点到平面的距离(课堂PPT)

－ 22x＋ 22y－2z＝0
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取 z＝ 2，解得 n＝(0,4， 2)，设点 B 到平面 OCD 的距离为 d.
∵O→B＝(1,0，－2)，∴d＝|O→|Bn|·n|＝23，
所以，点 B 到平面 OCD 的距离为23. 【名师点评】 利用向量法求点到平面的距 离，关键是找到平面的法向量．
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考点三 求线面距和面面距 若直线a∥平面α，则直线a上的任意一点到平面 的距离都相等；若平面α∥平面β，则平面α上任 意一点到平面β的距离也都相等．因此直线到平 面的距离以及两平行平面间的距离都可转化为点 到平面的距离解决．
→→
∴cosθ＝
|AB·MD|
→→
＝12，∴θ＝π3.
| AB|·|MD|
∴异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小为π3.
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(2)∵O→P＝(0， 22，－2)，O→D＝(－ 22， 22，
－2)， ∴设平面 OCD 的法向量 n＝(x，y，z)，则
n·O→P＝0 n·O→D＝0
，得
22y－2z＝0
A2＋B2
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知新益能 1．点到平面的距离 从空间中一点 P 到平面 α 作_垂__线___PD 交平面 α 于 D，则线段 PD 的_长__度__d_称为点 P 到平面 α 的距 离．
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2．点到平面距离的向量求法 已知平面 α 的法向量 n 以及平面上任一点 A. 从 A 出发作A→N＝n，从点 P 作 AN 的垂线与 AN 相 交于 P1，则__|A__P_1_| _就是A→P在法向量A→N上的投影 长，且点 P 到平面 α 的距离
→ d＝|AP1|＝||AP|cos∠PAN|＝|A|Pn·|n|.
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思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？
提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平 行时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一 个平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造 线面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到 平面的距离．
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考点一
课堂互动讲练
考点突破 点到直线的距离
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点到直线距离的求法：
如图，PB⊥l，垂足为 B，则 PB 的长度即为 P 到 l 的距 离，在空间不好确定垂足 B 的情况下，可在 l 上另取一点 A， 则 AB 为A→P在A→B上的投影，故|A→B|＝|P→A·A→→B |，在 Rt△PAB
| AB|
中
有
|
→ PB
|
＝
|P→A|2－|A→B|2 ， 即 P 到 l 的 距 离 d ＝
→→ |P→A|2－|PA→·AB|2.因此求点 P 到直线 l 的距离可分以下几
| AB|
步完成：
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(1)在直线 l 上取一点 A，同时确定直线 l 的方向 向量 n，并求 n0＝|nn|.
(2)计算直线上点 A 与已知点 P 对应的向量|A→P|. (3)计算A→P在 n0 上的投影A→P·n0. (4)由公式 d＝ |A→P|2－|A→P·n0|2求距离．
(2)s 是直线的方向向量，则 s0＝|ss|是直线的单 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
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考点二 点到平面的距离 点到平面的距离的求法：
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如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距
离就是线段 BO 的长度．
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，
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以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22，
22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．
(1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ，
∵A→B ＝(1,0,0)，
M→D ＝(－ 22， 22，－1)，
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例2 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是 边长为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点．求：
(1)异面直线 AB 与 MD 的夹角的大小； (2)点 B 到平面 OCD 的距离．
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【思路点拨】 建立空间直角坐标系，利用坐 标运算求解． 【解】 作AP⊥CD于点P.如图，分别
F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有 G→F ＝(1，－1，－1)，G→D1＝(0，
－2,1)，
所以G→|FG·→GF→D| 1＝2－31＝
1 ，|G→D1|＝ 3
5，
所以点 D1 到直线 GF 的距离
d＝
|G→D1|2－G→D1·| G→G→FF|2＝
5－13＝
42 3.
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【名师点评】 (1)在直线上选取点时，可视情况 灵活选择，原则是便于计算．
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AD＝1例在，1长点方F，体GA分BC别D是-AA1BB1，C1CDC1中1的，中A点A1，＝求AB点＝D21， 到直线GF的距离．
【思路点拨】 建系后按求点线距离的步骤求 解．
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【解】 以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在直线 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，
3．8 点到平面的距离
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学习目标
课前自主学案 3.8
课堂互动讲练
知能优化训练
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学习目标 1.掌握点到平面的距离的概念，并会求点到平面 的距离． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量求空 间中的各种距离． 3．体会向量方法在研究立体几何中的作用．
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课前自主学案
温故夯基 1．若点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 dAB＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12. 2． P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距 离为 d＝|Ax0＋By0＋C|
→ |B→O|＝|A→B|·cos∠ABO＝|AB||
B→O|cos∠ABO
→
.
|BO|
如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向，可
以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→|Bn·|n|.
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因此要求一个点到平面的距离，可分以下几步完成： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找 出 从 该点 出发 到平 面的 任一 条斜 线段 对 应的向 量． (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以 法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于|nn|＝n0 可以 视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平 面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝 对值，即 d＝|A→B·n0|.