0x ()(22x x xφ'=，∴()x φ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x φ>-，所以当0x=()y f x =存在“类对称点”．。

安徽省高三上学期期末数学试卷(理科)

安徽省高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，则为（）A . (1,2)B .C .D .2. （2分） (2019高三上·广州月考) 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·河南模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 10B . 12C .D . 204. （2分）(2018·银川模拟) 已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·北京期中) “直线与圆相切”是“ ”的（）A . 充分必要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2018·长安模拟) 已知＝－且，则等于（）A . －B . －7C .D . 77. （2分） (2020高二下·大荔期末) 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）A . -1B .C .D .8. （2分）方程|x+y|= 所表示的曲线是（）A . 双曲线B . 抛物线C . 椭圆D . 不能确定二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二下·天津期末) i是虚数单位，a，b∈R，若 =bi，则a﹣b=________．10. （1分） (2016高二上·江阴期中) 直线y=kx+1与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，若AB＞4，则k的取值范围是________．12. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，、、分别为角、、的对边，且，则角的取值范围是________.13. （1分）(2018·兰州模拟) 若变量满足约束条件，则目标函数的最大值是________．14. （1分） (2019高一上·鹤壁期中) 若函数为奇函数，则 ________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数 f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，x∈R，（1）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0， ]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．16. （10分）(2019·达州模拟) 如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点，，平面ABCD，，，F是线段PG的中点；（1）求证：平面PAC；（2）若时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值．17. （10分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1 ， a3 ， 3a2成等差数列．（1）求等比数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an ，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．18. （10分） (2016高三上·成都期中) 已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设数列{bn}满足bn= ，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数n的值．19. （5分） (2018高二上·儋州月考) 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F ，交椭圆于A ，B两点，求弦AB的长.20. （10分） (2020高二下·天津期末) 已知函数， .（1）若函数是R上的增函数求a的取值范围；（2）若函数恰有两个不等的极值点、，证明： .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、第11 页共11 页。

人教A版2019-2020学年湖北省黄冈市高三上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题）1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}2．复数z＝的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．已知向量，，若，则＝（）A．5 B．C．6 D．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若AD＝5，BD＝3，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．6．若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．57．将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种8．已知实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π10．关于函数有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在（﹣∞，0）上单调递增；④f（x）恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④11．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点（点B在F，M中间），且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|＝7|BF|，则AF 的长为（）A．B．1 C．D．12．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．15．设数列{a n}满足a1＝a，（a n+1﹣1）（1﹣a n）＝2a n（n∈N*），若数列{a n}的前2019项的乘积为3，则a＝．16．已知函数f（x）＝（x+1）sin x+cos x，若对于任意的（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜a||成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调增区间．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…，（1）求数列{a n}的通项；（2）设S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求S n．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45，152），若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）22．已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）e x，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故选：D．2．复数z＝的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．解：z＝＝，则复数z＝的虚部为：﹣1．故选：C．3．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线x+y+a＝0上，将圆心坐标代入直线方程可得a﹣2﹣1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+1＝0，其圆心为（1，﹣2），若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则圆心在直线x+y+a＝0上，则有a+1﹣2＝0，解可得a＝1；故选：A．4．已知向量，，若，则＝（）A．5 B．C．6 D．【分析】通过向量的数量积求解x，然后求解向量的模．解：向量，，若，可得﹣x﹣10＝﹣7，解得x＝﹣3，所以＝（﹣4，3），则||＝＝5．故选：A．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若AD＝5，BD＝3，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得∠ADB＝120°，在△ABD中，运用余弦定理，求得AB，以及DE，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．解：∵∠ADB＝180°﹣60°＝120°，在△ABD中，可得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，即为AB2＝52+32﹣2×5×3×（﹣）＝49，解得AB＝7，∵DE＝AD﹣BD＝2；∴＝＝．故选：B．6．若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1）．化目标函数z＝3x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣5．故选：C．7．将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有C31A21A22＝12种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C21C32A22＝12种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12+12＝24种；故选：B．8．已知实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过举反例得到“xy≤1”推不出“2x+2y≤4”；再由“2x+2y≤4”⇒“xy≤1”．能求出结果．解：∵实数x＞0，y＞0，∴当x＝3，y＝时，2x+2y＝23+＞4，∴“xy≤1”推不出“2x+2y≤4”；反之，实数x＞0，y＞0，“2x+2y≤4”⇒“xy≤1”．∴实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的必要不充分条件．故选：B．9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】首先利用函数的关系式的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．解：函数的图象向左平移个单位，得到y＝2sin（）的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）+1的图象，由于若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以函数在x＝x1和x2时，函数都取得最大值．所以（k∈Z），解得，由于且x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以，同理，所以．故选：C．10．关于函数有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在（﹣∞，0）上单调递增；④f（x）恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④【分析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解．解：函数，在①中，f（﹣x）＝（1+）＝﹣（1+）＝（+）＝（1+）＝f（x）．∴函数是偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；在②中，函数是偶函数，图象关于y轴对称，故②错误；在③中，在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2＜0，f（x2）﹣f（x1）＝﹣（1+）＝+＞0，∴函数在（﹣∞，0）上单调递增，故③正确；在④中，当x＞0时，＞0，1+＞0，f（x）＞0，当x＜0时，＜0，1+＜0，f（x）＞0．∴f（x）恒大于0，故④正确．故选：D．11．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点（点B在F，M中间），且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|＝7|BF|，则AF 的长为（）A．B．1 C．D．【分析】由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长．解：如图，过B作BB′垂直于准线，垂足为B′，则|BF|＝|BB′|，由|BN|＝7|BF|，得|BN|＝7|BB′|，可得sin，∴cos∠BNB′＝﹣，tan∠BNB′＝﹣，又M（，0），∴AB的方程为y＝﹣，取x＝0，得y＝，即F（0，），则p＝1，∴抛物线方程为x2＝2y．联立，解得．∴|AF|＝．故选：C．12．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．∵BD＝3DC，，∴S△ABD＝S△ABC，∴，∴，同理AB＝8sin（∠BAC﹣θ），∴S△ABC＝＝＝＝（其中tanφ＝），∵0＜θ＜∠BAC，∴当2θ+φ＝时，sin（2θ+φ）max＝1，∴．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为20.2．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log20.2＜log21＝0，∴log20.2＜0，∵20.2＞20＝1，∴20.2＞1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴0＜0.20.3＜1，∴20.2最大，故答案为：20.2．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝1，b2＝3，则c＝2，则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为x2+y2＝4．联立，解得P（，）．∴S△OPF＝×2×＝．故答案为：．15．设数列{a n}满足a1＝a，（a n+1﹣1）（1﹣a n）＝2a n（n∈N*），若数列{a n}的前2019项的乘积为3，则a＝ 2 ．【分析】本题先根据递推式的特点可知a n≠1，然后将递推式可转化为a n+1＝．再根据a1＝a逐步代入前几项即可发现数列{a n}是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a的值．解：由题意，根据递推式，a n≠1．故递推式可转化为a n+1＝．∵a1＝a，∴a2＝，a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝，a5＝＝＝a．∴数列{a n}是以最小正周期为4的周期数列．∴a1•a2•a3•a4＝a••（﹣）•＝1．∵2019÷4＝504…3，∴a1•a2…a2019＝a1•a2•a3＝a••（﹣）＝＝3，解得a＝2．故答案为：2．16．已知函数f（x）＝（x+1）sin x+cos x，若对于任意的（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜a||成立，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【分析】求导可知函数f（x）在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的（x1≠x2），均有，构造函数h（x）＝f（x）﹣ae x，则函数h（x）在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．解：f'（x）＝sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）cos x，任意的（x1≠x2），f'（x）＞0恒成立，所以f（x）单调递增，不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），又，故|f（x1）﹣f（x2）|＜a||等价于，即，设，易知函数h（x）在上为减函数，故h′（x）＝（x+1）cos x﹣ae x≤0在上恒成立，即在上恒成立，设，则＝，故函数g（x）在上为减函数，则g（x）max＝g（0）＝1，故a≥1．故答案为：[1，+∞）．三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调增区间．【分析】（I）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解，（2）结合正弦函数的性质即可求解．解：（Ⅰ）因为，＝所以，（2）f（x）的最小正周期．令，解得所以f（x）的单调增区间为．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…，（1）求数列{a n}的通项；（2）设S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求S n．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出a n+1﹣a n﹣1＝4，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式．（2）化简S n＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），然后求解数列的和即可．解：（1）∵a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…①，∴a n﹣1+a n＝4（n﹣1）﹣1，n＝2，3，4…②①﹣②得a n+1﹣a n﹣1＝4，n＝2，3…当n为奇数，，当n为偶数，所以．（2）S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，S n＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）＝．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）求导后，列表得x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；（2）依题意，4cos2x﹣a cos x﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．解：（1）当k＝0，a＝2时，f（x）＝﹣sin2x+2sin xf′（x）＝﹣2cos2x+2cos x＝﹣4cos2x+2cos x+2＝2（2cos x+1）（1﹣cos x），则x，f′（x），f（x）的变化情况如下：∴＝．（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+a cos x≥0对∀x∈R 恒成立．得4cos2x﹣a cos x﹣6≤0，设t＝cos x∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6，则g（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象，得﹣2≤a≤2．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．【分析】（1）由离心率及三角形ABC的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（2）由（1）知A的坐标，设直线BC的方程，及B，C的坐标，进而写直线AB，AC的方程，与直线x＝c联立求出M，N的坐标，假设存在P点，是PM⊥PN，使数量积等于零，求出P点坐标．【解答】解（1）由已知条件得，解得；所以椭圆Γ的方程为；（2）设动直线BC的方程为y＝k（x﹣2），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB、AC的方程分别为和，所以点M、N的坐标分别为，联立得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0，所以；于是，假设存在点P（t，0）满足PM⊥PN，则（t﹣2）2+y M y N＝0，所以t＝﹣1或5，所以当点P为（﹣1，0）或（5，0）时，有PM⊥PN．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45，152），若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）【分析】（1）设样本的中位数为x，可得，解得x．（2）μ＝45，σ＝15，μ+2σ＝75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P（x≥μ+2σ）＝，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．解：（1）设样本的中位数为x，则，解得x＝45，所得样本中位数为45（百元）．（2）μ＝45，σ＝15，μ+2σ＝75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P（x≥μ+2σ）＝＝，0.0228×750＝17.1，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6．，，，，故其分布列为．22．已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）e x，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，（2）（i）转化为证明f′（x）＝0只有一个零点，结合函数与导数知识可证；（ii）由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．解：（1）解：由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），∵，①当a＜0时，a﹣x2e x＜0，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减，无极值点，②当a＞0时，令g（x）＝a﹣x2e x，则由于g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（0）＝a＞0，，所以存在唯一的x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点．（2）证明：（i）由（1）知．令g（x）＝a﹣x2e x，由a＞e得g（1）＝a﹣e＞0，所以g（x）＝0在（1，+∞）内有唯一解，从而f′（x）＝0在（0，+∞）内有唯一解，不妨设为x0，则f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以x0是f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，则当x＞1时，＜0，故h（x）在（1，+∞）内单调递减，从而当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，所以lnx＜x﹣1．从而当a＞e时，lna＞1，且f（lna）＝aln（lna）﹣（lna﹣1）e lna＜a（lna﹣1）﹣（lna ﹣1）a＝0又因为f（1）＝0，故f（x）在（1，+∞）内有唯一的零点．（ii）由题意，即，从而，即．因为当x1＞1时，lnx1＜x1﹣1，又x1＞x0＞1，故，即，两边取对数，得lne，于是x1﹣x0＜2lnx0，整理得x0+2lnx0＞x1．。

高三数学第一学期期末考试理科试题

石景山区2021—2021学年高三第一学期期末考试数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．集合}2,1,0{=P ，},2|{P a a x x Q ∈==，那么Q P =〔〕A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}2,0{2．“b a +是偶数〞是“a 与b 都是偶数〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数x x f ln 21)(=的反函数是〔〕 A ．21)(x e x f=- B ．2110)(x x f=- C ．x e x f21)(=-D ．x x f2110)(=-4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(x BC =，)3,2(=AC ，那么x 的值是〔〕A ．5B ．5-C ．23 D ．23-5．不等式212>++x x 的解集是〔〕 A ．),1()0,1(+∞- B ．)1,0()1,( --∞ C ．)1,0()0,1( - D ．),1()1,(+∞--∞6．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，那么543a a a ++=( )A ．33B ．72C ．84D ．1897．设函数⎩⎨⎧>≤++=)0(2)0()(2x x c bx x x f ，假设)0()4(f f =-，2)2(-=-f ，那么关于x的方程x x f =)(的解的个数为〔〕 A ．1B ．2C ．3D ．48．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字-09和字母F A -一共16个记数符号．这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：B D E 1=+，那么=⨯B A 〔〕 A ．E 6 B ．72C ．F 5D ．0B二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上． 9．复数ii4321-+的实部是． 10．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数一共有．〔用数字答题〕11．nx x )(1-+的展开式中各项系数的和是128，那么=n ；展开式中3x 的系数是．〔用数字答题〕12．函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--)1()1(112x a x x x x 在1=x 处连续，那么实数a 的值是．13．在半径为35的球面上有A 、B 、C 三点，6=AB ，8=BC ，10=CA ，那么球心到平面ABC 的间隔为．14．设函数)(x f 的图象与直线a x =，b x =及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在],[b a 上的面积，函数nx y sin =在[0，nπ]上的面积为n 2〔*∈N n 〕，那么〔1〕函数x y 3sin =在[0,3π]上的面积为；〔2〕函数1)3sin(+-=πx y 在[3π，34π]上的面积为 . 三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是12分〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C ．〔Ⅰ〕求C cos 的值；〔Ⅱ〕假设25=⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 的长．16．〔此题满分是12分〕函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P .〔Ⅰ〕假设函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；〔Ⅱ〕假设3>a ，求函数)(x f y =的单调区间.17．〔此题满分是14分〕如图，在三棱锥BCD A -中，面⊥ABC 面BCD ，ABC ∆是正三角形，︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD ．〔Ⅰ〕求证：CD AB ⊥；〔Ⅱ〕求二面角C AB D --的大小；〔Ⅲ〕求异面直线AC 与BD 所成角的大小．ACBD18．〔此题满分是14分〕袋中装有4个黑球和3个白球一共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的时机是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．〔Ⅰ〕求恰好取球3次的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的概率分布；〔Ⅲ〕求恰好甲取到白球的概率．19．〔此题满分是14分〕等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ．〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕通过公式cn S b nn +=构造一个新的数列}{n b ．假设}{n b 也是等差数列，求非零常数c ；〔Ⅲ〕求1)25()(+⋅+=n n b n b n f 〔*N n ∈〕的最大值．20．〔此题满分是14分〕设)(2)(x f xppx x g --=，其中x x f ln )(=．〔Ⅰ〕假设)(x g 在其定义域内为增函数，务实数p 的取值范围；〔Ⅱ〕证明： ()1≤-f x x ；〔Ⅲ〕证明：2*222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --+++<∈≥+．石景山区2021—2021学年第一学期期末考试试卷高三数学〔理科〕参考答案一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．把答案填在题中横线上．注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题一一共6个小题，一共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．〔此题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕∵ 73tan =C , ∴ 73cos sin =CC. 又∵ 1cos sin 22=+C C , 解得 1cos 8C =±． ……………………3分 ∵ 0tan >C ，∴ C 是锐角．∴ 81cos =C ． ………………………6分〔Ⅱ〕∵ 25=⋅CA CB ，∴ 25cos =C ab . 解得 20=ab ． …………………8分又∵ 9=+b a ， ∴ 4122=+b a ． ∴ 36cos 2222=-+=C ab b a c ．∴ 6=c ． ………………………12分16．〔此题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕a ax x x f ++='23)(2． ………………………2分由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得⎩⎨⎧=-=23b a ． …………………5分 ∴ 233)(23+--=x x x x f ． ……………………6分〔Ⅱ〕023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=∆a a ．由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或者332aa a x -+->，由0)(<'x f 解得333322aa a x a a a -+-<<---． ……………10分∴ )(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),33(2+∞-+-aa a ； )(x f 的单调减区间为： )33,33(22aa a a a a -+----．……12分17．〔此题满分是14分〕解法一：〔Ⅰ〕证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，∴ ⊥CD 面ABC ． ……………2分又∵ ⊂AB 面ABC ，∴ AB DC ⊥． ………………4分〔Ⅱ〕解：如图，过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结DM ．由〔Ⅰ〕知⊥CD 面ABC ．∴ CM 是斜线DM 在平面ABC 内的射影， ∴ AB DM ⊥．〔三垂线定理〕∴ CMD ∠是二面角C AB D --的平面角． …………………6分设1=CD ，由︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD 得3=BC ，2=BD ．∵ ABC ∆是正三角形，∴ 2323=⋅=BC CM ． ∴ 32tan ==∠CM CD CMD ． ∴ 32arctan =∠CMD ．∴ 二面角C AB D --的大小为32arctan． …………………9分〔Ⅲ〕解：如图，取三边AB 、AD 、BC 的中点M 、N 、O ，连结AO 、MO 、NO 、MN 、OD ，那么AC OM //，AC OM 21=；BD MN //，BD MN 21=． ∴ OMN ∠是异面直线AC 与BD 所成的角或者其补角． ………………11分 ∵ ABC ∆是正三角形，且平面⊥ABC 平面BCD ， ∴ ⊥AO 面BCD ，AOD ∆是直角三角形，AD ON 21=．又∵ ⊥CD 面ABC ，故2222==+=ON AC DC AD ．在OMN ∆中，23=OM ，1=MN ，1=ON ． ∴ 4321cos ==∠MN MOOMN ． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos． ……………14分解法二：〔Ⅰ〕分别取BC 、BD 的中点O 、M ，连结AO 、OM ． ∵ ABC ∆是正三角形，ACBD∴ BC AO ⊥．∵ 面ABC ⊥面BCD ，且面ABC 面BCD BC =， ∴ ⊥AO 平面BCD ．∵ OM 是BCD ∆的中位线，且⊥CD 平面ABC ， ∴ ⊥OM 平面ABC ．以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系． ……………2分设1=CD ，那么)0,0,0(O ，)23,0,0(A ，)0,23,0(-B ， )0,23,0(C ，)0,23,1(D ． ∴ )23,23,0(--=AB ，)0,0,1(=CD ． ……………………4分 ∴ 00)23(0)23(10=⨯-+⨯-+⨯=⋅CD AB ． ∴ CD AB ⊥，即 CD AB ⊥． …………………6分〔Ⅱ〕∵ ⊥CD 平面ABC ，∴ 平面ABC 的法向量为)0,0,1(=CD ． ……………………7分设平面ABD 的法向量为),,(z y x n =，∴ )23,23,0(--=AB ，)23,23,1(-=AD ． ∴ 0)23()23(0=⨯-+⨯-+⨯=⋅z y x AB n ，即 033=+z y ．0)23(231=⨯-+⨯+⨯=⋅z y x AD n ，即 0332=-+z y x ． y∴ 令3=y ，那么3-=x ，1-=z ．∴ )1,3,3(--=n ． ……………………9分∴ n CD n CD <,cos 13133-=． ∵ 二面角C AB D --是锐角，∴ 二面角C AB D --的大小为13133arccos． ………………11分〔Ⅲ〕∵ )0,3,1(=BD ，)23,23,0(-=AC ， ∴ AC BD <,cos 43)23()23(00)3(1)23(023301222222=-++⋅++-⨯+⨯+⨯=． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos ． ……………14分18．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕恰好取球3次的概率3565673341=⨯⨯⨯⨯=P ； ……………………3分〔Ⅱ〕由题意知，ξ的可能取值为1、2、3、4、5，()317P ξ==， ()4322767P ξ⨯===⨯，()4336376535P ξ⨯⨯===⨯⨯，()432334765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯， ()43213157654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯．所以，取球次数ξ的分布列为：…………………10分〔Ⅲ〕因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．记“甲取到白球〞的事件为A ．那么()()“1”“3”“5”P A P ξξξ====或或．因为事件“1=ξ〞、“3=ξ〞、“5=ξ〞两两互斥，所以)5()3()1()(=+=+==ξξξP P P A P 352235135673=++=．所以恰好甲取到白球的概率为3522． ……………14分19．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕∵ 数列{}n a 是等差数列，∴ 144132=+=+a a a a ．又4532=a a ， ∴ ⎩⎨⎧==9532a a ，或者⎩⎨⎧==5932a a ． ……………2分∵ 公差0>d ，∴ 52=a ，93=a ． ∴ 423=-=a a d ，121=-=d a a ．∴ 34)1(1-=-+=n d n a a n ． …………4分〔Ⅱ〕∵ n n n n n d n n na S n -=-+=-+=212)1(2)1(21，∴ cn nn c n S b n n +-=+=22． ………………6分 ∵ 数列{}n b 是等差数列， ∴ 212+++=n n n b b b ．∴ cn n n c n n n c n n n +++-+++-=+++-+⋅)2()2()2(22)1()1()1(22222．去分母，比拟系数，得 21-=c ． ……………9分 ∴ n n nn b n 22122=--=． ………………10分〔Ⅲ〕)1(2)25(2)(+⋅+=n n nn f2625125262++=++=nn n n n≤361． ……………12分当且仅当n n 25=，即5=n 时，)(n f 获得最大值361． ……………14分20．〔此题满分是14分〕解：〔Ⅰ〕∵ x xppx x g ln 2)(--=〔0>x 〕， ∴ 22222)(x px px x x p p x g +-=-+=' ． ……………1分令p x px x h +-=2)(2，要使)(x g 在),0(+∞为增函数，只需)(x h 在),0(+∞上满足：0)(≥x h 恒成立，即022≥+-p x px ．22(0,)1xp x ≥+∞+在上恒成立．又∵ )0(1122121202>=⋅≤+=+<x xx xx x x， ………4分∴ 1p ≥． …………5分〔Ⅱ〕证明：要证 1ln -≤x x ，即证 01ln ≤+-x x )0(>x ，设1ln )(+-=x x x k ，xxx x k -=-='111)(则． ………………6分当]1,0(∈x 时，0)(>'x k ，∴ )(x k 为单调递增函数；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x k ，∴ )(x k 为单调递减函数；∴ 0)1()(max ==k x k ． …………………9分即 01ln ≤+-x x ，∴ 1ln -≤x x ． …………10分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知1ln -≤x x ，又0>x ，∴xx x x x 111ln -=-≤． ∵ *∈N n ,2≥n ，可令2n x =，得 22211ln nn n -≤． …………12分∴ )11(21ln 22n n n -≤． ∴ )11311211(21ln 33ln 22ln 222222nn n -++-+-≤+++)]13121()1[(21222nn +++--=)])1(1431321()1[(21+++⨯+⨯--<n n n )]11141313121()1[(21+-++-+---=n n n )]1121(1[21+---=n n )1(4122+--=n n n ． ……………14分注：假设有其它解法，请酌情给分．。

高三理科数学期末试题及答案

高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题：每小题5分：共40分．在每小题给出的四个选项中：选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N =A ．{}|01x x ≤<B ．{|01x x <<C ．{}|0x x ≥D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图：则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处：现随机抽取其中的200辆进行车速统计：统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ：试km/h ）错误!估计2000辆车中：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ：则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示：则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ：如果存在正实数m ：使得对任意x D ∈：都有()()f x m f x +>：则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数：且当0x >时：()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”：则实数a 的取值范围是 A ．0a > B ．5a < C．10a<D ．20a <第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题：每小题5分：共30分．把答案填在答题卡上．侧视图俯视图9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是：最小值是．10．若x ：y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列n a 中：若22a ：则132a a 的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间：甲同学不与老师相邻：则不同站法种数为．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心）：且满足||25CA CB +==AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部：且有xOA yOB zOC ++=0：记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===：则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ：若2,3,4x y z ===：则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题：共80分．解答应写出文字说明：演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班：现从高一年级选10名同学组成社区服务小组：其中高一（1）班选取3名同学：其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学：到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率：（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数：求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图：在ABC ∆中：点D 在BC 边上：7,42CAD AC π∠==：cos 10ADB ∠=-．（Ⅰ）求sin C ∠的值：（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）如图：在四棱锥P ABCD -中：底面ABCD 是菱形：且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点：平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ：（Ⅱ）若PA PD AD ==：且平面PAD ⊥平面ABCD ：求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+：其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数：求a 的取值范围：（Ⅱ）当e a =-时：（ⅰ）证明：()20f x +≤：19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ：B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率：（Ⅱ）求证：OA OB ⊥：（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数：且满足条件：①1k a a =：②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-．（Ⅰ）若13,2k a ==：求出这个数列：（Ⅱ）若4k =：求1a 的所有取值的集合：（Ⅲ）若k 是偶数：求1a 的最大值（用k 表示）．数学答案（理工类）．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空：第一空3分：第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ：则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0：1：2：3：则03373107(0)24C C P X C ⋅===： 123731021(1)40C C P X C ⋅===： 21373107(2)40C C P X C ⋅===：30373101(3)120C C P X C ⋅===．所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-：所以sin 10ADB ∠=．又因为4CAD π∠=：所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=． ………………………7分（Ⅱ）在ACD ∆中：由ADCAC C AD ∠=∠sin sin：得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形：所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄面PCD ：CD ⊂面PCD ：所以AB ∥面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面：且平面ABEF平面PCD EF =：所以AB ∥EF ． ………………………5分（Ⅱ）取AD 中点G ：连接,PG GB ．因为PA PD =：所以PG AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ：且平面PAD平面ABCD AD =：所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥．在菱形ABCD 中：因为AB AD =： 60DAB ∠=︒：G 是AD 中点：所以AD GB ⊥．如图：建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===：则(0,0,0),(,0,0)G A a ：,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ：点E 是棱PC 中点：所以点F 是棱PD中点．所以(,,)22E a -：(2a F -．所以3(2a AF =-：(,2a EF =．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ：则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =：则平面AFE 的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD ：所以(0,,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,39GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE ． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ：1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数：所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立：即1()0f x a x '=+≥：1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立：则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时：() e ln f x x x =-+：e 1()x f x x-+'=．（ⅰ）令0)(='x f ：得1ex =．令()0f x '>：得1(0,)e x ∈：所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<：得1(,)e x ∈+∞：所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以：max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知： max ()2f x =-：所以2|)(|≥x f ．设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='．令0)(='x g ：得e x =．令()0g x '>：得(0,e)x ∈：所以函数)(x g 在(0,e)单调递增：令()0g x '<：得(e,)x ∈+∞：所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减：所以：max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<：即2)(<x g ．所以)(|)(|x g x f > ：即>|)(|x f ln 32x x +．所以：方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =：243b =：所以22283c a b =-=．所以3c e a ==．所以椭圆C的离心率为3． …………………………3分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在：则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±．不妨设(1,1),(1,1)A B -：则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥．同理：当:1l x =-时：也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在：设:l y kx m =+1=：即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩：得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设11(,)A x y ：22(,)B x y ：则122631kmx x k +=-+：21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述：总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切：则圆O 半径即为OAB ∆的高：当l 的斜率不存在时：由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时：由（Ⅱ）可知：AB ===223131k k ==++231k =+．所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时：等号成立）．所以AB ≤．此时：max (S )OAB ∆=.综上所述：当且仅当3k =±时：OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==：由①知32a =：由②知：21211223a a a a +=+=：整理得：2222310a a -+=．解得：21a =或212a =．当21a =时：不满足2323212a a a a +=+：舍去：所以：这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =：由①知4a =1a ．因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=：所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=．所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==．如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=：显然不满足条件：所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=：共有下面4种情况：（1）若211a a =：3212a a =：4312a a =：则41114a a a ==：解得112a =：（2）若2112a a =：321a a =：4312a a =：则4111a a a ==：解得11a =：（3）若2112a a =：3212a a =：431a a =：则4114a a a ==：解得12a =：（4）若211a a =：321a a =：431a a =：则4111a a a ==：解得11a =：综上：1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分（Ⅲ）依题意：设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知：112n n a a +=或11(1,2,3,21)n n a n m a +==-．假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=：用了21m i --次递推关系112n n a a +=：则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时：0t ≠：2111()2tm a a a =⋅=无正数解：不满足条件：当i 是奇数时：由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤：所以112m a -≤．又当1i =时：若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====：有222111()2m m a a --=⋅：222112m m a a a -==：即112m a -=．所以：1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。

江西省临川第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试卷

卷面满分：150江西省临川一中2022—2023学年上学期期末考试高三年级数学理科试卷分考试试卷：120分钟命题人：黄维京审题人：上官学辉一、单选题（每题5分，共60分）1.设集合2{|230}A x Z x x =∈-- ，{0,1}B =，则A B =ð()A.{3,2,1}--- B.{1,2,3}- C.{1,0,1,2,3}- D.{0,1}2.在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA =(1,−2)，OB =(−3,1)，则复数z 1z 2对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D.第四象限3.对于实数，条件G +1≠52,条件G ≠2且≠12，那么是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a >0，b >0，且2a +b =1，则1a +2aa+b ()A.有最小值为4B.有最小值为22+1B.C.有最小值为14D.无最小值5.设a =57,b =c =log 3145，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.b <a <cB.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a6.已知(0,)4πα∈，4cos 25α=，则2sin (4πα+=()A.15B.25C.35 D.457.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅(acosB +bcosA)=abc ，则角C =()A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知函数=l 2−B +3在0,1上是减函数，则实数的取值范围是()A.0,1B.1,4C.0,1∪1,4D.2,49.已知圆：(−3)2+(−4)2=4和两点o −3s 0)，o 3s 0)(>0).若圆上存在点，使得∠B =90°，则的最小值为()A.6B .5 C.2 D.310.已知双曲线22−22=1>0,>0的左、右焦点分别为1，2，点的坐标为−2,0，点是双曲线在第二象限的部分上一点，且∠1B 2=2∠1B ，B 1⊥12，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.32D.211.在△B 中，B =4，B =3，B =5，点在该三角形的内切圆上运动，若B =B+B (s 为实数)，则+的最小值为()A.12B.13C.16D.1712.若函数的定义域为，且2+1偶函数，3−1关于点1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为()①的一个周期为2②2x =2−2x③的一个对称中心为6，3④J119=57 A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）13.已知2100+236=1上一点，1，2分别是椭圆的左、右焦点，若∠1B 2=60°，则△B 12的面积为________．14.若(1−3x)n 展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p ､q ，则pq =_________．15.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体BB 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体BB 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________．16.若函数op=3−o3+lnp的极小值点只有一个，则的取值范围是_________．三、解答题17.(12分)已知数列{}满足数列{r1−}为等比数列，1=1，2=2，且对任意的∈∗，r2=3r1−2.（1）求{}的通项公式;（2）=∙，求数列{}的前n项和S．18.(12分)如图，在直三棱柱B−111中，，，分别为线段11,1及B的中点，为线段1上的点，B=12B,B=8,B=6，三棱柱B−111的体积为240．(1)求点到平面1B的距离；(2)试确定动点的位置，使直线B与平面1B1所成角的正弦值最大．19.(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．20(12分)已知抛物线：2=2B,抛物线上两动点A x1,y1,B x2,y2,x1≠x2且x1+x2=6（1）若线段AB过抛物线焦点，且B=10，求抛物线C的方程．（2）若线段AB的中垂线与X轴交于点C，求∆ABC面积的最大值．21(12分)已知op =ｅ+2−s op =2−B −,s ∈(1)若op 与op 在x=1处的切线重合，分别求，的值．(2)若∀∈s op −op ≥op −op 恒成立，求的取值范围．四、选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分）22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线312:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :(3sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相交于A，B 两点.(1)求直线及圆C 的普通方程；(2)已知(1,0)F ，求||||FA FB +的值.23.(10分)已知0a >，0.b >(1)求证：3+3≥2+B 2；(2)若3a b +=，求14a b+的最小值.。

高三数学理科期末统测试卷及答案

第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4220x x +-=的解是。

2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。

3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为。

6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是。

7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为。

（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点。

10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是。

11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。

12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为。

【市级检测】2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。

2021-2022学年青海省西宁市三县高三上学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2021-2022学年青海省西宁市三县高三上学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x+3>9}，B={x∈N|−x+1>−5}，则A∩B=()A. (3,6)B. {3,4,5}C. {4,5}D. (4,5)2.已知复数z满足iz=3+i，则|z+1|=()A. √13B. 2√3C. √10D. 2√23.双曲线C：x2m −y24=1的离心率为3，则m=()A. 3B. 12C. 2D. 14.已知实数x，y满足{x+y+1≥02x−y−1≤0x−2y+4≥0，则目标函数z=3x−y的最大值为()A. −7B. 1C. 3D. 55.“m>6”是“方程x2+y2−mx+4y+m+7=0是圆的方程”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a=2−1.01，b=1.20.1，c=log43，则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>b>cD. b>c>a7.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为5π+√2π，则该几何体的体积为()A. 2πB. 7π3C. 11π3D. 17π68.若要得到函数f(x)=sin(2x+π6)的图象，只需将函数g(x)=cos(2x+π3)的图象()A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π3个单位长度 D. 向右平移π3个单位长度9. 已知e 是自然对数的底数，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)x+lnx ⋅f′(x)>0，则( )A. f(1e )+f(e)>0 B. f(1e )<0 C. f(e)<0D. f(1)=010. 2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( )A. 144种B. 336种C. 672种D. 1008种11. 如图，P 是椭圆x 24+y 23=1第一象限上一点，A ，B ，C 是椭圆与坐标轴的交点，O 为坐标原点，过A 作AN 平行于直线BP 交y 轴于N ，直线CP 交x 轴于M ，直线BP 交x 轴于E.现有下列三个式子： ①|OE|⋅|ON|； ②|OE|⋅|OM|； ③|ON||OM|．其中为定值的所有编号是( )A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③12. 已知函数f(x)={lnx,x >0,−x 2−4x −3,x ≤0.若函数y =[f(x)]2+mf(x)+1有6个零点，则m 的取值范围是( )A. (−2,103)B. (−2,103]C. (2,103)D. (2,103]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(x −2)5的展开式中，x 3的系数为______.(用数字作答)14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且(k a ⃗ −4b ⃗ )//(a ⃗ −k b ⃗ )，则k =______．15. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠DAB =∠CBA =45°，AD =2，DC =√13，CB =1，则cos∠ADC =______．16. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA =AB =2，BC =3，AC =√7，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3+a 5=30，S 3=57． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n 的最大值．18. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有N 1，N 2，N 3，N 4四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有S 1，S 2两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23.某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．(1)求北干道的N 1，N 2，N 3，N 4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； (2)若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)；(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面PCD ⊥底面ABCD ，且BC =2，AB =4，BD =2√5． (1)证明：BC ⊥PD ；(2)若PC =PD =√13，求二面角A −PB −C 的余弦值．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)与直线l ：x +ky −1=0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，OP ⊥OQ ． (1)求抛物线C 的方程；(2)若△POQ 的面积为√5，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=(x −1)e x +x ． (1)判断f(x)的单调性；(2)当x ∈[0,+∞)时，f(x)≥(x +1)ln(x +1)−ax 2−1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =cosϕy =1+sinϕ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8−2t y =t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)射线θ=π4(ρ>0)与曲线C 1和曲线C 2分别交于A ，B 零两点，已知点M(2,0)，求△MAB 的面积．23. 已知函数f(x)=|2x +1|+x ． (1)求不等式f(x)<1的解集；(2)已知a ∈[−1,2]，证明：√a +1+√4−2a ≤2f(x)+4．参考答案及解析1.答案：C解析：∵集合A={x|2x+3>9}={x|x>3}，B={x∈N|−x+1>−5}={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}，∴A∩B={4,5}．故选：C．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：∵iz=3+i⇒z=1+3i=1−3i，∴|z+1|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13，故选：A．根据复数的基本运算法则进行化简即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.答案：B解析：双曲线C：x2m −y24=1的离心率为3，可得√m+4√m =3，所以m=12．故选：B．利用双曲线的离心率，列出方程，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．4.答案：C解析：画出可行域如下图所示，由图可知，当直线z=3x−y过点(2,3)时，z取得最大值3．故选：C．画出可行域，平移基准直线3x−y=0到可行域边界位置，由此求得z的最大值．本题考查线性规划，考查数形结合能力，属于中档题．5.答案：A解析：若方程x2+y2−mx+4y+m+7=0是圆的方程，则m2−4m−12>0，解得m>6或m<−2，故“m>6”是“方程x2+y2−mx+4y+m+7=0是圆的方程”的充分不必要条件．故选：A．根据已知条件，二元二次方程表示圆的条件，即可求解．本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．6.答案：D，解析：a=2−1.01<2−1=12b=1.20.1>1.20=1，<c<1，∵log42<log43<log44，∴12∴b>c>a，故选：D．利用指数函数，对数函数的单调性，再借助中间量求解即可．本题考查了指数函数，对数函数的单调性，属于基础题．7.答案：B解析：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个底面半径为r，高为r的圆锥和由一个底面半径为r，高为2r的圆柱组成的组合体；如图所示：所以S表=π⋅√2r⋅r+π⋅r2+2⋅πr⋅2r=√2πr2+5πr2=5π+√2π，解得r=1．故V体=13⋅π⋅12⋅1+π⋅12⋅2=7π3．故选：B．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用表面积公式求出r，进一步求出组合体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.答案：D解析：函数f(x)=sin(2x+π6)=cos(π2−2x−π6)=cos(2x−π3)=cos[2(x−π3)+π3]，所以只需将函数g(x)=cos(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度，即可得到函数f(x)=sin(2x+π6)的图象．故选：D．利用诱导公式化简三角函数为同名函数，然后判断函数图象平移的单位与方向．本题考查三角函数的图象的平移以及诱导公式的应用，是基本知识的考查．9.答案：A解析：令F(x)=lnxf(x)，x∈(0,+∞)，可得F′(x)=f(x)x+lnx⋅f′(x)>0，所以函数F(x)是增函数，F(1e)<F(e)，即ln 1e f(1e )<lnef(e)，可得f(1e )+f(e)>0．所以A 正确；f(1e )，f(e)不能判断符号，f(1)也不一定为0，故选：A ．构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后判断选项即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数值的判断，是中档题．10.答案：A解析：其余2个从剩下的9个名称中随机选取，共有C 92=36种，则祝融不是第3个被分析的情况有36×C 21A 22=144种，故选：A ．其余2个从剩下的9个名称中随机选取，共有C 92=36种，然后再给祝融选择一个位置，其他再排列即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．11.答案：D解析：设P(x,y)，由椭圆x 24+y 23=1知B(0,−√3)，C(0,√3)，所以k CP ⋅k BP =y−√3x ×y+√3x=y 2−3x 2所以k CP ⋅k BP =−34，则l BP ：y =k BP x −√3，x E =√3k BP，l CP ：y =k CP x +√3，x M =−√3k CP，l AN ：y =k BP (x +2)，y N =2k BP ，故|OE|⋅|ON|=2√3，∣OE ∣⋅∣OM ∣=∣∣∣√3k BP∣∣∣∣∣∣√3k CP∣∣∣=4，|ON||OM|=√334=√32．故选：D ．利用点P 在椭圆上得k CP ⋅k BP =−34，进而得直线方程，求得①②③均为定值．本题考查椭圆的性质，属中档题．12.答案：D解析：设t =f(x)，则y =g(t)=t 2+mt +1，作出函数f(x)的大致图象，如图所示，。

72高三数学期末考试试题(理科)72

高三数学期末考试试题(理科)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.)1、设集合21{|log 1},{|0},2x A x x B x A B x -=<=<=+ ( ) A 、}20|{<<x x B 、{|21}x x -<< C 、{|01}x x << D 、{|22}x x -<<2、已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，n S n =+)1(log 2，则}{n a 是 ( )A 、等差数列B 、等比数列C 、既是等差数列又是等比数列D 、既不是等差数列又不是等比数列3、若函数()f x 的值域是]3,21[，则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域是（） A 、]3,21[ B 、]310,2[ C 、]310,25[ D 、]310,3[ 4、函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（） A 、)2,(-∞ B 、)3,0( C 、)4,1( D 、),2[+∞5、11x>是 1x <成立的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件6、若点A 的坐标为)2,3(，F 为抛物线x y 22=的焦点，点M 在该抛物线上移动，为使得||||MF MA +取得最小值，则点M 的坐标（）A 、)0,0(B 、)1,1(C 、)2,2(D 、)1,21( 7、已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>，过椭圆的右焦点作x 轴垂线交椭圆于B A ,两点，若以||AB 为直径的圆过坐标原点，则椭圆的离心率e 为（）A 、215-B 、213-C 、21D 、23 8、在ABC ∆中，22tan tan a B b A =，则ABC ∆一定是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰三角形或直角三角形D 、等腰直角三角形9、已知向量)s i n 3,c o s 3(),sin 2,cos 2(ββαα==b a ，若a 与b 的夹角为︒60，则直线021s i n c o s =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββx x 的位置关系是（） A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、随βα,的值而定10、已知向量)5,2(),5,2(y x b y x a -== ，曲线1=⋅b a 上一点P 到)0,3(F 的距离为6，Q 为PF 中点，O 为坐标原点，则=||OQ （）A 、1B 、2C 、5D 、1或511、若方程01)1(2=+++++b a x a x 的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，则ab 的范围是（）A 、12-<<-a bB 、1,2->-<a b a bC 、212-<<-a bD 、2,21-<->a b a b 12、已知曲线22:x y C =点)2,0(-A 及点),3(a B 从点A 观察点B 要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的范围（）A 、),4(+∞B 、)4,(-∞C 、),10(+∞D 、)10,(-∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知)(x f 为偶函数，且⎰-=6616)(dx x f ，则⎰=60)(dx x f __________。

江西省萍乡市2022-2023学年高三上学期期末考试数学理科试卷

准考证号姓名（在此卷上答题无效）萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}2,x B y y x A ==∈，则A B = A ．{}1,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2-D ．{}12．已知i 为虚数单位，则复数11i+的实部与虚部之和为A ．1-B ．0C ．1D ．23．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23=a ，若235,1,3++a a a 成等比数列，则公差=d A ．1-或2B ．2C ．1或2-D ．14．已知m 和n 是空间中两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列命题正确的是A ．若⊥m n ，n ⊂α，则α⊥m B ．若m ⊂α，n ⊂β， αβ，则m n P C ．若m αP ，⊥m n ，则α⊥n D ．若α⊥m ，m β，则αβ⊥5．关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p ；“乙得第二”为命题q ；“丙得第三”为命题r .若∨p q 为真命题，∧p q 为假命题，()⌝∧q r 为假命题，则下列说法一定正确的为A ．甲不是第一B ．乙不是第二C ．丙不是第三D ．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序6．在二项式6(2)-a x 的展开式中，若3x 的系数为160，则=aA ．1-B ．1C D ．7．函数=y kx 与ln =y x 的图象有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为A ．1=k B ．1e=k C ．1e=k 或0≤k D ．1=k 或0≤k 8．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同．谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图．进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方形ABCD 内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为A ．19B ．1781C ．29D ．3179．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()'f x 是其导函数.当0≥x 时，()20'->f x x ，且()23=f ，则()()3113≥+f x x 的解集是A ．[)2,+∞-B ．[]2,2-C ．[)2,+∞D ．(],2∞--10．下列关于函数1()sin 2cos =+f x x x有关性质的描述，正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线2π=x 对称C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 的图象关于直线=πx 对称11．点M 为抛物线28=y x 上任意一点，点N 为圆22430+-+=x y x 上任意一点，P 为直线10---=ax y a 的定点，则+MP MN 的最小值为A ．2B C ．3D ．2+12．已知函数()ln f x ax a =+，()e ln x g x x x =+-，若关于x 的不等式()()f x g x >在区间(0,)+∞内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为A ．(2e,e ⎤⎦B ．2e (e,]2C ．(23e ,e ⎤⎦D ．23e e (,]23萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，已知角α终边过点(2,1)-P ，则sin 2α=__________．14．在平面直角坐标系中，向量,a b 满足()()1,1,231,5=+=- a a b ，则⋅= a b __________．15．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若∆ABC 的周长为7，面积为，且828ab c +=，则=c __________．16．已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则⋅PA PB 的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）记n S 为数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 的前n 项和，已知11=a ，()21⋅=-n n a S n n ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1321+⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n n a n 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，ABC ∆为等边三角形，平面ABC ⊥平面ACDE ，且222AC AE ED ===，90∠=∠=︒DEA EAC ，F 为边BC 的中点．(1)证明： DF 平面ABE ；(2)求EF 与平面ABE 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为(01)<<p p ，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为()f p ，求()f p 的最大值和此时乙答对每道题的概率0p ；(2)以(1)中确定的0p 作为p 的值，求乙在第二轮得分X 的数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点，周长为8的∆ABC 的顶点()A 为椭圆E 的左焦点，顶点,B C 在E 上，且边BC 过E 的右焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 的上、下顶点分别为,M N ，点(),2P m (),0R ≠∈m m ，若直线,PM PN 与椭圆E 的另一个交点分别为点,S T ，求证：直线ST 过定点，并求该定点坐标．21.（本小题满分12分）已知函数()1ln e +-=x xf x a x．(1)若0=a ，求()f x 的极值；(2)若()1≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线()()0100,,0:πθθθρ=∈≥C 与曲线22:4sin 30ρρθ-+=C 相交于,P Q 两点．(1)写出曲线2C 的直角坐标方程，并求出0θ的取值范围；(2)求11+OP OQ的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()()10,0=--+>>f x a x b a b 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为1．(1)求实数,a b 满足的关系式；(2)若对任意R ∈x ，不等式()2<-f x x ab恒成立，求实数b 的取值范围.萍乡市2022—2023学年度高三期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）：ABBDC ；ACBCC ；AD .二、填空题（4×5=20分）：13.45-；14.0；15.3；16.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）：17.（1）由(21)n n a S n n =-得，(21)n n n n S a -=，当11(1)(23)2,n n n n n S a ----≥=，………（1分）两式相减得：11(21)(1)(23)n n n n n n n a a a ----=-，化简得：12123n n a n a n -+=-，………………（2分）21234211233212121239754112325275313n n n n n n n a a a a a a n n n n a a a a a a a a n n n -----+---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- ，…（4分）当1n =时，2141113a ⋅-==，符合上式，………………………………………………（5分）故2413n n a -=；……………………………………………………………………………（6分）（2）由(1)知13=(21)321n n n a n n +⋅-⋅+，………………………………………………………（7分）1231133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，……………………………（9分）两式相减得1234121323232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 21113(13)32(21)362(1)313n n n n n -++⨯-=+⨯--⨯=-+-⨯-，……………（11分）故13(1)3n n T n +=+-⋅.………………………………………………………………………（12分）18.（1）证明：取AB 的中点为M ，连接ME ，MF ，…………………………………（1分）因为F 为边BC 的中点，所以MF AC ，1=2MF AC ，……………………………………（2分）又DE AC ，12DE AC =，所以MF DE ，且MF DE =，即四边形EDFM 为平行四边形，所以DF EM ，………………………………………（4分）又EM ABE ⊂平面，DF ABE ⊄平面，所以DF ABE 平面；………………………（6分）【用面面平行性质得到线面平行同样给分】（2）平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 平面平面ACDE AC =，EA AC ⊥，EA ⊂平面ACDE ，则EA ⊥平面ABC ，…………………………………（8分）过点F 作FN AB ⊥于N ，则FN EA ⊥，且EA AB A = ，则FN ABE ⊥平面，连接EN ，则EF 与平面ABE 所成角为FEN ∠，………………………………………（10分）由题知，在直角FNE ∆中，有2FN EN EF =，则sin4FN FEN EF ∠=即EF 与平面ABE .…………………（12分）【建立空间直角坐标系求解同样给分】19.（1）由题知，22233()(1)33f p C p p p p =⋅⋅-=-，…………………………………（2分）2()693(23)f p p p p p '=-=-，则()f p 在2(0,)3单调递增，在2(,1)3单调递减，……（4分）故()f p 的最大值为24(39f =，此时，023p =；…………………………………………（6分）（2）由题知，X 的所有可能取值为0,5,10，……………………………………………（7分）11115(0)232212P X ==⨯+⨯=，111(5)224P X ==⨯=，121(10)233P X ==⨯=，……（9分）则X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………（10分）乙在第二轮得分X 的数学期望51155()0510124312E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分）20．（1）根据椭圆定义可知48a =，2a =，……………………………………………（2分）c =，1b ==，…………………………………………………………………（3分）故椭圆E 的标准方程为2214x y +=；………………………………………………………（4分）（2）由题知，(0,1)M ，(0,1)N -，………………………………………………………（5分）直线:1xPM y m =+，与椭圆方程联立、化简得：22(4)80m x mx ++=，则284S m x m -=+，2244S m y m -=+，……………………………………………………………（7分）同理可得22436T m x m =+，223636T m y m -=+，…………………………………………………（8分）()()()22423212121441216192161612T S STT S m m y y m m k x x m m m m m -+---====-++，………………………（9分）直线222221284121:(1644162m m m m ST y x x m m m m ---=⋅++=⋅+++，………………………（11分）故直线ST 过定点1(0,)2．…………………………………………………………………（12分）X 0510P512141321．（1）0a =，1ln ()xf x x -=，22ln ()0x f x x-+'==，得2x e =，…………………（1分）则()()20,,()0,x e f x f x '∈<单调递减；()()2,,()0,x e f x f x '∈+∞>单调递增，……（3分）故()f x 的极小值为221()f e e =-，无极大值；……………………………………………（4分）（2）【法一】由题知，1ln x axe x x +-≥，0x >，令()1ln x g x axe x x =+--，则()1'()1x g x x ae x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，…………………………………（5分）①当0a ≤时，'()0g x <，(1)0g ae =≤，则1x >时，()(1)0g x g <≤，不合题意；…（7分）②当0a >时，设0x 满足001x ae x =，则()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，则min 0000()()ln 1x g x g x ax e x x ==--+，……………………………………………………………（9分）001x ae x = ，00001,ln ln x ax e a x x ∴=+=-，………………………………………………（10分）故min 000()()1ln 1ln 20g x g x x a x a ==-+++=+≥，解得21a e≥，…………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e +∞.………………………………………………（12分）【法二】由题知，ln 1xx x a xe +-≥，0x >，………………………………………………（5分）令ln 1()x x x g x xe+-=，则()21(2ln )'()x x x x g x x e+--=，…………………………………………（6分）设0x 满足002ln x x =+，则()g x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，…………（8分）故0000max 000ln 11()()x x x x g x g x x e x e +-===，…………………………………………………（9分）002ln x x =+ ，020x x e -∴=，故0max 2011()x g x x e e ==，即21a e ≥，……………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e+∞.………………………………………………（12分）【法三】由题知，ln 1xaxe x x ≥+-，即ln ln 1x x ae x x +≥+-，…………………………（6分）令ln t x x =+，t R ∈，即1t ae t ≥-，即1()t t a g t e-≥=，………………………………（8分）2'()t tg t e-= ，()g t ∴在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减，…………………（10分）故max 21()(2)a g t g e ≥==，即实数a 的取值范围为21[,)e+∞.…………………………（12分）22．（1）曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +-=-，即()2221x y +-=，……（2分）当02πθ=时，曲线1:0C x =与曲线2C 有两个交点，符合题意，………………………（3分）当02πθ≠时，曲线1C 的直角坐标方程为：0tan y x θ=，设()20,2C 到曲线1C 的距离为d ，则1d r ==，得0tan θ0tan θ<4分）又0(0,)θπ∈ ，02,33ππθ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭；…………………………………………………………（5分）（2）将0θθ=代入2C 的极坐标方程得：204sin 30ρθρ-+=，…………………………（6分）设,P Q 两点对应的极径分别为12,ρρ，则120124sin ,3ρρθρρ+==，…………………（7分）1212124sin 111103OP OQ θρρρρρρρ+≥∴+=+== ，……………………………………………（9分）由（1）知02,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则04sin 11433OP OQ θ⎤+=∈⎥⎝⎦.………………………………（10分）23．（1）(),11,1ax a b x f x a x b ax a b x -+≤⎧=--+=⎨-++>⎩，…………………………………………（1分）()y f x = 与x 轴交点坐标分别为1,0,1,0b b a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，顶点坐标为()1,b ，……………（3分）21212b b S b a a∴=⨯⨯==，即2b a =；……………………………………………………（5分）（2）对于x R ∀∈，不等式左边=2221()121b x b f x x x b b b b--+==--+<-恒成立，……（6分）即对于x R ∀∈，121x x b b<-+-恒成立，…………………………………………………（7分）222111x x x x b b b-+-≥--+=- …………………………………………………………（8分）∴121b b <-，即211bb->或211b b-<-，…………………………………………………（9分）又0b > ，()()0,13,b ∴∈+∞ .…………………………………………………………（10分）命题：胡斌（市教研室）欧阳丽（芦溪中学）徐敏（莲花中学）江敏（萍乡三中）刘晓君（湘东中学）吕鋆（上栗中学）彭仕海（萍乡中学）审核：胡斌。

汕头金山中学高三理科数学期末考试试题.docx

2015-2016汕头金山中学高三理科数学期末考试试题命题人：彭志敏第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2(1)(1)i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （） A. 5 B.10 C.5 D.253.已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅ 4．定义域为R 的函数2009()f x xx a b =++是奇函数的充要条件是（） :0A ab = :0B a b +=:0bC a= 22:0D a b +=5．已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是( ) A ．5 B ．8 C.25+ D.171-6. 在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212121212121112211111A.C C C C B.C C C C C.C C C C C C D.C C C C m n n m m n n m m n n m m n m n m n+++++++++7．某几何体的三视图如图7-1所示，若这个几何体的4 44 h正视图侧视图体积为24，则h =（）A ．2B ．3C ．4D ．58 ．已知条件2|1:|>+x p ,条件a x q >|:|,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是（）A ．10≤≤aB ．31≤≤aC ．1≤aD ．3≥a9.设m ，n ∈R ，若直线(m +1)x +(n +1)y －2＝0与圆(x －1)2+(y －1)2＝1相切，则m+n 的取值范围是( ) A ．［13-，13+］ B ．(－∞，13-］∪［13+，+∞)C ．［222-，222+］D ．(－∞，222-］∪［222+，+∞) 10．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时()22+4f x x x =-，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（） A ．1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n -- 11.已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f (x )取得最大值,则下列结论正确的是( )A .f (2)<f (-2)<f (0)B .f (0)<f (-2)<f (2)C .f (-2)<f (0)<f (2)D .f (2)<f (0)<f (-2)12．已知函数:2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++,2342015()12342015x x x x g x x =-+-+-- 设函数()(3)(5)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、已知411e n dx x =⎰，那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为14.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为.15.已知实数,x y 满足221x y +=，则x y +的最大值是.16、已知函数()23log (1)1132x x kf x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是三．解答题（共6小题，前五题为必答题，每题满分12分，后三题为选做题，每题满分10分） 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积53S =，b ＝5，求sin sin B C ⋅的值． 18. 数列{}n a 的前n 项和为nS , 已知 nn Sa n +=-(*n N ∈) 恒成立.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) ln(1),n n na nb a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求{}n b 的前2n 项和T 2n .19. 在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,22,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB 的值．20．已知直线330x y +-=经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,2-的直线l 与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，若AOB ∠为钝角，求直线l 斜率k 的PDCBA取值范围；（3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点P 作圆O ：222x y +=的两条切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：221143mn+为定值．21．已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ．()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求C ∠BA ．23、选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C:22143x y +=，直线:l 3323x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． ()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．24、选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-++．()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．高三理数期末考试参考答案 DCADDCBC DBBD ；-12；(],1-∞；-2；[1,3]；17解：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，……2分解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．……3分因为0＜A ＜π，所以A ＝3π.……5分（2）由S ＝12bc sin A ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.……7分由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，……9分故由正弦定理得sin B ⋅sin C ＝2sin 5()7A bc a ⋅=.……12分 18解：（1）由 n n S a n +=-得 n=1时，1111111, 2S a S a a +=-=∴=-…….1分 2n ≥时,1nn n a S S -=-…….2分1111 (1) ()1n n n n n n n n S a n S a n S a S a ----+=-⇒+=--∴+-+=- 11212(1)1n n n n a a a a --∴=-∴+=+…….3分1111111100 2212n n a a q a -++=-+=≠∴==≠+ {}1n a ∴+是以12为首项，公比12q =的等比数列…….4分 1111(1)2n n n a a q -∴+=+=112n n a ∴=-…….6分 (2)ln 2,112n nn n b n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数，…….8分2422111ln 2[13(21)]()22211ln 2[1()]34n n T n n n n=-⋅+++-++++-=-⋅+--…….12分19．（Ⅰ）证明：因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . …………1分因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，所以CD //m . …………………………3分z yxPD CB A（Ⅱ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,22,0)D ，(2,22,0)C . ………4分所以(4,22,0)BD =-，(2,22,0)AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)22222000BD AC ⋅=-⨯+⨯+⨯=，(4)0220040BD AP ⋅=-⨯+⨯+⨯=. 所以BD AC ⊥，BD AP ⊥. ……………6分因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC . …………………………………7分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=.所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,22,44)CQ λλ=---+. ……………8分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,22,0)BD =-.因为sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，得2234(42)8326(42)8(44)λλλ---=⋅-++-+. 解得7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. …………12分法2：(II) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=，所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥…..4分又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥…..6分因为 APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC . ………7分20.（1）依题椭圆的右焦点为()1,0，上顶点为()0,3，故1c =，3b =，222a b c =+=，∴ 可求出椭圆标准方程为22143x y +=．……3分（2）设直线l 方程为2y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y由222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)1640k x kx +-+=， ∵ 21230k ∆=->，∴ 214k >，又1221643k x x k +=+，122443x x k =+ ∵ AOB ∠为钝角，∴ 0OA OB ⋅<，即12120x x y y +<， ∴ 1212(2)(2)0x x kx kx +--<，∴ 21212(1)2()40kx x k x x +-++>，∴ 222416(1)2404343k k k k k +⋅-⋅+<++，即221216043k k -+<+， ∴ 243k >，解得233k <-或233k >，∴ 所求直线斜率的取值范围是2323,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……8分（3）设点()00,Px y ，则以OP 为直径的圆的方程为()()000x x x y y y -+-=④，④式与圆O ：222x y +=方程两式相减可得切点弦MN 的方程为002x x y y +=，令0y =，得02m x =，令0x =得02n y =， ∴ 02x m =，02y n=，又点()00,P x y 在椭圆C 上， ∴ 2222143m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22111434m n +=，∴ 221143m n +为定值．……12分21解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………2分（2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤…………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=-…………7分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈…………………12分22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE ． …4分（Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CFA ＝∠CED 由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CFA ＝∠ACF ．设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7．…10分23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 35， cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．…10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2；3x ，x ≥ 12 且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}；…4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x －a 2|＋|x ＋1|＋|x －a 2|≥|1＋a 2|＋0＝|1＋a2| 当且仅当(x ＋1)(x －a 2)≤0且x －a2＝0时，取等号．所以|1＋a2|＝1，解得a ＝－4或0．…10分ADBFCE。

2022-2023学年河南省开封市高三上学期1月期末联考数学试题(理科)

2022-2023学年河南省开封市高三上学期1月期末联考数学试题（理科）1.定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．72.的实部与虚部之和为（）A．B．C．D．3.在数列中,,,则（）A．是等比数列B．是等比数列C．是等比数列D．是等比数列4.过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条5.将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（）A．B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．在内是增函数6.已知三个单位向量，，满足，则的最大值为（）A．B．2C．D．7.已知为球球面上的三个点，若，球的表面积为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8.执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．5 B．6 C．8 D．79.函数的最小值为（）A．1 B．C．D．10.双曲线的左、右顶点分别为，，为上一点，若点的纵坐标为1，，，则的离心率为（）A．B．C．D．11.已知，设，，，则（）A．B．C．D．12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．13.若，满足约束条件则的最大值为______.14.若从区间内，任意选取一个实数，则曲线在点处的切线的倾斜角大于45°的概率为______.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________．16.某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．17.，，分别为的内角，，的对边.已知.(1)求；(2)若，，求的周长.18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲获得奖金的期望；(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．(1)证明：平面PAB．(2)若，，，且在上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．20.已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若是函数的极小值点，求a的取值范围．21.已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程．(2)若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于两点,点,求的值.23.已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求a的取值范围．。

河南天一大联考2022-2023学年高三上学期1月期末联考理科数学试题含答案

绝密★启用前大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}12,ln 67A x x B x y x ===-∣∣ ，则A B ⋂=（）A.716x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B.726x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ C.{}12xx ∣ D.76x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣2.已知在复平面内，复数12,z z 所对应的点分别为()()2,5,3,7--，则12iz z ⋅=（）A.2929i --B.2929i-C.2929i+ D.2929i -+3.已知向量()(),1,2,1m t n t ==- ，若222|2|4m n m n -=+ ，则2t =（）B.1C.22D.124.为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（）A.24.25B.24C.23.75D.23.255.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，11,AD A D 交于点O ，则（）A.OB ⊥平面11ACC AB.OB ⊥平面11A B CDC.OB ∥平面11CD B D.1OB BC ⊥5.为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即25640961048576⨯=.记()128log 64598820000000log 8192a =⨯+，则a ∈（）n0123456789102n 12481632641282565121024n111219202122232425⋯2n2048409652428810485762097152419430483886081677721633554432⋯A.()1,0- B.()2,1-- C.()3,2-- D.()4,3--6.已知点((0,,0,M N -，若在直线:0(0,0)l mx ny m n -=>>上存在点A ，使得AM AN -=）A.m n >+B.m n <+C.m >D.m <8.已知正数,a b 满足3a b +=，若5a b ab λ+ 恒成立，则实数λ的取值范围为（）A.81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D.27,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦9.若112324log (21)a b c -+==+，则,,a b c 的大小关系不可能为（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.b c a>>10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的两条直线12,l l 分别与抛物线C 交于点11,A B 和22,A B ，且点12,A A 在x 轴的上方，则直线1212,A A B B 在x 轴上的截距之积为（）A.4B.3C.2D.111.已知正四棱锥S ABCD -的外接球半径为3，底面边长为2,2SA >.若SC 垂直于过点A 的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（）A.433B.463C.423D.8312.已知在ABC 中，222sin 2sin 4sin B C A +=，若2ABC S BC λ（ABC S 表示ABC 的面积）恒成立，则实数λ的取值范围为（）A.,6∞⎫+⎪⎪⎣⎭ B.,3∞⎫+⎪⎪⎣⎭ C.,8∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D.,4∞⎫+⎪⎪⎣⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.25(31)(1)x x --的展开式中5x 的系数为__________.14.已知函数()()sin ,sin ,033f x x g x x ωπωπωωω⎛⎫⎛⎫=+=-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，则ω的一个值为__________.15.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为,,,2,4A B C AC AB BC ===.现移动边AC ，使得点,A C 分别在x 轴､y 轴的正半轴上运动，则OB （点O 为坐标原点）的最大值为__________.16.已知0a >，函数()()ln 1ln(1)af x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦在其定义域()1,∞-+上单调递减，则实数a =__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且412716,28a a S +==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足43nnn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31n n a T ⋅->的n 的值.18.（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为矩形，且2,AB AD SD =⊥平面,ABCD SAD 为等腰直角三角形，M 是线段AB 上靠近B 的四等分点.（1）求证：平面SCM ⊥平面SBD ；（2）求直线SA 与平面SCM 所成角的正弦值.19.（12分）近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示.第x 年12345从业人数y （万人）58111115（1）若y 与x 线性相关，求y 与x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进人电商行业的概率分别为2133,,,3244，且他们是否进人电商行业相互独立.记这4人中最终进人电商行业的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.参考公式：在线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，121ˆˆˆ,niii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑.20.（12分）已知函数()()3222xx f x e x ax a R =+--∈.（1）设函数()()2f x axm x x+=，判断()m x 的单调性；（2）若当0x时，关于x 的不等式()3cos 2xf x x + 恒成立，求a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过右焦点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,3x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()1cos22sin ρθθ+=，点P 的极坐标为28,3π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）记M 为直线l 与曲线C 的一个交点，其中4OM <，求OMP 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()()224,243f x x m x g x x x =++-=-+.（1）若3m =，求不等式()7f x >的解集；（2）若12,x R x R ∀∈∃∈，使得()()12f x g x成立，求实数m 的取值范围.大联考20222-2023学年高三年级上学期期末考试理科数学•答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.答案B命题意图本题考查函数的定义域及集合的运算.解析依题意，7{670}6B xx x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则726A B xx ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭∣ .2.答案A命题意图本题考查复数的几何意义､复数的四则运算.解析依题意，()()1225i 37i 614i 15i 352929i2929i i i i iz z +⋅--⋅---+-====--.3.答案D命题意图本题考查平面向量的数量积及其应用.解析依题意，()()()22,22,14,1m n t t t -=--= ，故2221614441t t t +=+++，则212t =.4.答案C命题意图本题考查样本的数字特征､频率分布直方图.解析依题意，()0.020.040.102 2.51a a ++++⨯=，解得0.08a =，故前3块小矩形的面积分别为0.05，0.25,0.4，则所求中位数为0.50.050.2522.523.750.16--+=.5.答案C命题意图本题考查空间线面的位置关系.解析作出图形如图所示，连接BD ，因为111,BD B D OD B C ∥∥，所以平面OBD ∥平面11CD B ，故OB ∥平面11CD B ，其他三个选项易知是错误的.6.答案B命题意图本题考查对数的运算､数学文化.解析因为()()645988524288,1048576,2000000016777216,33554432∈∈，故()2log 64598819,20∈，()2log 2000000024,25∈，则()()2log 6459882000000043,45⨯∈，则()()128143log 64598820000000log 6459882000000015,33⎛⎫⨯=-⨯∈-- ⎪⎝⎭，而222log 8192log 2log 409613=+=，故42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故选B.7.答案C命题意图本题考查双曲线的定义与性质.解析由题可知点A 在双曲线22:162y x C -=的下支上，故直线l 与曲线C 有交点.而曲线C的渐近线为y =，直线:m l y x n =，故mn>，即m >.8.答案B命题意图本题考查基本不等式.解析依题意，44a b b aλ+ .而()4455444444222333a b a b a b a b b a a b a b a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++++⎝⎭+==()2224()273124a b a b ++== ，当且仅当a b =，即33,22a b ==时前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.9.答案B命题意图本题考查函数的图象与性质.解析令函数()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=，在同一直角坐标系中分别作出()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====的大致图象，如图所示，观察可知，可能有b a c >>（()m x 的图象为1l 时）､b c a >>（()m x 的图象为2l 时）c b a >>､（()m x 的图象为3l 时），故选B.10.答案D命题意图本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题.解析由题可知()1,0F .设直线11A B 的方程为1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，则根据根与系数的关系可设()()221111111,2,,2A t t B t t ---，同理可设()()221222222,2,,2A t t B t t ---，则直线12A A 的斜率12122A A k t t =+，直线12A A 的方程为()2221222y t x t t t -=-+，令0y =，得12x t t =-，即直线12A A 在x 轴上的截距为12t t -.同理可得，直线12B B 在x 轴上的截距为121t t -，所以直线1212,A A B B 在x 轴上的截距之积为1.11.答案A命题意图本题考查空间几何体的表面积与体积.解析设正四棱锥S ABCD -的高为h ，其外接球的半径为R .因为22()2R h R =-+，解得h =或63h =.当63h =时，23SA ==<，不符合题意；当h =时，SA AC SC ===所以SAC 为等边三角形.取SC 的中点E ，连接AE ，则AE SC ⊥，且AE =设平面α⋂直线SB F =，平面α⋂直线SD H =，则,EF SC EH SC ⊥⊥.在SBC中，由余弦定理可得3cos 4BSC ∠==，所以42cos 3SE SF BSC ∠==.在SBD 中，FH BD ∥，故23FH SF BD SB ==，故24233FH BD ==.在四边形AFEH 中，AE FH ⊥，故12AFEH S AE =.14243233FH ==12.答案A命题意图本题考查正余弦定理､三角形的面积公式及导数的应用.解析记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .因为222sin 2sin 4sin B C A +=，所以由正弦定理可得22224b c a +=.()()222222222222222224422141sin 21cos sin 2442ABC b c a b c bc A bc b c A S b c A aa a abc ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥⎛⎫ ⎪-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==== ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭.()()2222222224424422223241641529416442b c b c b c b c b cb c b c b c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦==⋅+++令22c t b =，则()2228711116441ABC t S a t t ⎡⎤-⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦，令()271441t g t t t -=++，则()31114(21)t g t t -=+'，故当110,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，当11,14t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，故max 1149()1472g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2max 106ABC S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则实数λ的取值范围为10,6∞⎫+⎪⎪⎣⎭.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案121命题意图本题考查二项式定理.解析22(31)961x x x -=-+，故所求5x 的系数为215559C 6C C 121⋅+⋅+=.14.答案32（其他符合条件的答案也给分）命题意图本题考查三角函数的图象与性质.解析因为()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，所以()33k k ωπωππ=-+∈Z ，故()32k k ω=∈Z ，因为0ω>，故()*32kk ω=∈N 15.答案1命题意图本题考查数学文化.解析如图，取AC 的中点E ，因为OAC 为直角三角形，故112OE AC ==.由于ABC 为直角三角形，故BE ==显然OB OE BE + ，当且仅当,,O B E 三点共线时等号成立，故OB的最大值为1.16.答案2命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析依题意，()()ln 12f x a x x +'=-，故对任意的()()()1,,ln 120x f x a x x ∞∈-+=+-' 恒成立.设()()ln 12g x a x x =+-，则()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知，11,2a ->-∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,2a x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x <'∴在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，()g x ∴在12ax =-时取得最大值.又()00,g =∴对任意的()()()1,,0x g x g ∞∈-+ 恒成立，即()g x 的最大值为()0,102ag ∴-=，解得2a =.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题意图本题考查等差数列的通项公式､错位相减法､数列的性质.解析（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则41217121416,72128,a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩解得11a d ==，.故n a n =.（2）依题意，43n nnb =，故2311231433333n n n n n T --⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭ ，则2341112314333333n n n n n T +-⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭ ，两式相减可得2311111121111463344213333333313n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢=⋅++++-=⋅-=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，解得2333n nn T +=-.故31n n a T ⋅->可转化为()2313nn n +>.令()233n nn n d +=，则()()()2111125234250333n n n nn n n n n n n d d ++++++--+-=-=<，故1n n d d +<，即{}n d 单调递减.注意到31d =，所以满足条件的n 的值为1，2.18.命题意图本题考查空间面面的位置关系､向量法求空间角.解析（1）因为SD ⊥平面,ABCD CM ⊂平面ABCD ，所以SD CM ⊥.因为14BM AB =，所以2AB BC AD BM==.所以Rt CBM ∽Rt BAD ，所以BMC BDA ∠∠=，所以90BMC ABD ∠∠+= ，即BD CM ⊥.又SD BD D ⋂=，所以CM ⊥平面SBD .因为CM ⊂平面SCM ，故平面SCM ⊥平面SBD .（2）以D 为原点，,,DA DC DS 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨设4AB =，则()()()()0,4,0,0,0,2,2,3,0,2,0,0C S M A ，所以()()()0,4,2,2,,2,0,2SC CM SA =-=-=-.设平面SCM 的法向量为(),,n x y z = ，则20,420,n CM x y n SC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1x =，则()1,2,4n =..记直线SA 与平面SCM 所成的角为θ，则sin cos ,14SA n SA n SA nθ⋅==== .19.命题意图本题考查回归直线方程､离散型随机变量的分布列及数学期望.解析（1）依题意，581111153,105x y ++++===，而55211516334475173,149162555iii i i x yx ===++++==++++=∑∑，故51522151735310ˆˆ2.3,10 2.33 3.155535i i i i i x y xy b a xx ==--⨯⨯====-⨯=-⨯-∑∑，故所求回归直线方程为ˆ 2.3 3.1yx =+.（2）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()111110324496P X ==⨯⨯⨯=，()122111111111319313244324432449632P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()11222111213111311133292C C 324432443244324496P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()1221312133113339133C 3244324432449632P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()2133183432449616P X ==⨯⨯⨯==，所以X 的分布列为X01234P 19633229961332316故()132913380123496329632163E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析（1）由题可知()2e ,02x x m x x x x =-+≠，则()()()()221e e 111xx x m x x x x x -⎛⎫=+-=-+ ⎝'⎪⎭，故当0x <时，()0m x '<，当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>，故()m x 在(),0∞-和()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增.（2）依题意，当0x 时，()2e cos 20*x x x ax --- 恒成立.令()[)2e 2cos ,0,x g x x ax x x ∞=---∈+，则()e 22sin xg x x a x -+'=-.令()[)e 22sin ,0,x h x x a x x ∞=--+∈+，则()e cos 2x h x x =+-'.令()[)e cos 2,0,x r x x x ∞=+-∈+，则()e sin 0x r x x =->'，故()r x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00r x r =，故()h x 在[)0,∞+上单调递增，则()()012h x h a =- .当12a 时，()()0120h x h a =- ，此时()g x 单调递增，从而()()00g x g = ，满足题意.当12a >时，令()e e x s x x =-，则()e e x s x '=-，当(),1x ∞∈-时，()()0,s x s x '<单调递减，当()1,x ∞∈+时，()()0,s x s x '>单调递增，所以()()10s x s = ，即e e x x ，当且仅当1x =时取等号.所以()()e 22sin e 212xg x x a x x a =--+>---'，从而()1212e 2120e 2e 2a a g a ++⎛⎫>-⋅--= ⎪--⎝⎭'.又()()0120,g a g x '=-<'在[)0,∞+上单调递增，故存在唯一的实数0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.21.命题意图本题考查椭圆的方程､直线与椭圆的综合性问题.解析（1）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.依题意，2c e a ===，故2212b a =①.联立22221,,x y a b x c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2b y a =±，故22b MN a ==②.联立①②，解得2a b ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()2,0.设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠.由()222,28y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()2222128880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222888,1212k k x x x x k k-+==++.因为MP x ⊥轴，所以()1,0P x .直线NP 的方程为()2121y y x x x x =--，所以()212144,y x R x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.因为NQ x ⊥轴，所以()2,0Q x .因为()()()211122124,4MQ RQ y x y k k x x x x x -==---，所以()()()2112121244RQ MQ y x y k k x x x x x --=----()()()()()()211221224244k x x k x x x x x --+--=--()()()121221262164kx x x x x x x ⎡⎤=⋅+--⎣⎦--()()222221222488841212k k k x x x k k ⎛⎫-=⋅-- ⎪--++⎝⎭()()2222212163112412k k k k x x x k -+--=⋅--+0=，所以,,Q M R 三点共线.因为NQ PM ∥，所以PQM PMN S S = ，而PMR PMR S S = ，所以RMN 与RPQ 的面积相同.22.命题意图本题考查参数方程､极坐标方程､普通方程､直角坐标方程之间的转化.解析（1）由直线l 的参数方程可得直线l6y +=，将cos ,sin x y ρθρθ==cos sin 2cos 66πθρθρθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.而曲线():1cos22sin C ρθθ+=，即22cos 2sin ρθθ=，则22cos sin ρθρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）由260,,y y x +-==⎪⎩可得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为4OM <，所以点)M，转化为极坐标为3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于点P 的极坐标为28,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故OMP 的面积18sin 1223S π=⨯⨯=.23.命题意图本题考查绝对值不等式的求解.解析（1）依题意，2347x x ++->.当32x <-时，2347x x --+->，解得2x <-，故2x <-；当342x - 时，2347x x ++->，解得0x >，故04x < ；当4x >时，2347x x ++->，解得83x >，故4x >.综上所述，不等式()7f x >的解集为{2x x <-∣或0}x >.（2）依题意，()244422m m f x x m x x x =++-++-+ ，当2m x =-时，取“=”，故min ()42m f x =+.()222432(1)1g x x x x =-+=-+.因为12,x x ∀∈∃∈R R ，使得()()12f x g x 成立，故412m + ，故412m +- 或412m + ，则10m - 或6m - ，故实数m 的取值范围为][(),106,∞∞--⋃-+.。

高三数学上学期期末考试题理试题

泸县第一中学2021届高三数学上学期期末考试题理创作人：历恰面日期： 2020年1月1日第I 卷(选择题一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕1．集合{|04}A x Z x =∈≤≤，{|(1)(3)0}B x x x =+-≤，那么AB =A ．{}0123，，，B ．{}123，，C ．{}|03x x ≤≤D ．{}|14x x -≤≤2．复数2z i =+，其中i 是虚数单位，那么=z A ．5 B ．1 C ．3 D ．53．x 为实数，那么“21x<〞是“2x >〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为 A ．34π+B ．44π+C ．64π+D ．84π+5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n n S S a +=+，那么10a = A ．511B ．512C ．1023D ．10246．圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为 A ．122πB ．82πC ．12πD ．10π7．从0，1，3，5，7，9六个数中，任取两个做除法，可得到不同的商的个数是 A ．30B ．25C ．20D ．198．函数()xf x e = ,令3123(sin),(2),(log 3)4a f b f c f π-===，那么,,a b c 的大小关系为 A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<9．三棱锥P-ABC 中，PA=4，AB=AC=23，BC=6，PA⊥面ABC ，那么此三棱锥的外接球的外表积为 A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π10．椭圆222210)x y a b a b +=>>（的两个焦点分别为12F F 、，假设椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，那么椭圆离心率的取值范围是A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 11．过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是 A ．[3,0)(0,3]-⋃ B ．(,22][22,)-∞-⋃+∞ C ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ D ．[22,0)(0,22]-⋃12．定义域为R 的函数对任意都有，且其导函数满足，那么当时，有A ．B ．C ．D ．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕13．双曲线221(0)4x y m m -=>3__________.14．()()341212x x +-展开式中4x 的系数为_____________. 15．假设(0,)2x π∈，那么2tan tan()2x x π+-的最小值为 . 16．假设函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c ()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②()()0f x x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕 17．〔12分〕在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且32sin a c A =. 〔I 〕求角C 的大小；(II)假设13c =，且ABC ∆的面积为33，求ABC ∆的周长.18．〔 12分〕某教育部门为了理解全高一学生的身高发育情况，从本全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进展统计分析。

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高三数学期末考试试题( 理科 )
一、选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给
出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.)
1、设集合A{ x | log 2 x 1}, B { x | x
10},A B() x2
A 、{ x | 0x2}
B 、{ x | 2 x 1}
C 、{ x | 0x 1}
D 、{ x | 2 x 2}
2、已知S n是数列{ a n}的前 n 项和，log2( S n1)n ，则 { a n } 是()
A、等差数列
B、等比数列
C、既是等差数列又是等比数列
D、既不是等差数列又不是等比数列
3、若函数 f (x)的值域是[1
,3] ，则函数 F ( x) f ( x)1的值域是（）2 f ( x)
A 、[1
,3]B、 [2,10]C、 [5,10]D、 [3,10] 23233
4、函数 f ( x)( x3) e x的单调递增区间是（）
A、(,2)
B、 (0,3)
C、 (1,4)
D、[2,)
5、1
1是 x1成立的（）
x
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、非充分非必要条件
6、若点 A 的坐标为(3,2)， F 为抛物线y22x 的焦点，点M在该抛物线上移动，为使得
|MA || MF |取得最小值，则点M的坐标（）
A、(0,0)
B、 (1,1)
C、 ( 2,2)
D、 (1 ,1) 2
7、已知椭圆x
2
y2 1 (a0,b0) ，过椭圆的右焦点作x 轴垂线交椭圆于A, B两点，若以a2b2
| AB |为直径的圆过坐标原点，则椭圆的离心率 e 为（）
A、51
B、 3 1
C、
1
D、
3 2222
8、在ABC 中，a2 tan B b2 tan A ，则ABC 一定是（）
A 、直角三角形
B 、等腰三角形
C 、等腰三角形或直角三角形
D 、等腰直角三角形
9 、已知向量 a (2 cos
,2 sin ), b (3c o s ,3s i n ) ，若 a 与 b 的夹角为 60 ，则直线
x c o s
y s i n
1 0 与圆 (x cos ) 2
( x sin )2
1
的位置关系是（
）
2
2
A 、相切
B
、相交
C 、相离
D 、随 , 的值而定
10、已知向量 a
( x , y ), b ( x , y
) ，曲线 a b
1 上一点 P 到 F (3,0) 的距离为 6， Q 为 PF
2
5
2
5
中点， O 为坐标原点，则 | OQ | （
）
A 、1
B
、2
C 、5
D 、1或 5
11、若方程 x 2
(1 a) x 1
a
b
0 的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，则
b
的范围
a
是（）
A 、 2
b 1
B 、
b
2 ,
b
1C 、2
b 1 D 、 b
1 , b 2
a
a
a
a
2 a
2
a
12、已知曲线 C : y
2x 2 点 A(0, 2) 及点 B(3, a) 从点 A 观察点 B 要使视线不被曲线 C 挡住，则
实数 a 的范围（）
A 、 (4, )
B
、 (
,4)
C 、 (10,
)
D
、 (
,10)
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
6
6
13、已知 f ( x) 为偶函数，且
6
f ( x ) dx
16
，则
f ( x ) dx
__________。

14、各项不为零的等差数列 { a n } 中，有 a 7 2
2(a 3
a 11 ) ，数列 {
b n } 是等比数列，且 b 7 a 7 ，
则 b 6 b 8 __________。

15 、已知函数 y
f ( x) 的定义域为 R ，且 f ( x)
f ( x) ， f (
1
x)
f (
1
x) ，则
2 2
f (1) f (2) f
(3) f (4) f (5) __________。

、设函数 f (x) cosx cos(x) sin xsin(x ) 1，有下列结论：
16
3
3
①点 (5
,0) 是函数 f (x) 图象的一个对称中心；12
②直线 x是函数 f (x)图象的一条对称轴；
3
③函数 f ( x) 的最小正周期是；
④将函数 f (x) 的图象向右平移个单位后，对应的函数是偶函数。

6
其中所有正确结论的序号是。

三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 .)
17 、（本小题满分 12 分）已知函数f (x)m n ，其中 m (s in x c o s x, 3 c o s x) ，
m (cos x sin x,2sin x) ，其中0，若 f (x) 相邻两对称轴间的距离等于。

2（ 1）求的值；
（ 2）在ABC中，a, b, c分别是角A、B、C的对边，a3, b c 3, f ( A)1，求 ABC
的面积。

18、（本小题满分 12 分）已知数列{ a n}的首项a122a n
,n1,2,3 ,a n 1
a n 1
3
（ 1）证明：数列{
1
1} 是等比数列；
a n
（ 2）求数列{ a n}的通项公式。

19、（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 x2y 212x 32 0 的圆心为Q，
过点 P(0,2) 且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B。

（ 1）求 k 的取值范围；
（2）是否存在常数 k ，使得向量OA OB 与 PQ 共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由。

20、（本小题满分 12 分）已知函数f ( x)ax ln x ，其中a为实常数。

设e为自然对数的底数。

（ 1）当a1时，求 f (x) 的极值；
（ 2）若f(x) 在区间 (0,e] 上的最大值为 3 ，求a的值。

21、（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点 (0, 3), (0, 3) 的距离之和等
于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线y kx 1与C交于A,B两点。

（1）写出 C的方程；
（2）若OA OB ,求k的值；
（3）若点 A 在第一象限，证明：当k0 时，恒有 | OA | | OB | 。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
个题记分。

22、（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲
如图所示， AB 是⊙O的直径， F 为⊙O上的点，BAF 的平分线CA交⊙O于点C，过点 C 作 CD AF ，交AF的延长线于点D，作 CM AB ，垂足为点M，求证：
（ 1）CD是⊙O的切线。

（2） AM MB DF DA。

23、（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程
直角坐标系中，已知曲线
x14cos
C 的参数方程为：
2
( 为参数 ) ；在极坐标系中，已
y4sin
3
知直线 l 过点A(1, )，且倾斜角为。

（1）求直线 l 的极坐标方程。

（2）以极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，求直线 l 被曲线C截得的线段长。

24、（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲
关于 x 的不等式ax 1 ax a 4。

（1）当a 2 时，求此不等式的解集。

（2）若此不等式的解集为R ，求实数 a 的取值范围。