线性变换及其矩阵

i =1
i =1
i =1
n
同理， S(x) = ∑ξi gi i =1
即对任一 x ∈V ，都有 S(x) = T (x) ,所以 S = T ，唯一性得证。
下证存在性。对 V 中任一向量 x ，
n
∑ x = ξiei i =1
由等式
n
∑ T (x) = ξi gi (2) i =1
定义 V 的一个变换 T。 T 显然是 V 的一个变换。易证 T 是线性变换，现取 x = ei ，则由
i=1
i=1
∴ {Txi}线性相关。
[得证]
k
（4）若 x = ∑αi xi ∈V ,则 i =1 k ∑ Tx = αi (Txi ) ∈V i =1 (5) 若Tx1,Tx2, ,Txk 为 V 中的线性无关的向量组，则
x1, x2, , xk 为 V 中线性无关向量组。（用反证法证） 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性
∴ D 是 Pn 上的线性变换。 例：定义在闭区间[a,b]上的所有实连续函数的集合 C[a,b]构成线
性空间，由wenku.baidu.com
t
T ( f (t)) = ∫ f (u)du, a < t ≤ b a
定义的变换为线性变换。
2. 性质
（1） 线性变换把零元素仍变为零元素
（2） 负元素的象为原来元素的象的负元素
（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组
式。
定理 1：设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间，e1, e2, , en 是它的一组 基。又 g1, g2, , gn 是 V 的任意 n 个向量。则存在唯一的一个线性变换 T，使得
T (e1) = g1,T (e2 ) = g2 , ,T (en ) = gn (1)
证明：先证明唯一性。
向量组(*)线性无关，T (ε1),T (ε2 ), ,T (εt ) 是 T（V）的一组基，T（V）
的维数等于 t。
注：可以从T (V ) 的基底出发证明上述定理。
例：给定矩阵
⎡1 3 5⎤
A = ⎢⎢2
1
7
⎥ ⎥
⎢⎣0 1 2⎥⎦
将 A 视为线性变换： R3 → R3 ,求 R(A)和 N(A)的维数。
第三讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
定义：设 V 是数域 P 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，使得
对于 V 中的任意元素 x 均存在唯一的 y∈V 与之对应，则称 T
为 V 的一个变换或算子，记为 Tx＝y
称 y 为 x 在变换 T 下的象，x 为 y 的原象（或象源）。
若变化 T 还满足
（2）得
T (ei ) = gi ,i = 1, , n
即线性变换 T 满足（1）。
设T 是线性空间 V 的一个线性变换，且 e1, e2, , en 是 V 的一个基，
∀x ∈V ，存在唯一的坐标表示
x = [e1,e2,
⎡ξ1 ⎤
, en
] ⎢⎢ξ 2
⎢
⎥ ⎥ ⎥
＝ ξ1e1
+
ξ2e2
+
⎢⎣ξ
n
r( A) = 2
HA 的前两列线性无关，所以，A 的前两列线性无关。
R( A) = span{A(1) , A(2)} = span{(1, 0,1)T , (1,1, 3)T }
N ( A) = N (H A ) = span{(−1, −1,1)T }
二、线性变换的矩阵表示
线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形
[证明] 线性变换 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)
（1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0
（2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)
（3）元素组 x1, x2 , , xm 线性相关，即存在一组不全为零的数
k1, k2 , , km 使
m
∑ ki xi = 0
i=1
m
m
则
∑ ∑ T ( ki xi ) = ki (Txi ) = T (0) = 0
=
⎡ cosθ ⎢⎣− sinθ
sinθ cosθ
⎤ ⎥⎦
⎡ξ1 ⎢⎣ξ2
⎤ ⎥⎦
∈
R
2
y
η2
ξ2 θ
o
η1
ξ1 x
可见该操作 T 为变换，下面证明其为线性变换
∀x
=
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
z
=
⎡ ⎢ ⎣
z1 z2
⎤ ⎥ ⎦
∈
R2
，k，l∈
R
kx
+
lz
=
⎡ kx1 ⎢⎣kx2
⎤ ⎥⎦
+
⎡ lz1 ⎢⎣lz2
对比可知：
⎡ξ1 ⎤
en
)]
⎢⎢ξ2 ⎢
⎥ ⎥ ⎥
=
[e1,
e2
,
⎢⎣ξn
⎥ ⎦
⎡ξ1 ⎤
,
en
]
A
⎢⎢ξ2 ⎢
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ξn
⎥ ⎦
若除了满足条件（1）的线性变换 T 之外，还有线性变换 S 也满
足：
S (e1) = g1, S (e2 ) = g2 , , S (en ) = gn
现取 x ∈V ，且设
n
∑ x = ξiei i =1
则有
n
n
n
∑ ∑ ∑ T (x) = T ( ξiei ) = ξiT (ei ) = ξi gi
⎥ ⎦
+ ξnen
Tx = T (ξ1e1 + ξ2e2 + + ξnen )
= (Te1 Te2
⎡ξ1 ⎤
Ten
)
⎢⎢ξ2 ⎢
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ξn
⎥ ⎦
= [T (e1 e2
⎡ξ1 ⎤
en
)
]
⎢⎢ξ ⎢
2
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ξ
n
⎥ ⎦
因此，要确定线性变换T ，只需确定基元素在该变换下的象就可
以了。现取 V 的一组基 e1, e2, , en ，则每个Tei 都是 V 中的向量(i=1,…,n).
（4）变换的相等： T1 、 T2 是 V 的两个线性变换， ∀x ∈V ，均有 T1x = T2 x ，则称T1 ＝T2
（5）线性变换的和T1 +T2 ： ∀x ∈V ， (T1 + T2 )x = T1x + Tx2 （6）线性变换的数乘 kT ：∀x ∈V ， (kT )x = k(Tx)
负变换： (−T )x = −(Tx)
T n = T iT T ，并规定T 0 = Te
n个
N
∑ f (λ) = a0 + a1λ + + aN λ N = anλ n n=0
N
N
∑ ∑ f (T ) = anT n → f (T )x = anT n x
n=0
n=0
需要说明的是：
1）Te 也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵 I ； 2）T0 对应的矩阵表示为零矩阵； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换， ST = Te ； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存
⎤ ⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣
kx1 kx2
+ +
lz1 lz2
⎤ ⎥⎦
T
(kx
+
lz)
=
⎡ cosθ ⎣⎢− sinθ
sinθ ⎤ ⎡ kx1 + lz1 ⎤ cosθ ⎦⎥ ⎢⎣kx2 + lz2 ⎥⎦
=
k
⎡ cosθ ⎢⎣− sinθ
sinθ cosθ
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢⎣
x1 x2
⎤ ⎥⎦
+
l
⎡ ⎢⎣
cosθ − sinθ
注：若 A = (a1, a2, , an ) ，则
{ } R( A) = y ∈ Pm | y = Ax, x ∈ Pn = span{a1, a2, , an} ：
列空间，象空间，值域：列向量生成的子空间。
由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以，可通过初
等行变换求 R(A),N(A)。
如：
（7）线性变换的乘积T1T2 ： ∀x ∈V ， (T1T2 )x = T1(T2 x) （8）逆变换T −1：∀x ∈V ，若存在线性变换 S 使得 (ST )x = (TS)x ≡ x ，
则称 S 为T 的逆变换 S ＝T −1。逆变换亦为线性变换。但并非所
有变换都有逆。
（9） 线性变换的多项式：
ker(T ) 的维数称为线性变换 T 的零度。 4. 定理：设 T 是 n 维线性空间 V 的线性变换，则有维数关系：
dimT (V ) + dimT −1(0) = n
证明：设 dimT −1(0) = s , e1, e2 , , es 是T −1(0) 的一组基，我们将它扩充， 使
e1, e2 , , es ,ε1, ,εt
sinθ ⎤ ⎡ z1 ⎤ cosθ ⎥⎦ ⎢⎣z2 ⎥⎦
= k(Tx) + l(Tz)
∴ T 是线性变换。
[例 2] 次数不超过 n 的全体实多项式 Pn 构成实数域上的一个 n + 1维的
{ } 线性空间，其基可选为 1, x, x2,
, xn
，微分算子
D
=
d dx
是
Pn
上的一
个线性变换。
[证明] 显然 D 对 Pn 而言是变换， 要证明 D 满足线性变换的条件 ∀f , g ∈ Pn ，k，l∈ R D(kf + lg) = k(Df ) + l(Dg)
当然，T (x) ∈T (V ) 。所以上式表示 T(V)中的任一向量都是向量组
T (ε1),T (ε2 ), ,T (εt ) (*)
的线性组合.现证向量组(*)线性无关，设有
t
∑ ciT (εi ) = 0
i =1
则
从而
t
∑ T ( ciεi ) = 0 i =1
t
∑ y = ciεi ∈T −1(0) i =1
所以，y 可由T −1(0) 的基 e1, e2 , , es 线性表示，即
s
∑ y = d jej j =1
因此，
t
s
∑ ∑ ciεi − d jej = 0
i =1
j =1
因为 e1, e2 , , es ,ε1, ,εt 为 V 的一组基，故有
ci = 0, d j = 0(i = 1, ,t, j = 1, , s)
成为 V 的一组基，显然 s + t = n 。如能证明
dimT (V ) = t
则定理便得证。现设 x 是 V 的任一向量，则有
s
t
∑ ∑ x =
ξi
e i
+
η jε j
i =1
j =1
由于T (ei ) = 0,i = 1, , s ，所以，
t
∑ T (x) = η jT (ε j ) j =1
无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T 将
所有的线性无关元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满
秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。
3. 线性变换的运算 （1）恒等变换Te ：∀x ∈V ,Te x = x （或用 E 表示） （2）零变换T0 ：∀x ∈V ,T0x = 0 （或用 0* 表示） （3）相似变换：α * :V → V , x α x,α *x = α x
T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ∀ x,y∈V, k,l∈P
称 T 为 V 的一个线性变换或线性算子。 注：T (kx + ly) = k(Tx) + l(Ty),∀x, y ∈V ,∀k,l ∈ P
⇔ T (x + y) = T (x) + T ( y),T (λ x) = λT (x),∀x, y ∈V ,∀λ ∈ P
故可设
⎧ Te1 = a11e1 + a21e2 + + an1en
⎪⎪⎨Te2 = a12e1 + a22e2 + + an2en
(3)
⎪
⎪⎩Ten = a1ne1 + a2ne2 + + annen
即
[Te1,Te2 , ,Ten ] = [e1, e2 , , en ]A
⎡a11 a12
A
=
⎡1 1 2⎤ A = ⎢⎢0 1 1⎥⎥
⎢⎣1 3 4⎥⎦
由
⎡1 1 2 1 0 0⎤ ⎡1 0 1 1 −1 0⎤ ( A, E3) = ⎢⎢0 1 1 0 1 0⎥⎥ → ⎢⎢0 1 1 0 1 0⎥⎥ = (H A, P)
⎣⎢1 3 4 0 0 1⎦⎥ ⎣⎢0 0 0 −1 −2 1⎦⎥
知
PA = H A ，
在）均为线性变换。 6）记 L(V)为数域 P 上的线性空间 V 的全体线性变换组成的集合。易
证 L(V)构成数域 P 上线性空间。 7) 线性变换 T 的象子空间（值空间）：
T (V ) = {Tα | α ∈V}
T (V ) 的维数称为线性变换的秩。 8）线性变换 T 的核子空间（零空间）：
ker(T ) = {α ∈V | Tα = 0} = T −1(0)
⎢ ⎢
a21
a22
⎢
⎢⎢⎣an1 an2
a1n ⎤
a2n
⎥ ⎥
⎥
ann ⎥⎥⎦
称 A 为线性变换 T 在基 e1, e2, , en 下的矩阵。
对于任意元素 x ，在该基下，变换后Tx 的坐标表示为
Tx = [e1,e2,
⎡η1 ⎤
,
en
]
⎢⎢η2 ⎢
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ηn
⎥ ⎦
同时
Tx = [T (e1 e2
[例 1]
二维实向量空间
R2
=
⎧ ⎨ ⎩
⎡ξ1 ⎢⎣ξ2
⎤ ⎥⎦
ξi
∈
⎫ R⎬
，将其绕原点旋转θ
角的操
⎭
作就是一个线性变换。
[证明]
x
=
⎡ξ1 ⎢⎣ξ2
⎤ ⎥⎦
y
=
Tx
=
⎡η1 ⎢⎣η2
⎤ ⎥⎦
⎧⎨⎩ηη21==−ξξ11csoisnθθ
+ ξ2 sinθ + ξ2 cosθ
⎡η1 ⎢⎣η2
⎤ ⎥⎦