第二章 内力计算

Me
Me
外力偶矩计算
一传动轴，转速为 n（转/min） ，轴传递功率为 P（kW) 。 P P M e 9549 (N m) 9.55 (kN m) n n
P P M e 7024 (N m) 7 (kN m) n n
Mechanics of Material
扭转的内力计算
例1
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
A 1 2m 1.5m 1 1.5m q=12kN/m 2 2 3m B
FA
1.5m
FB
解： 1、求支反力
(也可由 M A 0求 FB 或校核 FB的正误 )
Mechanics of Material
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
T x
T
1kN m
x
6kN m
Mechanics of Material
扭转的内力计算 例1 一传动轴，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入的功
率为有 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个 从动轮输出的功率分别为 P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW及P4 = 200 kW。试做扭矩图。若调换主动轮A与从动轮D的位
M 弯矩(bending- moment)， 垂直于横截面的内力系的 合力偶矩
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
M FS
FS F2 F3 FAy
FBy 截面一侧所有外力的代数和。
M M C ( FBy ) M C ( F1 ) M C ( F2 )
BC 段 ： FN 2 F 0
FN 2 F
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
内力图(Axial force diagram) F FN + F
x
① ② 直观反映内力与截面位置变化关系； 确定出最大内力的数值及其所在位置，即确定危险截
面位置，为强度计算提供依据。
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
o
M (x )
x
o
M (x )
x
o
x
o
x
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
若某截面的剪力 FS ( x ) 0 ，根
据 dM ( x ) 0 ，该截面的弯矩为极值。
dx
d FS ( x ) q( x ) dx
在集中力F作用处，剪力图有突变,突变值 等于集中力F的大小，弯矩图为折角点； 在集中力偶M作用处，剪力图不变，弯矩 图有突变，突变值等于力偶矩M。
置，对内力图有何影响？
P1 P2
P3
n
P4
B
C
A
D
Mechanics of Material
扭转的内力计算
例2
试分析图示轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
对称弯曲 可用梁的轴线代替梁。
纵向对称面
•具有纵向对称面
•外力都作用在此面内
x
梁段上无荷载作用，即 q(x)＝0时，
FS(x) FS(x)
o
M (x )
x
o
M (x )
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
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x
o
x
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
dFS ( x) q( x) dx
FS(x)
若q(x) =常数，
FS(x)
dM ( x) FS ( x) dx
dM ( x ) FS ( x ) dx
d2M( x ) dx
2
q( x )
FSmax出现的地方：①集中力F作用处；②支座处； Mmax出现的地方：①剪力FS=0的截面；②集中力F
作用处；③集中力偶M作用处。
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算 例3：利用微分关系作梁的内力图。
Fa / l
Fab / l


x
AC
F S x1 ＝ F b / l 0 x1 a M x1 ＝ F bx1 / l 0 x1 a F S x 2 ＝ F a / l a x 2 l M x 2 ＝ F a l x 2 / l a x 2 l
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
例1
F
作杆件的内力图，确定危险截面
1
2F
2
2F
3
F
1 F
2 FN1
FN1=F FN3
3
F
2F
FN2
FN3 F
F
FN2 F
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
F
2F
2F
F
FN
F
F
x
注意
F
在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖
M(x) Fs(x)
规定：分布载荷以向上为正。
q(x)
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
F
y
0 , FS ( x ) FS ( x ) d FS ( x ) q ( x ) d x 0
d FS ( x ) q( x) dx
dx M O ( F ) 0, FS ( x ) d x M ( x ) M ( x ) d M ( x ) q d x 2 0

ql 2 / 8
x
ql / 2
M x ＝ q lx / 2 q x 2 / 2
0
x l

3 ql 2 / 32
x
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算 做法： 第一，求支座反力。 第二，根据截荷情况分段列出FS(x）和M(x)方程。
分段点为集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布载荷 的起止点处。 第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个
端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处 弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。
注意
注明 FS
max
和M
max
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 q(x)
y
x dx M(x)+dM(x) Fs(x)+ dFs(x)
x
dx
轴向拉压的内力计算
刚体静力学是材料力学的基础，不同的变形形式对应着 不同的内力分量。
y F1

Fx 0,
M
x
0,
Fy My
0,
0,

Fz 0
My
FR M

M
z
0
FN－轴力
FSy, FSz－剪力 Mx－扭矩 My, Mz －弯矩
F2
Mechanics of Material
截面一侧所有外力对 求内力的截面形心之矩的
代数和。
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
正负号规定:
① 剪力Fs : Fs(+) Fs(+) ② 弯矩M： Fs(–)
Fs(–)
M(+)
M(+) M(–) M(–)
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
请总结剪力、弯矩的分布特征？
dM ( x ) FS ( x ) dx
d 2 M ( x) q( x) 2 分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系 dx
若分布载荷以向下为正呢？
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) FS ( x) dx
Fs y Fs
x
Fs z FN Mx
z
轴向拉压的内力计算 截面法(method of sections )
1. 假想地将杆切开，取其中一部分为研究对象。
2. 画受力图，内力用分量表示 3. 由平衡条件建立内、外力间的关系 注意： 1.用截面法求内力和取分离体求约束反力的方法本
质相同。这里的研究对象不是一个物体系统或一个完整 的物体，而是物体的一部分。 2.这里所说的截面通常指横截面。
变形后的轴线
轴线
•弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
梁
以弯曲变形为主要变形的杆件。
火车轮轴简化
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
简支梁
Simple beam 外伸梁 Beam with an overhang 悬臂梁 Cantilever beam
M
CB x
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
a
M
b
A
FAy
x1
M /l
C
l
x2
B
FBy
例4
简支梁C点受集中力偶作用
解： FAy＝M / l FBy＝ -M / l
AC

CB
Ma / l

Mb / l
0 x1 a M x1 ＝ M x 1 / l 0 x1 a F S x 2 ＝ M / l 0 x 2 b M x 2 ＝ M x 2 / l 0 x 2 b
截面法
m
F
x
F
m
F
0
m
FN F
轴力FN (axial force)
F
FN
m m FN m
——分布内力系的合力 拉为正(+)，压为负(-)
F
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
试分析杆的轴力
（F1=F，F2=2F）
FR F2 F1 F
AB 段 ： FN 1 F
F S x1 ＝ M / l
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
y
q
A
FAy
x
B C
l
x
例5
简支梁受均布载荷作用
FBy
解： FAy＝ FBy＝ ql/2
F S x ＝ q l / 2 q x
FS ql / 2

M 3 ql 2 / 32
0
x l
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
轴向拉压的内力计算 扭转变形的内力计算 弯曲变形的内力计算 平面刚架的内力计算
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
F 连杆 ω F F
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
静 定 梁
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
M
FS
FN
FAy
F 0 F 0 F 0 F F M (F ) 0 M F
x
N
y
S
Ay
Ay
F1
x F1 ( x a )
C
FS
剪力(Shear- force)，平行于横截面的内力系合力
面线形式；并注上 符号
或
Mechanics of Material
轴向拉压的内力计算
要点：截面不能切在外力作用点处; 逐段分析轴力；
设正法求轴力； 均匀分布载荷作用下——求外载荷合力； 非均布载荷作用——积分求合力
F A F Fa
B
b C
Mechanics of Material
扭转的内力计算
轴：以扭转为主要变形的构件 （以圆截面等直杆为主）。
M1
FS1
FA
q=12kN/m
M2
FS2
FB
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
a
F
b
A
FAy
x1
C
x2
l
B
FBy
FS FS ( x) M M ( x) 例3 图示简支梁C点受集中力作用
剪力图 弯矩图 解： FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
FS
Fb / l
弯曲变形的内力计算
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
3、计算2-2截面的内力
FS2 q 1.5 FB 11kN 1.5 M 2 FB 1.5 q 1.5 30kN m 2
F=3kN
q=2kN/m
M 0 6kN.m
C
1m
FAy
A
D
4m 1m
B
FBy
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
例 4
利用微分关系试作梁的内力图。 q C B A a a a
qa 2
D
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算 做法： 第一，确定控制界面：集中力（包括支座反力） 、集 中力偶和分布载荷的起止点处。
由 M x 0,
T——截面n-n上的扭矩(torsion)。 Me
n
Me
• x
T Me 0 T Me
Me
n T • x Me
右手拇指指向外法线方向为 正(+),
反之为 负(-)
Mechanics of Material
T
•
•
x
扭转的内力计算
扭矩图：沿杆件轴线各横截面扭矩变化规律的图线。